重庆市2025届高三9月考试数 学 试 题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．31D ．322.若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知且，则的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．84.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知α，，且，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示，下列说法正确的是（ ）年龄人数126542A ．这20人年龄的分位数的估计值是46.5B ．这20人年龄的中位数的估计值是41C ．这20人年龄的极差的估计值是55{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B z 1i 1iz=--+z =22i+22i --2i-2i,0a b >2ab =(1)(2)a b ++,a b2π35,4a b == a b 38b - 58b - 58b 78b- (0,π)β∈3cos 5α=5sin()13αβ-=cos β=5665166533656365()()()227,12:4ln 21,21x ax x p f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨++---<<-⎪⎩(]2,2x ∈-()4:1ax q g x x +=-()1,+∞p q [)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)45,50[]50,5580%D ．这20人年龄的众数的估计值是358.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）A ．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人B ．随机变量C ．随机变量的数学期望为D ．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则10.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）A ．开口向上的抛物线的方程为B ．C ．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D ．阴影区域的面积大于411.已知直线，A 是之间的一定点并且点A 到的距离分别为1，2，B 是直线上一动点，作，且使AC 与直线交于点C ，，则（ ）A ．面积的最小值为()()ln 11f x x a x =-++()()21g x a x =+1x ≥()()20f x g x +≥a ()0,1()1,+∞(]0,1[)1,+∞142114775273X 323257,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭X 157A =()27P A =2:2(0)C y px p =>90180270 ､､C ,A B C 1p =212y x =4AB =x y t +=3412l l ∥12,l l 12,l l 1l AC AB ⊥2l 1()3AG AB AC =+ABC V 2B ．点到直线的距离为定值C．当时，D ．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有_______个这样的子集.（要求用数字作答）13.在的展开式中，若的系数为，则_______.14.已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，三棱锥中，，，是的中点.（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.16.（15分）已知的内角所对的边分别是.（1）求角；（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.17.（15分）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如G 1l GB GC = GAB △GB GC ⋅2-104A 5A ()3nx -2x ()2n a n ≥2323333nna a a +++= ()()()211022420x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩()()()2g x f f x m =--()g x m P ABC -AB BC ==6PA PB PC AC ====O AC POB V PO M BC 13BM BC =PC PAM ABC V ,,A B C sin sin ,,,sin a c A Ba b c a b C--=+B ABC V 12πABC V ABC V 231312此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.18.（17分）已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，其中.①求数列的前2024项和；②求.19.（17分）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.（1）求的方程；（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.①求；②记，，求.名校方案 重庆市2025届高三9月考试数 学 答 案题号1234567891011答案ACDBAABDACDABDABD1．A 【试题解析】，，三个元素，真子集个数为.n A n n n P n P {}n a n n S 2235n S n n =+{}n b 1330,6,24q b b a >==+{}n a {}n b {}n c 111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩*k ∈N {}n c ()*221ii ni ac n =∈∑N E ()y x =E 12,l l ()(,0n n P p p >)*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2n n p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N211(1)nkk k k k bb a +=⎡⎤--⎣⎦∑{}2290B x x ⎡=-≤=⎢⎣{}2,0,2A B =- 3217-=2．C 【试题解析】因为，所以.3．D 【试题解析】且，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.4．B【试题解析】，故在方向上的投影向量为.5．A 【试题解析】由，，则，则.则，由，则，，.6．A 【试题解析】要在上单调递减，则，解得，在为增函数，则，解得，因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件.7．