具有非线性传染率的两类传染病模型的全局分析

传染病的传播模型与空间分析方法探讨传染病的传播一直是人类社会所关注的问题之一。

为了更好地了解传染病的传播规律并采取相应的防控措施，研究者们开发了各种传播模型和空间分析方法。

本文旨在探讨传染病传播模型的研究现状，并介绍几种常用的空间分析方法。

一、传染病传播模型传染病传播模型是一种用于描述和预测传染病传播过程的数学模型。

常见的传染病传播模型包括SIR模型、SEIR模型和SI模型等。

SIR模型是传统的传染病传播模型之一，将人群分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类。

该模型假设人群之间的传播是直接的，并且忽略了人群之间的空间分布。

SEIR模型在SIR模型的基础上增加了暴露者（Exposed）这一类别，反映了病毒潜伏期。

该模型可以更准确地描述传染病的传播过程，但仍未考虑空间因素。

为了更准确地模拟传染病在空间上的传播，研究者们提出了多种空间传播模型，如空间SIR模型、空间SEIR模型和点过程模型等。

这些模型可以考虑人群之间的空间距离和移动规律，更好地描述传染病的传播过程。

二、空间分析方法空间分析方法是利用地理信息系统（Geographic Information System, GIS）和空间统计学的理论和方法，对传染病的空间分布进行分析。

常用的空间分析方法包括聚集分析、格网分析和核密度分析等。

聚集分析是用于评估空间上的群集程度的方法。

通过计算传染病发病点的空间分布是否呈现出显著的聚集或离散现象，可以判断传染病的传播是否存在空间集聚现象。

格网分析将研究区域划分为规则的格网，通过统计每个格网内的传染病发病数量或发病率，可以得到传染病的空间分布情况。

格网分析可以帮助研究者更直观地了解传染病的疫情蔓延趋势，并根据此结果进行相应的干预措施。

核密度分析是一种基于空间点密度的统计方法。

通过计算传染病发病点周围一定半径范围内的点数量，可以得出传染病的热点区域。

传染病传播模型中的异质性与非线性效应研究随着全球交通的日益便捷和人口的快速增长，传染病的传播成为了全球关注的焦点。

疾病传播模型的研究对于了解疾病的传播规律、制定有效的防控策略具有重要意义。

在传染病传播模型的研究中，异质性和非线性效应是两个重要的研究方向。

一、异质性对传染病传播的影响异质性是指人们在感染疾病的概率或者传播速度上存在差异。

研究发现，传染病传播中存在着很大的异质性，即某些人更容易被感染，也更容易传播给他人。

这种异质性主要表现在以下几个方面：1. 年龄异质性：不同年龄组的人对疾病的感染和传播能力存在差异。

例如，对于儿童来说，由于免疫系统尚未完全发育，他们更容易感染某些疾病，也容易将病毒传播给其他人。

2. 社会接触网络的异质性：现实生活中的社交网络存在不同的连接方式和紧密程度，这会导致某些人与更多的人接触，从而更容易感染和传播疾病。

3. 生活习惯和行为异质性：人们的生活习惯和行为方式也会影响疾病的传播。

例如，吸烟、不良饮食习惯以及生活环境差异等因素会增加感染疾病的风险。

针对传染病传播中的异质性，研究者通过建立相应的数学模型来分析和预测疾病的传播规律。

这些模型能够更准确地描述疾病在人群中的传播过程，为制定针对性的干预措施提供科学依据。

二、非线性效应对传染病传播的影响非线性效应是指传染病传播过程中系统表现出的非线性特征。

在传染病传播的初期，感染者数量的增加往往呈现线性增长，但是随着感染人数的增多，传播速度会加快，感染人数增长迅速，出现爆发性增长的现象。

研究发现，非线性效应在传染病传播中起着重要作用。

以下是非线性效应对传染病传播的几个典型表现：1. 阈值效应：传染病传播过程中存在一个临界点，当感染人数超过这个阈值时，疾病将迅速传播；而在这个阈值以下，传播速度相对较慢。

这种阈值效应对于疫情的控制和干预具有重要意义。

2. 指数增长：非线性效应使得疾病在某段时间内呈指数增长，而不是线性增长。

这种指数增长对于疾病的传播速度和范围产生了重要影响。

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 传染病模型的研究1杨允海1，李自珍2，黄磊1，刘红涛11．兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）2．兰州大学干旱与草地教育部重点实验室，兰州（730000）E-mail ：yunhailanzhou@摘 要：本文对一类具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 模型进行了分析，讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件，得到模型的平衡点的局部渐近稳定性. 关键词：阶段结构；非线性传染率；局部渐近稳定性引言近年来，以Kermack 和Mckendrick 为代表的流行病动力学有了相当的发展，它们在预防治疗疾病方面起到了不同程度的指导作用，而现在随着环境的污染，生态的破坏以及国际交流的的频繁，许多已经得到控制的的疾病又死灰复燃，给人们的生活造成严重的影响，因此应用数学模型来研究传染病一直是一个重要的课题，许多作者对各种流行病模型进行了大量的研究并得到了很多重要的结果[1 3 4 5 6 7 9 10 11 12].大多数文献中总是假定各年龄阶段的种群个体对某种传染病均有相同的传染率，事实上对于某些疾病，并非如此，如麻疹，水痘等，多发于幼儿时期，而伤寒，白喉，流行性脑脊髓炎等传染病多在成人之间流行，因此考虑阶段结构的传染病模型是很有实际意义的.[1]对一类具有阶段结构的SI 传染病模型进行了研究，得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值;[2]对具有阶段结构的SIRS 传染病模型进行了分析，得到了模型的渐近性质和其平衡点的局部渐近稳定性.本文在[2]的基础上，进一步研究了具有非线性接触率的情况，我们讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件和模型平衡点的局部渐近稳定性,并且得到了与[2]不同的结论.1. 模型的建立)()()()()()()()(1)()()()(1)()()()()(24231122111t Y b t Y ae dtdY t R c t R b t I c dtdR t I c t I b t I t I t S u dt dI t R c t I t I t S u t Y ae t S b t aY dt dS b b −−=−−=−−+=++−−−−=−−ττττ （1） 其中)(),(),(t R t I t S 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的数量，)(t Y 表示t 时刻成年个体的数量，a 表示出生率，u 为传染系数，321,,b b b 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的死亡率，4b 为成年个体的死亡率，1c 为染病者的康复系数，2c 为染病者再次成为易感者的比例，τ表示从幼年到成年的间隔，τ1b e−表示τ−t 时刻出生的幼年个体活到t 时刻的概率. 1本课题得到国家社科重点基金项目（No. 04AJL007）和国家自然科学基金（No. 30470298）的资助。

传染病的基本模型及其研究传染病的基本模型是用数学和统计学的方法来描述和研究传染病的传播规律。

其基本原理是将人群分为不同的群体，研究人群之间传染病的传播过程，并使用数学模型进行建模，进行预测和分析。

从而为防控疾病提供科学依据。

传染病的基本模型常用的有两种，分别是SIR模型和SEIR模型。

一、SIR模型SIR模型将人群分为三个大类，即易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）。

1.易感者（S）：人群中尚未感染病毒的人群，但是可能会受到病毒的传播。

2.感染者（I）：已经感染病毒的人，可以将病毒传染给易感者。

3.康复者（R）: 感染者在康复后，不再传染病毒，成为了免疫者。

在该模型中，易感者（S）-感染者（I）-康复者（R）之间对照有以下三种传播途径：1.直接传播：突出表现为密切接触传播。

常见于空气传播的疾病。

2.矢量传播：通过中介媒介的传播。

某些传染病需要昆虫或其他动物（自然界或人类）的基因“媒介”，传播到人类或其他动物。

3.污染源：通过共同使用某些场所、水源、食品等而传播。

二、SEIR模型SEIR模型在SIR模型基础上增加了暴露这一类人群，即将易感者（S）分为了暴露者（E）和未暴露者（S）。

暴露者（E）指的是已经接触到传染病，但还未感染。

SEIR模型的模型结构如下所示：1.暴露者（E）：人群中已经经过暴露，但尚未成为感染者，对人群从易感态到感染态的接触进行了描述。

2.易感者（S）：人群中尚未感染病毒的人群，但是可能会受到病毒的传播。

3.感染者（I）：已经感染病毒的人，可以将病毒传染给易感者。

4.康复者（R）: 感染者在康复后，不再传染病毒，成为了免疫者。

在SEIR模型中，除了SIR模型中的三种途径之外，又增加了S到E的转换，表示暴露情况会影响到感染的率。

因此，SEIR模型适用于一些更详细描述疾病传播的场景，如 COVID-19 等病毒感染。

总之，基本传染病模型对了解疾病传播机制以及预测和控制传染病的发病规律和趋势都有着很好的作用。

传染病模型知识点传染病模型是流行病学研究中的重要工具，通过对传染病传播机制和流行规律进行建模，帮助我们更好地理解疾病的传播方式、预测疫情发展趋势，并制定科学的防控策略。

本文将介绍常见的传染病模型及其相关知识点。

一、SEIR模型SEIR模型是传染病模型中最常用的一种，它将人口划分为四个状态：易感者（Susceptible）、潜伏期感染者（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。

SEIR模型的基本假设是疾病传播的过程中，人口在各个状态之间的转换服从特定的数学规律。

在SEIR模型中，易感者通过暴露于感染者而进入潜伏期感染者状态，一段时间后进入感染者状态，并最终康复并获得免疫力。

该模型利用微分方程描述了各个状态之间的转换过程，并利用基本再生数R0来评估疫情的传播能力。

R0表示每个感染者平均能够传播给多少个易感者，如果R0大于1，则表示疫情呈指数增长，需要采取有效的干预措施。

二、SIR模型SIR模型是传染病模型中一种经典的简化模型，将人口划分为三个状态：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。

