九年级数学上册专题第4讲图形的相似重点、考点知识总结及练习

判定三角形相似1．平行线型：在图1、图2中，若DE//BC ，则△ADE∽△ABC。

我们称这两种图形为平行线型的基本图形.更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.例1 如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR 为等腰三角形．解:本题中出现的比例式中有三条线段OM 、MP 、ON 构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过N 作NS//MP 交OR 的延长线于S ，这样就构成图1的平行线型相似三角形，即△OMP∽△ONS，则NS ON MP OM =。

由已知得NR ON MP OM =，所以NRON NS ON =，故NS=NR 。

同理，由图2可判定△RNS∽△RQP，所以QPNS QR NR =。

故QR=QP ，所以△PQR 为等腰三角形。

2.相交线型：在图4、图5、图6中，若∠1=∠B，则△ADE∽△ABC。

我们称这三种图形为相交线型的基本图形.它们的特点是有一个公共角或等角。

例2 如图7，已知△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 上的两点,且AD·AB=AE·AC，则ED⊥AB，为什么？解:由于△ABC 和△AED 有一对公共角∠A,且AD·AB=AE·AC ，即ABAE AC AD =，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB。

3．旋转型:在图8中，若∠1=∠2，∠B=∠D,则△ADE∽△ABC.我们称这种图形为旋转型的基本图形。

例3 如图9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？分析：本题的条件只有角之间的关系，所以可考虑运用“两角对应相等的两个三角形相似”来判定．解：因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．因为∠ODC＝∠CAE，∠DOC＝∠EO A，所以180°－（∠ODC＋∠DOC)＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．所以△ABC∽△ADE.小结:解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于排除干扰、抓住本质，从复杂的图形中分解出上述基本图形.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。

九年级纳上册图形的相似知识点归】纳【篇一：九年级上册图形的相似知识点归图形的相似考点一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两 a m 条线段 a，b 的长度分别为m，? n ，那么段的比是， b n 或写成 a：b=m ：n 在两条线段的比 a ：这两条线就说b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那段叫做成比例线段，简称比例线段 a c ? b d 若四条 a，四条线么这b，c，d满足或a：b=c ：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，段的 d 叫做段a，d 叫做比例外项，线段b，c 叫做比例内项，线线a，b，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即? 或 a：b=b ：c，那么段a，c 的比例中项。

段 b 叫做线线的直线截其他两边（或两边的延长：（1）平行于三角形一边推论段成比例。

应线线），所得的对逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的条直线平行于三角形的第三边。

对应线段成比例，那么这（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三对应成比例。

边与原三角形的三边考点三、相似三角形（3~8 分）1、相似三角形的概念对应角相等，边成比例的三角形叫做相似三角形。

对应的比叫相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边做相似比（或相似系数）。

3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形的直线一边与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个两角三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为相等，两三角形相似。

对应。

九年级图形的相似性知识点九年级的数学课程中，图形的相似性是一个重要的知识点。

相似性是指两个或多个图形在形状上相似的性质。

在学习相似性的过程中，我们将会了解到比例、角度、边长等概念的应用，进一步提高我们的几何思维能力。

一、比例和比例关系相似性的关键之一是比例。

比例在几何学中的应用非常广泛，它在描述相似图形的关系时起着重要的作用。

比例可以理解为两个或多个量之间的比较，通常可以用两个数字或表达式之间的比值表示。

在相似图形中，我们可以通过比较两个图形的对应边长的比例来判断它们是否相似。

例如，设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长的比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。

