1.3.3 秦九邵算法

秦九韶算法介绍和实例分析具体而言，秦九韶算法通过构建一个累加器，用来存储每一次迭代计算的结果。

首先，将多项式的最高次项系数存入累加器中。

然后，通过迭代计算，将每一个次高次项的系数与上一次迭代的结果相乘，并加上该项的常数部分。

依次迭代计算，直到将所有的项都计算完毕。

最终，累加器中的值即为多项式的求值结果。

下面以一个实例来说明秦九韶算法的应用。

假设我们要求解如下多项式的值：P(x)=2x^4+3x^3-5x^2+6x-4首先，我们可以将多项式表示为累加的形式：P(x)=(((2x+3)x-5)x+6)x-4然后，我们可以使用秦九韶算法进行计算。

首先，将最高次项系数2存入累加器中。

累加器=2接下来，进行迭代计算。

首先，将累加器乘以x，并加上次高次项的常数部分3，得到结果5x+3累加器=(5x+3)然后，将累加器再次乘以x，并加上次高次项的常数部分-5，得到结果-5x^2+(5x+3)。

累加器=(-5x^2+5x+3)依次类推，进行下一次迭代计算。

最终，得到累加器的值为-4累加器=(-4)因此，多项式P(x)在x=1处的值为-4通过以上实例分析，我们可以看到，秦九韶算法通过使用累加的方式进行计算，大大减少了乘法和加法运算的次数，提高了算法的效率。

