《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解讲解学习

第九章 压杆稳定
一、什么是压杆稳定？
二、临界压力的计算方法？
三、压杆的稳定性条件？
四、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。

其直径mm d 45=，长度mm l 703=。

钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。

计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa)。

试：（1）判断此压杆的类型；（2）求此杆的临界压力。

解：（1） 1=μ 86
21==P E σπλ 5.624
===d l i
l μμλ 由于12λλλ<<，是中柔度杆。

（2）MPa cr 301568.2461=-=λσ
kN A P cr cr 478==σ
四、图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序为？
六、图示托架各杆均以圆柱形铰链
联接和支承，BC 杆直径d =40mm ，
材料为A 3钢，压杆的大柔度限值
λ1=100，λ2=60。

试判定压杆BC 的类型和该杆临界应力的计算公式。

（14分）
解 惯性半径为 104
===d A I i z mm （4分）
柔度为 83.80==i
l μλ （4分） 属于中长杆，用经验公式计算临界应力，即 λσb a cr -= （6分）。

压杆稳定习题及答案【篇一：材料力学习题册答案-第9章压杆稳定】xt>一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力p=pq时处于直线平衡状态。

在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ a ）。

a、弯曲变形消失，恢复直线形状；b、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； c、微弯状态不变； d、弯曲变形继续增大。

2、一细长压杆当轴向力p=pq时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力p，则压杆的微弯变形（ c ）a、完全消失b、有所缓和c、保持不变d、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ d）来判断的。

a、长度b、横截面尺寸c、临界应力d、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ a）对临界应力的影响。

a、长度，约束条件，截面尺寸和形状；b、材料，长度和约束条件；c、材料，约束条件，截面尺寸和形状；d、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。

答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。

其柔度为 ( c )a.60；b.66.7；c.80；d.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ d ）所示截面形状，其稳定性最好。

≤?≥?- 1 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ c）a、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；b、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； c、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； d、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ a ）a. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；b. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；c. 临界应力和临界压力一定相等；d. 临界应力和临界压力不一定相等；a、杆的材质b、杆的长度c、杆承受压力的大小d、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。

第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定性的概念一、引言工程中有许多细长的轴向压缩杆件，例如，气缸或油缸中的活塞杆、内燃机连件、建筑结构中的立柱、火箭的级间连接支杆等。

材料力学中统称为压杆或柱。

前面研究直杆轴向压缩时，认为杆是在直线形态下维持平衡，杆的失效是由于强度不足而引起的。

事实上，这样考虑，只对短粗的压杆才有意义，而对细长的压杆，当它们所受到的轴向外力远未达到其发生强度失效时的数值，可能会突然变弯而丧失了原有直线形态下的平衡而引起失效。

它是不同于强度失效的又一种失效形式。

受压变弯的原因：（1）压秆在制造时其轴线存在初曲率。

（2）合外力作用线与杆轴线没有重合。

（3）材料的不均匀性。

二、“中心受压理想直杆”力学模型及稳定的概念力学模型：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用 试验：取如图所示两端铰支均质等直细长杆，加轴向压力F ，压杆呈直线形态平衡。

现在，若此压杆受到一很小的横向干扰力。

(例如，轻轻地推一下)，则压杆弯曲，如图 a 中虚线所示。

当横向干扰力解除后，会出现下述两种情况：1) 当轴向压力F 小于某一数值时，压杆又恢复到原来的直线平衡形态，如图 b 所示。

（稳定平衡） 2) 当轴向压力F 增加到这一数值时，虽然干扰力已解除，但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态，而在微弯曲的形态下平衡，如图 c 所示。

（不稳定平衡）可见，压杆的原来直线形态平衡是否稳定，与所受轴向压力F 的大小有关；当轴向压力F 由小逐渐增加到某一个数值时，压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定。