通过比较他们的边长比例，我们可以得出它们形状相似的结论。

二、角度的对应关系除了比例关系外，角度的对应关系也是判断图形相似的重要依据。

两个相似的图形，其对应的内角度是相等的。

也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应内角度A、B、C和D、E、F是相等的。

这个性质在实际问题中非常有用。

通过测量两个图形的内角度的大小，我们可以判断它们是否相似，从而在解决几何问题时得到更精确的结果。

三、比例尺在实际应用中，我们经常会遇到需要进行测量并绘制缩放图形的情况。

比例尺是一种常用的工具，它能够将实际尺寸与绘制尺寸之间的比例关系呈现出来。

比例尺通常以分数的形式表示，例如1/50或1:50。

意思是1个单位的实际长度对应于绘制的50个单位长度。

通过使用比例尺，我们可以将实际的图形缩小或放大到所需的大小，以便更好地进行观察和研究。

四、图形的相似性应用图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。

举个例子，我们常常看到地图上的图形，它们是按比例绘制的，以便更直观地显示地理信息。

此外，相似性还被应用在建筑、工程、艺术等领域。

例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛运用。

建筑师可以通过相似性来计算建筑物的比例，以便在保持整体平衡和美观的同时，满足功能和结构的要求。

专训一：证比例式或等积式的技巧构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)构造相似三角形法3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第3题)三点定型法4．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求证：AD·AB＝AE·AC.(第4题)等比过渡法5．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第5题)专训二：巧用“基本图形”探索相似条件1.平行线型．2．相交线型．3．字母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC.(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC的长．(第1题)相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且＝，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．EOBO DOCO (第2题)字母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：＝.ABAC DFAF (第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)＝.ADAE BDCE (第4题)专训三：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系证明两线段的数量关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的位置关系类型1.证明两线段平行2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第2题)类型2.证明两线垂直3．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC 2＝AB·AD ，BC 2＝BA·BD ，求证：CD ⊥AB.(第3题)4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 13于点G ，求证：EG ⊥DF.(第4题)专训四：图形的相似中五种热门考点比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A ．2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cm B ．2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm C ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm D ．2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若＝＝＝≠0，则＝________.a 2b3c 4d7a ＋b ＋c ＋dc3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________(≈2.236，结果精确到0.01)．5(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与相等的是( )ADAF A . B . C . D .ABEF CDEF BOOE BCBE(第4题) (第5题)5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ cm ，则EF ＝________.36．如图，在△ABC 中，AM ∶MD＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB ＝4，则OE 的长是( )A ．2B .C ．1D .2128．在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( )A ．3∶4B ．4∶3C ．7∶9D ．9∶7(第7题)(第8题)　(第10题)9．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是________．11．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB·FC ；(2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．(第11题)12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，点M 是BC 的中点，连接MN ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长．(第12题)13．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第13题)相似三角形的应用14．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第14题)15．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第15题)位似与坐标16．某市区的街道大多用“经几纬几”表示，小明妈妈开的一家店铺恰好在经八路与纬九路的交汇处，简称“经八纬九”，我们将其记作(8，9)．那么经九纬八应记作________．17．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东30°方向45 km的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示．按这种表示方式，南偏东40°方向78 km的位置，可用代码表示为________．(第18题)18．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．19．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长(结果保留根号)．(第19题)答案解码专训一1．证明：过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M ，∵CM ∥AB ，△CMF ∽△BDF.∴＝.BF CF BD CM 又∵CM ∥AD ，∴＝.∵D 为AB 的中点，AE EC AD CM ∴＝.∴＝，即AE·CF ＝BF·EC.BD CM AD CM BF CF AE EC 2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴＝，＝.EF DF CE DG AB BC AD DG ∵AD ＝CE ，∴＝.∴＝.CE DG AD DG AB BC EF DF 即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．(第3题)3．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴＝，即BP·CP ＝BM·CN.BP CN BM CP 4．证明：∵∠A ＝35°，∠C ＝85°，∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－35°－85°＝60°.∵∠AED ＝60°，∴∠AED ＝∠B.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB.∴＝，即AD·AB ＝AE·AC.AD AC AE AB 5．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴＝，即AE·BE ＝PE·DE.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°且AE DE PE BE ∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC ∽△CEB.