与SEIR模型相比，SIR模型忽略了潜伏期感染者状态，即认为人口从易感者直接进入感染者状态。

在SIR模型中，感染者通过与易感者的接触传播疾病，一段时间后康复并具有免疫力。

与SEIR模型类似，SIR模型也利用微分方程描述了各个状态之间的转换过程，并利用基本再生数R0来评估疫情的传播能力。

三、流行病学调查传染病模型的建立需要依赖于流行病学调查数据，包括疾病的传播速度、感染人数、康复人数等。

通过对这些数据的统计和分析，可以得到疫情的基本特征和传播规律，为模型的建立和参数的估计提供依据。

流行病学调查可以通过各种方式进行，包括病例报告、样本检测、流行病学调查问卷等。

在调查过程中，需要注意数据的准确性和可靠性，以确保模型的建立和分析结果的科学性。

职业技术师大学TianjinUniversity of Technology and Education毕业论文职业技术师大学本科生毕业论文带有隔离的传染病模型的全局分析Global Analysis of Epidemic Model with Quarantine摘要国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。

本文主要讨论的是带有隔离的SIQS传染病模型。

首先根据易感人群，染病人群和已经染病并且被隔离的人群建立一个关于带隔离传染病的SIQS模型。

接着对所建立的模型中的偏微分方程组转化成方差方程组，然后求出该系统的平衡点，根据平衡点得到雅可比矩阵。

再根据得到的雅可比矩阵依据定理和推论说明平衡点的稳定性。

关键词：SIQS模型；差分方程；平衡点ABSTRACTFirst create a band isolated on infectious diseases SIQS model. Then on the established model of partial differential equations into variance equations, then find the balance point of the system, according to the balance point to get the Jacobian matrix. According to Jacobian matrix based on theorems and corollaries illustrate the stability of the equilibrium point.Key Words：SIQS model; Differential equation; Equilibrium point目录1 引言12 稳定性理论32.1矩阵的数32.2全局的稳定性42.3线性系统的稳定性92.3.1非自治线性系统92.3.2自治线性系统102.4相空间分析122.5线性渐近稳定133 建立模型174 模型求解194.1求平衡点194.2平衡点的稳定性20结论22参考文献23致 241 引言在世界迅速的全球化的今天，传染病仍是当今世界围引起人类死亡的主要原因，而新传染病（甲型H1N1流感，AIDS病，SARS）的出现、旧传染病（性病、结核）的复，均构成了对人类健康的巨大威胁。

具非线性接触率传染病模型的分析与研究传染病的存在历来就是一种非常普遍的现象,利用动力学的方法建立传染病的数学模型,并通过数学模型对传染病进行定性与定量的分析和研究已取得了一些成果,主要集中在判定、预测疾病的发展趋势上。

与以往的具有非线性接触率的传染病模型相比,本文引入了种群动力学因素,因此这类模型更精确的描述传染病传播的规律。

本文讨论了模型的正不变集,运用微分方程稳定性理论分析了模型平衡点的存在性及稳定性,得出了无病平衡点和地方病平衡点全局稳定的充分条件。

通过隔离染病者和对易感者进行预防接种的方式对所研究的模型施加控制,达到控制传染病的目的。

主要内容如下：第一章介绍了本文所研究问题的产生背景、发展现状、所做的工作及预备知识。

第二章研究了具有常数输入和非线性传染率的SIRS传染病模型。

在免疫丧失的情况下,分别对模型施加常数控制、线性状态反馈控制,得到了当控制参数满足一定的条件时,地方病可以被消除的结论,并得到了平衡点全局渐近稳定的条件,仿真验证了结果的正确性。

第三章研究了具有密度制约和非线性接触率的SIRS传染病模型的解的性态,分析了平衡点的存在性及正平衡点的局部稳定性问题,仿真验证了定理的正确性。

第四章研究了具有非线性接触率和易感者中具有Smth增长的SIRS传染病模型,分析了该模型的正不变集和平衡位置的存在性以及各类平衡位置的稳定性问题。

第五章研究了具有非线性接触率的SIS传染病模型和SIQS传染病模型,分别得到了两个模型的基本再生数,讨论了当基本再生数满足一定条件时两模型平衡点的稳定性问题,并对结果进行了仿真。

第六章讨论了具有连续预防接种和脉冲预防接种的双线性发生率SIRS传染病模型,分别给出了SIRS传染病模型基本再生数。

利用Lyapunov函数方法和LaSalle不变原理证明了连续预防接种下无病平衡点和正平衡点的全局稳定性；利用脉冲微分方程的Floquet乘子理论,比较定理和非线性分析的方法,系统研究了脉冲预防接种下该模型的动力学性质。

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析传染病动力学模型是用来描述和解释传染病的传播过程以及评估控制措施的工具。

在传染病的传播过程中，发生率通常被假设为线性增长。

然而，在一些情况下，传染病的发生率可能会随着传播的增加而减少，或者呈现其他非线性的模式。

此外，由于传染病存在潜伏期和传播的时间延迟，时滞也需要纳入模型中。

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型可以更准确地描述和预测传染病的传播过程。

这种模型通常使用微分方程来描述人群中不同类别的人数变化，并基于传染病的特性和人群行为来确定各个参数的值。

下面我们将介绍两种常见的非线性传染病动力学模型，并讨论时滞对传播过程的影响。

一种常见的非线性传染病动力学模型是SIR模型。

SIR模型划分人群为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个互斥的类别。

传染病的传播过程可以通过以下三个微分方程来描述：dS/dt = -βSI + γRdI/dt = βSI - αIdR/d t = αI - γR其中β是传染率，描述一个感染者每单位时间传染给易感者的数量；γ是康复率，描述一个感染者每单位时间康复的数量；α是移动速率，描述一个感染者每单位时间从感染状态转移到康复状态的数量。

