第七章思考题7.1. 建立适当的坐标系Oxyz ，单摆悬挂点A 始终在x 轴上，摆锤为B，摆长l ，则摆锤的约束方程为：x A = x A + vt ，( x A ? x B ) 2 + ( y A ? y B ) 2 + ( z A ? z B ) 2 = l 2 ，0 ，y A = 0, z A = 0 ，z B = 0 。
可见，摆锤受完整、双侧、非稳定约束。
是否受理想约束要视悬挂点的约束情况而定。
，7.2. 轮I、II、III 的转角?1 , ? 2 , ? 3 可唯一确定力学系统的位置?1 被确定后，轮I 及绳的位置被确定，? 2 , ? 3 确定后，轮II 轮III 的位置随之确定。
?1 , ? 2 , ? 3 为系统的广义坐标。
系统的自由度为3。
，所以该约束属7.3. 由于约束方程可积，积分为：x + y + z + C = 0 （ C 为积分常数）2 2 2 于完整约束。
7.4. 7.5. 所以圆轮与平板的接触点的虚位移δr （相对固定平面）由于已知平板的运动规律，7.6. （1）? ? ? ＝δr ′（相对平板）＋δr ′′（平板牵连运动引起的）中的δr ′′ = 0 。
又因圆轮作无滑滚动，? （圆轮受理想约束。
2）于是圆轮所受约束力的虚功之和FN ? δr + F f ? δr = 0 ，因此δr ′ = 0 。
? ? ? ? ? ，由于平板运动规律没有预先给定δr ′′ ≠ 0 ，FN ? δr + F f ? δr = F f ? δr ′′ ≠ 0 ，圆轮受到非? ? ? ? ? ? 理想约束。
如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。
7.7. 7.8. 。
7.9. 因FR1 ? δr1 + FR2 ? δr2 = FR1 ? δr ′= FR1 ? δr1 （δr1 是质点1 相对质点2 的相对虚位移）? ? ? ? ? ρ ρ 所以FR1 ⊥δr1 或δr1 = 0 ，都会导致两约束力的虚功之和为零。
? ? ? 7.10. 7.11. 第七章习题，7.1. 杆的自由度为1，以杆与水平方向的夹角θ 作为广义坐标，根据虚功原理W ? δy c = 0 （y 轴沿碗对称轴铅垂向下，原点在碗口中心，yc 是杆质心的坐标）而y c = R sin 2θ ? a sin θ ，W ? δy c = W (2 R cos 2θ ? a cos θ )δθ ，因δ 2 R cos 2θ ? a cosθ = 0 ，即4 R cos 2 θ ? a cos θ ? 2 R = 0 ，得cos θ = θ = arccos a ± a 2 + 32 R 2 。
8R 选择曲柄OC 与水平轴Ox 轴得夹角? 为广义坐标。
建立Oxy 坐标系。
7.2. 系统自由度为1，ｋ（ｏｈｅ８ｕ课ｍｏｃ．后吧）θ 的任意性，使a ± a 2 + 32 R 2 ，8R 虚功原理写成F2δy B ? F1δsC = 0 ，sC 是 C 点的弧坐标，正方向沿逆时针方向，坐标变换方程为：y B = ?( AB ? ltg? ), s C = R? ，将虚功原理的方程写成( F2 l sec ? ? F1 R )δ? = 0 , 2 由于δ? 是任意的，所以得广义平衡方程( F2 l sec 2 ? ? F1 R ) = 0 ，F1 = l sec 2 ? F2 。
R ）7.3. 系统自由度为1，以手柄的角坐标? 为广义坐标（逆时针方向为正方向，由虚功原理h h W。
δ? ，得 F = 2πL 2π 7.4. 弹簧圈自由度为1 ，选取弹簧圈面到圆锥体顶点的距离h 为广义坐标，弹簧圈势能1 dV 故V = k (2πh tan α ? l ) 2 ? Wh 。
通过= 0 ，得4π 2 kh tan 2 α ? 2πkl tan α ? W = 0 ，2 dh 2πkl tan α + W 。
弹簧圈平衡时h = 4π 2 k tan 2 α ，而δy A = 得? Wδy A + FLδ? = 0 （Oy 轴竖直向上）7.5. s = 1 ，以?1 为广义坐标，水平面为重力势能零点，系统势能V = W1l1 sin ?1 + W2 l 2 sin ? 2 ，约束方程为2l1 cos ?1 + 2l 2 cos ? 2 = EF ，根据虚功原理W ?V = 0 ，得tan ?1 = 1 tan ? 2 。
W2 ??1 7.6. 将约束释放并以六个约束力FT1 、FT 2 、FT 3 、FT 4 、FT 5 、FT 6 代替，将其作为主动力? ? ? ? ? ? 处理，选择一足与竖直直线的夹角为广义坐标，由于系统结构与对称性，虚功原理写成θ ? Fδy E ? 3FT δs = 0 ，其中y E 为 E 点在对称轴oy 上的坐标，s 是两足端点距离，系统的约束方程y E = l cos θ ，s = 2l sin θ cos 30 = ο 3l sin θ ，最后得到绳子的张力为FT = F tan θ 。