∴＝，即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.AE CE CE BE 解码专训二1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴＝.AD AB AE AC ∵∠A 是公共角，∴△ADE ∽△ABC.∴＝.AE AC DE BC ∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴＝，AE AC BD BC 即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高，∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴＝＝.S △ADE S △BDE h △ADE h △BDE 32∴＝.h △ADE h △ABC 35∵△ADE ∽△ABC ，∴＝＝.DE BC h △ADE h △ABC 35∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△EO BO DO CO COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO.所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴＝，∠BAD ＝∠C.AB AC DB DA ∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝EA.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴＝.∴＝.DB AD DF AF AB AC DFAF (第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC ，可由两组“射影图”得AE·AB ＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴＝.AD AE AB AC ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴＝.AD AE BD CE 解码专训三1．证明：∵DE ∥BC ，∴∠NEO ＝∠MBO ，∠ENO ＝∠BMO.∴△NEO ∽△MBO.∴＝.NE MB ON OM 同理可得＝.∴＝.∴＝.DN MC ON OM DN MC NE BM DN NE MC BM ∵DE ∥BC ，∴∠ANE ＝∠AMC ，∠AEN ＝∠ACM.∴△ANE ∽△AMC.∴＝.AN AM NE MC 同理可得＝，∴＝.∴＝.AN AM DN BM DN BM NE MC DN NE BM MC ∴＝.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC.MC BM BM MC 2．证明：过点C 作CO ⊥AB 于点O ，∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED.又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD.∴＝.AC CO EC CD 又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.3．证明：∵AC 2＝AB·AD ，∴＝.又∵∠A ＝∠A ，AC AD AB AC ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB.又∵BC 2＝BA·BD ，∴＝.又∵∠B ＝∠B ，BC BD BA BC ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA.∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∴CD ⊥AB.4．证明：设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k.∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG.∴△AFG ∽△CDG ，∴＝＝.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m.在FG DG AF CD 23Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝k.5∴5m ＝k.∴m ＝k.∴FG ＝k.555255∴＝＝，＝＝.∴＝.AF FG 2k255k 5DF EF 5k k 5AFFG DFEF 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE.∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.解码专训四1．A 2.4　3.49.44 cm 4.D 5.3 cm　(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图．易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵＝，∴＝.BD DC 23BD BC 25∴＝＝.DN CE BD BC 25∵＝，∴＝＝.AM MD 41AE DN AM MD 41∴＝·＝×＝.AE EC DN EC AE DN 2541857．A 8.D 9.6，1210．4或　点拨：∵△ABC 沿EF 折叠B 和B′重合，∴BF ＝B′F ，设247BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B′FC ∽△ABC 时，＝，∵AB ＝6，BC ＝8，∴＝，解得：x ＝，即：BF ＝；当△B ′F AB CF BC x 68－x 8247247FB′C ∽△ABC 时，＝，则＝，解得：x ＝4，当△ABC ∽△CB′F 时，FB ′AB FC AC x 68－x 6同法可求BF ＝4，故BF ＝4或.24711．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴＝.∴FD 2＝FB·FC ；FB FD FD FC (2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3.512．(1)证明：∵AN 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2.∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°.在△ABN 和△ADN 中，∵{∠1＝∠2，AN ＝AN ，∠ANB ＝∠AND ，)∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ；(2)解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝BN.∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BDC 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41.点拨：注意一般出现高、角平分线重合的情况，都可以利用三角形全等找到等腰三角形．13．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF.(2)解：易知∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝DF.12∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝2，CF ＝2－2.22在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(2－2)2＝16－8.22∴DM 2＝＝4－2.(DF 2)2 2∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴＝，即DM MB MEDM DM 2＝ME·MB.∴ME·MB ＝4－2.214．解：设CD ＝xm ，∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝xm ．易知△ABN ∽△ACD ，∴＝.即BN CD AB AC ＝，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .1.75x 1.25x －1.7515．解：过点C 作CM ∥AB ，分别交EF 、AD 于点N 、M ，作CP ⊥AD ，分别交EF 、AD 于点Q 、P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40cm ，PQ ＝8cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴＝，即NF MD CQCP ＝，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应NF 303240为44 cm .16．(9，8)17．044078　点拨：南偏东40°方向，时针正好指到4点40分，因而代码前4位是0440，代码的后两位是78，则代码是044078.18．(2，1)或(0，－1)19．解：(1)△A′B′C′如图所示：(第19题)(2)如图，四边形AA′C′C 的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC ＝2＋2＋2＋4222＝4＋6.。

