2020高考高中数学400道好题详细解析(51-102)
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2020 年高考数学经典题题精选三角函数解答题求函数 y=sinx+cosx+1的最 及取得最 相x 的 .解:由 y=sinx +cosx +1得 y=2 sin(x+4 )+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 ∴ y max =2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y min =- 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由 x+4=2k π+2得 x=2k π+(k ∈ Z)即 x=2k π+4(k ∈ Z) , y取最大 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯ 94分由 x+=2k π-2即 x=2k π- 3y 取最小 1-2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分441.已知函数 f ( x)2a cos 2 x b sin x cos x, 且 f (0) 2, f (3 ) 1 3 .22( 1)求 f ( x ) 的最大 与最小 ;( 2)若 f ( ) 0, a (0,2 ), 求 的 .解:(1)由 f (0)=2 a =2,得 a =1 , f ( )1 a3 , 2 ⋯⋯⋯⋯( 3 分)243∴ f ( x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2 x +cos2 x +1=2 sin(2x) 1 ⋯⋯⋯⋯( 5 分)4∴ f ( x ) 的最大 是2 1,最小 是 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯( 6 分)( 2)∵ f () 0, 得 2 sin( 2) 1 0sin( 2) 2, . ⋯⋯( 8 分)44224 2k或 2 4 2k5 , k Z44k或k, kZ(10分 )42( 0,2 ),2 或3 或 3 或 7 (12分 ).2 442.已知函数 f ( x)a sin x cos x3acos 2 x3 a b.(a0)2( 1) x R ,写出函数的 减区 ;( 2)x [0, ], f x3,求 数 a, b的 .( ) 的最小 是- 2,是大 是2解:( 1) f ( x)a(sin x cos x3 cos 2 x3 ) b2a (1sin 2x3 1 cos2 x3 ) b = a sin( 2x ) b ⋯⋯⋯⋯4 分22 23a0, x R, f ( x) 的 减区 是 [ k5 , k11]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯ 6 分12 12( 2)x [ 0, ] 2x[ 0, ] 2x3[ , 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分23 3sin( 2x) [ 3 ,1]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分32∴函数 f ( x) 的最小 是3 a b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2最大 a b 3 ⋯⋯⋯ 11 分解得 a 2,b 32 ⋯⋯ 12 分3.求函数 ysin 2 x sin xcos(6 x)的周期和 增区 .解ysin 2 x sin x(coscos x sin sin x)663sin 2x3sin x cos x3(1 cos2x) 3sin 2 x224 43 (3sin 2x 3 3 3) . ⋯⋯ 6 分44 cos2x)sin(2 x2 4423∴函数的周期T.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分25当2k ≤ 2x≤2k,即 k( k ∈ Z) 函数≤ x ≤ k235 21212增加,即函数的增区 是[ k] (k ∈Z) .⋯⋯ 12分, k12124.已知函数 f ( x)5sin x cos x 5 3 cos 2 x 5 32(Ⅰ)求 f(x) 的最小正周期;(Ⅱ)求 f(x) 的 增区 .解:(Ⅰ)f (x) 5sin x cos x5 3 cos 2 x5 325sin 2x 5 31cos2x5 3 2 225 sin 2x 5 3 cos2x25(sin 2x cos3 cos2x sin)35sin(2x3 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴最小正周期 T=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2(Ⅱ)由 意,解不等式22k2x32 2k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5得kxk( k Z )12125f ( x) 的 增区 是 [k k ]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分12 ,125.已知函数f ( x)3 2 cos 2 x 8sin4 x , 求 f ( )的定 域,判断它的奇偶性,并求其cos2xx域 .解: f ( x)32(1 sin 2 x) 8sin 4 x12sin 2 x 8sin 4 xcos 2xcos2x(1 4 sin 2 x)(1 2 sin 2 x)4 sin 2x1.分cos2x( 4 )由 cos2x0,得 2x k, 解得 x k , k z224所以函数的定义域为 { x | x R, 且 xk , k 分24因为 的定义域关于原点对称 , 且 f ( x)f ( x),f ( x)是偶函数分f ( x).(9 )又f ( x) 4sin 2 x 1,且 xk , kz2 4f ( x)的值域为 { y |1y 5,且 y 3}.(12分 )6.已知函数f ( ) 2sin 2x sin 2 x 1,x.xR( 1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合;( 2)在 定的坐 系中画出函数f (x) 在 [0, ] 上的 象 .解:( I ) f ( x)2sin 2 x sin 2x 1sin 2x(1 2sin 2 x)sin 2 x cos2x=2 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x,所以当 2x2k, 即xk 3 (k Z ) , f ( x) 的最大 2 .R428即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3 , k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8( II ) 象如下 所示: ( 卷 注意以下3 点)1.最小 f (3)2 ,8最小 f (7)2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分82.增区 [ 0,3 ], [ 7 , ];3 8 78减区 [, ] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分8 83. 象上的特殊点: ( 0,- 1),(4 ,1),(,1), (3, 1), ( ,1) ⋯⋯⋯ 14 分24[ 注: 象上的特殊点 两个扣1 分,最多扣2 分 ]7.已知函数 ysinx3 cos x, x R.22( 1)求 y 取最大 相 的x 的集合;( 2) 函数的 象 怎 的平移和伸 可以得到y sin x( xR) 的 象 .解: y 2sin(x). ⋯⋯ 4 分23(1)当y 最大2.x { x | x 4k3 , k Z} ⋯⋯ 8 分( 2)把 y2sin(x3) 象向右平移2 ,再把每个点的 坐村 原来的 1,横坐232不 . 然后再把每个点的横坐 原来的1, 坐 不 , 即可得到 y sin x 的2象⋯⋯ 12 分8.已知函数f ( ) 4 sin 2 x 2sin 2 x 2,x .xR( 1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合;( 2)求 :函数f (x) 的 象关于直x8称( 1)解: f (x) 2sin 2x 2sin 2x 22 sin 2x 2(12 sin 2 x) 2 sin 2x 2cos 2x=22 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分xR ,所以当 2x2k ,即x k3Z ) , f ( x) 的最大 2 2 .4(k28即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3, k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8( 2) 明:欲 函数f ( x) 的 象关于直x称,只要 明 于任意x R ,8有 f (x) f (8x) 成立即可 .8f (x) 2 2 sin[2(x)4] 2 2 sin(2x)2 2 cos 2x;882f (x) 22 sin[ 2(8x)]2 2 sin(2 x) 2 2 cos2 x.842f (x) f (8x).8从而函数 f ( x) 的 象关于直 x称 . ⋯⋯ 14 分8[ 注:如果学生用f () 2 2( f ( x))min ;8或求出所有的 称 方程,然后x是其中一条, ( 2)中扣去 2 分]89. 已知定 在区[,2] 上的函数 yf (x) 的 象关于直x称,36当 x [2 ] ,函数 f (x) A sin( x) ( A 0 ,0 ,) ,其 象如,2632所示 .y(1)2] 的表达式;求函数 y f ( x) 在 [,13(2) 求方程 f ( x)2?的解 .?o 6?2xx6( 1)当x[, 2 ]时,函数 f ( x)Asin(x) ( A 0 ,0 ,22),观察图象易得:63A 1 , 1 ,3,即 x[6,2] 时,函数 f ( x)sin( x3),由函数 y f ( x) 的图象3关于直线x6对称得, x[,6] 时,函数 f ( x)sin x .∴ f ( x)sin(x 3 )x[ 6,23].sin x x[, 6 )( 2 )当x[, 2]时,由 sin( x3)2得, x34或3x12或x5;当632412 x[,6 ] 时,由sin x22得, x34或 x4. ∴方程 f (x)22的解集为 {34, 4 ,12,125}10.已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为R,(1)当0 时,求f (x)的单调区间;( 2)若(0, ),且 sin x0,当为何值时, f ( x) 为偶函数.解:(1)0 时, f (x)sin x cos x 2 sin( x)4当 2k x2k,即2k 3x2k( k Z )时f (x)24244单调递增;当 2k2x42k3,即 2k4x2k5( k Z )时f (x) 24单调递减;( 2)若f(x) 偶函数,则 sin( x)c os( x)sin(x)cos(x)即 sin( x)sin( x)cos(x)cos( x) =0 2sin x cos2sin xsin02sin x(cos sin)02 cos()04Q(0,)4,此时, f (x) 是偶函数.。
2 2c :xy、选择题22 c cc1.(重庆理8)在圆x y 2x 6y 0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别是物线顶点的坐标为五、解析几何AC和BD,则四边形ABCDW 面积为A. 5.2B. 10.2C. 15,2 D . 20.22 2 C 1 :与 戛 1(a> b>0) C 1:x 2 2.(浙江理8)已知椭圆 a b 与双曲线 2匕14有公共的焦点,C1的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于 A ,B两点,若C 1恰好将线段AB 三等分, 2aA.B. a 213C .b2iD. b 23.(四川理 210)在抛物线y x ax5(a 乒0)上取横坐标为 X i2的两点,过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2 5y 236相切,则抛A. (2, 9) B . (°, 5)C. (2,9)D. (1, 6)【解析】由知的割线的坐标(4,11 4a),(2,2 a 1),K 2a,设直线方程为4. (a 2)x2y xy (a (陕西理 2A . y5.(山东36 b 2b,则 51 (2 a)2ax 5b 6 a 2)x b2)设抛物线的顶点在原点, 8x B . y 28x理8 )已知双曲线(2, 9)准线方程为2C . y2 2 2,2a b4x 1(a> 0, 2,则抛物线的方程是D . y2 4xb> 0)的两条渐近线均和圆2 2 c:x y 6x 5 0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为1或3A. 222或皂D. 3 2cos AFB =D.(B. 3 或 22x2y_ 12x2 y_2 x 2匕1 2x2工154B. 4 5C. 3 6D. 63F案】 A(全国新课标理7)已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与C 交于A. 6. A, B 两点,|ABI 为C 的实轴长的2倍,C 的离心率为(A)抵 (B)后(C) (D) 37.(全国大纲理 10)已知抛物线 2C : y4x的焦点为F,直线y2x 4与C 交于A, B 两点.则A. 53B. 5C.D.8.(江西理 9)若曲线C I:2x与曲线C2:y(y mx m ) 0有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是A.(B.,0) U (0,C.[ 9.(湖南理 5) 设双曲线y9的渐近线方程为3x 2y 0,则a 的值为A. 4【答案】CD. 110.(湖北理 4)将两个顶点在抛物线2px(p °)上, 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0【答案】C11.(福建理 n, 7) PF 1 : F 1F 2 : 则B. n=1 C .n=2 D. n设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为PF 2=4:3:2,则曲线r 的离心率等于F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足【答案】A12.(北京理8)设A。
6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线的离心率是 .7.已知y =f (x )是奇函数,当8.已知=,则2sin ()4απ+23sin10.将函数的图象向右平移πsin(32)4y x =﹢轴的方程是 .11.设{a n }是公差为d 的等差数列,14.在平面直角坐标系xOy 中,已知,A 3(0)2P ,满足,则△PAB 面积的最大值是 PA PB =16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为sin C(1)求的值;∠(2)在边BC上取一点D,使得cos ADC17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底OO'O上,桥AB与MN平行,为铅垂线(h OO'的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式1(1)求的周长;12AF F △(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆(3)设点M 在椭圆E 上,记与OAB △MAB △标.记64253()1),28(t t t t t ϕ-++=≤≤则恒成立,53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=所以在上是减函数,则,即.()t ϕ[1, 2](2)()(1)t ϕϕϕ≤≤2()7t ϕ≤≤所以不等式有解,设解为,()*12x x x ≤≤因此.217n m x x ∆-≤-=≤②当时,01t <<.432()()11 34241f h t t t t ---=+---设,432 = 342(41)t t t t v t +---322()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令,得.()0v t '=33t =当时,,是减函数;33(0)t ∈,()0v t '<()v t 当时,,是增函数.(1)33t ∈,()0v t '>()v t ,,则当时,.(0)1v =-(1)0v =01t <<()0v t <(或证:.)2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<则,因此.(1)(1)0f h ---<1()m n -∉,因为,所以.22m n ⊆[][-,,]217n m -≤+<③当时,因为,均为偶函数,因此也成立.20t -≤<()f x ()g x 7n m -≤综上所述,.7n m -≤20.解:(1)因为等差数列是“λ~1”数列,则,即,{}n a 11n n n S S a λ++-=11n n a a λ++=也即,此式对一切正整数n 均成立.1(1)0n a λ+-=若,则恒成立,故,而,1λ≠10n a +=320a a -=211a a -=-这与是等差数列矛盾.{}n a 所以.(此时,任意首项为1的等差数列都是“1~1”数列)1λ=(2)因为数列是“”数列,*{}()n a n ∈N 3~23所以,即.1133n n n S S a ++-=1133n n n n S S S S ++-=-因为,所以,则.0n a >10n n S S +>>113113n n n nS S S S ++-=-令,则,即.1n n n S b S +=23113n nb b -=-221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->解得,即,也即,2n b =12n nS S +=14n n S S +=所以数列是公比为4的等比数列.{}n S 因为,所以.则111S a ==14n n S -=21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩(3)设各项非负的数列为“”数列,*{}()n a n ∈N ~3λ则,即.11133311n n n S S a λ++-=33311n n n n S S S S λ++-=-因为,而,0n a ≥11a =所以,则.10n n S S +≥>31311=1n n n nS SS S λ++--令,则,即.(*)31=n nn S S c +3311( 1)n n n c c c λ-=-≥333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥①若或,则(*)只有一解为,即符合条件的数列只有一个.0λ≤=1λ=1n c {}n a (此数列为1,0,0,0,…)②若,则(*)化为,1λ>3232(1)(1)01n nn c c c λλ+-++=-因为,所以,则(*)只有一解为,1n c ≥3232101nn c c λλ+++>-=1n c 即符合条件的数列只有一个.(此数列为1,0,0,0,…){}n a ③若,则的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,01λ<<3232101nn c c λλ+++=-则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ).所以或.1n n S S +=31n n S t S +=由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列有无数多个,则{}n S {}n S 对应的有无数多个.{}n a 综上所述,能存在三个各项非负的数列为“”数列,{}n a ~3λ的取值范围是.λ01λ<<。
