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第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。
2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(×)3．λ(a·b)＝λa·b.(√)类型一向量数量积的运算性质例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确结论的序号是________．考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★①③④解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确结论的序号是①③④.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是()A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝a2考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★D解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝a2，所以D正确．类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题例2 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ 2解析 由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ (0,1)∪(1，＋∞)解析 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟 向量a ，b 的夹角为锐角，得到a·b >0；反之，a·b >0不能说明a ，b 的夹角为锐角，因为a ，b 夹角为0°时也有a·b >0.同理，向量a ，b 的夹角为钝角，得到a ·b <0；反之，a ·b <0不能说明a ，b 的夹角为钝角，因为a ，b 夹角为180°时也有a ·b <0.跟踪训练3 若向量e 1，e 2满足|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ<0，故(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝2t e 21＋(－2t ＋1)e 1·e 2－e 22＝t －12<0，解得t <12. 又当θ＝π时，也有(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2反向，则2t e 1＋e 2＝k (e 1－e 2)(k <0)，又e 1与e 2不共线，从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，1＝－k ，解得t ＝－12，即当t ＝－12时，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为180°，故t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪t <12，且t ≠－12.1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ C解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．12考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ B解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3.3．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94考点 平面向量数量积的应用题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a·b >0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ D解析 由AB →·BC →>0知，BA →·BC →<0，即角B 为钝角．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★3π4解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .一、选择题1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质和法则 ★答案★ B解析 b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a ，b 为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ B解析 设a 与b 的夹角为θ. 因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， 所以(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0， (b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，所以a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝a·b a 2＝a ·b 2a ·b ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.所以a ，b 夹角为π3.4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ B解析 由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ C解析 由题知，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]， ∴a ，b 的夹角为120°.6．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.37 B ．13 C ．6 D.127 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ D解析 ∵AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120° ＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. ∵AP →·BC →＝(AC →＋λAB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0， 解得λ＝127，故选D.7．(2017·惠州高一检测)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ A解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0， 又因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形． 二、填空题8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ π3解析 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ， 所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.9．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用★答案★233解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2， |a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，∴|a ||b |＝233. 10．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ 4解析 方法一 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0， 即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.方法二 如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ， ∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ， 又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.11．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★2π3解析 由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2， 即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2， 设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1， 即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0，因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立， 所以Δ＝16cos 2θ＋4(1＋4cos θ)≤0， 即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ {k |k <0或k >2} 解析 因为|k a ＋b ＋c |>1， 所以(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. 因为a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos 120°＝－12，所以k 2－2k >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2<0，解得k <0或k >2，即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}． 