在非线性发生率的情况下，传染率β可能会随着感染者数量的增加呈现非线性增长或者递减的趋势。

例如，当人群中的易感者数量减少时，传染率β可能会递减，因为感染者接触到易感者的机会减少。

相反，当人群中的感染者数量增加时，传染率β可能会递增，因为感染者接触到易感者的机会增加。

这种非线性的发生率可以更准确地描述传染病的传播情况。

时滞是指感染者从感染到传染的时间延迟。

在传染病的传播过程中，感染者通常需要一定的时间来发展症状并开始传播给其他人。

时滞可以通过引入滞后项来纳入模型中，例如：dI(t)/dt = βS(t-τ)I(t-τ) - αI(t)其中τ是时滞的时间。

时滞的存在会导致传染病传播的速度变慢，因为感染者需要一定的时间来传播给其他人。

第38卷 第7期西南师范大学学报(自然科学版)2013年7月V o l .38 N o .7 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )J u l .2013文章编号:10005471(2013)07000906具有两类病毒株的H I V 感染模型的全局稳定性①王 霞1, 王稳地2, 刘蜀虹11.重庆第一中学校,重庆400030;2.西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:研究了具有两类病毒株和非线性发生率的H I V 病毒感染模型.利用L y a pu n o v 函数法得到了按照基本再生数决定的系统全局稳定的条件.关 键 词:全局稳定性;非线性发生率;L y a p u n o v 函数中图分类号:O 175.1文献标志码:A近年来,许多的学者对H I V 模型进行了研究.虽然很多模型都研究了病毒感染中C D 4+细胞的性态[1-4],但是这些研究都集中在病毒量变化上.我们知道病毒突变很快.H I V 感染的抗病毒治疗之所以失败,是因为在治疗过程中出现了抗药性病毒[4-5].文献[6]考虑了两类病毒及感染后处于潜伏状态的C D 4+细胞,但只是分析了系统平衡点的存在性和病毒入侵的条件.而我们仍考虑两类病毒:对药物敏感的一般性病毒V s 和抵抗药物的抗药性病毒V r .T *s 和T *r 分别代表被两类病毒感染的CD 4+细胞.但是我们不考虑感染后处于潜伏状态的C D 4+细胞,采用和文献[7]中相同的发生率,建立数学模型:d T d t =λ-d T -βs T V s 1+V s -βr T V r1+V rd T *s d t =βs T V s 1+V s-δs T *s d V s d t=p s T *s -c s V sd T *r d t =βr T V r 1+V r-δr T *r d V r d t=p r T *r -c r V r(1)其中:T 代表健康的C D 4+细胞,V s 和V r 分别代表对药物敏感的一般性病毒和对药物抵抗的抗药性病毒,T *s 和T *r 分别代表被这两类病毒感染的C D 4+细胞,δs 和δr 分别是一般性病毒和抗药性病毒的死亡率,c s 和c r 分别是一般性病毒和抗药性病毒的清除率,ps 和p r 分别是被一般性病毒和抗药性病毒感染的感染细胞在它的一生中释放的总的病毒颗粒,βs 和βr 分别是健康的C D 4+细胞和一般性病毒和抗药性病毒的接触率,V s 1+V s 和V r 1+V r是非线性发生率.模型中所有的参数都是正的.1 模型(1)解的非负性和有界性定理1 系统(1)所有具有初值T (0)>0,T *s (0)>0,V s (0)>0,T *r (0)>0,V r (0)>0的解当t >0①收稿日期:20120404基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171276).作者简介:王 霞(1987),女,四川宜宾人,硕士,主要从事生物数学的研究.通信作者:王稳地,教授,博士生导师.Copyright©博看网. All Rights Reserved.时是正的.证 首先,证明对所有t ȡ0的T (t )都是正的.假设T (t )不都是正的,令t 1>0首次使得T (t 1)=0.从系统(1)的第一个方程,有d T d t|t =t 1=λ>0.因此,存在一个充分小的ε>0使得T (t )<0对所有t ɪ(t 1-ε,t 1)都成立.这与在t ɪ[0,t 1)上T (t )>0矛盾.故对t ȡ0,都有T (t )>0.其次,证明在初值条件下对t >0,有T *s (t ),V s (t )是正的.假设此结论不成立.令t 2>0首次使得V s (t 2)=0,由系统(1)的第三个方程有d V s d t |t =t 2=p s T *s (t 2).解系统(1)的第二个方程,有T *s(t 2)=e -ʏt 20δs d θ(T *s (0)+ʏt 20βs T (θ)V s (θ)1+V s (θ)e ʏθ0δs d τd θ)>0故d V sd t|t =t 2>0,因此对t >0,有V s (t )>0.T *s(t )=e -ʏt0δs d θ(T *s (0)+ʏt0βs T (θ)V s (θ)1+V s(θ)e ʏθ0δs d τd θ)>0为了证明对t >0,有T *r (t )>0和V r (t )>0,我们只需重复上述步骤,很容易得到对t >0,有T *r (t )>0和V r (t )>0.这就完成了证明.定理2 存在M >0,对系统(1)任何一个正解,存在t 0>0,当t ȡt 0时,满足T (t ),T *s (t ),V s (t ),T *r (t ),V r (t)ɤM .即系统的所有正解最终有上界.证 把系统(1)的第一㊁第二和第四个方程加起来.令N (t )=T (t )+T *s (t )+T *r (t ).我们有:d N d t =d T d t +d T *s d t +d T *r d t=λ-d T -δs T *s -δr T *r ɤλ-μN 其中μ=m i n {d ,δs ,δr }.由比较定理知存在t 3>0使得l i ms u p ңt ɕN (t )ɤλμ.令M 1=λμ.则T (t )ɤM 1,T *s (t )ɤM 1,T *r (t )ɤM 1,对t ȡt 3都成立.从系统(1)的第三个方程,有d V s d t ɤp s M 1-c s V s 对t ȡt 3成立,则存在t 4ȡt 3>0使得V s (t )ɤp sM 1c s对t ȡt 4都成立.从系统(1)的第五个方程,有d V r d t ɤp r M 1-c rV r 对t ȡt 3成立,则存在t 5ȡt 3>0使得V r (t )ɤp rM 1c r对t ȡt 5都成立.令M =m a x M 1,p s M 1c s ,p r M 1c {}r 和T =m a x {t 4,t 5}.则T (t ),T *s (t ),V s (t ),T *r (t ),V r (t )ɤM 对t ȡT 都成立.因此,系统(1)的所有正解最终有上界.这就完成了证明.2 平衡点的存在性对于每类病毒,我们有对应的基本再生数,即R s =λp s βs d δs c s R r =λp r βr d δr c r容易知道系统(1)存在一个无病平衡点Q 0=λd ,0,0,0,æèçöø÷0.进而,当R s >1时,存在只有一般性病毒感染的平衡点Q 1=(T 1,T s 1*,V s 1,0,0),其中:T 1=λp s +δs c s p s (d +βs ),T s 1*=c s d (R s -1)p s (d +βs ),V s 1=d (R s -1)d +βs .同理,当R r >1时,存在只有抗药性病毒感染的平衡点Q 2=(T 2,0,0,T *r 2,V r 2),其中:T 2=λp r +δr c r p r (d +βr ),T *r 2=c r d (R r -1)pr (d +βr ),V r 2=d (R r -1)d +βr .我们称具有两种病毒感染的地方性平衡点为正平衡点或者内部平衡点.由直接计算可知,系统(1)存在唯一的正平衡点Q 3=(T 3,T *s 3,V s 3,T *r 3,V r 3)的充要条件是当11第7期 王 霞,等:具有两类病毒株的H I V 感染模型的全局稳定性Copyright ©博看网. All Rights Reserved.R s >λp r (d +βr )d (λp r +δr c r )R r >λp s (d +βs )d (λp s +δs c s ìîíïïïï)(2)时有d +βs d R s +βs <R r R s <d R r +βrd +βr(3)其中T 3=λ(1+V s 3)d R s ,T *s 2=c s p s V s 3,T *r 3=c r p rV r 3V s 3=d R s R r -d R r +βr R s -βr R r R r (βs +βr +d ),V r 2=d R s R r -d R s +βs R r -βsR s R s (βs +βr +d )3 平衡点的局部和全局稳定性定理3 当R s <1且R r <1时,无病平衡点Q 0全局渐近稳定.证 定义如下的L y a pu n o v 函数L 1=T -λd -λd l n T λæèççöø÷÷d +T *s +T *r +δs p s V s +δr p rV r 将L 1沿着系统(1)对时间t 求导得:̇L 1=̇T -λd T ̇T +̇T *s +̇T *r +δs p s ̇V s +δr p ṙV r =λ-d T -λd T λ-d T -βs T V s 1+V s -βr T V r 1+V æèçöø÷r -δs c s p s V s -δr c rp rV r =d λd 2- T λd -λd T æèçççöø÷÷÷ +δs c s (R s -1)(1+V s )p s V s +δr c r (R r -1)(1+V r )p r V r -δs c s (1+V s )p s V 2s -δr c r (1+V r )pr V 2r ɤ0令D 1={(T ,T *s ,V s ,Z s ,T *r ,V r )|̇L 1=0},显然由于R s <1且R r <1,则V s =0,V r =0,T =λd.可以推出T *s =0,T *r =0.由L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理知,若R s <1且R r <1,则无病平衡点Q 0是全局渐近稳定的.这就完成了证明.定理4 当R s >1且R s R r >d R s +βsd +βs时,只有一般性病毒感染的平衡点Q 1全局渐近稳定.证 定义如下的L y a pu n o v 函数L 2=T -T 1-T 1l n T T æèçöø÷1+T *s -T *s 1-T *s 1l n T *s T *s æèçöø÷1+δs p s V s -V s 1-V s 1l n V s V s æèçöø÷æèçöø÷1+T *r +δr p rV r 将L 2沿着系统(1)对时间t 求导得:̇L 2=̇T -T 1T ̇T +̇T *s -T *s 1T *ṡT *s +δs p s ̇V s -V s 1V s ̇V æèçöø÷s +̇T *r +δr p r ̇V r =λ-d T -T 1T λ-d T -βs T V s 1+V s -βr T V r 1+V æèçöø÷r -T *s 1T *s βs T V s 1+V s -δs T *æèçöø÷s -δs c s p s V s -δs V s 1p s V s (p s T *s -c s V s )-δr c r p rV r =λ-d T -T 1T λ+d T 1+βs T 1V s 1+V s +βr T 1V r 1+V r -βs T V s 1+V s T *s 1T *s+δs T *s 1-21西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.δs c s p s V s -δs V s 1V s T *s +δs c s p sV s 1+βr T V r 1+V r -δr c r p r V r (4)由于λ=d T 1+δs T *s 1,δs c s p s=δs T *s 1V s 1,δs T *s 1=βs T 1V s 11+V s 1.那么由(4)式有̇L 2=d T 12-T T 1-T 1æèçöø÷T -T 1T (d T 1+δs T *s 1)+V s (1+V s 1)V s 1(1+V s )δs T *s 1-T *s 1T V s (1+V s 3)T *s T 1V s 1(1+V s )δs T *s 1+3δs T *s 1-V s V s 1δs T *s 1-V s 1+V s δs T *s +βr T V r 1+V r -δr c r p r V r =d T 1(2-T T 1-T 1T )δs T *s 13-T 1T +V s (1+V s 1)V s 1(1+V s )-T *s 1T V s (1+V s 1)T *s T 1V s 1(1+V s)-V s V s 1-V s 1T *s V s T s æèçöø÷1+βr TV r 1+V r -δr c r p r V r =d T 12-T T 1-T 1æèçöø÷T -(V s -V s 1)2V s 1(1+V s )(1+V s 1)δs T *s 1+δs T *s 14-T 1æèçT -T *s 1T V s (1+V s 1)T *s T 1V s 1(1+V s )-V s 1T *s V s T s 1-1+V s 1+V s öø÷1+βr p r T 1-λd R æèçöø÷r (1+V r )p r V r -δr c r (1+V r )pr V 2r易知2-T T 1-T 1Tɤ04-T 1T -T *s 1T V s (1+V s 1)T *s T 1V s 1(1+V s )-V s 1T *sV s T s 1-1+V s 1+V s 1ɤ0又由于R s R r >d R s +βs d +βs ,故βr p r T 1-λd R æèçöø÷r (1+V r )pr <0.