B 【试题解析】因为，故80%分位数落在区间，设其估计值为m ，则，解得，A 错；因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，设其估计值为n ，则，解得，B 正确；有表格中数据可知极差不超过，C 错；因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值.8．D 【试题解析】令，则1i 1iz=--+2(1i)2i z =-+=-,0a b >2ab =(1)(2)224248a b ab a b a b ++=+++=++≥+=2a b =1,2a b ==1,2a b ==(1)(2)a b ++12π54cos 523448a b a bb b b b bb b b⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=- a b 58b - ()0,παβ∈，3cos 05α=>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α=ππ,2αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭5sin()13αβ-=π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()12cos 13αβ-=()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-312455651351365=⨯+⨯=()f x (]2,2x ∈-222401127aa a a ⎧-≥⎪⎪+<⎨⎪--≥--⎪⎩54a -≤<-()()1444:111a x a ax aq g x a x x x -++++===+---()1,∞+40a +<4a <-54a -≤<-4a <-p q 2080%16i =⨯=[)45,50()12651450.82020202020m ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭46m =2050%10i =⨯=[)40,45()1261400.520202020n ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭41n =552530-=()()()()()222ln 2121h x f x g x x a x ax a x =+=-++++≥.若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意.若，则当时，，单调递减，则，不符合题意.若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意.9．ACD 【试题解析】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则，所以，，，所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，A 正确；随机变量的取值有，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以B 错误；由期望公式可得随机变量的数学期望，C 正确；因为，所以D 正确.10．ABD 【试题解析】由题，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；对于B ，根据A 项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象对称性，可得,故，即B 正确；对于C ，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,()()()()2112212x ax h x a ax x x--=-++='0a ≤()0h x '≤[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≤=01a <<11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x ()()10h x h ≤=1a ≥()0h x '≥[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=,,x y z 7142114142114x y z ===++2x =3y =2z =232X 123()125237C C 11C 7P X ===()215237C C 42C 7P X ===()305237C C 23C 7P X ===X X 123P174727X ()142151237777E X =⨯+⨯+⨯=()()237P A P X ===2:2C y x =11(,0)2F 90 21(0,)2F 22x y =212y x =2222y xx y⎧=⎨=⎩0x =2x =2A x =2A y =(2,2),(2,2)A B -4AB =x y t +=,M N由解得解得，,即得,则弦长为：，由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，即在第一象限部分满足，不妨设，且，代入得，，（）由此函数的图象知，当时，，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D 正确.11．ABD 【试题解析】对于A ，过作的垂线，分别交于点，则，设，22y x t y x =-+⎧⎨=⎩11M M x t y ⎧=+-⎪⎨=-⎪⎩22y x t x y =-+⎧⎨=⎩11N N x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(11),1,1M t N t +---+|||2MN t ==+-x y t +=A t O t 04t <≤u =13u <≤212u t -=221|||22|(2)1|2u MN u u -=+-=--13u <≤2u =||MN 1821,(0)2y x x =≥P P OA 1y x '==1(1,2P :0OA l x y -=P OA d ==1122OPA S ==V 121842⨯=A 12,l l 12,l l ,E F 1,2AE AF ==FAC θ∠=则在中，，因为，所以在中，，所以，所以，因为，所以当且仅当时，取到最大值，所以面积的最小值为，所以A 正确，对于B ，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，所以，，所以，所以，所以，所以点到直线的距离为，是定值，所以B 正确，对于C ，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，，Rt ACF △2cos cos AF AC θθ==AC AB ⊥Rt ABE △ABE θ∠=1sin sin AE AB θθ==1121222cos sin sin 2ABC S AB AC θθθ=⋅=⨯⨯=V π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4θ=sin 21θ=ABC V 2A EF y 12tan ,tan FC BE θθ==1(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-π0,2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1(2tan ,2),(,1)tan AC AB θθ=-= 111211()(2tan ,1)(tan ,33tan 33tan 3AG AB AC θθθθ=+=+-=+- 211(tan ,)33tan 3G θθ+-G 1l 431(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-211(tan ,33tan 3G θθ+-224415(tan ,),(tan ,)3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- GB GC = 2222164125(tan )(tan )3tan 3933tan 9θθθθ-+=-+2241161125(tan )(4tan 9tan 99tan 9θθθθ-+=-+22114(tan )(4tan 9tan tan θθθθ-=-+2222114(2tan )16tan 89tan tan θθθθ-+=-++22224184tan 16tan 89tan tan θθθθ-+=-++2214tan 30tan θθ-+=21tan 4θ=2tan 1θ=-1tan 2θ=(1,2),(2,1)C B -1(1,3G -所以，所以，，因为，所以，所以由正弦定理得所以，即，所以C 错误，对于D ，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，所以D 正确，12．【试题解析】从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，其中至少包含两个“”开头的选法可分为类，第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有；第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有；第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个.13．【试题解析】由二项式的展开式的通项公式可得第，令，可得的系数为，所以，14(2,1),(1,(1,)33AB AG GB ==-= cos ,AB AG ==53GB == [],0,πAB AG ∈ π,4AB AG = 2sin GB r BAG ===∠r =GAB △224415(tan ,(tan ,3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- 224120(tan )(tan 3tan 333tan 9GB GC θθθθ⋅=---22828220tan 99tan 999θθ=--+-222810(tan )9tan 99θθ=-+-108102999≤--=--=-2228tan 9tan 9θθ=21tan 2θ=GB GC ⋅2-1864A 105A 45A 2346C C 5A 3246C C 5A 4146C C 233241464646C C C C C C 186++=()181n n-1C 3C ()(1)3r r r r rn r n r r n nT x x -+-=-=-2r =2x 222C (1)3n n --222(1)C 332n n n n n n a ---==⋅则，则.14．【试题解析】如图，作出函数的图象，令，即，由图可知，或，则或，当，函数无解；当或，函数只有一个解；当或，函数有两个解；当，函数有三个解；当恰有3个零点时，或或或或或或或或或，解得.15．（1）（6分）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，由，，所以，所以，所以，又因为，点是的中点，所以，且，所以， 所以，且，所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，所以.2323181818(1)3(1)1n n n n a n n n n n n-⋅===--⋅--23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- (]{}1,34 ()f x ()()()20g x ff x m =--=()()2f f x m -=()2f x m -=-()0f x m -=()2f x m =-()f x m =()0f x <()0f x =()2f x >()01f x <≤()2f x =()12f x <<()g x 2012m m -<⎧⎨<<⎩2001m m -=⎧⎨<≤⎩202m m -=⎧⎨=⎩0212m m <-≤⎧⎨>⎩0210m m <-≤⎧⎨=⎩122m m <-<⎧⎨<⎩220m m -=⎧⎨=⎩222m m -=⎧⎨>⎩2201m m ->⎧⎨<≤⎩222m m ->⎧⎨=⎩(1,3]{4}m ∈ POB V PO OB AB BC ==6PA PB PC AC ====222AB BC AC +=π2ABC ∠=3OB =6PA PC AC ===O AC PO AC ⊥PO ==222PO OB PB +=PO OB ⊥AC OB O = PO ⊥ABC POB V PO 3OB =PO =21π33V =⋅⋅⋅=（2）（7分）如图：可知：平面，又，，所以，所以，为等腰直角三角形，又由点是的中点，所以，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，，，，所以，又有，设平面的一个法向量为，则即 令，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以.16．（1）（6分）因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得，因为为三角形内角，，所以.（2）（9分）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为因为，所以由正弦定理可得故，PO ⊥ABC AB BC ==6PA PB PC AC====222AB BC AC +=π2ABC ∠=ABC V O AC OB AC ⊥O ,,OB OC OP ,,x y z O xyz -13BM BC =(P ()0,3,0C ()0,3,0A -()2,1,0M (0,3,PC =- ((),2,4,0AP AM ==MAC (),,n x y z = 00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩30240y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y =1x z =-=-()1n =--PC PAM π,0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭sin PC n PC nθ⋅===⋅arcsin θ=sin sin sin a c A B a b C --=+a c a ba b c--=+222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==B ()0,πB ∈π3B =ABC V 12ππ3B =sin sin sin a b cA B C===2π,6,3a A b B c C A ⎛⎫=====-⎪⎝⎭所以，因为为锐角三角形，则，，即的周长的取值范围为.17．