精选全文完整版专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2020年1.(2020•北京卷)在ABC 中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求: (Ⅰ)a 的值:(Ⅱ)sin C 和ABC 的面积.条件①:17,cos 7c A ==-;条件②:19cos ,cos 816A B ==.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【答案】选择条件①(Ⅰ)8(Ⅱ)sin C =, S =选择条件②(Ⅰ)6(Ⅱ)sin C =, S =.2.(2020•全国2卷)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C. (1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.【答案】(1)23π;(2)3+3.(2020•全国3卷)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.(2020•江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,2,45a c B ===︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.【答案】(1)5sin C =(2)2tan 11DAC ∠=.5.(2020•新全国1山东)在①3ac =sin 3c A =,③3=c b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC ,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 3sin A B ,6C π=,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】详见解析6.(2020•天津卷)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知22,5,13a b c === (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值; (Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ)4Cπ;(Ⅱ)13sin 13A =;(Ⅲ)172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.(2020•浙江卷)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin b A =.(I )求角B ;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.【答案】(I )3B π=;(II )13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- .(Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos2=C 1=BC ,5=AC ,则=ABA .BCD .10.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C = A .2π B .3π C .4π D .6π 11.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是A .2a b =B .2b a =C .2A B =D .2B A = 12.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =A .1B .2C .3D .413.(2016年全国III )在ABC △中,π4B,BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C .1010 D .3101014.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .15.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________.16.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.17.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度。
2020年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,4},集合B={2,4,5},则A∩B=.2.(4分)计算:=.3.(4分)已知复数z=1﹣2i(i为虚数单位),则|z|=.4.(4分)已知函数f(x)=x3,f′(x)是f(x)的反函数,则f′(x)=.5.(4分)已知x、y满足,则z=y﹣2x的最大值为.6.(4分)已知行列式=6,则=.7.(5分)已知有四个数1,2,a,b,这四个数的中位数是3,平均数是4,则ab=.8.(5分)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则=.9.(5分)从6个人挑选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第三天安排2个人,则共有种安排情况.10.(5分)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆C 于P、Q两点(点P在第二象限),若点Q关于x轴对称点为Q′,且满足PQ⊥FQ′,求直线l的方程是.11.(5分)设a∈R,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件:(1)对任意的x0∈R,f(x0)的值为x0或x02;(2)关于x的方程f(x)=a无实数解,则a的取值范围是.12.(5分)已知,,,,…,(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量,满足||=1,且|﹣|∈{1,2}(其中i=1,2,j=1,2,…,k),则k的最大值是.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)下列等式恒成立的是()A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥﹣2ab C.a+b≥2D.a2+b2≤﹣2ab 14.(5分)已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是()A.B.C.D.15.(5分)在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点P到A1D1的距离为3,P到AA1的距离为2,则过点P且与A1C平行的直线相交的面是()A.AA1B1B B.BB1C1C C.CC1D1D D.ABCD 16.(5分)命题p:存在a∈R且a≠0,对于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a);命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立;命题q2:f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0,则下列说法正确的是()A.只有q1是p的充分条件B.只有q2是p的充分条件C.q1,q2都是p的充分条件D.q1,q2都不是p的充分条件三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)已知ABCD是边长为1的正方形,正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱.(1)求该圆柱的表面积;(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1,求线段CD1与平面ABCD所成的角.18.(14分)已知函数f(x)=sinωx,ω>0.(1)f(x)的周期是4π,求ω,并求f(x)=的解集;(2)已知ω=1,g(x)=f2(x)+f(﹣x)f(﹣x),x∈[0,],求g(x)的值域.19.(14分)在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间,车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为v=,x为道路密度,q为车辆密度.v=f(x)=.(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围;(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.20.(16分)已知双曲线Γ1:﹣=1与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(x A,y A)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|x A|的部分.(1)若x A=,求b的值;(2)当b=,Γ2与x轴交点记作点F1、F2,P是曲线Γ上一点,且在第一象限,且|PF1|=8,求∠F1PF2;(3)过点D(0,+2)斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点,记为M、N,用b表示•,并求•的取值范围.21.(18分)已知数列{a n}为有限数列,满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|,则称{a n}满足性质P.(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P,请说明理由;(2)若a1=1,公比为q的等比数列,项数为10,具有性质P,求q的取值范围;(3)若{a n}是1,2,3,…,m的一个排列(m≥4),{b n}符合b k=a k+1(k=1,2,…,m﹣1),{a n}、{b n}都具有性质P,求所有满足条件的数列{a n}.2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,4},集合B={2,4,5},则A∩B={2,4} .【分析】由交集的定义可得出结论.【解答】解:因为A={1,2,3},B={2,4,5},则A∩B={2,4}.故答案为:{2,4}.【点评】本题考查交集的定义,属于基础题.2.(4分)计算:=.【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式,可得所求值.【解答】解:====,故答案为:.【点评】本题考查数列的极限的求法,注意运用极限的运算性质,考查运算能力,是一道基础题.3.(4分)已知复数z=1﹣2i(i为虚数单位),则|z|=.【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解.【解答】解:由z=1﹣2i,得|z|=.故答案为:.【点评】本题考查复数模的求法,是基础的计算题.4.(4分)已知函数f(x)=x3,f′(x)是f(x)的反函数,则f′(x)=x,x∈R.【分析】由已知求解x,然后把x与y互换即可求得原函数的反函数.【解答】解:由y=f(x)=x3,得x=,把x与y互换,可得f(x)=x3的反函数为f﹣1(x)=.故答案为:.【点评】本题考查函数的反函数的求法,注意反函数的定义域是原函数的值域,是基础题.5.(4分)已知x、y满足,则z=y﹣2x的最大值为﹣1 .【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图阴影部分,化目标函数z=y﹣2x为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,联立,解得,即A(1,1).z有最大值为1﹣2×1=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.6.(4分)已知行列式=6,则= 2 .【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可.【解答】解:行列式=6,可得3=6,解得=2.故答案为:2.【点评】本题考查行列式的应用,代数余子式的应用,是基本知识的考查.7.(5分)已知有四个数1,2,a,b,这四个数的中位数是3,平均数是4,则ab=36 .【分析】分别由题意结合中位数,平均数计算方法得a+b=13,=3,解得a,b,再算出答案即可.【解答】解:因为四个数的平均数为4,所以a+b=4×4﹣1﹣2=13,因为中位数是3,所以=3,解得a=4,代入上式得b=13﹣4=9,所以ab=36,故答案为:36.【点评】本题考查样本的数字特征,中位数,平均数,属于基础题.8.(5分)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则=.【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10=a9,得a1=﹣d,在利用等差数列前n 项和公式化简即可得出结论.【解答】解:根据题意,等差数列{a n}满足a1+a10=a9,即a1+a1+9d=a1+8d,变形可得a1=﹣d,所以====.故答案为:.【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用,注意分析a1与d的关系,属于基础题.9.(5分)从6个人挑选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第三天安排2个人,则共有180 种安排情况.【分析】根据题意,由组合公式得共有排法,计算即可得出答案.【解答】解:根据题意,可得排法共有=180种.故答案为:180.【点评】本题考查组合数公式,解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式,属于基础题.10.(5分)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限),若点Q关于x轴对称点为Q′,且满足PQ⊥FQ′,求直线l的方程是x+y﹣1=0 .【分析】求出椭圆的右焦点坐标,利用已知条件求出直线的斜率,然后求解直线方程.【解答】解:椭圆C:+=1的右焦点为F(1,0),直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限),若点Q关于x轴对称点为Q′,且满足PQ⊥FQ′,可知直线l的斜率为﹣1,所以直线l的方程是:y=﹣(x﹣1),即x+y﹣1=0.故答案为:x+y﹣1=0.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用,直线方程的求法,是基本知识的考查.11.(5分)设a∈R,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件:(1)对任意的x0∈R,f(x0)的值为x0或x02;(2)关于x的方程f(x)=a无实数解,则a的取值范围是(﹣∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).【分析】根据条件(1)可知x0=0或1,进而结合条件(2)可得a的范围【解答】解:根据条件(1)可得x0=0或1,又因为关于x的方程f(x)=a无实数解,所以a≠0或1,故a∈(﹣∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),故答案为:(﹣∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,属于基础题.12.(5分)已知,,,,…,(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量,满足||=1,且|﹣|∈{1,2}(其中i=1,2,j=1,2,…,k),则k的最大值是 6 .【分析】设,,结合向量的模等于1和2画出图形,由圆的交点个数即可求得k的最大值.【解答】解:如图,设,,由||=1,且|﹣|∈{1,2},分别以A1,A2为圆心,以1和2为半径画圆,其中任意两圆的公共点共有6个.故满足条件的k的最大值为6.故答案为:6.【点评】本题考查两向量的线性运算,考查向量模的求法,正确理解题意是关键,是中档题.