九年级相似知识点归纳一、数学方面的相似知识点归纳1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例。

利用这些性质，我们可以求解各种与相似三角形相关的问题。

2. 相似比与比例相似比是指相似图形（包括三角形和多边形）的对应边的比值。

比例是指两个数之间的相对关系。

在解题中，我们需要用到相似比和比例来确定图形的相似性质以及求解未知数。

3. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但不同大小的多边形。

相似多边形的性质与相似三角形类似，对应角相等，对应边成比例。

我们可以利用相似多边形的性质来求解各类相关问题。

二、科学方面的相似知识点归纳1. 生物相似性在生物学中，相似性是指不同物种之间在形态特征、生理功能等方面存在相似之处。

相似性可以用来推断物种之间的亲缘关系，进行分类和进化研究。

2. 物理相似性在物理学中，相似性是指两个事物在某些性质上的相似程度。

物理相似性的研究可以帮助我们更好地理解和预测不同物体或系统的行为，比如利用相似性原理可以在实验室中进行模型实验，进而推广到真实情况。

3. 化学相似性在化学领域，相似性是指化合物或元素之间具有相似的化学性质或结构特征。

化学相似性可以用来预测物质的性质、反应行为，以及设计新的化合物或材料。

三、语文方面的相似知识点归纳1. 同义词与近义词同义词是指意思相同或相近的词语，而近义词指意思相近但不完全相同的词语。

在写作中，我们可以利用同义词和近义词来丰富文章的表达方式，避免重复使用相同的词汇。

2. 反义词与对义词反义词是指意思相反的词语，而对义词指相对应关系的词语。

在阅读理解和写作中，我们需要对反义词和对义词进行准确理解，以便正确地领会作者的意图和准确表达自己的思想。

3. 成语与俗语成语是特定社会和历史背景下形成的固定词组，具有特定的意义。

俗语是反映民间传统和智慧的短小词句。

在语文学习中，我们需要理解和运用成语和俗语，以提升语言表达的准确性和韵律感。

九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。

在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。

本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。

1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。

- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。

相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。

- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。

2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。

以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。

- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。

- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。

3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。

- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。

- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。

4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。

当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。

常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。

- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：① a:b=c:d 则有ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么ban f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系 （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。

图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例 项． 知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理 由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。

___版数学九年级上册第四章《图形的相似》重点题型归纳平行交于点F.求证：△BDF∽△ABC.在△ABC中，因为CE是外角平分线，所以∠___∠ACB=60°.又因为BD∥CE，所以∠___∠BCE=60°.所以△BDF为等边三角形，即BD=DF.又因为△ABC为等边三角形，所以AB=BC=AC.因此，△BDF∽△ABC（因为∠___∠ACB=60°，且BD=DF，AB=BC=AC）。

在△ABC中，连接DE，CF，交于点G.因为DE∥BC，所以∠DGE=∠ABC.因为EF∥CD，所以∠___∠ACB.因为△ABC为直角三角形，所以∠ACB=90°，而∠DGE+∠___∠ABC+∠ACB=180°.因此，△DGE∽△EFC（因为有两个角对应相等）。

已知AC∥FE∥BD，连接AD，BE，CF，交于点G，H，I.因为AC∥FE，所以∠GHI=∠ABC.因为AC∥BD，所以∠AGH=∠ABC.因为FE∥BD，所以∠___∠ABC.因此，△AGH∽△ABC∽△BHI（因为有三个角对应相等）。

在△ABC中，因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC.因为EF∥CD，所以∠___∠___.因此，△ADE∽△ABC（因为有两个角对应相等）。

已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB.连接CF，交DE的延长线于点F.因为EF∥AB，所以∠___∠ACB.因为DE∥BC，所以∠___∠ACB.因此，△DFC为等腰三角形，即CF=CB.因为DE∥BC，所以△DEF∽△BCF（因为有两个角对应相等）。

根据平行线分线段成比例定理，有.证明：连接AF，BE，CF，由题意可知△ABD和△ECD有相同的高DE，且AD=DC，因此有△ABD∽△CED。

根据相似三角形的性质可知，AB/CE=BD/ED，即AB·ED=BD·CE。

《相似图形》要点回顾与考点透视告诉你一个事实：给我一块巴掌大的玉石，我能在上面雕刻出古典名著《红楼梦》，也许你会觉得太离谱了，也许你会瞠目结舌：那样的话所写的字该有多小啊？这太难了！但我可以借助于放大镜.其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，然而形状却完全相同.你看这是多么神奇啊！为了能弄清问题的本质，让我和同学们一起走进相似的图形世界吧. 希望同学们能感兴趣.一、知识网络二、要点回顾1.在同一单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比，求线段的比时，两条线段的长度单位一定要统一，不过在同一单位下的线段长度的比与选用的单位又无关.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.就是说在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么，这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段. 2.式子b a ＝dc ，或a ∶b ＝c ∶d 叫做比例式.即比例式是由两个比值相等的比用等号连接而成的，并且在比例式b a ＝d c ，或a ∶b ＝c ∶d 中，a 、b 、c 、d 称为比例的项.其中，a 、d 叫做比例外项；b 、c 叫做比例内项；d 叫做第四比例项.特别地，若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项。