在实际应用中，秦九韶算法常用于求解多项式的值，例如在计算机图形学中，可用于求解曲线上的点的坐标。

同时，该算法还可以用于多项式的除法和求导等运算中。

总结起来，秦九韶算法是一种用于求解多项式的高效算法，通过使用累加的方式进行计算，减少了乘法和加法运算的次数。

该算法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高计算效率，同时也为其他相关运算提供了基础。

算法案例中国数学名家－秦九韶秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。

,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。

青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。

秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：（1）“大衍求一术”。

即为一次同余式组解法。

西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。

他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。

(2)线性方程组解法。

他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。

他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。

(3)高次方程数值解法。

他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。

他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。

西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。

(4)“三斜求积”。

他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。

这与西方的海伦公式是等价的。

中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

秦九韶算法公式
《秦九韶算法公式》是由古代中国数学家秦九韶发明的一种算法公式，与其他现代算法公式相比，它有较高的准确度和计算速度，被广泛应用于科学计算中。

秦九韶算法公式由三部分组成：十六进制转换、递归分解和矩阵运算。

十六进制转换秦九韶算法的基础，它可以将一个二进制数转换成十六进制数。

十六进制转换可以确保数据的精确性，从而确保最终结果的准确性。

递归分解的过程是将原来的高维数据逐步分解成低维数据，这样可以有效减少计算量，提高计算速度。

例如，原本要计算一个1024维数据，经过8次递归分解，就可以将它分解为8个2维数据，再进行计算，大大提高了计算效率。

矩阵运算是一种高效算法，它采用矩阵之间的乘积运算，可以大大提高计算效率，简化计算过程。

另外，矩阵运算有利于准确推断出复杂的关联关系，可以更有效地进行大规模的数据分析。

秦九韶算法公式在科学计算中得到了广泛应用，它可以有效解决复杂的计算难题，提高计算效率，提高准确度。

在金融分析、市场分析、图像处理、信号处理等领域都有广泛应用。

例如，在股票市场分析中，可以利用秦九韶算法公式快速分析市场的投资策略，辅助投资者更好地把握市场机会，更好地投资，获得投资回报。

另外，在图像处理中，秦九韶算法可以将图像转换成高分辨率的数字表示，从而实现图像处理的效果。

还有，在信号处理领域，
秦九韶算法可以实现快速精确地信号处理，准确地提取信号特征，从而可以实现复杂的信号分析。

秦九韶算法的应用可以帮助我们更有效地处理复杂的数据，从而更有效地实现科学计算，从而更好地适应现代社会的发展需求。

证明秦九韶算法
秦九韶算法是一种将多项式相加的方法，它可以在 $n$ 次加法操作内完成 $n$ 项多项式的求和运算，时间复杂度为 $O(n)$。

这个算法在代数学中有着重要的应用。

其基本思路是将多项式表示为对应项系数的一个向量，比如多项式 $f(x)=3x^3+2x^2+5x+1$ 可以表示为向量 $(3,2,5,1)$。

然后秦九韶算法以 $\alpha$ 为基数，依次计算每个向量的值，并使用递归的方式进行计算。

具体地，计算多项式 $f(x)$ 在 $\alpha$ 处的值可以使用以下公式：
$$
f(\alpha) = (\cdots ((3\alpha+2)\alpha + 5)\alpha + 1) $$
其中，每个 $\alpha$ 都是常数，仅仅是连续的乘法和加法，可以使用加减乘除运算来计算。

由于每一次计算都只涉及一次乘法和一次加法，因此时间复杂度为 $O(n)$。

秦九韶算法在代数学中有着广泛的应用，特别是在计算机代数系统中。

比如，在符号计算系统中求解多项式方程、微积分计算、概率论计算等问题中都会用到秦九韶算法。

秦九韶算法求多项式某一点处的值或导数设法减少算法中乘法或加法的数量，是提升算法性能的方法之一。

秦九韶算法就是其中的范例。

设给定多项式(1)p(x)=a0xn+a1xn#x2212;1+#x22EF;+an#x2212;1x+an"role="presentation">p(x)=a0xn+a1xn?1+?+an?1x+an(1)(1)p(x)=a 0xn+a1xn?1+?+an?1x+anp(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+cdots+a_{n-1}x+a_n tag{1}求x#x2217;" role="presentation" style="position: relative;">x?x?x^{*}处的函数值p(x#x2217;)" role="presentation" style="position: relative;">p(x?)p(x?)p(x^*)我们采用以下方法：p(x)=(#x22EF;(a0x+a1)x+#x22EF;+an#x2212;1)x+an"role="presentation">p(x)=(?(a0x+a1)x+?+an?1)x+anp(x)=(?(a0x +a1)x+?+an?1)x+anp(x)=(cdots(a_0x+a_1)x+cdots+a_{n-1})x+a_n它可以表示为(2){b0=a0bi=bi#x2212;1x#x2217;+ai,i=1,2,#x22EF;,n"role="presentation">{b0=a0bi=bi?1x?+ai,i=1,2,?,n(2)(2){b0=a 0bi=bi?1x?+ai,i=1,2,?,nbegin{cases}b_i = b_{i-1}x^* + a_i, quad i=1,2,cdots, nend{cases}则bn=p(x#x2217;)" role="presentation" style="position: relative;">bn=p(x?)bn=p(x?)b_n = p(x^*)为所求。

1.3 算法案例——秦九韶算法与排序【知识与技能】(一)秦九韶算法1．特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可。

2．算法步骤：第一步：计算最内层1n n a x a -+的值，将1n n a x a -+的值赋给一个变量1v （为方便将n a 赋给变量0v ）；第二步：计算12()n n n a x a x a --++的值，可以改写为12n v x a -+，将12n v x a -+的值赋给一个变量2v .依此类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值k v ，即从最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量123,,,,,,.k n v v v v v L L 第n 步所求值10n n v v x a -=+即为所求多项式的值。

因此得到以下公式：(二)排序排序就是按照一定的规则，对数据加以排序整理，从而提高查找效率。

排序的方法有很多，主要掌握两种直接插入排序法和冒泡排序法。

（1）直接插入排序法。

这是从部分到全体，从局部到整体的排序方法，它是先将前两个数按要求的顺序排好，然后把第3个数与这两个排好的数进行大小比较，按其大小关系将第3个数插到已排好的两个数中的适当位置，使之符合要求，然后再将第4个数按同样的方法插到已排好序的三12121012312102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a a --------------=+++++=+++++=+++++==+++++L L L L L L L {01(1,2,)n k k n k v a v v x v k n --==+=L个数中适当的位置上，依次下去，直到把最后一个数插到前面已排好的数中适当的位置为止，这时各数的顺序就是符合要求的最终顺序。