三、解答题13．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ.根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＋1>0，t ＋7<0或⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋1<0，t ＋7>0，解得－7<t <－12. 当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，由e 1与e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142. ∴实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 四、探究与拓展14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B ．1 C. 2 D ．2考点 平面向量数量积的运算性质和法则题点 求向量的数量积的最值★答案★ B解析 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.15．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ.考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的夹角解 假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝16|b |2cos 2θ－4|b |2≥0， 解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3.。
高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积自主训练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积自主训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积自主训练 苏教版必修4我夯基我达标1.｜a ｜=3,|b |=4,向量a +43b 与a —43b 的位置关系为（ ）A 。
平行 B.垂直C 。
夹角为3πD.不平行也不垂直 思路解析:因为（a +43b ）·（a —43b )=a 2—169b 2=0,所以(a +43b ）⊥（a -43b )。
答案：B2。
若向量b 与向量a =（1，—2）的夹角是180°，且|b ｜=53，则b 等于（ ) A.(—3,6） B 。
（3,—6) C 。
(6，-3) D.(—6，3）思路解析：由题意b 与a 共线,在再结合｜b |=53,列出关于b 的坐标的方程即可解出。
方法一：设b =λ（-1，2)，且λ>0，有（-λ）2+(2λ）2=(53)2⇒b =(-3，6）。
方法二：由题意可知,向量a 、b 共线且方向相反. 故可由方向相反排除B ，C ；由共线可知b =-3a . 答案：A3.已知向量a =（cosθ,sinθ),向量b =（3，—1)，则|2a -b ｜的最大值和最小值分别是（ ) A.24,0 B.4，22 C.16，0 D.4，0 思路解析：列出关于模的表达式，考查得到的函数即可得到答案. a ·b =2sin(3π—θ）， ｜2a —b |2=4a 2—4a ·b +b 2=8—8sin （3π-θ）， ∴|2a -b ｜的最大值为4，最小值为0。
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？★答案★i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.★答案★∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？★答案★a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．★答案★∵a＝x i＋y j，x，y∈R，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋y2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？★答案★ ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理向量 模长 a ＝(x ，y )|a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？★答案★ cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一 数量积的坐标运算例1 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算 ★答案★ B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 ★答案★ 43解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 为BC 的中点，∴E (2，1)， ∵点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →， ∴F ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BF →＝－23＋2＝43.反思与感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2； ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()A．－1 B．0 C．1 D．2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算★答案★C解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二平面向量的模例2已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.反思与感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于()A. 5B.10 C．5 D．25考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模★答案★C解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. 又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 ★答案★ B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ A解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13. a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数 ★答案★ A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 ★答案★ B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 ★答案★ A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)． 5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， (a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]． ∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝0 C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 ★答案★ D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0， 所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3 考点 平面向量投影的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的投影 ★答案★ D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D.4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 利用坐标求向量的模 ★答案★ C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( ) A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313 D ．以上都不对考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 ★答案★ C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )， ∵(x ，y )是单位向量的坐标形式， ∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，① 又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ， ∴2x －3y ＝0，② 由①②得⎩⎨⎧x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1± 3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 ★答案★ C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2， 又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1± 3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用★答案★ D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 二、填空题8．