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)下列等式恒成立的是()A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥﹣2ab C.a+b≥2D.a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用(a+b)2≥0恒成立,可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立,通过举反例可排除ACD.【解答】解:A.显然当a<0,b>0时,不等式a2+b2≤2ab不成立,故A错误;B.∵(a+b)2≥0,∴a2+b2+2ab≥0,∴a2+b2≥﹣2ab,故B正确;C.显然当a<0,b<0时,不等式a+b≥2不成立,故C错误;D.显然当a>0,b>0时,不等式a2+b2≤﹣2ab不成立,故D错误.故选:B.【点评】本题考查了基本不等式的应用,考查了转化思想,属基础题.14.(5分)已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是()A.B.C.D.【分析】选项的参数方程,化为普通方程,判断即可.【解答】解:的普通方程为:,即4x+3y﹣1=0,不正确;的普通方程为:,即3x+4y+1=0,正确;的普通方程为:,即4x+3y﹣1=0,不正确;的普通方程为:,即3x+4y﹣7=0,不正确;故选:B.【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,是基本知识的考查.15.(5分)在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点P到A1D1的距离为3,P到AA1的距离为2,则过点P且与A1C平行的直线相交的面是()A.AA1B1B B.BB1C1C C.CC1D1D D.ABCD【分析】由图可知点P在△AA1D内,过P作EF∥A1D,且EF∩AA1于E,EF∩AD于F,在平面ABCD中,过F作FG∥CD,交BC于G,由平面与平面平行的判定可得平面EFG ∥平面A1DC,连接AC,交FG于M,连接EM,再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C,在△EFM中,过P作PN∥EM,且PN∩FM于N,可得PN∥A1C,由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD.【解答】解:如图,由点P到A1D1的距离为3,P到AA1的距离为2,可得P在△AA1D内,过P作EF∥A1D,且EF∩AA1于E,EF∩AD于F,在平面ABCD中,过F作FG∥CD,交BC于G,则平面EFG∥平面A1DC.连接AC,交FG于M,连接EM,∵平面EFG∥平面A1DC,平面A1AC∩平面A1DC=A1C,平面A1AC∩平面EFM=EM,∴EM∥A1C.在△EFM中,过P作PN∥EM,且PN∩FM于N,则PN∥A1C.∵线段FM在四边形ABCD内,N在线段FM上,∴N在四边形ABCD内.∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD.故选:D.【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.16.(5分)命题p:存在a∈R且a≠0,对于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a);命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立;命题q2:f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0,则下列说法正确的是()A.只有q1是p的充分条件B.只有q2是p的充分条件C.q1,q2都是p的充分条件D.q1,q2都不是p的充分条件【分析】对于命题q1:当a>0时,结合f(x)单调递减,可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a),命题q1是命题p的充分条件.对于命题q2:当a=x0<0时,f(a)=f(x0)=0,结合f(x)单调递增,推出f(x+a)<f(x),进而f(x+a)<f(x)+f (a),命题q2都是p的充分条件.【解答】解:对于命题q1:当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时,当a>0时,此时x+a>x,又因为f(x)单调递减,所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时,所以f(x)<f(x)+f(a),所以f(x+a)<f(x)+f(a),所以命题q1⇒命题p,对于命题q2:当f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0,当a=x0<0时,此时x+a<x,f(a)=f(x0)=0,又因为f(x)单调递增,所以f(x+a)<f(x),所以f(x+a)<f(x)+f(a),所以命题p2⇒命题p,所以q1,q2都是p的充分条件,故选:C.【点评】本题考查命题的真假,及函数的单调性,关键是分析不等式之间关系,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)已知ABCD是边长为1的正方形,正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱.(1)求该圆柱的表面积;(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1,求线段CD1与平面ABCD所成的角.【分析】(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成,依次求出圆面和矩形的面积,相加即可;(2)先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB,连接CD1,则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角,再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可.【解答】解:(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成,∴S=2×π×12+2π×1=4π.故该圆柱的表面积为4π.(2)∵正方形ABC1D1,∴AD1⊥AB,又∠DAD1=,∴AD1⊥AD,∵AD∩AB=A,且AD、AB⊂平面ADB,∴AD1⊥平面ADB,即D1在面ADB上的投影为A,连接CD1,则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角,而cos∠D1CA==,∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos.【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题,熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键,考查学生的空间立体感和运算能力,属于基础题.18.(14分)已知函数f(x)=sinωx,ω>0.(1)f(x)的周期是4π,求ω,并求f(x)=的解集;(2)已知ω=1,g(x)=f2(x)+f(﹣x)f(﹣x),x∈[0,],求g(x)的值域.【分析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果.(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域.【解答】解:(1)由于f(x)的周期是4π,所以ω=,所以f(x)=sin.令sin,故或,整理得或.故解集为{x|或,k∈Z}.(2)由于ω=1,所以f(x)=sin x.所以g(x)===﹣=﹣sin(2x+).由于x∈[0,],所以.,故,故.所以函数g(x)的值域为[﹣.【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.19.(14分)在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间,车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为v=,x为道路密度,q为车辆密度.v=f(x)=.(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围;(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.【分析】(1)易知v越大,x越小,所以v=f(x)是单调递减函数,k>0,于是只需令,解不等式即可;(2)把x=80,v=50代入v=f(x)的解析式中,求出k的值,利用q=vx可得到q 关于x的函数关系式,分段判断函数的单调性,并求出各自区间上q的最大值,取较大者即可.【解答】解:(1)∵v=,∴v越大,x越小,∴v=f(x)是单调递减函数,k>0,当40≤x≤80时,v最大为85,于是只需令,解得x>3,故道路密度x的取值范围为(3,40).(2)把x=80,v=50代入v=f(x)=﹣k(x﹣40)+85中,得50=﹣k•40+85,解得k=.∴q=vx=,当0<x<40时,q单调递增,q<100×40﹣135×≈4000;当40≤x≤80时,q是关于x的二次函数,开口向下,对称轴为x=,此时q有最大值,为>4000.故车辆密度q的最大值为.【点评】本题考查分段函数的实际应用,考查学生分析问题和解决问题的能力,以及运算能力,属于中档题.20.(16分)已知双曲线Γ1:﹣=1与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(x A,y A)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|x A|的部分.(1)若x A=,求b的值;(2)当b=,Γ2与x轴交点记作点F1、F2,P是曲线Γ上一点,且在第一象限,且|PF1|=8,求∠F1PF2;(3)过点D(0,+2)斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点,记为M、N,用b表示•,并求•的取值范围.【分析】(1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程,以及x A=,解方程可得b;(2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理,计算可得所求角;(3)设直线l:y=﹣x+,求得O到直线l的距离,判断直线l与圆的关系:相切,可设切点为M,考虑双曲线的渐近线方程,只有当y A>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,解不等式可得b的范围,由向量投影的定义求得•,进而得到所求范围.【解答】解:(1)由x A=,点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点,联立,解得y A=,b=2;(2)由题意可得F1,F2为曲线Γ1的两个焦点,由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=8,2a=4,所以|PF2|=8﹣4=4,因为b=,则c==3,所以|F1F2|=6,在△PF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2===,由0<∠F1PF2<π,可得∠F1PF2=arccos;(3)设直线l:y=﹣x+,可得原点O到直线l的距离d==,所以直线l是圆的切线,设切点为M,所以k OM=,并设OM:y=x与圆x2+y2=4+b2联立,可得x2+x2=4+b2,可得x=b,y=2,即M(b,2),注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行,所以只有当y A>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,由,可得y A2=,所以有4<,解得b2>2+2或b2<2﹣2(舍去),因为为在上的投影可得,•=4+b2,所以•=4+b2>6+2,则•∈(6+2,+∞).【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质,考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立,以及向量的数量积的几何意义,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题.21.(18分)已知数列{a n}为有限数列,满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|,则称{a n}满足性质P.(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P,请说明理由;(2)若a1=1,公比为q的等比数列,项数为10,具有性质P,求q的取值范围;(3)若{a n}是1,2,3,…,m的一个排列(m≥4),{b n}符合b k=a k+1(k=1,2,…,m﹣1),{a n}、{b n}都具有性质P,求所有满足条件的数列{a n}.【分析】(1)根据定义,验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可;(2)假设公比q的等比数列满足性质p,可得:|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|,推出(q﹣1)q n﹣1[q n﹣1(q+1)﹣2]≥0,通过q≥1,0<q≤1时,﹣1≤q<0时:q<﹣1时,四种情况讨论求解即可.(3)设a1=p,分p=1时,当p=m时,当p=2时,当p=m﹣1时,以及P∈{3,4,…,m﹣3,m﹣2},五种情况讨论,判断数列{a n}的可能情况,分别推出{b n}判断是否满足性质P即可.【解答】解:(1)对于数列3,2,5,1,有|2﹣3|=1,|5﹣3|=2,|1﹣3|=2,满足题意,该数列满足性质P;对于第二个数列4、3、2、5、1,|3﹣4|=1,|2﹣4|=2,|5﹣4|=1.不满足题意,该数列不满足性质P.(2)由题意:|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|,可得:|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|,n∈{2,3,…,9},两边平方可得:q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1,整理可得:(q﹣1)q n﹣1[q n﹣1(q+1)﹣2]≥0,当q≥1时,得q n﹣1(q+1)﹣2≥0此时关于n恒成立,所以等价于n=2时,q(q+1)﹣2≥0,所以,(q+2)(q﹣1)≥0,所以q≤﹣2,或q≥1,所以取q≥1,当0<q≤1时,得q n﹣1(q+1)﹣2≤0,此时关于n恒成立,所以等价于n=2时,q (q+1)﹣2≤0,所以(q+2)(q﹣1)≤0,所以﹣2≤q≤1,所以取0<q≤1.当﹣1≤q<0时:q n﹣1[q n﹣1(q+1)﹣2]≤0,当n为奇数时,得q n﹣1(q+1)﹣2≤0,恒成立,当n为偶数时,q n﹣1(q+1)﹣2≥0,不恒成立;故当﹣1≤q<0时,矛盾,舍去.当q<﹣1时,得q n﹣1[q n﹣1(q+1)﹣2]≤0,当n为奇数时,得q n﹣1(q+1)﹣2≤0,恒成立,当n为偶数时,q n﹣1(q+1)﹣2≥0,恒成立;故等价于n=2时,q(q+1)﹣2≥0,所以(q+2)(q﹣1)≥0,所以q≤﹣2或q≥1,所以取q≤﹣2,综上q∈(﹣∞,﹣2]∪(0,+∞).(3)设a1=p,p∈{3,4,…,m﹣3,m﹣2},因为a1=p,a2可以取p﹣1,或p+1,a3可以取p﹣2,或p+2,如果a2或a3取了p﹣3或p+3,将使{a n}不满足性质P;所以{a n}的前5项有以下组合:①a1=p,a2=p﹣1;a3=p+1;a4=p﹣2;a5=p+2;②a1=p,a2=p﹣1;a3=p+1;a4=p+2;a5=p﹣2;③a1=p,a2=p+1;a3=p﹣1;a4=p﹣2;a5=p+2;④a1=p,a2=p+1;a3=p﹣1;a4=p+2;a5=p﹣2;对于①,b1=p﹣1,|b2﹣b1|=2,|b3﹣b1|=1,与{b n}满足性质P矛盾,舍去;对于②,b1=p﹣1,|b2﹣b1|=2,|b3﹣b1|=3,|b4﹣b1|=2与{b n}满足性质P矛盾,舍去;对于③,b1=p+1,|b2﹣b1|=2,|b3﹣b1|=3,|b4﹣b1|=1与{b n}满足性质P矛盾,舍去;对于④b1=p+1,|b2﹣b1|=2,|b3﹣b1|=1,与{b n}满足性质P矛盾,舍去;所以P∈{3,4,…,m﹣3,m﹣2},均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P.当p=1时,有数列{a n}:1,2,3,…,m﹣1,m满足题意.当p=m时,有数列{a n}:m,m﹣,…,3,2,1满足题意.当p=2时,有数列{a n}:2,1,3,…,m﹣1,m满足题意.当p=m﹣1时,有数列{a n}:m﹣1,m,m﹣2,m﹣3,…,3,2,1满足题意.所以满足题意的数列{a n}只有以上四种.【点评】本题考查数列的综合应用,不等式以及不等关系,二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用,考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目,必须由高的数学思维逻辑修养才能解答.。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={﹣1,0,1},B={1,2},则∁U(A ∪B)=()A.{﹣2,3}B.{﹣2,2,3)C.{﹣2,﹣1,0,3}D.{﹣2,﹣1,0,2,3}【分析】先求出A∪B,再根据补集得出结论.【解答】解:集合U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={﹣1,0,1},B={1,2},则A∪B={﹣1,0,1,2},则∁U(A∪B)={﹣2,3},故选:A.【点评】本题主要考查集合的交并补运算,属于基础题.2.(5分)若α为第四象限角,则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角,即可判断.