压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的界限值，称为压杆的临界力，用F cr 表示。

当压杆所受的轴向压力F 达到临界力F cr 时，其直线形态的平衡开始丧失，我们称压杆丧失了稳定性，简称失稳。

研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力的值。

§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于其临界力，并且已经失稳而在微弯曲状态下保持平衡，如图所示。

第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。

一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。

二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。

（它是稳定与不稳定的转折点）。

压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。

①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。

解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。

1. 一倾斜矩形截面梁AB 如图，在其中点C 处作用有铅垂力F =25kN ，试求梁AB 中的最大拉应力和最大压应力。

解：（1）受力分析力F 可分解为 30cos 1F F =和 30sin 2F F =，梁发生弯曲和压缩的组合变形。

最大弯矩发生在C 截面max cos30cos3018750N m 44l F Fl M ⋅=== AC 段轴力为 30sin F F N -=（2）应力计算m a x 2918750P a 7.81M P a 160300106w z M W σ-===⨯⨯ 36s i n 30250.510P a 0.26M P a 16030010N F A σ-⨯⨯===⨯⨯ 故 m a x 7.81M P al σ= max 0.267.818.07MPa y σ=+=2. 悬臂吊车如图，横梁用25a 号工字钢制成（工字钢的截面积和抗弯截面模量分别为：A =48.5cm 2，W z =402cm 3），梁长l =4m ， F =24kN ，梁材料的许用应力〔σ〕=100MPa 。

试校核梁的强度。

解 (1)外力计算取横梁AB 为研究对象，当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。

此时，由平衡条件得F By =12kN ， F Bx =20.8kN又由平衡条件ΣF x ＝0和ΣF y ＝0得F Ax ＝20.8kN ， F Ay ＝12kN(2)内力和应力计算在梁中点截面上的弯矩最大，其值为M max =Fl /4=24000N·m所以最大弯曲应力为σW max =M max /W z =60MPa梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。

轴力产生的压应力为σy =F N /A =-4.3MPa(3)强度校核数值最大的正应力发生在跨度中央截面的上边缘，是压应力｜σ｜max =｜σy -σW max ｜=64.3MPa ＜〔σ〕悬臂吊车的横梁是安全的。

压 杆 稳 定典型习题解析1 图示№20a 工字钢，在温度20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数α=12.5×10-61/℃。

解题分析：计算λ时，取i 的最小值。

此题是一度静不定问题，利用变形协调方程求解。

解：1、求柔度λ，查表№20a 工字钢 。

cm 12.2n i m =i №20a题1图p 2142m1012.2m 65.0λµλ>=××==−i lc 2、求失稳时的温度杆为细长杆，临界应力公式为22cr )(πλσE =当温度上升∆T 时，杆内的应力 T E ∆T ⋅⋅=ασ 若温度上升∆T 时，杆开始失稳，则有T cr σσ=或 T E E∆⋅⋅=αλ22)(π 于是C 2.39142C 1/105.12ππ∆26222D D=××⋅⋅==−E T ααλ安装时的温度为20℃，故失稳时的温度为°=∆+°=2.5920T T2 图示结构中，AB 及AC 均为圆截面杆，直径d = 80 mm ，材料为Q235钢，求此结构的临界载荷F cr 。

解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取小值。

解：1、计算在F 力作用下各杆的轴力F F F 2160cos N1==D ，1N 2F F = F F F 2360sin N2==D ，2N 2N 15.132F F F ==F N2题2图2、计算各杆的柔度1734/mm 08cos30mm 40001ll 1=××==D i l µλ1004/mm 0830sin mm 40001222=××==D i l µλ两杆均为大柔度杆3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷kN 7.330N 107.330)30cos m 41(64m)1080(πPa 10200π)(π324392212N1=×=××××××==−D l EI F µkN 4.6612N1cr1==F FkN 990N 10990)30sin m 41(64m)1080(πPa 10200π)(π324392222N2=×=××××××==−D l EI F µ kN 113915.12N 2cr ==F F该结构的临界载荷取两者中较小者，即 F cr =661.4 kN3 图示结构中，分布载荷q = 20 kN /m 。