第四章函数应用章末复习提升课
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把握宏观理清脉络
函数的应用
专题突破覃链接高考上
聚焦考点拓展升华
专题突破
专题㈠判定函数零点(方程根)的区间
常用方法：(1)零点判定定理；
(2)数形结合利用函数的图像与x轴的交点；
(3)化为两函数图像交点的判断.
例1 (2014-高考北京卷)已知函数/(x)=--log2x.在下列区
间中，包含/(兀)零点的区间是(C )
A. (0, 1)
B. (1， 2)
C. (2, 4)
D. (4, +8)
［解析］由题意知，函数心)在(0, +8)上为减函数，又几1)
=6—0=6>0,介2)=3—1=2>0, f(4)=—一log24=—一2=一一
4 2 2 V0,由零点存在性定理，可知函数/(©在区间(2, 4)上必存在零点.
专题㊁函数零点个数（方程根个数）的判定
常用方法：（1）直接求出零点，与二次函数有关的零点个数常利用A判定.
（2）利用零点判定定理结合函数性质（如单调性、对称性等）判定零点的个数，把方程/（兀）=0根的个数转化为函数y=f（x）零点个数的判定.
⑶函数金）=g（x）—方（兀）的零点或方程g（x）—h （x） = 0（其中g（x）,力（兀）为常见易画图像）根的个数转化为函数y=g（x）. y =仇（劝图像交点个数进行判定.
⑴函数Ax）=2x llogo.5xl-1的零点个数为（B ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
⑵已知函数丁=/(兀)和y=g(x)在［一2, 2］上的图像如下图所示：
给出下列四个命题:
①方程张（劝］=0有且仅有6个根;
②方程gl/（x）］=O有且仅有3个根;
③方程/1/（兀）］=0有且仅有7个根;
④方程瞻（兀）］=0有且仅有4个根. 其中正确命题的序号
为①④•
［解析］⑴令/(兀)=2x llog0.5xl— 1
=0,可得llogo.5Xl = g) •
设g(x)= llogo.5xb h(x)=
一坐标系下分别画出函数g（x）,仇（兀）的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数/（兀）有2个零点.
⑵函数几兀)的三个零点为偽〃和0且X"，由图知2,—1), (1» 2),
函数能)的两个零点为c, 〃且cv〃，由图知圧(一2, -1), je(o,
1).
(i )由九g(x)]= 0知g(x)="或能)=〃或g(x)=O,其中(― 2, -1), bE(l, 2),由g(x)的图像与尸"有2个交点，与y = b和y=0都有2个交点，所以尸九金)]有6个零点，故
①正确.
(ii)S g[f(x)]= 0 知/(x)=c 或f(x)=d9其中ce(—2, —1), ”W(0, 1),尸心)的图像与直线尸c有1个交点与直线尸〃有3个交点，所以函数y=g[f(x)]有4个零点，故②不对.
同理可以判断③不对，④正确.故正确的说法为①④.
专题㊂根据函数的零点（方程根）求参数的范围常用方法：（1）二次函数零点（或二次方程根）的分布问题用函数思想求解.
（2）利用函数图像数形结合求解.
（3）利用分类讨论思想求解.
已知函数/(x)=lx—21+1, g(兀)=也•若方程/(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数吃的取值范围是（B ）A. 0,
C. (1, 2)
D. (2, 4-oo)
过4点时斜率为丄,
2 故沧)=g&)有两个不相等的实根时，k
［解析］先作出函数/(x) = lx-2l+1的图像，如图所示，当直线g(X)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线^=kx
专题何）函数模型的应用______________________
常用方法：（1）利用所给定的函数模型或图像，用待定系数法求出解析式进而解决实际问题.
（2）构造函数模型：一是由题意直接确定模型，进行解决其他问题，二是由题目提供的数据，利用图形确定函数模型.从而解决一些实际问题或预测一些结果•
我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产 品市场供应量p 与关税的关系近似满足p(x)= 2(1-kt)(x-
为正的常数)，时的市场供应量曲线如图所示.