因此,对所有的T ,T *s ,V s ,T *r ,V r >0,都有d L 2d t ɤ0.令D 2={(T ,T *s ,V s ,Z s ,T *r ,V r )|̇L 2=0},显然由于R s >1且R s R r >d R s +βs d +βs,则V r =0,V s =V s 1,T *s =T *s 1,T =T 1.可以推出T *r =0.由L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理知,当R s >1且R s R r >d R s +βs d +βs 时,只有一般性病毒感染的地方性平衡点Q 1全局渐近稳定.这就完成了证明.定理5 当R r >1且R r R s >d R r +βrd +βr时,只有抗药性病毒感染的平衡点Q 2全局渐近稳定.定理5的证明过程与定理4的证明过程类似,此处省略.定理6 当(3)式成立时,正平衡点Q 3全局渐近稳定.证 定义如下的L y a pu n o v 函数L 3=T -T 3-T 3l n T T æèçöø÷3+T *s -T *s 3-T *s 3l n T *s T *s æèçöø÷3+δs p s V s -V s 3-V s 3l n V s V s æèçöø÷æèçöø÷3+T *r-T *r 3-T *r 3l n T *r T *r æèçöø÷3+δr p r V r -V r 3-V r 3l n V r V r æèçöø÷æèçöø÷3将L 3沿着系统(1)对时间t 求导得:̇L 3=̇T -T 3T ̇T +̇T *s -T *s 3T *ṡT *s +δs p s ̇V s -V s 3V s ̇V æèçöø÷s +̇T *r -T *r 3T *r ̇T *r +δr p r ̇V r -V r 3V r ̇V æèçöø÷r =λ-d T -T 3T λ-d T -βs T V s 1+V s -βr T V r 1+V æèçöø÷r -T *s 3T *s βs T V s 1+V s -δs T *æèçöø÷s -δs c s p s V s -δs V s 3p s V s (p s T *s-c s V s )-T *r 3T *r βr T V r 1+V r -δr T *æèçöø÷r -δr c r p r V r -δr V r 3pr V r (pr T *r -c r V r )=λ-d T -T 3T λ+d T 3+βs T 3V s 1+V s +βr T 3V r 1+V r -βs T V s 1+V s T *s 3T *s+δs T *s 3-δs c s p s V s -δs V s 3V s T *s +δs c s p s V s 3-βr T V r 1+V r T *r 3T *r +δr T *r 3-δr c r p r V r -δr V r 3V r T *r +δr c r p rV r 3(5)31第7期 王 霞,等:具有两类病毒株的H I V 感染模型的全局稳定性Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由于λ=d T 3+δs T *s 3+δr T *r 3,δs c s p s =δs T *s 3V s 3,δr c r p r=δr T *r 3V r 3,δs T *s 3=βs T 3V s 31+V s 3,δr T *r 3=βr T 3V r 31+V r 3.那么由(5)式有̇L 3=d T 32-T T 3-T 3æèçöø÷T -T 3T (d T 3+δs T *s 3)+V s (1+V s 3)V s 3(1+V s )δs T *s 3-T *s 3T V s (1+V s 3)T *s T 3V s 3(1+V s )δs T *s 3+3δs T *s 3-V s V s 3δs T *s 3-V s 3V s δs T *s -T *r 3T V r (1+V r 3)T *r T 3V r 3(1+V r )δr T *r 3+3δr T *r 3-V r V r 3δr T *r 3-V r 3V r δrT *r =d T 32-T T 3-T 3æèçöø÷T +δs T *s 33-T 3T +V s (1+V s 3)V s 3(1+V s )-T *s 3T V s (1+V s 3)T *s T 3V s 3(1+V s )æèç-V s V s 3-V s 3T *s V s T s öø÷3+δr T *r 33-T 3T +V r (1+V r 3)V r 3(1+V r )-T *r 3T V r (1+V r 3)T *r T 3V r 3(1+V r)-V r V r 3-V r 3T *r V r T r æèçöø÷3=d T 32-T T 3-T 3æèçöø÷T -(V s -V s 3)2V s 3(1+V s )(1+V s 3)δs T *s 3+δs T *s 34-T 3T æèç-T *s 3T V s (1+V s 3)T *s T 3V s 3(1+V s )-V s 3T *s V s T s 3-1+V s 1+V s öø÷3-(V r -V r 3)2V r 3(1+V r )(1+V r 3)δr T *r 3+δr T *r 34-T 3T æèç-T *r 3T V r (1+V r 3)T *r T 3V r 3(1+V r )-V r 3T *r V r T r 3-1+V r 1+V r öø÷3易知,2-T T 3-T 3Tɤ04-T 3T -T *s 3T V s (1+V s 3)T *s T 3V s 3(1+V s )-V s 3T *sV s T s 3-1+V s 1+V s 3ɤ04-T 3T -T *r 3T V r (1+V r 3)T *r T 3V r 3(1+V r )-V r 3T *r V r T r 3-1+V r 1+V r 3ɤ0因此,对所有的T ,T *s ,V s ,T *r ,V r >0,都有d L 3d tɤ0.令D 3={(T ,T *s ,V s ,Z s ,T *r ,V r )|̇L 3=0},则V r =V r 3,V s =V s 3,T =T 3.可以推出T *r =T r 3*,T *s =T *s 3.由L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理知,当R s >λp r (d +βr )d (λp r +δr c r )且R r >λp s (d +βs )d (λp s +δs c s)时,即R r R s <d R r +βr d +βr 且R s R r <d R s +βsd +βs 时,正平衡点Q 3全局渐近稳定.这就完成了证明.4 讨 论在本文中,我们研究了一类包含两类病毒的H I V 模型.这两种病毒分别是一般性病毒和抗药性病毒.从以上的结果,我们得到两个阈值:一般性病毒的基本再生数R s 和抗药性病毒的基本再生数R r .我们证明了只有R s <1且R r <1时,疾病才可能消失.因此,在这种情况下,病人可以治愈.故我们可以通过控制参数R s 和R r ,达到治愈疾病的目的.进一步,如果R s >1且R s R r >d R s +βsd +βs,那么抗药性病毒会灭绝,但一般性病毒会一直存在,病人长期处于感染一般性病毒的状态.如果R r >1且R r R s >d R r +βrd +βr,那么一般性病毒会灭绝,但抗药性病毒会一直存在,病人长期处于感染抗药性病毒的状态.这意味着由于病毒突变,我们的药已经失效,可以考虑用新的药物.如果R r R s <d R r +βr d +βr 且R s R r <d R s +βsd +βs ,那么病人会被两种病毒长期感染.此时我们应该考虑新旧药物结合使用来控制病情.参考文献:41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.[1]B O N HO E F F C RS ,MA YR M ,S HAW G M ,e t a l .V i r u sD y n a m i c s a n dD r u g T h e r a p y [J ].P r o cN a t lA c a dS c i ,1997,94(13):6971-6976.[2] N OWA K M A ,B O N HO E F F C RS ,H I L LA M.V i r a l D y n a m i c s i nH e p a t i t i s BV i r u s I n f e c t i o n [J ].P r o cN a t l A c a dS c i ,1996,93(9):4398-4402.[3] N OWA K M A ,B A N G HAM CR.P o p u l a t i o nD y n a m i c s o f I mm u n eR e s p o n s e s t oP e r s i s t e n tV i r u s e s [J ].S c i e n c e ,1996,272(5258):74-79.[4] K O R O B E I N I K O V A.G l o b a l P r o p e r t i e s o f B a s i cV i r u sD y n a m i c sM o d e l s [J ].B u l l e t i o n o fM a t h e m a t i c a l B i o l o g y ,2004,66(4):879-883.[5] L IX i n -p i n g ,X I N G H u i ,WA N GZ h e ,e t a l .S t u d y o fH I V -1D r u g R e s i s t a n c e i nP a t i e n t sR e c e i v i n g F r e eA n t i r e t r o v i r a l T h e r a p y i nC h i n a [J ].V i r o l o g i c aS i n a c a ,2007,22(3):233-240.[6] R O N GL i n -b i n ,G I L C H R I S T M A ,F E N GZ h i -l a n ,e t a l .M o d e l i n g W i t h i n -H o s tH I V -1D y n a m i c s a n d t h eE v o l u t i o no f D r u g R e s i s t a n c e :T r a d e -O f f sB e t w e e nV i r a l E n z y m eF u n c t i o na n dD r u g S u s c e p t i b i l i t y [J ].J o u r n a l o fT h e o r e t i c a l B i o l o -g y,2007,247(4):804-818.[7] S O N G X i n -y u ,N E UMA N N A.G l o b a l S t a b i l i t y a n dP e r i o d i cS o l u t i o no f t h eV i r a lD y n a m i c s [J ].J M a t h A n a lA p p l ,2007,329(1):281-297.O nG l o b a l S t a b i l i t y A n a l y s i s o fH I VV i r a l I n f e c t i o nD yn a m i c M o d e l w i t hT w oT y pe s o fV i r u s e s a n dN o n -L i n e a rF o r c e WA N G X i a 1, WA N G W e n -d i 2, L I US h u -h o n g 11.C h o n g q i n g N o .1M i d d l eS c h o o l ,C h o n g q i n g 400030,C h i n a ;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,a n H I Vd y n a m i c a lm o d e lw h i c h i n c l u d e s t w o t y p e so f v i r u s e s a n d t h en o n -l i n e a r f o r c e o f i n f e c t i o nh a s b e e n s t u d i e d .T h e g l o b a l a s y m p t o t i c a l s t a b i l i t i e s h a v e b e e no b t a i n e db y t h em e a n s o f L y a pu n o v f u n c t i o n s .K e y w o r d s :g l o b a l s t a b i l i t y ;n o n -l i n e a r i n c i d e n c e ;L y a p u n o v f u n c t i o n s 责任编辑 张 栒51第7期 王 霞,等:具有两类病毒株的H I V 感染模型的全局稳定性Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