【解答】解:α为第四象限角,则﹣+2kπ<α<2kπ,k∈Z,则﹣π+4kπ<2α<4kπ,∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角,∴sin2α<0,故选:D.【点评】本题考查了角的符号特点,考查了转化能力,属于基础题.3.(5分)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为=18名.【解答】解:第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,就按1600份计算,第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算,因为公司可以完成配货1200份订单,则至少需要志愿者为=18名,故选:B.【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用,属于基础题.4.(5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列,且公差d=9,a1=9,根据等差数列的性质即可求出n=9,再根据前n项和公式即可求出.【解答】解:设每一层有n环,由题意可知从内到外每环之间构成等差数列,且公差d =9,a1=9,由等差数列的性质可得S n,S2n﹣S n,S3n﹣S2n成等差数列,且(S3n﹣S2n)﹣(S2n﹣S n)=n2d,则n2d=729,则n=9,则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+×9=3402块,故选:C.【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用,考查了分析问题解决问题的能力,属于中档题.5.(5分)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x﹣y﹣3=0的距离为()A.B.C.D.【分析】由已知设圆方程为(x﹣a)2+(y﹣a)2=a2,(2,1)代入,能求出圆的方程,再代入点到直线的距离公式即可.【解答】解:由题意可得所求的圆在第一象限,设圆心为(a,a),则半径为a,a>0.故圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣a)2=a2,再把点(2,1)代入,求得a=5或1,故要求的圆的方程为(x﹣5)2+(y﹣5)2=25或(x﹣1)2+(y﹣1)2=1.故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1);故圆心到直线2x﹣y﹣3=0的距离d==或d==;故选:B.【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法,求出圆心坐标和半径的值,是解题的关键,属于基础题.6.(5分)数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+…+a k+10=215﹣25,则k=()A.2B.3C.4D.5【分析】在已知数列递推式中,取m=1,可得,则数列{a n}是以2为首项,以2为公比的等比数列,再由等比数列的前n项和公式列式求解.【解答】解:由a1=2,且a m+n=a m a n,取m=1,得a n+1=a1a n=2a n,∴,则数列{a n}是以2为首项,以2为公比的等比数列,则,∴a k+1+a k+2+…+a k+10==215﹣25,∴k+1=5,即k=4.故选:C.【点评】本题考查数列递推式,考查等比关系的确定,训练了等比数列前n项和的求法,是中档题.7.(5分)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为()A.E B.F C.G D.H【分析】首先把三视图转换为直观图,进一步求出图形中的对应点.【解答】解:根据几何体的三视图转换为直观图:根据三视图和几何体的的对应关系的应用,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,所以在侧视图中与点E对应.故选:A.【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.8.(5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D,E的坐标,根据面积求出ab=8,再根据基本不等式即可求解.【解答】解:由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±x,分别将x=a,代入可得y=±b,即D(a,b),E(a,﹣b),则S△ODE=a×2b=ab=8,∴c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号,∴C的焦距的最小值为2×4=8,故选:B.【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式,以及渐近线方程,属于基础题.9.(5分)设函数f(x)=ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|,则f(x)()A.是偶函数,且在(,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(﹣,)单调递减C.是偶函数,且在(﹣∞,﹣)单调递增D.是奇函数,且在(﹣∞,﹣)单调递减【分析】求出x的取值范围,由定义判断为奇函数,利用对数的运算性质变形,再判断内层函数t=||的单调性,由复合函数的单调性得答案.【解答】解:由,得x.又f(﹣x)=ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|=﹣(ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|)=﹣f(x),∴f(x)为奇函数;由f(x)=ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|=,∵==.可得内层函数t=||的图象如图,在(﹣∞,)上单调递减,在(,)上单调递增,则(,+∞)上单调递减.又对数式y=lnt是定义域内的增函数,由复合函数的单调性可得,f(x)在(﹣∞,﹣)上单调递减.故选:D.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合,考查复合函数单调性的求法,是中档题.10.(5分)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O 的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为()A.B.C.1D.【分析】画出图形,利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径,然后求解OO1即可.【解答】解:由题意可知图形如图:△ABC是面积为的等边三角形,可得,∴AB=BC=AC=3,可得:AO1==,球O的表面积为16π,外接球的半径为:4πR2=16,解得R=2,所以O到平面ABC的距离为:=1.故选:C.【点评】本题考查球的内接体问题,求解球的半径,以及三角形的外接圆的半径是解题的关键.11.(5分)若2x﹣2y<3﹣x﹣3﹣y,则()A.ln(y﹣x+1)>0B.ln(y﹣x+1)<0C.ln|x﹣y|>0D.ln|x﹣y|<0【分析】由2x﹣2y<3﹣x﹣3﹣y,可得2x﹣3﹣x<2y﹣3﹣y,令f(x)=2x﹣3﹣x,则f(x)在R上单调递增,且f(x)<f(y),结合函数的单调性可得x,y的大小关系,结合选项即可判断.【解答】解:由2x﹣2y<3﹣x﹣3﹣y,可得2x﹣3﹣x<2y﹣3﹣y,令f(x)=2x﹣3﹣x,则f(x)在R上单调递增,且f(x)<f(y),所以x<y,即y﹣x>0,由于y﹣x+1>1,故ln(y﹣x+1)>ln1=0,故选:A.【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用,属于基础试题.12.(5分)0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…a n…满足a i∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立,则称其为0﹣1周期序列,并称满足a i+m=a i(i=1,2…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…,C(k)=a i a i+k(k=1,2,…,m﹣1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0﹣1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010…B.11011…C.10001…D.11001…【分析】分别为4个选项中k=1,2,3,4进行讨论,若有一个不满足条件,就排除;由题意可得周期都是5,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列,继续写出,如C答案中的排列为10001 10001 10001.【解答】解:对于A选项:序列11010 11010C(1)=a i a i+1=(1+0+0+0+0)=,C(2)=a i a i+2=(0+1+0+1+0)=,不满足C(k)≤(k=1,2,3,4),故排除A;对于B选项:序列11011 11011C(1)=a i a i+1=(1+0+0+1+1)=,不满足条件,排除;对于C选项:序列10001 10001 10001C(1)=a i a i+1=(0+0+0+0+1)=,C(2)=a i a i+2=(0+0+0+0++0)=0,C(3)=a i a i+3=(0+0+0+0+0)=0,C(4)=a i a i+4=(1+0+0+0+0)=,符合条件,对于D选项:序列11001 11001C(1)=a i a i+1=(1+0+0+0+1)=不满足条件.故选:C.【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A .62%B .56%C .46%D .42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与(e )rt I t =R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则的取值范围是( )AP AB ⋅A .B .()2,6-()6,2-C .D .()2,4-()4,6-8.若定义在的奇函数f (x )在单调递减,且f (2)=0,则满足的x 的取值范R (0),-∞(10)xf x -≥围是( )A .B .[)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]--C .D .[)1,0][1,-+∞ 1,0]3][[1,- 二、多项选择题本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知曲线.22:1C mx ny +=A .若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上 B .若m =n >0,则C 是圆,其半径为n C .若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为m y xn=±-A .B .πsin(3x +)sin(为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了天100空气中的和浓度(单位:),得下表:PM 2.52SO 3μg/m 2SO PM 2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过,且浓度不超过”的概率;PM 2.5752SO 150(2)根据所给数据,完成下面的列联表:22⨯2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓99%PM 2.52SO 度有关?附:,22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.8416.63510.82820.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明:l ⊥平面PDC ;(2)已知PD =AD =1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.21.(12分)17.解:方案一:选条件①.由和余弦定理得.6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得.sin 3sin A B =3a b =于是,由此可得.222233223b b c b +-=b c =由①,解得.3ac =3,1a b c ===因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时.1c =方案二:选条件②.由和余弦定理得.6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得.sin 3sin A B =3a b =于是,由此可得,,.222233223b b c b +-=b c =6B C π==23A π=由②,所以.sin 3c A =23,6c b a ===因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时.23c =方案三:选条件③.由和余弦定理得.6C π=222322a b c ab +-=由及正弦定理得.sin 3sin A B =3a b =于是,由此可得.222233223b b c b +-=b c =由③,与矛盾.3c b =b c =因此,选条件③时问题中的三角形不存在.18.解:(1)设的公比为.由题设得,.{}n a q 31120a q a q +=218a q =解得(舍去),.由题设得.12q =-2q =12a =所以的通项公式为.{}n a 2nn a =(2)由题设及(1)知,且当时,.10b =122n n m +≤<m b n =D C B则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),Q a由(1)可设(,0,1)设是平面的法向量,则即(,,)x y z =n QCD 0,0,DQ DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 0,0.ax z y +=⎧⎨=⎩可取.(1,0,)a =-n 所以.21cos ,||||31PB a PB PB a ⋅--〈〉==⋅+n n n 设与平面所成角为,则.PB QCD θ223|1|32sin 13311a aa a θ+=⨯=+++因为,当且仅当时等号成立,所以与平面所成角的正弦值的最大23261313a a +≤+1a =PB QCD 值为.6321.解:的定义域为,.()f x (0,)+∞11()e x f x a x-'=-(1)当时,,,e a =()e ln 1xf x x =-+(1)e 1f '=-曲线在点处的切线方程为,即.()y f x =(1,(1))f (e 1)(e 1)(1)y x -+=--(e 1)2y x =-+直线在轴,轴上的截距分别为,.(e 1)2y x =-+x y 2e 1--2因此所求三角形的面积为.2e 1-(2)当时,.01a <<(1)ln 1f a a =+<当时,,.1a =1()e ln x f x x -=-11()e x f x x -'=-当时,;当时,.(0,1)x ∈()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x '>所以当时,取得最小值,最小值为,从而.1x =()f x (1)1f =()1f x ≥当时,.1a >11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥综上,的取值范围是.a [1,)+∞22.解:(1)由题设得,,解得,.22411a b +=22212a b a -=26a =23b =所以的方程为.C 22163x y +=(2)设,.11(,)M x y 22(,)N x y若直线与轴不垂直,设直线的方程为,MN x MN y kx m =+代入得.22163x y +=222(12)4260k x kmx m +++-=于是.①2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++由知,故,AM AN ⊥0AM AN ⋅=1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=可得.221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=将①代入上式可得.22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++整理得.(231)(21)0k m k m +++-=因为不在直线上,所以,故,.(2,1)A MN 210k m +-≠2310k m ++=1k ≠于是的方程为.MN 21()(1)33y k x k =--≠所以直线过点.MN 21(,)33P -若直线与轴垂直,可得.MN x 11(,)N x y -由得.0AM AN ⋅=1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=又,可得.解得(舍去),.2211163x y +=2113840x x -+=12x =123x =此时直线过点.MN 21(,)33P -令为的中点,即.Q AP 41(,)33Q 若与不重合,则由题设知是的斜边,故.D P AP Rt ADP △122||||23DQ AP ==若与重合,则.D P 1||||2DQ AP =综上,存在点,使得为定值.41(,)33Q ||DQ。