即若a ∶b ＝c ∶d ，则b 叫做a 、c 的比例中项.比例的基本性质是：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc .比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad ＝bc ，那么a ∶b ＝c ∶d (ad ≠0)；特别地，如果a ∶b ＝b ∶c ，那么b 2＝ac ；反过来也有如果b 2＝ac ，那么a ∶b ＝b ∶c (bc ≠0).3.把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.此时还有215-=AB AC ，即AC ∶AB ≈0.618∶1.黄金分割在自然、社会、生活等多方面有着重要的应用，同学们在复习时应注意理解.4.对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.其中对应边的比叫做相似比.相似比应讲究一个顺序性.5.识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）截得的三角形与原三角形相似.特别地对于直角三角形相似，除了运用一般地三角形相似的判定方法外，还有其特殊的判定方法，即：①如果一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的一个锐角边对应相等，那么这两个直角三角形相似；②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似.6.相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方.7.利用相似三角形的有关知识可以测量一些建筑物的高度.如测量旗杆的高度：方法1：利用太阳光的影子.即如图1，让一名同学站立于旗杆的影子的末端D 处，测出旗杆影长BD ，再测出这名同学的高度C 和影长在BD ，由于此时△ABD ∽△CDE ，即可求出旗杆高AB .方法2：利用标杆.即如图2，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时，分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE 和到旗杆底部的距离BE，再测出标杆的高CD ，利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB .方法3：利用镜子的反射.即如图3，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测出观测者的脚到镜子的距离DM 和旗杆底部到镜子的距离BM ，再测出观测者的高CD ，由于∠AMB =∠CMD ，易得△AMB ∽△CMD ，即可求出旗杆高AB .8.相似多边形的周长比等于它们的相似比，相似多边形的面积比等于它们的相似比的平方，相似多边形对应对角线的比也等于它们的相似比.9.两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上.三、方法导引1.比例的基本性质是比例式变形、求值、证明的重要依据．在比例式变形、求值、证明中，引人参数k 的方法能化繁为简、化难为易.2.灵活运用相似三角形的判定条件解决有关问题，关键是确定相似三角形，通常按下列思路分析：①若已有一组角相等，可再找另一组角相等；或者再找这组角的两边对应成比例.②若已有两组边对应成比例，可再找夹角相等；或者再找第三组边也对应成比例.难点在于找准对应关系.一般地图形中的对顶角、公共角、同角（等角）的余角（或补角）相等或者已知相等的两个角，可能是对应角.图1 D 图2 D E图3 D M最大的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），最小的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），余下的第三对边（角）的对角（边）可能是对应角（边）.3.由待求的比例式可按如下步骤分析：“横找三角形，竖找对应边，再找对应角”.或也可按“竖找三角形，横找对应边，再找对应角”的方法分析，找出待证的相似三角形.在应用上述方法无法解决时，可利用中间量（中间线段、中间比、中间积等）进行代换，转化为容易解决的问题.四、考点解析考点1线段成比例例1（上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF分析由平行线分线段成比例的意义逐一对照即求.解因为AB∥CD∥EF，所以ADDF＝BCCE.故应选A.说明由平行线写出的成比例线段时，一定要对照图形，按照一定的顺序进行，切不可以随便乱写一通，从而造成错误.考点2黄金分割例2（孝感市）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cm B .6cm C.8cm D.10cm分析 若设出穿的高跟鞋的高度为a cm ，由条件可先求出x 的值，进而利用黄金分割的意义列式求解.解 若设出穿的高跟鞋的高度为a cm ，因为某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，所以165x ＝0.60，解得x ＝0.60×165.又由黄金分割的意义，得x a l a ++＝0.618，即0.60165165a a⨯++＝0.618，解得a ≈8. 故应选C .说明 求解本题时除了要能灵活运用黄金分割的概念外，还必须弄清楚各个量的意义，不能弄错.考点3 相似三角形的性质例3（凉山州）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝1∶2，则AB ∶A ′B ′＝______.分析 已知两个三角形相似，且知道面积之比，要求对应边的比，于是可利用相似三角形的性质使线段之比转化成面积比即可求解.解 因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝1∶2，所以ABC A B C S S '''V V ＝2AB A B ⎛⎫ ⎪''⎝⎭＝12，即AB A B ''＝2，所以AB ∶A ′B ′＝1∶2. 说明 本题是逆用相似三角形的性质求解.考点4 相似三角形的判定例4（滨州市）如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4分析 利用相似三角形的判定，结合图形特征求解.解由相似三角形的条件，并由图形特征可知①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；④AC2＝AD·AB；都能单独判定△ABC∽△ACD.故应选C.说明求解此类问题一定要注意从图形中及时发现隐含条件.如，本题中的∠A是两个三角形的公共角.考点5相似三角形的实际应用例5（陕西省）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）.分析要求楼高AB，由太阳光所成影子的特点，可通过辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解.解过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.因为EF∥AB，所以△DHF∽△DGB，所以FHBG＝DHDG，即0.5BG＝0.830，解之，得BG＝18.75.