两类传染病模型的动力学分析的开题报告
题目：两类传染病模型的动力学分析
背景和意义：
传染病是全球公共卫生问题中的重要因素，对人类健康和社会经济
持续稳定发展造成威胁。

为了更好地理解传染病的传播规律和控制传染
病的策略，建立和分析传染病模型已成为传染病研究的重要手段之一。

传染病模型可以分为两类：基于微观个体的代谢模型和基于宏观总体的
群体模型。

宏观群体模型常见的有SIR模型、SIS模型和SI模型等，这
些模型是基于群体总体的认知和随机性来分析传染病流行趋势的。

研究方法：
本研究将主要基于建立SIR模型和SIS模型，对两种不同的传染病
进行动力学分析。

针对不同的传染病，将确定它们在人群中的传染性、
潜伏期、传播途径等参数，搭建相应的数理模型，进而进行模拟和优化
分析。

预期结果：
通过对SIR模型和SIS模型的分析，本研究将获得本类模型的动力
学特征，如平衡状态稳定性等基本性质，从而为疫情防控提供科学、有
效的策略。

同时，针对上述两种模型，通过设定不同的参数，分析传染
病的基本再生数（R0）对疫情流行趋势的影响，从而为医学决策提供参
考依据。

研究意义：
本研究将为科学控制传染病的传播和防控提供探索，对传染病的预
防和控制具有重要意义。

此外，本研究将为公共卫生领域提供科学数据，有助于加强对传染病的认识和管理。

若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析陈军杰（浙江大学 数学系，浙江 杭州 310029）摘 要：讨论了具有常数迁入和非线性传染力的三类传染病模型，即SIRI 模型，SIRI 框架下的DS 模型及SIR 框架下的DI 模型。

