材料力学T_3扭转

目的： 确定横截面上各点应变 分布规律。
试验之前薄壁圆筒表面作圆周线，纵 向线，形成小矩形。
实验现象：
(1) 圆周线绕轴线相对转动，但形 状、大小、间距不变；
(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了 角；
(3) 矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
W P 1000(N m)
n W M e 2 60
60000 P P Me 9549 (N m) 2 n n
Mechanics of Materials by Yang Zhen
2.扭矩和扭矩图
截面法：
M
m
设横截面上的内力偶矩为T： S Mx=0 T – M = 0 M T=M
R
d dx
c d
a' b'
c'
d'
b
Mechanics of Materials by Yang Zhen
T T O2 a

c e c′
d e’

x
b

e
d
O2
e′

dx dx
在横截面上半径 处 e 点： ee' = d = dx ∴ e 点切应变：
d ：扭转角 沿轴线 x 的变化率，对给定的截面为一常量。 dx
推知：
a
c
d
a' b'
c' d'
(1) 过半径的纵向截面上无正应力； b (2) 横截面上无正应力，只有切应力。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
取横截面 m-m 分析
∵ 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点 切应力 相等，方向与半径垂直。
又 d << R0，切应力 沿壁厚均布。
(c)
∴ T GI p
d dx
d T dx GI p
为计算圆轴扭转变形的基本公式。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
将 d T
dx
GI p
代入(b)式，得：
T ρ Ip
T R T Ip Ip R
为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。 二、最大扭转切应力 在圆轴表层： max = R，有最大切应力： max 令
a
'
b
'
c dx

d
S Mz=0
( ' d dx)dy – ( d dy)dx = 0
∴ '=
切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反， 两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。 纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。
Wp
Ip R
∴
max
T Wp
可知：Wp，max
称为横截面的抗扭截面系数，单位：m3，mm3。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
二、极惯性矩和抗扭截面系数
d
I p A dA Wp
2
Ip R

1、实心圆截面
O
D
取微面积：dA=2 d，距圆心为 ，
Tmax Wp [ ]
由 Tmax [M] [P]
Mechanics of Materials by Yang Zhen
例2 功率为 150kW，转速为 924 r/min的电动机转子轴如图， 材料许用切应力 []= 30 MPa。试校核其强度。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.3 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
Mechanics of Materials by Yang Zhen
间接计算 已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
圆轴扭转试验：扭转试验机上进行。 由试验可知： 低碳钢试件： 先发生屈服，产生较大的塑性变形，最 后沿横截面断开。
由试验可得扭转屈服极限： s
铸铁试件：
变形很小，无屈服现象，最后沿与轴线 约成45的螺旋面断裂。
由试验可得扭转强度极限： b
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.1 扭转的概念和实例
攻螺纹丝锥
扳手 转向盘轴
Mechanics ofபைடு நூலகம்Materials by Yang Zhen
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产 生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
2. 物理关系——剪切胡克定律
目的： 由横截面上切应变分布规律确定切应力分布规律。
小变形下为弹性变形，满足胡克定律：
d ∴ G G dx
横截面上切应力分布规律：
(b)
横截面上任意点的切应力与该点半径成正比，方向 与半径垂直并与扭矩方向一致。
即切应力沿半径呈线性分布。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
三、剪切胡克定律
切应变 ：单元体直角的改变量。 单位：rad (弧度) 由扭转试验可得 - 曲线。 dy a


c
dx
b

可知： 当 ≤ p 时，有 = G
称为剪切胡克定律。
p：材料的剪切比例极限；
平面假设：
轴的圆形横截面扭转变形后仍为同 样的圆形平面，其半径仍为直线。
可知：
(1) 横截面上无正应力； (2) 横截面上切应力方向与半径垂直。
取截面1、截面2之间的微段dx 分析： 横截面 2 相对截面 1 转过 d； 半径O2c 转到 O2c' ； 纵向线 ac 倾斜了 角至 ac' ；
表层单元体 abcd 发生剪切变形； a 变形几何关系：cc' = R d = dx 表层切应变：
轴线上： = 0， = 0 表层： = R，
max
d GR dx
Mechanics of Materials by Yang Zhen
3. 静力学关系 目的： 找横截面上扭矩与切应力之间关系，建立切应力计算公式。 取微面积dA，距圆心为 ，切应力 微内力： dA 对圆心微力矩：dT = dA· A d
2、空心圆截面
外径：D 可求得： 内径：d
d D
O
d
D
Ip
Wp

32
Ip R
(D4 - d 4 )
Ip D/2
D 4
32
(1 - 4 )


D3
16
(1 - 4 )
Mechanics of Materials by Yang Zhen
三、强度条件 1、扭转失效与扭转极限应力
薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
两端加外力偶矩 M，使 薄壁圆筒产生扭转变形。
实验现象：
(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动； (2) 纵向线倾斜了 角； (3) 矩形abcd变成了平行 四边形a'b'c'd'。
第三章 扭 转
SWUST
内容提纲
§3.1 §3.3 §3.2 §3.4 §3.5 §3.6
概述 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 薄壁圆筒的扭转 圆轴扭转时的应力· 强度条件 圆轴扭转时的变形· 刚度条件 等直圆杆扭转时的应变能
Mechanics of Materials by Yang Zhen
d ρ dx
(a)
Mechanics of Materials by Yang Zhen
横截面上切应变分布规律：
横截面上任意点的切应变与该点半径成正比， 方向与半径垂直。 轴线上： = 0， = 0
轴表层： = R， R d max
dx
Mechanics of Materials by Yang Zhen
G： 材料的切变模量，单位：GPa 钢 ：G = 80 GPa
d
p
E 对各向同性材料，总有 G 2(1 + )
在材料的三个弹性常数中，只要知道任意两 个，就可以确定第三个。
O

Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.4 圆轴扭转时的应力·强度条件
一、扭转切应力的计算公式 1. 扭转试验研究——变形几何关系
6.336 + 9.55 D
x
4.775
CA 段为危险截面：
| T |max = 9.55 kN· m
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 薄壁圆筒： 壁厚 d d R0/10
R0：为圆筒平均半径。
薄壁圆筒的扭转实验：
B MB
1
1
C T1
A
3 3
D
MD
T3
B MB
MC
2
D
T2
Mechanics of Materials by Yang Zhen
2
B
C
(3) 绘制扭矩图
MB
MC