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模★答案★ 82解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算★答案★ 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标★答案★ (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)．11．(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________． 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算★答案★ －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4， 因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0， 所以a ·b ＝－52.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.13．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717. 四、探究与拓展14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3) 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数★答案★ C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 15．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 平面向量模的坐标表示的应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
向量数量积（1）
班级__________；姓名______________；学号_______ __；
●基础知识填空：
1、已知_________向量与b ，它们的夹角为θ，则把_______________叫做向量与b 的数量积（或内积）.规定：零向量与任一向量的数量积为_______.
2.、对于b |||b |cos a a θ⋅=⋅，其中____________叫做b 在方向上的投影.
3、已知向量、, 实数λ, 则下列各式中计算结果为向量的有_____ _ (填上序号) ①＋ ②－ ③λ ④· ⑤· ⑥(·) ⑦·
4、在△ABC 中, =, =, 且·>0 , 则△ABC 是_______三角形.
5、在△ABC 中, |BC |=3, |AC |=4, ∠C=30°, 则BC ·CA =______________ .
6、已知与向量, 同向的单位向量分别为0a , 0b , 向量, 夹角为32π, 则0a ·0b =________.
7、在△ABC 中, 已知||=||=4 , 且·=8, 则这个三角形的形状为__________ .
8、|=3 , ||=4, ,夹角为120°, 则向量在方向上的投影_________ , 向量在
方向上的投影为____________ .
9、已知|a|=1，|b|=2,分别根据下列条件求a·b.
(1)若a∥b，求a·b； (2)若a与b的夹角为150°.
10、设||=12 , ||=9 , ·=－542, 求与的夹角θ.。
向量的数量积（2）【学习目标】：1.掌握平面向量数量积的运算律2.会用两向量的数量积解决向量的垂直、长度、角度问题.【重难点】向量的数量积及其运算律在解决长度、角度、垂直等有关问题上的应用.【预习案】基础知识填空后完成5，6两题1、向量的夹角： ；2、平面向量的数量积(1)定义： ；(2)几何意义： ；3、运算律： ；4、向量数量积的重要性质： ；5、已知: |a |=2 , |b |=4 , a 与b 的夹角为1200, 则a b ∙= _________； 6、已知||=4 , ||=1 , (－2)·(+3)=12, 则与的夹角θ=_________；【探究案】探究一：求向量的模1．已知向量a 和b 的夹角是3π,|a |=2 , |b |=1, 则(a +b )2=_____ , |a +b |=_____；2．已知: ||=2 , ||=5 , ·=－3 , 则|+|=__________ , |－|=_________.；变式：（1）.平面向量a 与b 的夹角为060，2a = ，1b = 则2a b +=（2）．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.探究二：求向量的夹角已知|a|=6 , |b|=4 , (a+2b)·(a－3b)=－72 , 求a与b的夹角θ.变式：若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(+2)·(－3)=－72 ,，则向量a 的模是________．探究三：向量垂直的相关问题1．若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．2．已知||=3 , ||=4, (且与不共线), 当且仅当k为何值时, 向量+k与－k互相垂直?。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课堂精练 苏教版必修41．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b ＝__________. 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于__________．3．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列结论正确的个数是__________．①(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ②若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c③(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )(λ∈R )④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) ⑤a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为__________．5．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________．6．已知1OA =，2OB =0OA OB ⋅=，点C 在△AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC mOA nOB =+(m ，n ∈R )，则m n ＝__________. 7．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求：AB AC ⋅和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．8．已知1)=-a ，1(,)22=b . (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t －3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)在(2)的结论中，求k 的最小值．9.如图所示，已知(2,1)OP =，(1,7)OA =，(5,1)OB =，设M 是直线OP 上的一点(其中O 点为坐标原点)．(1)求使MA MB ⋅取最小值的OM ；(2)对(1)中求出的点M ，求∠AMB 的余弦值．参考答案1. 答案：92解析：由数量积的几何意义知，39322⋅=⋅=a b . 2. 答案：49- 解析：由题知P 为△ABC 重心，则PB PC PA +=-. 则224()9PA PB PC PA PA ⋅+=-=-=-. 3. 答案：2解析：只有①③正确．∵a ·b ＝a ·c ⇒a ·b －a ·c ＝a (b －c )＝0⇒a ⊥(b －c )，或b ＝c ，∴②不正确．∵a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )·c 与向量c 方向相反或相同，a ·(b ·c )与向量a 方向相同或相反，而a 与c 不一定共线，即使共线，a ·b ，b ·c 是不等实数时，(a ·b )·c 与a ·(b ·c )也不一定相等，∴④不正确．∵|a |2＝a 2＝b 2＝|b |2，∴|a |＝|b |.a 与b 不一定共线．∴⑤不正确．4. 答案：54解析：由题意知，212121122(2)()(21)2k k k ⋅=-⋅+=--⋅-a b e e e e e e e e2π5(21)cos22032k k k =---=-=，∴54k =. 5. 答案：π3解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a ·b －2b 2＝－6， ∴1＋a ·b －2×4＝－6，∴a ·b ＝1. 11cos ,122⋅===⨯a b a b a b ， ∴π,3=a b .6.解析：2()OC OA mOA nOB OA mOA nOA OB ⋅=+⋅=+⋅210cos 45m n m OC OA =⋅+⋅==⋅.①22cos 45OC OB mOA OB nOB n OC OB ⋅=⋅+==⋅.②由①②，得22OA m n OB ==m n =.7. 解：∵(3,1)AB =-，(1,3)AC =--，∴3(1)(1)(3)0AB AC ⋅=⨯-+-⨯-=. ∴AB AC ⊥.又∵10tan 110AB ACB AC ∠===. ∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.8. (1)证明：由022⋅=-=a b ，得a ⊥b . (2)解：由x ⊥y ，得x ·y ＝·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b2＝0.－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.a 2＝|a |2＝4， b 2＝|b |2＝1，∴1(3)4k t t =-． (3)解：21139(3)()44216k t t t =-=--， ∴当32t =时，k 取最小值为916-. 9. 解：(1)∵M 为直线OP 上的点，∴OM 与OP 共线．设OM tOP =，∴(2,1)(2,)OM t t t ==．则(1,7)(2,)(12,7)MA OA OM t t t t =-=-=--， (5,1)(2,)(52,1)MB OB OM t t t t =-=-=--．∴MA MB ⋅＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. ∴当t ＝2时，(3,5)MA =-，(1,1)MB =-， MA MB ⋅取最小值－8，此时，(2,)(4,2)OM t t ==．(2)当t ＝2时，(3,5)MA =-，(1,1)MB =-， ∴34MA =，2MB =8MA MB ⋅=-.于是，cos 34MA MB AMB MA MB⋅∠===。