2020年高考试题解析数学(理科)分项版11 排列组合、二项式定理 一、选择题:1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种3.(2020年高考天津卷理科5)在622x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中,2x 的系数为( ) A .154- B .154C .38-D .38 【答案】C【解析】因为1r T +=666()()r r x C x-⋅⋅-,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是(A )20- (B )15- (C )15 (D )20解析:基本事件:26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个,.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1);其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3); m=3+2=5故51153m n ==. 7.(2020年高考福建卷理科6)(1+2x )3的展开式中,x 2的系数等于A .80B .40C .20D .10 【答案】B二、填空题:1. (2020年高考山东卷理科14)若62()a x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .4. (2020年高考广东卷理科10)72()x x x -的展开式中,4x 的系数是______ (用数字作答). 【答案】845. (2020年高考湖北卷理科11)18(3x x 的展开式中含15x 的项的系数为 (结果用数值表示)答案:17解析:由318182118181(()33r rr rr r r T C x C x x --+=⋅⋅=-⋅⋅ 令318152r -=,解得r=2,故其系数为22181()17.3C -⋅= 6. (2020年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:n=1n =2n=3n=4由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示)7.(2020年高考全国卷理科13) (1-x )20的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为 .【答案】0【解析】212020(1)(1)r r rr r r r T c x c x +=-=-,令12,91822r r r r ====得得所以x 的系数为2222020(1)c c -=,91822020x c c =18的系数为(-1)故x 的系数与9x 的系数之差为220c -220c =08.(2020年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有__________个。
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)1.已知集合 $A=\{-1.1\}$,$B=\{1.2\}$,$C=\{-2.-1.1.2.3\}$,则 $(A\cup B)\cup C$ 等于哪个集合。
A。
$\{-2.3\}$B。
$\{-2.2.3\}$C。
$\{-2.-1.3\}$D。
$\{-2.-1.1.2.3\}$2.若 $\alpha$ 为第四象限角,则 $\cos2\alpha$ 的大小关系是。
A。
$\cos2\alpha>0$B。
$\cos2\alpha<0$C。
$\sin2\alpha>0$D。
$\sin2\alpha<0$3.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成 1200 份订单的配货。
由于订单量大幅增加,导致订单积压。
为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压 500 份订单未配货,预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货。
为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95,则至少需要多少名志愿者。
A。
10 名B。
18 名C。
24 名D。
32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层。
上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9 块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块,向外每环依次也增加 9 块。
已知每层环数相同,且下层比中层多 729 块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)多少块。
A。
3699 块B。
3474 块C。
3402 块D。
3339 块5.若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线$2x-y-3=0$ 的距离为多少。
A。
$\frac{5}{\sqrt{5}}$B。
$\frac{25}{\sqrt{5}}$C。
$\frac{35}{\sqrt{5}}$D。
2020年高考数学真题汇编答案及解析(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!)一、选择题(每小题6分,共36分)1.集合A={1,2,a},B={2,3,a2},C={1,2,3,4},a∈R,则集合(A∩B)∩C不可能是( )A.{2} B.{1,2}C.{2,3} D.{3}【解析】若a=-1,(A∩B)∩C={1,2};若a=3,则(A∩B)∩C={2,3}若a≠-1且a≠3,则(A∩B)∩C={2},故选D.【答案】 D2.(2020全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个【解析】A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},∁U(A∩B)={3,5,8},故选A.【答案】 A3.(2020年广东卷)已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【解析】M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3},有2个.【答案】 B4.给出以下集合:①M={x|x2+2x+a=0,a∈R};②N={x|-x2+x-2>0};③P={x|y=lg(-x)}∩{y|y=lg(-x)};④Q={y|y=x2}∩{y|y=x-4},其中一定是空集的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】在集合M中,当Δ=4-4a≥0时,方程有解,集合不是空集;而Q={y|y=x2}∩{y|y=x-4}={y|y≥0}∩{y|y∈R}={y|y≥0},所以不是空集;在P中,P={x|y=lg(-x)}∩{y|y=lg(-x)}={x|x<0}∩R={x|x<0},不是空集;在N中,由于不等式-x2+x-2>0⇔x2-x+2<0,Δ=-7<0,故无解,因此,只有1个一定是空集,所以选B.【答案】 B5.如右图所示的韦恩图中,A,B是非空集合,定义集合A#B为阴影部分所表示的集合.若x,y∈R,A={x|y= },B={y|y=3x,x>0},则A#B=( )A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x>2}【解析】依据定义,A#B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合.对于集合A,求的是函数y=2x-x2的定义域,解得:A={x|0≤x≤2};对于集合B,求的是函数y=3x(x>0)的值域,解得B={y|y>1},依据定义得:A#B={x|0≤x≤1或x>2}.【答案】 D6.定义一种集合运算A⊗B={x|x∈(A∪B),且x∉(A∩B)},设M={x||x|<2},N={x|x2-4x+3<0},则M⊗N所表示的集合是( )A.(-∞,-2]∪[1,2)∪(3,+∞)B.(-2,1]∪[2,3)C.(-2,1)∪(2,3)D.(-∞,-2]∪(3,+∞)【解析】M={x|-2<x<2},N={x|1<x<3},所以M∩N ={x|1<x<2},M∪N={x|-2<x<3},故M⊗N=(-2,1]∪[2,3).【答案】 B二、填空题(每小题6分,共18分)7.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的值为________.。
高中数学《双曲线》大题50题高中数学《双曲线》大题50题及答案解析1.在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+,②C的焦距为6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题:已知双曲线C:﹣=1,_____,求C的方程.2.已知双曲线C的右焦点F,半焦距c=2,点F到直线的距离为,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.(1)求双曲线C的标准方程;(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点的坐标.3.设双曲线Γ的方程为:x2﹣=1.(1)设1是经过点M(1,1)的直线,且和Γ有且仅有一个公共点,求l的方程;(2)设11是Γ的一条渐近线,A、B是11上相异的两点.若点P是Γ上的一点,P关于点A的对称点记为Q,Q关于点B的对称点记为R.试判断点R是否可能在Γ上,并说明理由.4.在平面直角坐标系中,已知双曲线I:,A,B分别为I的左,右顶点.(1)以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点,写出此圆的方程;(2)直线L过点A,与I在第一象限有公共点P,线段AP的垂直平分线过点B,求直线L的方程;(3)I上是否存在异于A、B点M、N,使+2=成立,若存在,求出所有M、N的坐标,若不存在说明理由.5.(Ⅰ)已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为,,且渐近线方程为,求双曲线C的标准方程;(Ⅱ)在圆x2+y2=3上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在该圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.6.设离心率为3,实轴长为1的双曲线E:(a>b>0)的左焦点为F,顶点在原点的抛物线C的准线经过点F,且抛物线C的焦点在x轴上.(I)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,且满足OM⊥ON,求|MN|的最小值.7.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行,某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发,会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图:A、B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过O点的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠的运动轨迹始终满足:接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离O点为4米.(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)游戏设定:机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”风险?8.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)设A1,A2分别为C的左右顶点,P为C异于A1,A2一点,直线A1P与A2P分别交y 轴于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆D经过两个定点.9.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的垂线,在x轴上方交双曲线C于点M,且∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的两条渐近线的夹角θ;(2)过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A,B两点,求△AF1B的面积最小值;(3)过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线,它们分别交两条渐近线于Q1,Q2两点,求平行四边形OQ1QQ2的面积.10.已知双曲线的一条渐近线方程为,点在双曲线上,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合.(Ⅰ)求双曲线和抛物线的标准方程;(Ⅱ)过点F做互相垂直的直线l1,l2,设l1与抛物线的交点为A,B,l2与抛物线的交点为D,E,求|AB|+|DE|的最小值.高中数学资料共享群734924357每天都有更新!11.已知椭圆=1(a>b>0}),点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点,点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点.(1)求证:直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值,并求出定值;(2)试对双曲线=1写出具有类似特点的正确结论,并加以证明.12.如图,若F1,F2是双曲线﹣=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|•|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.13.已知双曲线过点(3,﹣2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,求△MF1F2的面积.14.设双曲线=1,其虚轴长为2,且离心率为.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(3,1)的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B,在线段AB上取点M使得=,证明:点M落在某一定直线上;(3)在(2)的条件下,且点M不在直线OP上,求△OPM面积的取值范围.15.在平面直角坐标系中,点F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,双曲线C的离心率为2,点(1,)在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为.(1)求动点P的轨迹方程;高中数学资料共享群734924357每天都有更新!(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在圆x2+y2=2上,求|OG|•|MN|的最大值,并判断此时△OMN的形状.16.已知双曲线=1(b>a>0)渐近线方程为y=±x,O为坐标原点,点在双曲线上.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)已知P,Q为双曲线上不同两点,点O在以PQ为直径的圆上,求的值.17.设双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.(1)若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB 的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(2)过点N(1,0)能否作出直线l,使l交双曲线于P、Q两点,且•=0,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.18.已知双曲线,(1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆E的方程.(2)点P在椭圆E上,点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D,直线CP和DP的斜率都存在且不为0,试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由.19.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为(﹣2,0)和(2,0),点P(3,)在双曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程;高中数学资料共享群734924357每天都有更新!(Ⅱ)过点A(0,2)的直线与双曲线C交于不同的两点E、F,若坐标原点O与E、F构成的三角形面积为2,求直线l的方程.20.已知双曲线的左右两个顶点是A1,A2,曲线C上的动点P,Q关于x轴对称,直线A1P与A2Q交于点M,(1)求动点M的轨迹D的方程;(2)点E(0,2),轨迹D上的点A,B满足,求实数λ的取值范围.21.已知圆M:(x+1)2+y2=,圆N:(x﹣1)2+y2=,动圆D与圆M外切并与圆N内切,圆心D的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点,直线y=x为C的一条渐近线.①求双曲线C的方程;②过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且λ1+λ2=﹣时,求Q点的坐标.22.已知双曲线的离心率为e,经过第一、三象限的渐近线的斜率为k,且e≥k.(1)求m的取值范围;高中数学资料共享群734924357每天都有更新!(2)设条件p:e≥k;条件q:m2﹣(2a+2)m+a(a+2)≤0.若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.23.已知F1,F2分别是双曲线的左右焦点,点P是双曲线上任一点,且||PF1|﹣|PF2||=2,顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L.(Ⅰ)求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程;(Ⅱ)过抛物线L的准线与x轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的斜率等于多少时,以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点?24.