3 3 ? 7.7. 解除约束并代以约束力FT1 、FT 2 ，取 C 、D 点连线和杆AC 的夹角为广义坐标，建立? 原点在EF 杆中点的直角坐标系Oxy ，根据虚功原理，? Fδy + FT1 δxC ? FT2 δx D = 0 ，由坐标变换方程得δy = 2l cos αδα ，δxC = l sin αδα ，δx D = ?l sin αδα ，考虑到δα 的任意性，最后得FT = F cot α 。
7.8. 解除绳子的约束，将绳子张力FT1 、FT 2 当作主动力处理，选择杆AB 和竖直对称轴的? ? ，夹角α 为广义坐标，以两钉的中间固定点为坐标原点建立Ox 轴水平向右、Oy 轴竖直向下的直角坐标系，由虚功原理Fδy C ? FT1 δx D + FT2 δx B = 0 ，根据坐标变换方程，并考虑到F δα 的任意性，得到广义平衡方程，进而得到绳子的张力T = F tan α ( 2 a csc 3 α ? 1) 。
2l 2 2 4 7.9. 用虚功原理，可求出质点的平衡位置为y = ? mg / k 2 ，x = ± R ? m g / k . 。
利用不定乘子法，将约束方程x + y ?R =0 求变分，并乘以不定乘子λ ，2 2 2 2λxδx + 2λyδy = 0 ，与k 2 xδx ?mgδy = 0 相加，得k 2 x + 2λx = 0 ，? mg + 2λy = 0 ，求出λ = ?k / 2 ，用FN = λ?f ，即可求出FN ：大小FN = k R 2 ? ρ 2 ，方向从所在处指向圆环中心。
? 7.10. 以滑轮、绳子、重物为系统，选择滑轮的角坐标为广义坐标，系统的拉格朗日函数1 1 & ( m1 + m) R 2? 2 + (h0 + R? )mg ，h0 为重物的初始未知坐标，作用量的变分2 2 t1 1 1 &应用分部积分和δ? t =t0 = δ? t =t1 = 0 的条δS = δ∫ * ( m1 + m) R 2? 2 + (h0 + R? ) mg +dt ，t0 2 2 t1 1 1 2 &&件，δS = ∫ * ? ( m1 + m) 2 R ? + Rmg +δ?dt ，对于真实运动，δS = 0 ，且δ? 是任意的，t0 2 2 为L= &&&&因此? ( m1 + m) R ? + mgR = 0 ，? = 2mg 。
m1 + 2m 1 2 2 2mg ，重物的加速度为(m1 + 2m) R && a = R? = 7.11. L = t1 1 1 1 2 1 2 && mx ? kx ，S = ∫ ( mx 2 ? kx 2 )dt ，t0 2 2 2 2 t1 t1 1 1 2 &&& δS = δ ∫ ( mx 2 ? kx )dt = ∫ (mxδx ? kxδx)dt = 0 ，t0 t0 2 2 进行分部积分并利用δx t =t0 = δx t =t1 = 0 ，进而得到线性谐振子的且考虑到δx 是任意的，&运动微分方程m&+ kx = 0 。
x 7.12. 以小球的r 为广义坐标，L= t1 1 1 & δS = δ ∫ [ m(r 2 + r 2? 2 ) ? k ( r ? l0 ) 2 ]dt = 0 ，t0 2 2 即δ ∫ *mr&r&+ mr? t0 t1 进行分部积分并利用δr 2 程：m(&? r? ) = ?k ( r ? l 0 ) r&ｅｋ（2 δr ) ? k (r ? l 0 )δr +dt = 0 ，t =t0 ８ｕｏｈ= δr t = t1 ｍｏｃ．课）吧后 1 1 & m(r 2 + r 2? 2 ) ? k (r ? l0 ) 2 ， 2 2 = 0 的条件，由于δr 的任意性，得到质点的运动微分方理论力学题解第八章思考题8.1. 8.2. & q 8.3. 拉格朗日函数是系统的特征函数，与系统的运动状态有关，而运动状态由α 、qα 描& q&&&& q&&&述，与qα 、&无关，所以拉格朗日函数不含qα 、&。
α α 8.4. 8.5. 第八章习题? 8.1. 以滑轮、绳子和重物作为系统，滑轮角坐标为广义坐标，L= 1 1 &，( m1 + m) R 2? 2 + (h0 + R? )mg （h0 为重物的初始位置坐标）将L 代入拉氏方程，2 2 2 &&&&得( m1 + m) R ? ? mgR = 0 ，? = 1 2 2mg 2mg &&。
重物加速度为a = R? = (m1 + 2m) R m1 + 2m 逆时8.2. 将小圆柱质心和所在的大圆柱截面中心的连线与竖直直线的夹角作为广义坐标，θ ，设小圆柱角坐标正方向为顺时针方向坐标变换方程为( R ? r )θ = r? ，针方向为θ 正方向。
系统拉氏函数为L = 3 & m( R ? r ) 2 θ 2 ? mg ( R ? r )(1 ? cos θ ) ，将L 代入拉氏方程后得4 &= θ& ? 2g 2g &= sin θ ，当θ 很小时θ& ? θ 。
小圆柱质心的运动周期为3( R ? r ) 3( R ? r ) T = 2π 3( R ? r ) 。