[学业水平训练]1．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________．解析：由题意知，|a |＝9＋x 2＝5.∴x ＝±4.答案：±42．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．解析：由题意知6－m ＝0，∴m ＝6.答案：63．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________． 解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，∴8a －b ＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6，3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：44．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝52，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.答案：55.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________.解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二：设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，∴x ＝22. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·[BC →＋(22－1)AB →] ＝(AB →＋12BC →)[BC →＋(22－1)AB →] ＝(22－1)AB →2＋12BC 2→＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 答案： 26．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________．解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1，2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52. 答案：527.(2014·大连高一检测)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．8．已知a ＝(2，－3)，求与a 垂直的单位向量的坐标．解：设单位向量为e ，其坐标为(x ，y )．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝31313y 1＝21313或⎩⎨⎧x 2＝－31313y 2＝－21313， 所以e ＝(31313，21313)或(－31313，－21313)． [高考水平训练]1．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时点P 的坐标为(3，0)．答案：(3，0)2.如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度为|a ×b |＝|a |·|b |sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－3，则|a ×b |＝________．解析： 由于a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45， 所以|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝4.答案：43.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值． 解：由已知得|a |＝（3）2＋（－1）2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫322＝1， a·b ＝3×12－1×32＝0.∵x ⊥y ，∴x·y ＝0， ∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74， 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 4．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos 120°，∴－4＝|b |×4×(－12)，∴|b |＝2. 又a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝±6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6.∴cos θ＝－32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6；m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.。
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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必修4夯基达标1。
已知a =(1,—1)，b =（2，3），则a ·b 等于( )A.5B.4 C 。
—2 D.—1解析：a ·b =(1,—1)·（2，3)=2—3=-1。
答案：D2。
平面上有三个点A （2，2），M （1，3），N （7，k ）,若∠MAN=90°,则k 的值为（ ）A.6 B 。
7 C.8 D 。
9解析：因为AM =(-1,1），=（5,k —2），AM ·=0,所以—5+（k-2）=0,即k=7.选B. 答案：B3。
若a =（2，3），b =（-4,7）,则a 与b 方向的投影为 ( ） A.565 B.65 C.513 D 。
13 解析：a 在b 上的投影为｜a ｜cos<a ，b 〉=｜a ｜·5138217)4()7,4()3,2(||||||22⨯-=+--•=•=•b b a b a b a =565513=。
答案：A4.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(5，2），B （3,4),C （—1，—4）,则此三角形为( ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形 D 。
等腰直角三角形 解析：=（—2,2)， =(—4，-8）, =(-6，—6）， ∴AB ·AC =(—2，2）·(-6，-6)=12-12=0.∴∠CA B=90°。
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版必修4夯基达标1.在△ABC 中，若BC =a ，CA =b ,AB =c ,且a ·b =b ·c =c ·a ，则△ABC 的形状是（ ）A.等腰三角形 B 。
直角三角形C 。
等边三角形D 。
以上三项均不正确解析:a ·b =b ·c 可得b (a —c ）=·（+）=0，即AC 垂直于对应中线，同理可得△ABC 三边分别对应垂直于其边上的中线，故△ABC 为等边三角形。
答案：C2。
已知a ,b ,c 为任意向量，m∈R ,则下列等式不一定成立的是（ ）A 。
(a +b ）+c =a +(b +c ) B.（a +b ）·c =a ·c +b ·cC 。
m （a +b )=m a +m bD 。
（a ·b ）·c =a ·（b ·c )解析：D 项式中,a ·b ，b ·c 是数量,而a ,c 方向也未必一致.所以不一定成立,即向量数量积不满足结合律.答案：D3。
向量a ，b 满足（a -b )·（2a +b )=-4，且｜a |=2,｜b ｜=4，则a 与b 夹角的余弦值等于____________.解析：（a -b ）(2a +b ）=2a 2-b 2-a ·b=2×22—42—2×4c os 〈a ,b >=-4。
§2。
4 向量的数量积(二)课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），则a·b＝____________.即两个向量的数量积等于它们________________________．2．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1,y1)，则｜a|＝________。
（2)两点间距离公式：若A（x1,y1），B（x2，y2），则|错误!|＝________________.3．向量的夹角公式设两非零向量a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a与b的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________.4．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2)，则a⊥b⇔________________。
一、填空题1．已知向量a＝（1，n），b＝(－1，n），若2a－b与b垂直，则|a｜＝________。