若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2=1的中心,焦点是双曲线的右顶点(1)求抛物线的标准方程;(2)若直线l过点C(2,1)交抛物线于M,N两点,是否存在直线l,使得C恰为弦MN 的中点?若存在,求出直线l方程;若不存在,请说明理由.25.已知双曲线过点A(1,1),它的焦点F在其渐近线上的射影记为M,且△OFM(O为原点)的面积为.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)过点A作双曲线的两条动弦AB,AC,设直线AB,直线AC的斜率分别为k1,k2,且(k1+1)(k2+1)=﹣1恒成立,证明:直线BC的斜率为定值.26.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=交于点M,双曲线C的离心率e=,F是其右焦点,且|MF|=1.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过点A(0,1)的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q,且P在A、Q之间,若=λ且,求直线l斜率k的取值范围.27.已知双曲线C:﹣=1 的离心率是,其一条准线方程为x=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设双曲线C的左右焦点分别为A,B,点D为该双曲线右支上一点,直线AD与其左支交于点E,若=λ,求实数λ的取值范围.28.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,﹣b).(1)求双曲线的方程;高中数学资料共享群734924357每天都有更新!(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过B作直线与双曲线交于M,N两点,求B1M⊥B1N时,直线MN的方程.29.已知椭圆C与双曲线﹣=1有公共焦点,且离心率e=,(1)求椭圆的标准方程;(2)已知点P是椭圆C上的一动点,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在椭圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?30.已知两点A(0,﹣1),B(0,1),P(x,y)是曲线C上一动点,直线PA、PB斜率的平方差为1.(1)求曲线C的方程;(2)E(x1,y1),F(x2,y2)是曲线C上不同的两点,Q(2,3)是线段EF的中点,线段EF的垂直平分线交曲线C于G,H两点,问E,F,G,H是否共圆?若共圆,求圆的标准方程;若不共圆,说明理由.31.双曲线S的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,直线x﹣3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于.(1)求双曲线S的方程;(2)设经过点(﹣2,0),斜率等于k的直线与双曲线S交于A,B两点,且以A,B,P (0,1)为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形,求k的值.32.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为(1)求抛物线C的方程;(2)过点D(﹣1,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点E,F,若在x轴上存在一点P(x0,0)使得△PEF是等边三角形,求x0的值.33.在平面直角坐标系xoy中,已知双曲线﹣y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x0,y0),Q(x0,﹣y0)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A,B两点,过点B作x轴的垂线,垂足为点C,连AC交轨迹E于点D,求证:AB⊥BD.34.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为2 (Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C 交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.35.已知曲线Γ上的点到F(1,0)的距离比它到直线x=﹣3的距离小2,过F的直线交曲线Γ于A,B两点.(1)求曲线Γ的方程;(2)若,求直线AB的斜率;(3)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.36.已知点在双曲线上,且双曲线的一条渐近线的方程是.(1)求双曲线C的方程;(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点,若以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点,求实数k的值.37.已知点是椭圆C:的一个顶点,椭圆C的离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知点P(x0,y0)是定点,直线交椭圆C于不同的两点A、B,记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2,求点P的坐标,使得k1+k2=0恒成立.38.已知双曲线C:的离心率为,点(4,2)在C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,且直线l与双曲线C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.39.已知命题P“双曲线﹣=1上任意一点Q到直线l1:bx+ay=0,l2:bx﹣ay=0的距离分别记作d1,d2则d1,d2为定值”是真命题(1)求出d1•d2的值(2)已知直线l1,l2关于y轴对称且使得椭圆C:+=1上任意点到l1,l2的距离d1,d2满足为定值,求l1,l2的方程(3)已知直线m与(2)中某一条直线平行(或重合)且与椭圆C交于M,N两点,求|OM|+|ON|的最大值.40.椭圆与双曲线有许多优美的对称性质.对于椭圆+=1(a>b>0)有如下命题:AB是椭圆+=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则k OM•k AB=﹣,为定值.那么对于双曲线﹣=1(a>0,b>0)则有命题:AB 是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则k OM•k AB=定值.(在横线上填上正确的结论)并证明你的结论.41.如图,已知双曲线,过点P(0,﹣1)的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A,B,交双曲线C的两条渐近线于点D,E(点D在y轴的左侧).(1)若,求直线l的方程;(2)求的取值范围.42.已知双曲线C1:x2﹣=1(b>0),A(x A,b2)是C1上位于第二象限内的一点,曲线C2是以点C(0,b2+1)为圆心过点A的圆上满足y>b2的部分.曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成.记F1,F2为C1的左、右焦点.(1)若△CF1F2为等边三角形,求x A;(2)若直线AC与Γ恰有两个公共点,求b的最小值;(3)设b=1,过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q,求l的倾斜角的取值范围.43.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知等轴双曲线E:(a>0,b>0)的左顶点A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,若△ABC的面积为.(1)求双曲线E的方程;(2)若直线l:y=kx﹣1与双曲线E的左,右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,求的取值范围.44.已知曲线,Q为曲线C上一动点,过Q作两条渐近线的垂线,垂足分别是P1和P2.(1)当Q运动到时,求的值;(2)设直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于M、N两点,与x轴正半轴交于T点,与y 轴交于S点,若,,且λ+μ=1,求证T为定点.45.设双曲线的左顶点为D,且以点D为圆心的圆D:(x+2)2+y2=r2(r>0)与双曲线C分别相交于点A,B,如图所示.(1)求双曲线C的方程;(2)求的最小值,并求出此时圆D的方程;(3)设点P为双曲线C上异于点A,B的任意一点,且直线PA,PB分别与x轴相交于点M,N,求证:|OM|•|ON|为定值(其中O为坐标原点).46.设双曲线Γ的方程为:x2﹣=1.(1)设1是经过点M(1,1)的直线,且和Γ有且仅有一个公共点,求l的方程;(2)设11是Γ的一条渐近线,A、B是11上相异的两点.若点P是Γ上的一点,P关于点A的对称点记为Q,Q关于点B的对称点记为R.试判断点R是否可能在Γ上,并说明理由.47.已知双曲线C的一个焦点为,且过点.如图,F1,F2为双曲线的左、右焦点,动点P(x0,y0)(y0≥1)在C的右支上,且∠F1PF2的平分线与x轴、y 轴分别交于点M(m,0)(﹣<m<)、N,设过点F1,N的直线l与C交于D,E两点.(Ⅰ)求C的标准方程;(Ⅱ)求△F2DE的面积最大值.48.直线上的动点P到点T1(9,0)的距离是它到点T(1,0)的距离的3倍.(1)求点P的坐标;(2)设双曲线的右焦点是F,双曲线经过动点P,且,求双曲线的方程;(3)点T(1,0)关于直线x+y=0的对称点为Q,试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线L与(2)中的双曲线交于不同的两点M、N,且满足|QM|=|QN|,若存在,求出斜率k的取值范围,若不存在,请说明理由.49.已知双曲线C1:的渐近线方程为y=±x,且过点,其离心率为e,抛物线C2的顶点为坐标原点,焦点为.(I)求抛物线C2的方程;(II)O为坐标原点,设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=12.(i)求证:直线AB必过定点,并求出该定点P的坐标;(ii)过点P作AB的垂线与抛物线交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.50.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物.建在水源不十分充分的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用,大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水电站,其高度一般为75~150米,底边直径65~120米.双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小,布置紧凑,水量损失小,且冷却效果不受风力影响;它比机力通风冷却塔维护简便,节约电能;但体形高大,施工复杂,造价较高(以上知识来自百度,下面题设条件只是为了适合高中知识水平,其中不符合实际处请忽略.图1)(1)图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略壁厚),其底面直径大于上底直径.已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线,高度为100m,俯视图为三个同心圆,其半径分别为40m,m,30m,试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程(m为长度单位米).(2)试利用课本中推导球体积的方法,利用圆柱和一个倒放的圆锥,计算封闭曲线:,y=0,y=h,绕y轴旋转形成的旋转体的体积为(用a,b,h表示)(用积分计算不得分,图3、图4)现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构,为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线,其壁最厚为0.4m(底部),最薄处厚度为0.3m(喉部,即左右顶点处).试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是,并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积(内外壳之间)大约是m3(计算时π取3.14159,保留到个位即可)(3)冷却塔体型巨大,造价相应高昂,本题只考虑地面以上部分的施工费用(建筑人工和辅助机械)的计算,钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工(含人工辅助机械等)费用随着高度的增加而增加.现已知:距离地面高度30米(含30米)内的建筑,每立方米的施工费用平均为:400元/立方米;30米到40米(含40米)每立方米的施工费用为800元/立方米;40米以上,平均高度每增加1米,每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用(精确到万元)高中数学《双曲线》大题50题答案解析1.在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+,②C的焦距为6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题:已知双曲线C:﹣=1,_____,求C的方程.【解析】选①.因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=,c=,因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以a+c=+=3+,解得m=3,故C的方程为﹣=1;选②.若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=,c=,所以C的焦距为2c=2=6,解得m=3,则故C的方程为﹣=1;若m<0,则a2=﹣2m,b2=﹣m,c2=﹣3m,所以c=,所以C的焦距为2c=2=6,解得m=﹣3,则C的方程为﹣=1;选③.若m>0,则a2=m,所以a=,因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,所以2a=2=4,解得m=4,则C的方程为﹣=1;若m<0,则a2=﹣2m,所以a=,因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,所以2a=2=4,解得m=﹣2,则C的方程为﹣=1.2.已知双曲线C的右焦点F,半焦距c=2,点F到直线的距离为,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.(1)求双曲线C的标准方程;(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点的坐标.【解析】(1)由题意可得c=2,c﹣=,b2=c2﹣a2,解得:a2=3,b2=1,所以双曲线的方程为:﹣y2=1;(2)证明:设F(2,0)设过F的弦AB所在的直线方程为:x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则有中点M(+2,),联立直线AB与双曲线的方程:整理可得:(k2﹣3)y2+4ky+1=0,因为弦AB与双曲线有两个交点,所以k2﹣3≠0,y1+y2=,所以x1+x2=k(y1+y2)+4=,所以M(,);(i)当k=0时,M点即是F,此时直线MN为x轴;(ii)当k≠0时,将M的坐标中的k换成﹣,同理可得N的坐标(,﹣),①当直线MN不垂直于x轴时,直线MN的斜率k MN==,将M代入方程可得直线MN:y﹣=(x﹣),化简可得y=(x﹣3),所以直线MN恒过定点P(3,0);②当直线MN垂直于x轴时,=可得k=±1,直线也过定点P(3,0);综上所述直线MN恒过定点P(3,0).3.设双曲线Γ的方程为:x2﹣=1.(1)设1是经过点M(1,1)的直线,且和Γ有且仅有一个公共点,求l的方程;(2)设11是Γ的一条渐近线,A、B是11上相异的两点.若点P是Γ上的一点,P关于点A的对称点记为Q,Q关于点B的对称点记为R.试判断点R是否可能在Γ上,并说明理由.【解析】(1)①当直线l斜率不存在时,方程为x=1,显然与双曲线Γ相切,只有一个交点,符合题意,②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时,设斜率为k,则直线l的方程为y﹣1=k(x﹣1),即y=kx﹣k+1联立方程,消去y得:(4﹣k2)x2﹣2k(1﹣k)x﹣[(1﹣k)2+4]=0,∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点,∴△=4k2(1﹣k)2+4(4﹣k2)[(1﹣k)2+4]=0,化简得:80﹣32k=0,∴,∴直线l的方程为:y=,即5x﹣2y﹣3=0,③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时,也与双曲线Γ有且仅有一个公共点,∵双曲线Γ的渐近线方程为:y=±2x,∴直线l的斜率为±2,∴直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1)或y﹣1=﹣2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣3=0,综上所述,直线l的方程为:x=1或5x﹣2y﹣3=0或2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣3=0;(2)假设点R在双曲线Γ上,不妨设直线l1方程为:y=2x,设点A(x1,2x1),B(x2,2x2),点P(x0,y0),∵P关于点A的对称点记为Q,∴点Q(2x1﹣x0,4x1﹣y0),∵Q关于点B的对称点记为R.