《秦九韶算法》乘法运算，第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提）秦九韶计算多项式的方法利用秦九韶算法计算精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

§ 1．3．2 秦九韶算法1．学习要求：通过阅读中国古代数学中的算法案例——秦九韶算法，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

2．方法技巧：秦九韶算法的算法步骤：设1110()n n n n n P x a x a xa x a --=++++ ，将其改写为 121102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n P x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=++++=+++++=+++++ 第一步：计算最内层1n n a x a -+的值，将1n n a x a -+的值赋给一个变量1v （为方便将n a 赋予变量0v ）； 第二步：计算12()n n n a x a x a --++的值，可以改写为12n v x a -+，将12n v x a -+的值赋给一个变量2v ；依次类推，既每一步的计算之后都赋予一个新值k v ，即从最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量123,,,,,k n v v v v v 。

第n 步所求值10n n v v x a -=+即为所求多项式的值。

上述求值过程应用了以下公式：01.,1,2,,.n kk n k v a k n v xv a --=⎧=⎨=+⎩3．误区警示：当多项式中有几项不存在时，可将这几项看做0n x ⨯。

感受理解1．用秦九韶算法计算多项式65432()34567810.4f x x x x x x x x =++++++=当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A ．6，6B ．5，6C ．5，5D ．6，52．用秦九韶算法计算多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++，当4x =-时的值时，3v 的值为（ ）A ．845-B ．220C ．57-D ．343．用秦九韶算法求n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =时，求 )(0x f 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为 （ ）A ．n n n n ,,2)1(+ B. n,2n,n C. 0,2n,n D. 0,n,n 4．用秦九韶算法计算多项式65432()126016024019264f x x x x x x x =---+-+，当2x =时的值为（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．4课后练习5．秦九韶算法是我国南宋数学家____________在他的代表作_________________中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法。

秦九韶多项式求解技巧秦九韶算法，也称为秦九韶多项式求解技巧，是一种用于求解多项式的高效算法。

它的基本原理是将多项式表达式转化为一系列的加法和乘法运算，从而减少了计算的复杂性。

在本文中，我们将介绍秦九韶算法的基本原理和具体实现步骤。

1. 秦九韶算法的基本原理秦九韶算法的基本原理是利用多项式的特殊性质，将多项式表达式转化为一系列的加法和乘法运算，从而减少计算的复杂性。

具体来说，秦九韶算法利用了多项式的线性叠加性质和公因子提取的原则。

多项式的线性叠加性质指的是，对于一个多项式f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，可以将其表示为一个累积的求和过程，即 f(x) = a0 + x*(a1 + x*(a2 + ... + x*(an-1 + an*x)...))。

公因子提取的原则指的是，对于一个多项式f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，可以将其表示为一个公共因子和一个剩余多项式的乘积形式，即f(x) = (a0 + x*(a1 + x*(a2 + ... + x*(an-1 + an*x)...)) = a0 + x*(a1 + x*(a2 + ... + x*(a(n-1) + an*x)...)) = ... = a0 + x*(a1 + x*(a2 + ... + x*(a(n-2) + (an-1 + an*x))...))。

综合以上两个原则，可以将多项式的求解过程转化为一系列的加法和乘法运算，从而减少计算的复杂性。

这就是秦九韶算法的基本原理。

2. 秦九韶算法的具体实现步骤秦九韶算法的具体实现步骤如下：步骤一：初始化结果变量result为0。

步骤二：从最高次方项开始，依次对多项式的系数进行公因子提取运算。

步骤三：每次公因子提取运算，将当前系数与result 相乘并累加到result中。

步骤四：重复步骤二和步骤三，直到处理完所有的系数。

1.3算法案例：秦九韶算法1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x)23456++++++x x x x x ＝ 当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ）A 、6，6B 、5，6C 、5，5D 、6，53、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。