（1）（2分）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；（2）（5分）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，根据题意得，，所以．（3）（8分）设表示第天选择绿豆汤，则，根据题意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，所以..18．（1）（5分）当时，，当时，，所以，显然符合上式，所以，由题意，所以.（2）①（6分）易知，2π6sin sin 3a b c A A ⎡⎤⎛⎫++=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦36sin 2A A ⎫=++⎪⎪⎭π612cos 3A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ABC V 2ππ32π02C A A ⎧=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩(πππππππ,,cos 612cos 66236633A A A A ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤∴∈⇒-∈-⇒-∈⇒+-∈+⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ABC V (6⎤+⎦212339⨯=1A 2A 1A ()()()()11212121111,,,133322||P A P A P A A P A A ====-=()()()()()212112121117333218||P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=n A n ()(),1n n n n P P A P A P ==-()()11111,1322||n n n n P A A P A A ++==-=()()()()()()111|1113|2n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-1162n P =-+11162n n P P +=-+1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1350721P -=≠37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭52116-1351=(7216n n P --⨯-1513=()2167n n P -⨯-+1n =1112284S a a ==⇒=2n ≥()()22123523151n n S n nS n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩131n n n a S S n -=-=+1a 31n a n =+()23123314242b b q q =⨯++==⇒=1132n n n b b q -==⋅101121024,220482024==>即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，故数列的前2024项和；②（6分）由（1）知，而，所以，易知，，所以19．（1）（3分）依题意设双曲线方程为，则渐近线方程为，则，解得，所以的方程为；（2）①（7分）当中有一条的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，直线与轴重合，不符题意；所以直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，由，得，则，所以，，所以，则，所以，同理可得，因为、、三点共线，所以，{}n c 1021425129102410,,,,c b c b c b c b ==== {}n c ()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- 2321i ia =⋅+232i ii c b ==⋅()22323219432i i i i i i a c =⋅⋅+=⋅+⋅()11361494341214i nii i +=⨯-⋅==⋅--∑()116123232612i ni i i +=⨯-⋅==⋅--∑12112343218ii i i ni ac +=+=⋅+⋅-∑()22221,0x y a b a b -=>by x a =±222b ac a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩E 2212x y -=12,l l 0MN x 12,l l 01l ()()0n y k x p k =-≠()11,A x y ()22,B x y (),M M M x y (),N N N x y ()2212n y k x p x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222124220n n k x k p x k p -+--=2120k -≠2122412n k p x x k -+=-221222212n k p x x k--=-21222212nM k p x x x k -+==-()22221212n n M M n n k p kp y k x p k p k k ⎛⎫--=-=-= ⎪--⎝⎭2222,1212n n k p kp M k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭222,22n n p kp M k k -⎛⎫⎪--⎝⎭M N Q ()()()N N M N M N n y x x y y x t -=--又，所以，因为，所以；②（7分），故，设，则，所以，所以，所以，所以.0N M y y -≠2222222221222122212n n n nM N N M n n n n N Mk p kp p kp x y x y k k k k t p kp kp y y k k ---⋅-⋅-----===-----2n n p =12n n t +=1222n n n n a PQ +==-={}2212122121212211(1)(1)(1)nnkk kk k k k k k k k kk k bb a b b a b b a -+--+==⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑()()21214143241412nk kk k k k k -=⎡⎤=-+-⨯++-+⨯⎣⎦∑2211124nnk k k k k k ++===⨯=⨯∑∑114nk k n k T +=⨯=∑23411424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 345241424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ()()22341221614163143444444143n n n n n n n T n n ++++----⨯-=++++-⨯=-⨯=- ()2163149n n n T ++-⨯=211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()2163149n n ++-⨯=。