")2(其中/为关税的税率，且炖0
o, J X 为市场价格，b 、k
_______ I I I I I I I A
0 5 7 %
⑴根据图像，求b、氐的值;
(2)记市场需求量为“，它近似满足a(x)=2n~2f当p=“时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格控制在不低于9时，求关税税率的最小值.
［解］⑴由图像知
即
（7—
方）
2 =
0,
解得2
2 x (2)当p=a时，有2(1"6Z)(X"5)=211_2,
即(l-60(x-5)2=ll-p 即2(1-60=由兀$9,得x—5M4,即
17 1 13
则［2( 1—6切叱=石_二=花・
13
1—6/W迈，&
17 1 (x—5) 2x—5°
19 192 *故关税税率的最小值为
19
192
*
解析：令f(x) = \^
—A?,由J=x3, y = (|)的单调性可知， f(H)是单调函数，且堆
)=傍1毎＜5 故由零点存在定理可知
1.若兀0是方程g)=括的解, 贝il 兀0属于区间(D ) D
心)在内有零点.
e x + a,兀WO,
2.已知函数于（劝=
若函数/（对在R上有两个2x—1，兀＞0, 不同零点，则“的取值范围是（D）
A. [—1, +°°)
B. (—1, +°°)
C. (-1, 0)
D. [-1, 0)
解析：当兀=扌时,©)= 2X^—1= 0,故扌是/(工)的一个零点, 故当兀W0时也应有一个零点，当xWO时，e' + a=O,即e* =—ay可得：e (0, 1],故0v—“W1,即一lW“vO・
3.中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005 年至2020年15年间，中国单位国内生产总值二氧化碳排放 强度下降到40%,则2005年至2020年二氧化碳排放强度平 均每年降低的百分数为5・9% .（参考数据：0.94115^0.4） 丄
x= 1-0•扭 ~ 1一 0.941= 0.059= 5.9% • 解析：设平均每年降低的百分数为兀, 由题意得：（1—x ）k =
0.4, 丄 1-X= 0.4^5,
4 .已知函数/(x) = mx — 2(m + n)x + n , (JW HO)满足
/(0)-/(1)>0,设兀1，兀2是方程/(*)=0的两根，贝i\xi—x2的
解析：由/(0)・/(1)>0可得如+〃)vo,色j+和0.设吒即r2+r<o,得址(一1, 0).因为加H0,所以J=[-2(/W+H)]2
取值范圉是2, 2)
■巳
2 （加十兀）
X1 I 兀2 、
1X1 — x2l = V （兀1 + 兀2）2—4X1X2 —n
兀1兀2 = _，
m
2^\^J+ —+1= 2\]t2 + /+1,令巩（）=”+『+1,绘（一1, 0）, 可
得gC）w[|，1）故比1一对丘[厉，2）.
5.已知函数/(x)=ax2+bx~\~(b— l)(a^0).
若函数于(兀)有一个二重零点，求实数偽方满足的关系式. 解：因为二次函数/(X)有一个二重零点，所以方程a?+加+ (b— 1)=0有两个相等的实数根，从而/ = / —4a(b—1)= 0, 即产=4«(方一1),此即实数偽〃满足的关系式.
6.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好,
但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费, 一个月中30方以内(含30 %)每张球台90元，超过30方的部分
每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15仏也不超过40汕⑴设在甲家租一张球台开展活动x h的收费为/3)元(15WxW40),在乙家租一张球台开展活动x h的收费为g(x) 元(15WxW40),试求g(x).
(2)问选择哪家比较合算？为什么？
解：(l)f(x) = 5x, 15WxW40；
90, 15EW30,
g(Q=
30+2x, 30VxW40・ (2)当5x=90 时，x= 18,
即当15WxV 18 时,f(x)<g(x)；当18VxW40 时，/(x)>g(x)；所以15^x<18时，选甲家比较合算；当x=18时，两家一样合算；当18<x^40时，选乙家比较合算.
当x= 18时，f(x)=g(x)；
本部分内容讲解结束。