4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（ ）A 、3210a a a a +++的值B 、300201032x a x a x a a +++的值 C 、303202010x a x a x a a +++的值 D 、以上都不对5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++,如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）答案：1、D2、A3、解：13)5)2.7)5.3)8)123((((()(-++-++=x x x x x x x f2.243168)6(2.2431681362.40530562.67542.765.11245.36188863012635645342312010==-⨯==+⨯==+⨯==-⨯==+⨯==+⨯==f v v v v v v v v v v v v v4、C5、n ＋3)（2）2n ；（3）∵0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+，∴P0（2）=1，P1（2）=2P0（2）+2=4；P2（2）=2P1（2）+3=11；P3（2）=2P2（2）+4=26；P4（2）=2P3（2）+5=57；P5（2）=2P4（2）+6=120。

求解一元三次方程的秦九韶算法
秦九韶算法是一种用于求解一元多项式的方法，特别适用于多项式系数较大的情况。

对于一元三次方程，我们可以使用秦九韶算法来求解。

首先，我们需要将一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 改写为标准形式：
$x^3 + px + q = 0$
其中 $p = -b/a$，$q = -c/a$。

然后，我们可以使用秦九韶算法来求解这个方程。

秦九韶算法的基本思想是将多项式转化为一系列的加法和乘法运算，从而避免了大量的重复计算。

秦九韶算法的步骤如下：
1. 初始化变量 $v_0 = 1$，$v_1 = p$，$v_2 = q$。

2. 计算 $v_3 = v_1 v_2 - v_0 q$。

3. 如果 $v_3 = 0$，则 $x = -v_2 / v_1$，结束算法。

4. 否则，更新 $v_0 = v_1$，$v_1 = v_2$，$v_2 = v_3$，然后返回步骤 2。

下面是一个使用 Python 实现的秦九韶算法的例子：。

秦九韶算法公式详解随着科技的不断发展，算法在计算机科学中扮演着重要的角色。

算法可以将复杂的问题简化成易于处理的形式，从而提高计算机的效率和精度。

在众多算法中，秦九韶算法是一种较为常用的多项式求值算法，本文将对其进行详细的介绍和解析。

一、秦九韶算法的历史和背景秦九韶算法是中国古代算学家秦九韶所发明的一种多项式求值算法。

秦九韶是明代著名的数学家、天文学家和地理学家，他的数学成就在中国古代数学史上占有重要地位。

秦九韶算法在他的《数书九章》中首次被提出，并被广泛应用于中国古代的天文、地理、数学等领域。

二、秦九韶算法的原理和实现秦九韶算法的本质是利用多项式的代数性质，将多项式的求值问题转化为一系列简单的加法和乘法运算。

其基本原理如下：设多项式为P(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anxn，其中ai为多项式的系数，n为多项式的次数。

对于任意的x0，我们可以通过以下公式计算出多项式在x0处的值P(x0)：P(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + x0(...(an-1 + x0an)))) 可以看出，这个公式可以通过递归的方式进行计算，每次计算都只需要进行一次加法和一次乘法运算，因此具有很高的效率和精度。

实现上，我们可以使用一个循环来计算多项式的值，每次循环都将当前的系数乘以x0，并加上上一次的结果，最终得到多项式在x0处的值。

具体实现如下：double qinjiushao(double x, double a[], int n) {double result = a[n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {result = result * x + a[i];}return result;}其中，x为多项式的自变量，a为多项式的系数数组，n为多项式的次数。

这个函数的时间复杂度为O(n)，非常适合用于多项式求值的场合。

三、秦九韶算法的应用和拓展秦九韶算法广泛应用于科学计算、工程设计、数据挖掘等领域，尤其在计算机图形学中有着重要的地位。

§1．3秦九韶算法与排序（两个课时）教学目标：1了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。

教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计，两种排序法的排序步骤及其程序设计教学难点:秦九韶算法的先进性理解及其程序设计,排序法的计算机程序设计教学过程 (秦九韶计算多项式的方法)例1、设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。

个别学生提出一般的解决方案，如：x=5 y=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x+ 7 PRINT“y=”；y END提问：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？(上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单、易懂。

缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。

)提问：计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计算x2.x，（x2.x）.x，(（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?(上述算法一共做了解4次乘法运算，5次加法运算。

)结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果。

我们把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，x的系数依次是什么？用图表可以表示为：最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程。