2．已知a＝（3，错误!)，b＝（1,0)，则（a－2b）·b＝______.3．若平面向量a＝（1，－2)与b的夹角是180°，且｜b｜＝4错误!，则b＝________.4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0），|b|＝1，则|a＋2b|＝________.5．若a＝（2，3)，b＝（－4，7),则a在b方向上的投影为______．6．a,b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b夹角的余弦值为________．7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2,－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥(a＋b），则c＝________.8．已知向量a＝(2，1），a·b＝10，|a＋b|＝5错误!，则|b｜＝________.9．已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．10．已知a＝(－2，－1），b＝(λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．二、解答题11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.（1)求a的坐标；(2）若c＝(2，－1），求a(b·c)及(a·b）c.12．已知三个点A(2,1),B（3，2），D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；（2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a＝（1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在错误!变动时，a的范围是________．14．若等边三角形ABC的边长为2错误!,平面内一点M满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!·错误!＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．§2。
高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课后导练 苏教版必修4基础达标1.设a =（5，y ）,b =(-6,-4)，且a ·b =-2,则y 等于（ ）A.-5B.-7C.5D.7解析：a ·b =-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（ ）①a ⊥b ⇔a ·b =0 ②若a ·b =0且a ≠0,则b =0 ③若a ≠0,b ≠0，则|a ·b |=|a |·|b | ④当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC 中，=a ,=b ,且a ·b ＜0，则△ABC 是______________三角形（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a ·b =|a ||b |cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC 是钝角三角形.答案：C4.若向量a ⊥b ，则一定有（ ）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a +b |=|a |-|b |C.|a +b |=|a -b |D.|a -b |=|a |+|b |解析：∵a ⊥b ，由平行四边形法则知，以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴|a +b |=|a -b |. 答案：C5.已知|m |=10,|n |=12,且(3m )·(51n )=-36，则m 与n 的夹角是（ ） A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由(3m )·(51n )=-36,得m ·n =-60. 即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-21,θ=120°. 答案：B6.设e 1,e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e 1-e 2)·(-3e 1+2e 2)等于（ ） A.-8 B.29 C.29- D.8 解析：（2e 1-e 2）·(-3e 1+2e 2)=-6e 12-2e 22+7e 1·e 2=-6-2+7×1×1×21=-29.∴选C. 答案：C7.已知a =（-1，3），b =（2，-1），且（k a +b ）⊥(a -2b )，则k 的值为______________.解析：∵(k a +b )⊥(a -2b ),∴(k a +b )·（a -2b ）=0.而k a ＋b =(2-k,3k-1),a -2b =(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=43. 答案：43 8.A 、B 、C 三点的坐标分别为A （1，0），B （3，1），C （2，0），a =,b =,则a 与b 的夹角是________________.解析：∵a ==(-1,-1),b ==(-1,0).∴a ·b =1,|a |=2,|b |=1,cosθ=22||||=•b a b a .又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .解：∵a ∥b ，∴a 与b 同向或反向.若a 与b 同向，则θ=0°.a ·b =|a ||b |cos0°=6×8×1=48;若a 与b 反向，则θ=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a |=32,b =(2,-3),且a ⊥b ，求a 的坐标.解：设a =(x,y).由|a |=132，得x 2+y 2=52.又由a ⊥b ，得2x-3y=0.∴⎩⎨⎧=-=+.032,5222y x y x解得⎩⎨⎧==4,6y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,6y x故a =(6,4)或a =(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（）A.（-3，429-） B.(3,429) C.(-3,429) D.(3,429-)解析：设C （x,y ），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3. 又BC ⊥AB，∴3x+4(y -5)=0,y=429.∴C(-3,429).答案：C12.平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7,k ），若∠MAN=90°，则k 的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）. ∵AM ⊥AN , ∴AM ·AN =0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则△A BC 的形状是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵AB =（1，1），AC =（-3，3）， ∴·=-3+3=0.∴AB ⊥AC ，选A.答案：A14.若a =(1,m),b =(n,2),a ⊥b ，且|a |2+|b |2=6，则m 2=____________,n 2=____________. 解析：∵a ⊥b ,∴a ·b =0.2m+n=0.∵|a |2+|b |2=6,∴m 2+1+n 2+4=6,m 2+n 2=1,m 2=51,n 2=54. 答案：51 5415.已知向量a =（4，3），b =（-1，2）.（1）求a 与b 的夹角θ的余弦值.（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：（1）a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552555||||==•b a b a .(2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b )∴(a -λb )·（2a +b ）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952.拓展探究16.已知平面内两向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a +b )⊥(a -b );(2)若两个向量k a +b 与a -k b 的模相等（k≠0），求证：a ⊥b .证明：（1）a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β),a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β).∴(a +b )·(a -b )=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).（2）∵(k a +b )2=|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2,|a -k b |2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,又|k a +b |=|a -k b |,∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,(k 2-1)a 2+4k a ·b +(1-k 2)b 2=0.又|a |=|b |=1,∴4k a ·b =0.∵k≠0,∴a ·b =0,∴a ⊥b .。