∴点R(2x2﹣2x1+x0,4x2﹣4x1+y0),∵点R在双曲线Γ上,∴,∴﹣=1,∴,又∵点P(x0,y0)在双曲线Γ:x2﹣=1上,∴x02﹣=1,∴上式化为:4(x2﹣x1)•x0﹣2(x2﹣x1)•y0=0,又∵x1≠x2,∴4x0=2y0,∴y0=2x0,又∵x02﹣=1,∴,∴0=1,此式显然不成立,故假设不成立,所以点R不可能在双曲线Γ上.4.在平面直角坐标系中,已知双曲线I:,A,B分别为I的左,右顶点.(1)以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点,写出此圆的方程;(2)直线L过点A,与I在第一象限有公共点P,线段AP的垂直平分线过点B,求直线L的方程;(3)I上是否存在异于A、B点M、N,使+2=成立,若存在,求出所有M、N的坐标,若不存在说明理由.【解析】(1)双曲线I:,A(﹣2,0),B(2,0),由题意可得以A为圆心的圆经过B,则圆的半径r=4,圆的方程为(x+2)2+y2=16;(2)直线L过点A(﹣2,0),且直线的斜率存在,设直线L的方程为y=k(x+2),(k >0),联立双曲线方程消去y,可得(5﹣4k2)x2﹣16k2x﹣16k2﹣20=0,可得x A+x P=,可得x P=,y P=k(x+2)=,可得AP的中点T坐标为(,),由题意可得k TB=﹣,即为=﹣,解得k=(负的舍去),则直线L的方程为y=(x+2);(3)假设I上存在异于A、B点M、N,使+2=成立.设M(x1,y1),N(x2,y2),由+2=,可得x2=2﹣2x1,y2=﹣2y1,将M,N的坐标代入双曲线的方程可得﹣=1,即﹣=1,又﹣=1,解得x1=2,y1=0,与B重合,故不存在.5.(Ⅰ)已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为,,且渐近线方程为,求双曲线C的标准方程;(Ⅱ)在圆x2+y2=3上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在该圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.【解析】(Ⅰ)依题可知双曲线的焦点在y轴上,设其方程为:,且①,双曲线的渐近线方程为,即②.又∵a2+b2=c2…③,由①②③可得.得双曲线方程为:;(Ⅱ)设轨迹上任一点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则依题意可知D点坐标为(0,y0),∵PD的中点为M,∴,即,∵点P在圆x2+y2=3上运动,,得4x2+y2=3,经检验所求方程符合题意,∴点M的轨迹方程为.6.设离心率为3,实轴长为1的双曲线E:(a>b>0)的左焦点为F,顶点在原点的抛物线C的准线经过点F,且抛物线C的焦点在x轴上.(I)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,且满足OM⊥ON,求|MN|的最小值.【解析】(I)离心率为3,实轴长为1,即e==3,a=,可得c=,F(﹣,0),可设抛物线的方程为y2=2px,p>0,可得=,即p=3,可得抛物线的方程为y2=6x;(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+t,设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1=,x2=,将直线l的方程与抛物线C的方程联立,得y2﹣6my﹣6t=0,由韦达定理得y1+y2=6m,y1y2=﹣6t,∵OM⊥ON,∴k OM•k ON=•=﹣=﹣1,即t=6,由△=36m2+24×6>0恒成立,则|MN|==•=6≥12,当且仅当m=0时,|MN|取得最小值12.7.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行,某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发,会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图:A、B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过O点的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠的运动轨迹始终满足:接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离O点为4米.(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)游戏设定:机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”风险?【解析】(1)设机器鼠位置为点P,由题意可得﹣=,即|PA|﹣|PB|=8<10,可得P的轨迹为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,即有c=5,a=4,b=3,则P的轨迹方程为﹣=1(x≥4),时刻t0时,|OP|=4,即P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0);(2)设直线l的平行线l1的方程为y=x+m,联立双曲线方程﹣=1(x≥4),可得7x2+32mx+16m2+144=0,即有△=(32m)2﹣28(16m2+144)=0,且x1+x2=﹣>0,可得m=﹣,即l1:y=x﹣与双曲线的右支相切,切点即为双曲线右支上距离l最近的点,此时l与l1的距离为d==,即机器鼠距离l最小的距离为>1.5,则机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.8.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)设A1,A2分别为C的左右顶点,P为C异于A1,A2一点,直线A1P与A2P分别交y 轴于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆D经过两个定点.【解析】(1)设C:,因为离心率为2,所以c=2a,.所以C的渐近线为,由,得c=2.于是a=1,,故C的方程为.(2)方法一、设P(x0,y0)(x0≠±1),因为A1(﹣1,0),A2(1,0),可得直线A1P与A2P方程为,.由题设,所以,,,MN中点坐标,于是圆D的方程为.因为,所以圆D的方程可化为.当y=0时,,因此D经过两个定点和.方法二、设P(x0,y0)(x0≠±1),因为A1(﹣1,0),A2(1,0),可得直线A1P与A2P方程为,,由题设,所以,.设P(x,y)是圆D上点,则,即,于是圆D的方程为.因为,所以圆D的方程可化为.当y=0时,,因此D经过两个定点和.9.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的垂线,在x轴上方交双曲线C于点M,且∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的两条渐近线的夹角θ;(2)过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A,B两点,求△AF1B的面积最小值;(3)过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线,它们分别交两条渐近线于Q1,Q2两点,求平行四边形OQ1QQ2的面积.【解析】(1)双曲线的a=1,c=,可令x=c,解得y=b=b2,设M(c,b2),由∠MF1F2=30°,可得b2=2c tan30°=,解得b=,则双曲线的方程为x2﹣=1,可得双曲线的方程为y=±x,即有tanθ=||=2,可得夹角θ=arctan2;(2)当直线AB的斜率不存在,可得A(,2),B(,﹣2),可得△AF1B的面积为×2×4=4;直线AB的斜率存在,设过点F2的直线l设为y=k(x﹣),联立双曲线方程2x2﹣y2=2,可得(2﹣k2)x2+2k2x﹣3k2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),又x1+x2=﹣>0,x1x2=﹣>0,可得k2>2,可得△AF1B的面积为S=•2c•|y1﹣y2|=•|k(x1﹣x2)|=•|k|•=|k|•,设t=k2﹣2(t>0),可得S=4•=4•>4,综上可得△AF1B的面积的最小值为4;(3)设Q(m,n),可得2m2﹣n2=2,双曲线的渐近线方程为y=±x,Q到直线y=x的距离为d=,由平行于直线y=﹣x的直线y=﹣(x﹣m)+n,联立直线y=x,可得Q2(,),|OQ2|=|n+m|,。
合用优选文件资料分享高考数学好题速递400 题(第 251―300 题附答案和讲解)好题速递 251 题设为正整数,方程在区间内有两个不同样的根,则的最小值是.解:于是问题转变为直线与打勾函数的图象的两个交点的横坐标均在区间内,于是注意到为整数,于是在区间上存在整数的充要条件为解得故的最小值为 6,而的最小值为 7,则的最小值为13好题速递252 题已知,求的最小值是.解法一:令,则因此,整理得故用鉴别式,解得解法二:设,,条件转变为,即所求代数式转变为的最小值由此可有斜率角度求值域:,(视为单位圆上的点与连线斜率),则也可由三角函数角度求值域:评注:这里由于碰到的结构,故三角换元设,。
解法三:数形结合当时,点为上的一点,则如图,就是典型的“饮马问题”,点对于直线的对称点到轴的距离为当时,点为上的一点,则而于是好题速递 253 题如图,直线与平面,垂足是,正周围体的棱长为 4,点在平面上运动,点在直线上运动,则点到直线的距离的取值范围是.解:题意中是点是定点,正周围体运动,但向来保持不变没关系反过来换位思虑,将正周围体固定下来,让点在以为直径的球面上运动,以以下列图。
接下来能够获取点到直线的距离的取值范围就是球心到直线的距离减去球的半径与球心到直线的距离加上球的半径之间,即好题速递 254 题★已知,对随意知足的实数,都有成立,则的最大值是.解法一:显然于是问题转变为求的最大值当时,简单获取,由图可知直线在上的值域为的子集,于是斜率必然在内,故进而当时,原式取到最大值为 40 解法二:绝对值不等式由于故,同解法一练习:若对随意知足的实数,都有成立,则的取值范围是.如图,易得议论:此题就是将一次函数转变为二次函数,异曲同工。
好题速递 255 题已知圆为的外接圆,且,若,则的最大值为.解:如图,延长交边于点,设则由三点共线可知,从而显然当取最小值,即时,获取最大值,此时为等腰三角形,可得好题速递 256 题已知非零向量和互相垂直,则和的夹角余弦值的最小值是.解:令,则好题速递 257 题已知正数知足,则的取值范围是.解:设,则又由于即,解得当且仅当时,;当且仅当时,好题速递 258 题已知实数,若,则的最小值是.解法一:待定系数法待定系数法,令,解得故,当且仅当时获取解法二:令,即时,,当且仅当时获取解法三:三角换元设,原问题转变为,求的最小值令,,,,故问题又转变为已知,求的最小值于是由于,故评注:这里又碰到的结构,故可三角换元设,,10月 1 日每日征解有同样的办理方法。
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式: (1)样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑(2)直柱体的侧面积S ch =,其中c 为底面周长,h 是高 (3)柱体的体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上........。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案:{}1-,2解析:考察简单的集合运算,容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案:+∞1(-)2解析:考察函数性质,容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+(i 是虚数单位),那么z 的实部是_________ 答案:1解析:简单考察复数的运算和概念,容易题。
4、依照如下图的伪代码,当输入b a ,别离为2,3时,最后输出的m 的值是________答案:3解析:考察算法的选择结构和伪代码,是容易题。
五、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案:13解析:简单考察古典概型的概率计算,容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10,6,8,5,6,那么该组数据的方差___2=s 答案:165解析:考察方差的计算,能够先把这组数都减去6再求方差,165,容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案:49解析:考察正切的和差角与倍角公式及其运用,中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++(-)===-八、在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点,那么线段PQ长的最小值是________ 答案:4解析:考察函数与方程,两点间距离公式和大体不等式,中档题。
2020年天津卷高考数学试题解析1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---,集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-,则()U A B =( )A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知:{}U 2,1,1B =--,则(){}U 1,1A B =-.故选:C.2.设a ∈R ,则“1a >”是“2a a >”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A首先求解二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【解析】求解二次不等式2a a >可得:1a >或0a <,据此可知:1a >是2a a >的充分不必要条件.故选:A.3.函数241x y x =+的图象大致为( )A .B. C.D.【答案】A 由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【解析】由函数的解析式可得:()()241x f x f x x --==-+,则函数()f x 为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD 错误;当1x =时,42011y ==>+,选项B 错误. 故选:A.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.【解析】根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为:()6.25 5.000.020.225+⨯=, 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为:800.22518⨯=.故选:B.5.若棱长为3 )A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π【答案】C求出正方体的体对角线的一半,即为球的半径,利用球的表面积公式,即可得解.【解析】这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即3R ==, 所以,这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选:C.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b << 【答案】D利用指数函数与对数函数的性质,即可得出,,a b c 的大小关系.【解析】因为0.731a =>,0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,0.70.7log 0.8log 0.71c =<=,所以1c a b <<<.故选:D.比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:xy a =,当1a >时,函数递增;当01a <<时,函数递减;(2)利用对数函数的单调性:log a y x =,当1a >时,函数递增;当01a <<时,函数递减;(3)借助于中间值,例如:0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A. 22144x y -= B. 2214y x -= C. 2214x y -= D. 221x y -= 【答案】D 由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y x b+=,即得直线的斜率为b -,再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±,可得b b a -=-,1b b a-⨯=-即可求出,a b ,得到双曲线的方程. 【解析】由题可知,抛物线的焦点为()1,0,所以直线l 的方程为1y x b +=,即直线的斜率为b -, 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±,所以b b a -=-,1b b a-⨯=-,因为0,0a b >>,解得1,1a b ==. 故选:D .8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.给出下列结论: ①()f x 的最小正周期为2π; ②2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值; ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【解析】因为()sin()3f x x π=+,所以周期22T ππω==,故①正确;51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠,故②不正确; 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度,得到sin()3y x π=+的图象, 故③正确.故选:B.