给出了它们基本再生数0R 的表达式，证明了10≤R 时无病平衡点是全局稳定的，同时证明了如果地方病平衡点存在，则必是全局稳定的结果（从而必唯一）。

对第一和第三个模型还给出了10>R 时地方病平衡点的存在唯一性。

关键词：传染病模型；非线性传染力；Liapunov 函数；全局稳定性中图分类号：O175.1 MR 分类号：92D30；34D23 文献标识码：A0 引 言大多数传染病模型都假定易感类是同质人群或染病类是同类人群，因而常常忽视易感类的不同易感性或染病类的不同传染率[1-2]. [1,3]讨论了具有标准传染率的SIR 框架下的DS （differential susceptibility ）模型和DI （differential infectivity ）模型，[4]讨论了具有双线性传染率的SIR 框架下的DI 模型. 本文则讨论具有非线性传染力的SIRI 模型，SIRI 框架下的DS 模型和SIR 框架下的DI 模型，这里的第一及第三个模型可分别视为[5]及[4]相应模型的拓展，具有非线性传染力的传染病模型的研究意义及近期文献可看[5-8].1 SIRI 模型及定性分析把人群分成三类，即易感类，染病类，恢复类（或潜病类），他们的人数分别记为I S ,和R （均为时间t 的函数），于是，总人口为R I S N ++=. [5]在总人口不变的前提下建立和分析了具有非线性传染力的SIRI 模型，如果我们让总人口N 变化，则可得如下模型：()()(),,,)(R e d vI R R I v d I S f I dS I S f A S δδαββ++-='+++-='--=' (1.1) 这里A 表示易感类的常迁入率，d 为每一类个体的自然死亡率，α和e 分别表示染病类和恢复类的病死率，v 为染病类转化为恢复率的转化率，δ为恢复类的免疫失去率，参数e 假设为非负常数，其余诸参数假设都为正常数，)(S f β表示一个染病者基金项目：浙江大学科技发展基金（107000-544301）所具有的非线性传染力，且)(S f 满足以下的条件（H ）（参见[5,6]）:(H1) 当[0,)S ∈+∞时，;0)0(;0)(=≥f S f (H2) ()1[0,);f S C ∈+∞ 当(0,),()0S f S '∈+∞>.一些常用的)(S f 的特殊形式是（可看[5,8,9]）:()():,0;,,0,1;11,,,0;,,0.1nbnbSbS bSbS f S aS b a b n a S ea e ab a b a b ae --->>≥+-->>>+ 应当提及的是，这里的)(S f 以线性传染力作为其特殊情形（此时相应的传染率即为双线性传染率）.由系统（1.1）易得有关N 的方程：eR I dN A N ---='α.上述有关N 的微分方程暗示3+R 中的系统（1.1）的所有解将趋近或进入或停留在3+R 的子集中：(){}d A R I S R I S D /:,,31≤++∈=+R .这样只需考虑在集合1D 中的解. 不难证明在1D 内非负初值将导致非负解，且解存在的最大区间为[0,)+∞（可参[10, 11]）. 因此系统（1.1）初值问题的解从数学和流行病学两方面来说都是有意义的.显然，系统（1.1）总有无病平衡点()0,0,/1d A P ，地方病平衡点的存在唯一性由阈值1R 确定：()().//1δαβ++=d d A f R引理 1.1 如果11>R , 则系统（1.1）在1D 中存在唯一的地方病平衡点()***R I S Q ,,1.证 令系统（1.1）的右边为零，得到地方病平衡点()***R I S ,,()0≠*I 应满足的方程组：()().,0][)],(/[*******++==⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++--=I e d vR I v e d e d d S f S f dS A I δδαββ因为,0≠*I 故有()0=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-*v e d e d d S f δαβ.作辅助函数(),)(⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-=v e d e d d S f S g δαβ则当11>R 时，()()01/1>-⎪⎭⎫⎝⎛+++++=R v e d e d d d A g δα, 又0)0(<g , 于是由)(S f 在),0[+∞内的连续性及严格递增性可知存在唯一的()d A S /,0∈*, 使得(),0=*S g 又()****++=-=I e d vR S f dS A I δβ)],(/[*. 故系统（1.1）在1D 中存在唯一的地方病平衡点()***R I S Q ,,1.以下给出本节的主要结果：定理1.2 如果11≤R , 则系统（1.1）的无病平衡点()0,0,/1d A P 在D 1中是全局稳定的；如果11>R ，则1P 是不稳定的，唯一的地方病平衡点()***RI S Q ,,1在(){}(){}0:,,0:,,111=∈=∈-R D R I S I D R I S D 中是全局稳定的.证 作Liapunov 函数,R e d I L δδ+++= 则 -=')([S f L βI d v e d e d ]⎪⎭⎫⎝⎛++⋅+++αδ.当11≤R 时, 注意到)(S f 的严格递增性可得⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++≤'v e d e d d L δα()011≤-I R ，从而由Laselle 不变原理[12] 知()0,0,/1d A P 是全局稳定的；当11>R 时，注意到)(S f 的连续性，易见在1D 中的点1P 的充分领域内，{}{}00>'>L L 非空，因而点1P 是不稳定的. 下证10>R 时地方病平衡点1Q 的全局稳定性. 注意到系统（1.1）等价于()()()()(),,)]([,)]()([*⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----='------='**************R R R I I I R e d R R R R I I I R I S f S f I S S d I I S f I S f S f S δδβββ作Liapunov 函数()()()⎰*⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=*****SS I I I I I S f dx S f x f V ln ][ ⋅+++δδe d ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--****R R R R R S f ln ,由计算可得：()()()()()][][2***---⋅--='S f S f S S d I S f S f V β()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----********R R R I I I R R R I I I S f R δ()()()()()------=***][][2S f S f S S d S f S f I β()(),22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---*******R R R I I I IRS f R I δ 由于()S f 在),0[+∞内严格递增，又()0>*S f ，故V 是-=*11D D(){}(){}0:,,0:,,11=∈=∈R D R I S I D R I S 内的正定函数，V '是负定函数并且0='V 的充要条件为*=S S 且****-=-RR R I I I . 又使得0='V 的最大正不变子集为()***RI S Q ,,1, 于是由Laselle 不变原理知1Q 在*1D中是全局稳定的.2 SIRI 框架下的DS 模型及定性分析在上一节的SIRI 模型中，如果把易感类按易感性的不同再细分为n 类()2≥n , 则可得相应的DS 模型：()()()(),,][,,,1,1R e d vI R R I v d S f I n i dS I S f A S ni i i i i i i i i i δδαββ++-='+++-='=--='∑= （2.1）这里i A 表示第i 类易感类的常迁入率，并记()∑=>=ni iAA Ai 10，()i i i S f β表示与第i 类易感类接触的每一个染病者所具有的非线性传染力，且()i i S f ()n i ,,1 =也满足条件（H ）.由系统（2.1）易得有关N 的方程：.eR I dN A N ---='α容易证明()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤++∈=∑=++ni i i i n n n i d A S d A R I S R I S S D 1212,,1,/,/:,,,, R 是系统（2.1）的正不变集.显然，系统（2.1）总有无病平衡点,0,0,,,12⎪⎭⎫⎝⎛d A d A P n 记()()]/[/12δαβ+++++=∑=e d v e d d d A f R i ni i i .2.1 无病平衡点的全局稳定性和不稳定性定理 2.1 当12≤R 时，无病平衡点⎪⎭⎫⎝⎛0,0,,,12d A d A P n 在2D 中是全局稳定的；当12>R ，点2P 是不稳定的.证 注意到系统（2.1）等价于()()()()()()()()(),,/]/[,,,1,//]/[11R e d vI R R I v d d A f I d A f S f I I n i d A S d d A f I d A f S f S ni i i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i δδαββββ++-='+++-+-='=--+--='∑∑==作Liapunov 函数()(),][/11R e d I dx d A f x f d A f L i i S d A i ii ni i i δδ++++⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰∑= 经计算可得：()()()⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--='∑∑==ni ni i i i i i i i i i i id A S d A f d d A f S f d A f I L 112/1][/β()(),1][2I R v e d e d d d A f S f i i i i -⎪⎭⎫⎝⎛⋅++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-δα由条件（H ）知()x f i 在),0[+∞内严格递增，又()0/>d A f i i ，故L 是2D 上的正定函数，而L '是负定函数且0='L 的充要条件为0=I 且()n i dA S ii ,,1 ==，又使得0='L 的最大正不变子集为点2P ，于是由Laselle 不变原理知点2P 在2D 中是全局稳定的.当12>R 时，易见在2D 中点2P 的充分小领域内，{}{}00>'>L L 非空，从而点2P 是不稳定的.2.2 地方病平衡点的存在性和全局稳定性由上一小节可知为12≤R 时，无病平衡点2P 在2D 中是全局稳定的，从而此时点2P 是2D 中唯一的平衡点，下在12>R 的前提下讨论地方病平衡点的存在性与稳定性，我们首先将给出系统（2.1）存在地方病平衡点的一个引理，然后给出如果地方病平衡点存在，则必是全局稳定的一个定理，最后将两者结合得到一个推论.引理2.2 在12>R 的前提下，如果存在(),1n i i ≤≤对(),,1i j n j j ≠≤≤∀ 由方程()()()()()0,=---=dy A x f dx A y f y x F j i i i j j ββ可确定唯一的连续可微的隐函数()()()d A d A x y y j i /,0/,0:→=， 且()(),//,00d A d A y y j i ==则系统(2.1)在2D 中存在地方病平衡点. 特别地，当),,1,0()(n k c x c x f k k k ⋅⋅⋅=>=时，系统（2.1）在2D 中必存在地方病平衡点.证 令系统（2.1）的右边为零，得到地方病平衡点()****R I S S n ,,,,1 ()≠*I应满足的方程组:()()()(),0,0,,,1,01=++-=+++-==--**=*******∑R e d vI R I v d IS f n i dS I S f A ni iii i i i i i δδαββ由最后二个方程消去*R ,并注意到,0≠*I 可得:()∑=*=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-ni i i i v e d e d d S f 10δαβ (2.2)由第一个方程可知0≠*S , 消去*I 可得:()()(),1,1,**n j n i i j S f dS A Sf dS A ii i ii jj j jj ≤≤≤≤≠-=-**ββ (2.3)由引理2.2的条件可知，由方程()()()()⋅--=i i i i i j j j j i S f dS A S f S S F ββ,()0=-j jdS A可确定唯一的连续可微的隐函数()()d A S S S i i j j /,0:=()d A j /,0→，且()()(),1,//,00n j i j d A d A S S j i j j ≤≤≠==再利用（2.3）式可知：()()n j i j S S S i j j ≤≤≠=**1, (2.4)把（2.4）式代入（2.2）式可得：()()∑≠**=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-+i j i j j j i i i v e d e d d S S f S f ,0][δαββ作辅助函数()()()∑≠⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-+=ij i j j j i i i i v e d e d d S S f S f S G ,][δαββ 则当12>R 时，()()()∑≠⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-+=ij j j j i i i i v e d e d d d A f d A f d A G δαββ///()012>-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++=R v e d e d d δα，又利用()()n i f i ≤≤=100可知()()()0000<⎪⎭⎫⎝⎛⋅+++++-+=∑≠ij j j i i v e d e d d f f G δαββ，于是利用()i S G 的连续性可知，存在(),/,0d A S i i ∈* 使得()0=*i S G ，再利用（2.4）式可得对任意的()n j i j ≤≤≠1，()()d A S S S j ij j/,0∈=**，又()0>-=***ii i ii S f dS A I β，从而此时系统（2.1）的地方病平衡点存在.再证本引理的后半部分，只需证当()()n k c x c x f k k k ,,1,0 =>=时引理2.2前半部分的条件成立. 记()n k c k k k ,,1~ ==ββ，.~max ~1j nj i ββ≤≤= 由相应的方程()()()0~~,=---=dy A x dx A y y x F j i i j ββ容易解出()xd A xA y j i i j j i ββββ~~~~-+=，且()00=y ，(),//d A d A y j i = 又因y 是()+∞,0上的严格递增函数，故引理获证.定理2.3 若系统（2.1）存在地方病平衡点()****R I S S Q n ,,,,12 ，则点2Q 在(){}(){}0:,,,,0:,,,,212122=∈=∈-=*R D R I S S I D R I S S D D n n 中是全局稳定的.证 首先注意到系统（2.1）等价于()()()()()()()(),,][,,,1,][1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----='=------='*****=**********∑R R R I I I R e d R R R R I I I R S f S f I I n i S S d I I S f S f S f I S ni ii i i i i i i i i i i i i i i δδβββ作Liapunov 函数()()()⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=****=*ii S S i i ini i i l I I I I dx S f x f S f V *ln ][11⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++***R R R R R e d ln δδ,直接计算可得:()()()()()()211][])([1*=***=*-⋅---⋅-='∑∑i i i i ni ii i i i i i i i ni i i S f S f S f I S f S f S S S f d V β ()2**2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----****R R R I I I IRRI δ, 由类似于定理1.2后半部分的证明可知()*****212,,,,D R I S S Q n 在 中是全局稳定的. 利用引理2.2及定理2.3，立即可得如下的推论：推论2.4 在引理2.2的条件下，系统（2.1）的地方病平衡点在*2D 中是全局稳定的（从而地方病平衡点必唯一）. 特别地，对线性传染力的情形即()()n k c x c x f k k k ,,1,0 =>=，当12>R 时系统（2.1）的地方病平衡点在*2D 中是全局稳定的.注：用类似的方法可以研究相应的SI 或SIR 框架的DS 模型，其结果也是类似的3 SIR 框架下的DI 模型及定性分析有些SIR 框架的模型，其染病类（或感染类）不是同质的（如艾滋病，疟疾，登革热等[3，4]），此时需要把染病类再细分为n 类，下以艾滋病的DI 模型为例分析之，其它这样类型的模型可类似分析. 参照[3]的相应模型，可建立起具有非线性传染力的如下新模型：(),1∑=--='ni i i dS I S cf A S β （3.1a ）()()∑==+-='ni i i i i i i n i I v d I S f cp I 1,,1, β （3.1b ）∑=-='ni A j j A I I v I 1,η （3.1c ）这里A ，d 的含义同第一节的模型，i I 表示第i 类感染类的人数，i p 表示新产生的感染者属于第i 类感染类的可能性,1,101⎪⎭⎫⎝⎛=<<∑=ni i i p p i v 表示第i 类感染者转化为艾滋病人的转化率，η表示艾滋病人的死亡率()d ≥η, c 表示单位时间内接触配对的平均数（可参[10,13]）， ()S f c i β表示一个第i 类的感染者所具有的非线性传染力()n i ,,1 =，()S f 也满足条件（H ）.由于艾滋病人的性活动不再积极，因而可忽视方程（3.1c ），以下我们只对系统（3.1a ）— (3.1b)进行分析. 记∑=+=ni iIS N 1，由（3.1a ）与（3.1b ）易得∑=--='ni i i I v dN A N 1.容易证明()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+∈=∑=++d A I S I I S D ni i n n /:,,,113R 是系统（3.1）的正不变集.显然，系统（3.1a ）—（3.1b ）总有无病平衡点()0,,0,/3 d A P ，地方病平衡点的存在唯一性由阈值3R 确定:()∑=+=ni iii v d p d A cf R 13/β3.1 无病平衡点的全局稳定性定理3.1 当13≤R 时，系统（3.1a ）—（3.1b ）的无病平衡点()0,,0,/3 d A P 在3D 中是全局稳定的；当13>R 时，点3P 是不稳定的.证 作Liapunov 函数∑=+=ni iii v d I c L 1β,经计算可得:()∑∑==-+='ni i i ni i ii I v d p S cf L 11,]1[ββ以下的过程可参考定理1.2的证明,这里从略.3.2 地方病平衡点的存在唯一性和局部稳定性定理3.2(i)如果13>R , 则系统（3.1a ）—（3.1b ）在3D 中存在唯一的地方病平衡点()***nI I S Q ,,,13 ， (ii) 在（i ）的条件下，点3Q 是局部渐近稳定的.定理3.2(i)的证明 令系统（3.1a ）—（3.1b ）的右边为零，可得地方病平衡点()***nI IS ,,,1 应满足的方程组()n i I i ,2,1,0*=≠: ()∑=***=--ni ii dS IScf A 1,0β (3.2)()(),,,1,01n i Iv d I Sf cp ini ii i i ==+-*=**∑β (3.3)由（3.2）与（3.3）易得()ii iv d dS A p I +-=** （3.4） 利用（3.3）及定理3.1证明过程中用到的L 函数，容易得到()∑=*=+ni iiivd p Scf 11β (3.5)记()()∑=-+=ni iii v d p S cf S g 11β，则当13>R 时，由类似于引理1.1的证明方法可得存在唯一的()d A S /,0∈*，使得()0=*Sg ，再结合（3.4）即得系统（3.1a ）—（3.1b ）在3D 中存在唯一的地方病平衡点()***n I I S Q ,,,13 .定理3.2(ii)的证明 记在唯一的地方病平衡点3Q 处，系统（3.1a ）—（3.1b ）右边的Jacobian 矩阵为()()n n I I S f f f J ,,,/,,,110 ∂∂=()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-'+-'--'--=************∑∑∑n n n n i i i n ni i i n ii i v d S f cp S f cp I S f cp S f cp v d S f cp I S f cp S f S f I S f c d βββββββββ1111111作辅助矩阵M ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100011 n p p M 直接计算可得：()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+'--=*****-∑∑n n nn iiii ii v d S f c v p v d v p S f c p S cf IS f c d MJM0011111ββββ记1-=MJM E ，则矩阵J 的所有特征根均有负实部等价于矩阵E 的所有特征根均有负实部。