所以AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0.答：楼高AB约为20.0米.说明本题是利用相似三角形的知识解决生活中的高度测量问题，求解时应通过适当的辅助线将问题及时转化，从而运用相似三角形的性质列式求解.考点6相似多边形例6（济宁市）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A.2cm 2B.4cm 2C.8cm 2D.16cm 2分析 依题意，原矩形的面积等于8×4＝32（cm 2），留下的矩形长刚好是原矩形的宽，即两个矩形的相似比等于4∶8，此时，要求阴影部分的面积，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求得.解 设图中阴影部分的面积为x cm 2，因为两个矩形相似，所以32x ＝248⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝8.故应选C .说明 研究相似多边形时，应注意哪是对应边，哪是对应角，否则就容易出现错误.考点7 图形的位似例7（宁德市）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为_______.分析 利用位似图形对应边的比等于位似比列式求解.解 因为△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，所以AB ∶DE ＝2∶3， 而AB ＝4，所以4∶DE ＝2∶3，解得DE ＝6.说明 本题考查位似图形，解题时，可通过观察图形结合所给数据和位似比直接计算结果.考点8 动点与图形的相似例8（上海市）已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABAD PC PQ =（如图1所示）. （1）当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图1中，联结AP .当AD ＝32，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q之间的距离为x ，APQPBC S S △△＝y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.分析（1）由题意，结合图形容易知道∠D ＝45°，进而求解.（2）从APQPBC S S △△＝y 出发，可引进参数，将这两个三角形的面积都用k 来表示，从而求解.（3）易得Rt △ABD ∽Rt △EPB ，进而得到Rt △PQF ∽Rt △PCE ，于是可得∠QPC ＝90°.解（1）如图2，因为Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝2，所以PQ PC ＝AD AB＝1，∠D ＝45°，所以PQ ＝PC ，即PB ＝PC ，过点P 作PE ⊥BC ，则BE ＝12BC ＝32. 而∠PBC ＝∠D ＝45°，所以PC ＝PB ＝223. （2）在图1中，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AB 于点F .因为∠A ＝∠PEB ＝90°，∠D ＝∠PBE ，所以Rt △ABD ∽Rt △EPB ，所以EB EP ＝AD AB ＝32÷2＝34.设EB ＝3k ，则EP ＝4k ，PF ＝EB ＝3k ， 所以S △BPC ＝12×BC ×PE ＝12×3×4k ＝6k ， S △APQ ＝AQ AB ×S △APB ＝22x -×12×AB ×PF ＝22x -×12×2×3k ＝()232x k -⋅， 所以y ＝APQPBC S S △△＝()1223k x k -⋅＝42x-，函数定义域为0≤x ＜2. （3）答：90°.证明：在图3中，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AB 于点F . A D P C B Q 图1 D A P C B （Q ） 图2 图3 CA D P BQ F F E E因为∠A＝∠PEB＝90°，∠D＝∠PBE，所以Rt△ABD∽Rt△EPB，所以EB EP＝ADAB，所以PQPC＝ADAB＝EBPE＝PFPE，所以Rt△PQF∽Rt△PCE，所以∠FPQ＝∠EPC，所以∠EPC+∠QPE＝∠FPQ+∠QPE＝90°.说明本题意在考查对等腰直角三角形、相似三角形、共高三角形的面积、直角三角形相似的判定等知识的理解与运用.。

九年级数学上册《图形的相似》知识点汇总青岛版九年级数学上册《图形的相似》知识点汇总青岛版重点：位似图形的有关概念、性质与作图.2.难点：利用位似将一个图形放大或缩小.3.难点的突破方法(1)位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. (2)掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形;②两个位似图形的位似中心只有一个;③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.(3)位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比).(4)两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行.(5)利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题.作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择;②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点;③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小;④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.1.下列说法正确的是().A.相似的两个五边形一定是位似图形B.两个大小不同的正三角形一定是位似图形C.两个位似图形一定是相似图形D.所有的正方形都是位似图形考查目的：考查位似图形的概念.答案：C.解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C.2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是() A.16 B.32 C.48 D.64考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：A.解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.故答案应选择A.3.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为________ cm. 考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：50.解析：位似图形一定是相似图形，具备相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶5，则周长比是3∶5，故答案应是50。