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞ 【答案】D由(0)0g =,结合已知,将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点,分0,0,0k k k =<>三种情况,数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到(0)0g =,所以要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可, 令()h x =()||f x x ,即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩, 当0k =时,此时2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点,不满足题意; 当k 0<时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意; 当0k >时,如图3,当2y kx =-与2y x 相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=,解得22k =(负值舍去),所以22k >.综上,k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选:D.10.i是虚数单位,复数82ii-=+_________.【答案】32i-将分子分母同乘以分母的共轭复数,然后利用运算化简可得结果.【解析】()()()()828151032 2225i ii iii i i----===-++-.故答案为:32i-.【拓展】本题考查复数的四则运算,属于基础题.11.在522xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中,2x的系数是_________.【答案】10写出二项展开式的通项公式,整理后令x的指数为2,即可求出.【解析】因为522xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r rrT C x C x rx--+⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭,令532r-=,解得1r=.所以2x 的系数为15210C ⨯=. 故答案为:10.12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点.若||6AB =,则r 的值为_________. 【答案】5根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ,进而利用弦长公式||AB =r .【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==,由||AB =6==5r .故答案为:5.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.【答案】 (1). 16(2). 23 根据相互独立事件同时发生的概率关系,即可求出两球都落入盒子的概率;同理可求两球都不落入盒子的概率,进而求出至少一球落入盒子的概率. 【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=, 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=, 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为:16;23. 14.已知0,0a b >>,且1ab =,则11822a b a b +++的最小值为_________. 【答案】4 根据已知条件,将所求的式子化为82a b a b +++,利用基本不等式即可求解. 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>,1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b ∴++=++++842a b a b +=+≥=+,当且仅当a b +=4时取等号, 结合1ab =,解得22a b ==+,或22a b =+=-. 故答案为:415.如图,在四边形ABCD 中,60,3B AB ︒∠==,6BC =,且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-,则实数λ的值为_________,若,M N 是线段BC 上的动点,且||1MN =,则DM DN ⋅的最小值为_________.【答案】 (1).16 (2). 132可得120BAD ∠=,利用平面向量数量积的定义求得λ的值,然后以点B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设点(),0M x ,则点()1,0N x +(其中05x ≤≤),得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式,利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.【解析】AD BC λ=,//AD BC ∴,180120BAD B ∴∠=-∠=,cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭,解得16λ=, 以点B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ,()66,0BC C =∴,,∵3,60AB ABC =∠=︒,∴A 的坐标为3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭,设(),0M x ,则()1,0N x +(其中05x ≤≤),5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭,3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭,()2225321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以,当2x =时,DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为:16;132.16.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知5,a b c ===.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(Ⅰ)4Cπ;(Ⅱ)sin A =(Ⅲ)sin 24A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案;(Ⅲ)先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ,再利用两角和的正弦公式计算即可.【解析】(Ⅰ)在ABC 中,由5,a b c ===2222cos 22225a b c C ab +-===⨯⨯, 又因为(0,)C π∈,所以4Cπ;(Ⅱ)在ABC 中,由4Cπ,22,13a c ==及正弦定理,可得222sin 2sin 13a C A c⨯===21313; (Ⅲ)由a c <知角A 为锐角,由213sin 13A =,可得2cos 1sin A A =-=31313, 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=, 所以12252sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=17226. 17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==,13CC =,点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上,且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点.(Ⅰ)求证:11C M B D ⊥;(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值;(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)306;(Ⅲ)3.以C 为原点,分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.(Ⅰ)计算出向量1C M 和1B D 的坐标,得出110C M B D ⋅=,即可证明出11C M B D ⊥;(Ⅱ)可知平面1BB E 的一个法向量为CA ,计算出平面1B ED 的一个法向量为n ,利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;(Ⅲ)利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【解析】依题意,以C 为原点,分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .(Ⅰ)依题意,()11,1,0C M =,()12,2,2B D =--,从而112200C M B D ⋅=-+=,所以11C M B D ⊥; (Ⅱ)依题意,()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量,()10,2,1EB =,()2,0,1ED =-.设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量,则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩,不妨设1x =,可得()1,1,2n =-.cos ,2C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯, 230sin ,1cos ,CA n CA n ∴<>=-<>=. 所以,二面角1B B E D --; (Ⅲ)依题意,()2,2,0AB =-.由(Ⅱ)知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量,于是cos ,322AB n AB n ABn⋅<>===-⋅.所以,直线AB 与平面1DB E 18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.【答案】(Ⅰ)221189x y +=;(Ⅱ)132y x =-,或3y x =-. (Ⅰ)根据题意,并借助222a b c =+,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)利用直线与圆相切,得到CP AB ⊥,设出直线AB 的方程,并与椭圆方程联立,求出B 点坐标,进而求出P 点坐标,再根据CP AB ⊥,求出直线AB 的斜率,从而得解.【解析】(Ⅰ)椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -,∴3b =,由OA OF=,得3c b ==,又由222a b c =+,得2228313a =+=,所以,椭圆的方程为221189x y +=;(Ⅱ)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx ,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126321213k y k k k k =⋅--=++, 所以,点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-,所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭, 由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+, 整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =. 所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 19.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()2*21n n n S S S n ++<∈N;(Ⅲ)对任意的正整数n ,设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.【答案】(Ⅰ)n a n =,12n nb -=;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)465421949n nn n +--+⨯. (Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比,然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和,然后利用作差法证明即可;(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式,然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值,据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =,()5435a a a =-,可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-,又q ≠0,可得2440q q -+=,解得q =2,从而{}n b 的通项公式为12n nb -=.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=, 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++,()()22211124n S n n +=++,从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<, 所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 奇数时,()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++,当n 为偶数时,1112n n n n a n c b -+-==, 对任意的正整数n ,有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑, 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑,由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-, 从而得:21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此,2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以,数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈,()f x '为()f x 的导函数.(Ⅰ)当6k =时,(i )求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(ii )求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值; (Ⅱ)当3k -时,求证:对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.【答案】(Ⅰ)(i )98y x =-;(ii )()g x 的极小值为(1)1g =,无极大值;(Ⅱ)证明见解析.(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式,然后结合导数的几何意义求解切线方程即可;(ii)首先求得()g x '的解析式,然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可;(Ⅱ)首先确定导函数的解析式,然后令12x t x =,将原问题转化为与t 有关的函数,然后构造新函数,利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时,()36ln f x x x =+,()26'3f x x x=+.可得()11f =,()'19f =, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-,即98y x =-. (ii) 依题意,()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-, 整理可得:323(1)(1)()x x g x x'-+=, 令()'0g x =,解得1x =.当x 变化时,()()',g x g x 的变化情况如下表:所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞); g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(Ⅱ)证明:由3()ln f x x k x =+,得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,令12(1)x t t x =>,则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时,22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭, 由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增,所以当t >1时,()()1h t h >,即12ln 0t t t-->.因为21x ≥,323331(1)0t t t t -+-=->,3k ≥-,所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32336ln 1t t t t=-++-. ② 由(Ⅰ)(ii)可知,当1t >时,()()1g t g >,即32336ln 1t t t t -++>, 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以,当3k ≥-时,任意的[)12,1,x x ∈+∞,且12x x >,有 ()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.。