具有非线性传染率地方病模型的稳定性分析作者：解博丽来源：《商情》2008年第35期【摘要】本文主要研究具有非线性传染率地方病模型的稳定性，分析模型的动力学行为，讨论模型的正解情况。

利用常微分方程的定性与稳定性理论，结合方程根的情况来进行理论分析。

【关键词】传染病模型平衡点稳定性传染病的防治是关系到人类健康和国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究是防治工作的重要依据。

传染病动力学就是根据疾病发生发展及环境变化等情况，建立能反映其变化规律的数学模型，通过模型来显示疾病的发展过程，预测其流行规律和发展趋势，分析疾病的原因，寻求对其进行预防和控制的最优策略，为人们防治决策提供理论基础和数量依据。

在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”模型，即针对某种传染病将该地区的人群分成三类：易感者、染病者和恢复者。

本研究为具有非线性传染率地方病模型的稳定性分析。

主要考虑各类都具有常数移民且疾病的发生率为非线性的SIRS模型的解的全局稳定性，分析模型的动力学行为，讨论模型的正解情况。

经过分析说明其根的情况，是否有零根，是否有正根。

利用常微分方程的定性与稳定理论，结合方程根的情况来判断什么情况下疾病消失，什么情况下疾病变成地方病。

我们假设所考虑地区人口总数量不变，并将其分为两大类，即易感染者数量S(t)，已经感染者数量I(t)，可以得到S(t)+I(t)=N。

假设：（1）忽略个体差异，每个个体与染病个体接触而被传染的概率相等；（2）每个易感者单位时间采取措施抑制传染率为；（3）不考虑传染病的潜伏期，一旦被传染就成为已感染者，并且不死亡。

感染数量Δt时间内增加（1.1）结果分析：在假设人口总数量不变，最后所有人都要得病，这显然与事实不符，因为人会自然死亡，也会得病死亡，因此我们修改假设，重新建立模型。

更改SI模型：（1.2）该模型中的S,I分别为易感者和感染者，A是单位时间内从外界迁入的总人口数， d为自然死亡率，为疾病的发生率，其中的为度量描述易感者采取措施抑制疾病的传染率，KI是度量疾病的传染率，α是非负常数。

具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析周鑫 指导老师：郭金生(河西学院数学与应用数学专业2014届2班56号, 甘肃张掖 734000)摘要 本文对传染率为,1SEaI ISq ηβ++)1,0(∈q 的SEIS 传染病模型做了定性分析.当基本再生数10<R时,无病平衡点是全局稳定的,并疾病最终灭绝.基本再生数10>R 时,平衡点是存在的,并且是局部渐近稳定的,且最终发展为地方病.关键词 传染病模型;非线性传染率;基本再生数;平衡点;稳定性 中图分类号 O 175A Qualitative Analysis of an SEIS Epidemic ModelWith Nonlinear Incidence Rate(No.56,Class2 of 2014,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract : Discusses the prevalence of infection ofSEaI ISq ηβ++1 SEIS epidemic qualitative analysis of themodel.When the basic reproductive number 10<R , disease-free equilibrium is globally asymptotically stable , and the disease eventually become extinct.When the basic reproductive number 10>R , there is equilibrium point ,and is locally asymptotic stable and cut development for endemic disease.Keywords : Infectious disease model; Nonlinear infectious rate; The basic reproductive number; Equilibrium point ; stability1引言近年来,人们提出了不同的传染率,但在研究了1973年意大利东部港市巴里流行的霍乱之后,Capasso 和Serio 在传染病模型中引入了饱和传染率,这对之后人们研究传染病具有广泛的影响.文献]2,1[就引入了形如q p S I β的传染率,文献]432[，，又引入了形如qP aI SI +1β的传染率,文献]5[又讨论了IS IS++1β为传染率的SEIS 模型,而文献]6[讨论了更为一般的非线性传染率kIS ISp +β.本文将采用,1SEaI ISq ηβ++)1,0(∈q 为传染率的非线性传染率模型,此模型的非线性表达了当染病者,潜伏者与易感人群之比增加时,易感者在行为上不但抑制了染病者对传染病的传播,而且控制了与类似传染病症状人群(潜伏者)的交往,加强了对传染病的预防工作,从而多方面抑制传染病的传播.2 模型建立与分析本文所考虑的SEIS 传染病模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-Φ=+-Φ-=，，，I d E dt dIE d S E I IS dt dE I dS S E I IS A dt dS)()(),,(),,(εθααβθβ (1) 其中S 为易感染者的数量,E 为潜伏者的数量,I 为染病者的数量,A 为人口对系统的输入量,d 为死亡率(假定S ,E ,I 的死亡率相同),α为由潜伏者转化为染病者的转化率,θ为由染病者转化为易感染着的转化率,ε为患病者因病而增加的死亡率,其中SEaI S E I q η++=Φ1),,(.对模型(1)中的式子累加可以得到I I E S d A dtdI dt dE dt dS ε-++-=++)(. (2) 可以观察可得看出,如果假设总人口数为N ,则I E S N ++=,且)(I E S d A dt dIdt dE dt dS dt dN ++-≤++=, 根据对(2)式的分析可以知道}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈. 现假设)()(0αβεθα+++=d Ad d R 为系统(1)的基本再生数,它是一个染病者在有效传染期内被混入到易感人群中所产生的二代染病病历数.通过观察系统(1)可以发现,系统(1)必定存在一个无病平衡点)0,0,/(0d A N . 引理 ]7[1 对于一个在),0[+∞上有界的实值函数f ,定义)(sup lim ),(inf lim t f f t f f t t ∞→∞∞→∞==，设R f →∞),0[:有界且二次可导的函数,当∞→k 时,∞→k t 且∞→f t f k )(或者∞→f t f k )(,则0)('lim =∞→k k t f .定理1 当10<R 时,系统(1)在无病平衡点)0,0,/(0d A N 处是全局稳定的. 证明 对于系统(1)在)0,0,/(0d A N 处 ,其特征函数为0A/d]))()[((=-++++++βλεθλαθλd d .可以得到0<-=θλ为一个特征根,其他特征根由0A/d ))((=-+++++βλεθλαd d来确定,为了使得所有的特征根为负根,则当且仅当02]/))([(4)2()2(2<-+++-+++++++-d A d d d d βαεθαεθαεθ. (3)化简(3)式可以得到当且仅当0/))((>-+++d A d d βαεθ时,所有的特征根为负根,即10<R 时,)0,0,/(0d A N 是局部渐近稳定的.根据引理1,可以选择序列∞→k t ,使得∞→E t E k )(,0)(→kk dt t dE 和序列∞→k τ,使得∞→I I k )(τ,0)(→kk d dI ττ. 又因为1)(≥k t I ,所以d A t S t E k k /)()(≤+. (4)当(4)中d A t S k /)(=时,则必有0)(=k t E ,则不妨在下面的放缩中,取d A t S k /)(=,0)(=k t E ,则从系统(1)的第二个方程有)()](),(),([)()(lim αβαβ+≤Φ+=∞∞→∞d I t S t E t I t I t S d E k k k k k k , (5) 对于系统(1)的第三个方程,可以得到∞∞→∞++≤++=E d t E d I k k )()(lim )(εθαεθα, (6)则由(5)、(6)式可以得到∞∞∞∞=+++≤++≤E R E d Ad d d I d A E 02)()()(4)1/(αβεθααβ, (7)∞∞∞∞=+++≤+≤I R I d Ad d E d I 0)()()(αβεθαθα, (8)其中(7)意味着当10<R 时,0≤∞E ；接着由10<R 且0≤∞E ，再根据(8)可以得到0≤∞I .然而,因为0,0≥≥∞∞I E ,所以由夹逼定理的推广可以得到0,0====∞∞∞∞I I E E .再根据)0,0,/(0d A N 的局部稳定性知道:当10<R 时,平衡点)0,0,/(0d A N 是全局渐近稳定的.根据以上分析,当10<R 时,无论初始潜伏者人数与感染者人数为多少,传染病最终都将消失.定理2 当10>R 时,),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα,**)(I d E αθ+=,*I 是AS E I d d d I d d =Φ++++-+++αβεθαθεθα),,())((]))([(****在区间)/,0(d A 的唯一根.证明 系统(1)的地方病平衡点),,(****I E S N 的坐标是方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-+Φ=+-Φ-=，，，***************)(0)(),,(0),,(0I d E E d S E I S I I dS S E I S I A εθααβθβ (9) 在}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈内的正解.由方程组(9)的第三个方程可得**)(I d E αεθ++=,由于不考虑0=I 的情况,再由第二个方程可以得到),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα.将**)(I d E αεθ++=与),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα代入第一个方程可以得到 0),,())((]))(([)(=-Φ++++-+++=A S E I d d d I d d I F αβεθαθαεθα.注意到,0))((>-+++θαεθαd d又由于 0),,(>ΦS E I 所以)(I F 为增函数,则取A d d d F I -+++=+→βαεθα))(()0(lim 0,当且仅当0))(()0(lim 0<-+++=+→A d d d F I βαεθα 时,0)(=I F 在)/,0(d A 有唯一的实根.将)()(0αβεθα+++=d Ad d R 代入上式,计算得到00<-A R A，即10>R 时,0)(=I F 在)/,0(d A 有唯一的实根.所以,当10>R 时,),,(****I E S N 是存在的.定理3 当10>R 时,系统(1)在地方病病平衡点),,(****I E S N 处是局部渐近稳定的.证明 现假设),,(1I E S P SEaI ISq =++ηβ. 现在对),,(I E S P 分别求偏导得E 2q q E/S)+aI +I/S/(1+nE/S)+aI +I/(1ηηββ⨯⨯=∂∂S P, ηηβ2q E/S)+aI +I/(1-⨯=∂∂E P, q IPq 2q q aI E/S)+aI +S/(1-E/S)+aI +S/(1ηβηβ⨯⨯=∂∂,现在将),,(****I E S N 代入系统(1),即可得jacobian 矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂---∂∂--∂∂∂∂+∂∂-∂∂--∂∂-=********0)(I P d I Pd EPS P IP E Pd S P N J θααθ， 得到)(*N J 的特征方程为0a 32213=+++λλλa a ,其中3d +-+++***1E PS P I P a ∂∂∂∂∂∂=αθ,S PIP S P E P S P I P a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2d++d 2+2d -+2d *****2αα **2**-3d +2d +-++IPE P E P S P ∂∂∂∂∂∂∂∂θθαθ,*******3+-(+3d +-+++I P S P E P S P E P S P I P a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=θθαθ*****+)d +-+IPS P E P I P S P ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ααθα,因为0,0,0***>∂∂<∂∂>∂∂I PE P S P , 所以可以得到321,,a a a 均大于0.现在列出劳斯表：3λ 12a2λ 1a 3a 1λ1321a a a a - 0λ运用Matlab 可以得到0321>-a a a (见附录1),且又因为01>a ,所以根据Routh hurwitz 定理即可得地方病平衡点*N 是局部渐近稳定的.根据以上分析,当10>R 时,传染病平衡点是存在且局部渐近稳定的.3 结论本文对SEIS 传染病模型的动力学系统近行了分析研究,此模型含有常数输入率,又含有自然死亡率和因病死亡率,因此模型所考虑的总种群数量随时间变化而改变.同时传染率是一种符合实际的非线性传染率.对于系统(1),基本再生数))((0εθαβα+++=d d d AR 完全决定了系统(1)在可行域}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈内的动力学行为.如果10<R ,无病平衡点就在}/0|),,({d A I E S I E S N ≤++≤内全局渐近稳定,且疾病最终会灭绝.如果10>R ,则存在唯一的地方病平衡点且局部渐近稳定,且疾病最终发展为地方性传染病.致谢 感谢郭金生老师在我论文过程中的悉心指导.参 考 文 献[1]Liu W M .流行病学模型的动力学行为与非线性发病率[J].数学生物学杂志.1987,25:359-380.[2]Liu W M,Levin S A.非线性发病率的影响在众位的行为流行病学模型[J].数学生物学杂志,1986,23(1):187-204.[3]Ruan S,Wang W.传染病模型的动力学行为与非线性发病率[J].微分方程.2003,188:135-163.[4]王拉娣,李建全.一类具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析[J].应用数学和力学,27,591-596.[5]郭金生,唐玉玲等.具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析[J].河西学院学报.2012,05:41-46. [6]芦雪娟等.具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的研究[J].西北师范大学学报,2010,46:6-9. [7]Wang W, Ma Z.全球流行病动力学模型与延迟[J].非线性分析:现实世界的应用.2002,3: 809-834.附录1Matlab 编码:syms I S E p a q n d o z y;A=[-S-d,-E,-I+o;S E-d-a I;0 a -d-o-I]; A=y*eye(3)-A; ki=det(A); R=collect(ki,y) R =y^3+(o+I-E+3*d+a+S)*y^2+(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o +3*d^2)*y+S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o +S*d^2a1=(o+I-E+3*d+a+S);a2=(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o+3*d^2);a3=S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o+S*d^2; b=a1*a2-a3;R1=collect(expand(b),d) R =-2*S*E*I-2*S*E*o-a*E*I+3*S*a*o+S*I*a+S^2*o+8*d^3-2*o*E*I+2*o*S*I+I*a*o-E*S*a-E*o^2+S*o^2+a*o^2-E*I^2+S*I^2+E^2*I+E^2*o+S*a^2+a^2*o+S^2*a+S^2*I-2*E*a*o+(8*a+8*I+8*S-8*E+8*o)*d^2+(6*S*a+6*S*o-6*E*I+6*a*o-6*E*o+6*S*I+4*o*I+2*I^2+2*S^2+4*I*a-4*E*a-4*E*S+2*o^2+2*a^2+2*E^2)*d对应符号：I S E p a d o y I P ∂∂ S P ∂∂ EP∂∂ β α d θ λ编号 2010212012毕业论文(2014 届本科)题目：具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：周鑫指导老师：郭金生职称：讲师完成日期： 2014 年 5 月 22 日二○一四年五月。