2.4向量的数量积(三)一、填空题1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥（a ＋b )，则c ＝________.5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________．6．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.7．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.8．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．二、解答题9．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．10．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．11．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 的夹角为45°，求实数m 的值．三、探究与拓展12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．答案1．12 2.－173.2 34.－79，－735.π46．(－4,8)7.5 8.6559．解(1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝－12＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴（a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 10．解∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 11．解∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵｜c |＝1，|d |＝1－2m 2＋2－3m 2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m1－2m2＋2－3m 2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 12．(1)证明∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴x ＋1＝1，y －4＝1，得x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
课时作业(二十四) [第24讲 平面向量的数量积及应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________.2．若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.3．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．4．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a, 则△ABC 的形状是____________．能力提升5．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝________.6．[2011·惠州三模] 已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________．7．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．8．[2011·苏北四市一调] 设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．9．[2011·镇江统考] 已知Rt △ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________. 10．平面向量a ＝(x ，y )，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(1,1)，d ＝(2,2)，若a·c ＝b·d ＝1，则这样的向量a 有________个．11．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________． 12．[2011·南通一模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．13．(8分)[2011·南通一模] 已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2.(1)求a ·b 的值；(2)求|a ＋b |的值．14．(8分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．15．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．16．(12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，求函数f (A )的取值范围．课时作业(二十四)【基础热身】1．－1 [解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，因为λa ＋b 与a 垂直，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，故λ＝－1.2．7 [解析] |5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝25＋10×1×3×12＋9＝7. 3．[0,1] [解析] ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b |∈[0,1]．4．等边三角形 [解析] 由a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，a ＋b ＋c ＝0，得AB ＝BC ＝CA ，所以△ABC 为等边三角形．【能力提升】5．－5 [解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.6．120° [解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，故θ＝120°. 7.655 [解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 8.π3[解析] 由a ，b ，c 是单位向量，模都为1，a ＝b ＋c ⇒a －b ＝c ⇒(a －b )2＝c 2⇒a 2＋b 2－2a ·b ＝c 2⇒a ·b ＝12⇒|a ||b |cos θ＝12⇒cos θ＝12⇒θ＝π3. 9．1 [解析] 由OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →－OA →＝12(AB →＋AC →)⇒AP →＝12(AB →＋AC →)⇒|AP →|＝12|(AB →＋AC →)|＝12AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2. AB →⊥AC →⇒AB →·AC →＝0，AB →2＋AC →2＝BC →2，BC ＝2.故|AP →|＝1.10．1 [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝12，其中x 2＋y 2＝12表示以原点O 为圆心，22为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的a 只有一个解．11.2 [解析] 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝1时取得．12．(－1，－3) [解析] 法一：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)． 法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y 510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1， y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．13．[解答] (1)由|a －b |＝2，得|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a·b ＝4，∴a·b ＝12. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6， ∴|a ＋b |＝ 6.14．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1，λ＝k . ∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 15．[解答] (1)方法一：由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，则E (0,1)，又E (0,1)为A 、D 的中点，所以D (1,4)．故所求的两条对角线的长分别为|BC →|＝42，|AD →|＝210；(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 16．[解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵角A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.。
高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积例题与探究苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积例题与探究苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学第2章平面向量 2。
4 向量的数量积例题与探究苏教版必修4 典题精讲例 1 若向量a，b，c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b｜=1，|c|=4，则a·b+b·c+a·c=_____________。
思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件,得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式求解.方法一：∵a+b+c=0,∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0。
∴2(a·b+b·c+a·c)=—(a2+b2+c2）=—（|a|2+|b|2+｜c｜2）=-(32+12+42）=-26.∴a·b+b·c+a·c=—13.方法二：根据已知条件可知|c｜=｜a|+|b|,c=-a—b,所以a与b同向，c与a+b反向。
所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3—4-12=-13。
答案：-13绿色通道:由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=|a|2,（a+b）（c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d,(a+b)2=a2+2a·b+b2，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c。