传染病模型文献综述班级：信科09-1姓名：修春旭、王云鹤、颜亮具有常数输人的SE1R 和SE1S 组合传染病模型作者：李常菊，黄樟灿【内容】根据流行病不同阶段的特征! 建立了易感者类具有常数输入的SE1R 和SE1S 组合传染病模型! 然后采用L1apun0V 函数! LaSa11e 不变集原理和复合矩阵理论证明了具有常数输入的SE1R 和SE1S 组合传染病模型的平衡点的全局渐近稳定性.本文讨论了具有常数输人的SE1R 和SE1S 组合传染病模型.SE1R 和SE1S 组合传染病模型一般适用于细菌感染的传染病，这种模型对患者病愈后，其中一部分获得免疫力，而另一部分暂时不具免疫力的某些疾病，特别对一些免疫状况尚在研究阶段的突发性传染病具有实际意义.【模型】根据流行病不同阶段的特征" 我们将某一地区的总人口()N t 分为4个流行病学仓室: 易感者类、潜伏者类、染病者类、恢复者类。

其在t 时刻的数量分别为(),(),(),()S t E t I t R t 且()()()()()S t E t I t R t N t +++=本文研究易感者类具有常数输人的SE1R 和SE1S 组合传染病模型，相应的微分方程组为'()'()()'()()'()S t A cI SI S E t SI E I t E c I R t I Rβμβμεεμεγγμ=+--⎧⎪=-+⎪⎨=-+++⎪⎪=-⎩ 其中，正参数u(t)为单位时间内自然死亡率系数; 非负常数α为单位时间内因病死亡率系数; ε为单位时间内潜伏者转化为染病者的比例; γ为单位时间内恢复的比例; c 为无免疫易感率， 即表明患病者康复后其中一部分因不具免疫力可以立刻再次被感染而直接进人易感人群;SI β为双线性发生率; A 为单位时间内易感者类的常数输入率.一类带有周期参数的SIS 传染病模型作者：杨友社【内容】 通过对经典的SIS 传染病模引入周期性变化的疾病传播参数，建立了一类具有周期性变化参数的SIS 传染病模型。

一类考虑垂直传染、接种及人均病床数的SIVS传染病模型分
析
王琪;窦霁虹
【期刊名称】《西南师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(47)10
【摘要】基于疫苗接种不完全有效的实际情况,研究了一类考虑垂直传染、接种及人均病床数的SIVS传染病模型,同时采用与人均病床数有关的治疗函数以研究医疗资源数量对传染病防治工作的影响.首先,利用下一代生成矩阵法得到疾病基本再生数的表达式,并且分别采用几何法和特征值法得到各平衡点稳定性的一些结论;其次,通过对平衡点的讨论发现此类模型会发生后向分支,同时结合理论证明和数值模拟对其进行验证;最后,基于已有文献对加入垂直传染和新生儿接种因素后的理论结果异同点进行比较,得出了通过大幅减少有效接触和提供丰富的医疗资源可以避免发生后向分支从而消灭疾病,通过增加疫苗的接种比例和接种效率可以控制疾病传播的结论.
【总页数】11页(P26-36)
【作者】王琪;窦霁虹
【作者单位】陕西工业职业技术学院;西北大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.一类具有非线性传染率和脉冲接种的SIV传染病模型
2.一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳定性分析
3.一类具有预防接种和垂直传染的SIRS传染病模型分析
4.一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳定性分析
5.一类具有预防接种和垂直传染的SIR传染病模型的定性分析
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两类传染病模型的定性理论分析中期报告
本次中期报告主要介绍了两类传染病模型的定性理论分析的研究进展。

其中，第一类模型是传统的基于微分方程的 SIR 模型，第二类模型是基于随机过程的随机传染病模型。

对于第一类 SIR 模型，我们主要研究了长期动力学行为和稳定性分析。

通过构造 Lyapunov 函数，我们证明了当传染病基本再生数 R0 < 1 时，系统的零解是全局渐近稳定的；当 R0 > 1 时，系统的患病平衡点是全局渐近稳定的。

此外，我们还分析了 R0 的影响因素，发现防控措施的实施和人口迁移等因素会影响 R0 的大小。

对于第二类随机传染病模型，我们主要研究了概率传播和病毒演化的影响。

通过 Monte Carlo 模拟和 Markov 过程分析，我们发现随机传染病模型中的概率传播会使得传播速度变慢，同时还会增加系统中发生灭绝的概率。

此外，我们还考虑了病毒演化对传染病传播的影响。

通过构建一个扩散的多个突变的 SIR 模型，我们发现病毒突变的发生率对传播速度和末态分布有很大的影响。

未来工作将会继续研究这两类模型的数值模拟和实际数据分析，以更好地理解传染病传播的动力学机制和应对策略。