1.5《定积分的概念》课件。新人教选修2-2

3
v
S1 S2
2
vt () S 3 S4
t2 2
f(x)=x2
S1 3
Sj
O
1
x
Sn
根 据 定 积 分 的 定 义 左 边 图 形 的 面 积 为
S
1
v(t)dt
1(t22)dt5
0
0
3
O
1
t
123 j n 1
17
nnn n n
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
13
定积分的定义： 即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
b f ( x ) d x c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
yf (x)
20
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分
的面积?
y
yf (x)
b
b
SS1S2af(x)dxag(x)dx
S1
b
y a
fg((xx))dx
b
S2
g(x)dx
y f(x)
a
bx
14
积分上限
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i
被
被
积
积分下限
积
积
分
函

n
n
n
y
N个小曲边梯形的面 积分别记作：
S1 , S2 , , Sn .
y x2
O













1 n
2 n
k n
n n
x
S Si
i 1
n
（2）用矩形来近似代替
i 1 i ' 在区间 , 上，用小矩形的面积 Si n n 2 i 1 i 1 ' 近似地代替Si 则有Si Si f ( )x x
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a a
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c

人教版 选修2-2
第一章 导数及其应用
1.5 定积分的概念
课前预习
• [问题1] 直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围成的图形的 面积是多少？
[提示] S＝12(2＋3)×1＝52.
2
[问题2] 利用定积分计算 (1＋x)dx的值． 1
[提示] ∵f(x)＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2] 分成 n 等份，
新知导入
一、定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜… ＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每
n
个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx
n b－a
i＝1
＝
i＝1
n f(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒
有 f(x)≥0
b
，那么定积分af(x)dx 表示由 直线x＝a，x
＝b(a≠b)，y＝0 和 曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的
b
面积．这就是定积分af(x)dx 的几何意义．
三、定积分的性质
b
b
1. kf(x)dx＝ a
kaf(x)dx
解析： (1)∫π3πsin xdx；(2)2－412x2dx； (3)－49(－x12)dx＝49x12dx.
题型探究
一. 利用积分求定积分
2
利用定积分的定义，计算 (3x＋2)dx 的值． 1
• [思路点拨] 将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小 区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．

牛刀小试
1 ．求由曲线 y ＝ ex ，直线 x ＝ 2 ， y ＝ 1 围成的图形的面积
时，若选择x为积分变量，则积分区间为( A．[0，e2] B．[0,2] )
C．[1,2]
[答案] B
[解析]
x y＝e 解方程组 y＝1
D．[0,1]
x＝0 ，可得 y＝1
，
所以积分区间为[0,2]，故应选B.
么定积分
b a
曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积． _____________
3．定积分的性质
a
b k f(x)dx b a ① kf ( x )d x ＝ __________________( k为常数)；
b f1(x)dx± f2(x)dx b a ② [ f f ； 1(x)± 2(x)]dx＝________________ b a
π π
5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
1 1 2 (1) xdx________________ x dx(图1)；
0 0
1 2 (2) xdx________________ xdx(图2)；
0 1
2 2 2 (3) 4 － x d x ________________ 2dx(图3)．
0 0
[答案] (1)> (2)< (3)<
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和

第一节 定积分的概念
• 一、问题的提出 • 二、定积分的定义 • 三、几何意义 • 四、小结 思考题
.
砖是直边 的长方体
烟囱的截面 是弯曲的圆
“直的砖”砌 成了“弯的圆”
局部以直代曲
.
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
f (i )xi i3xi
i1
i1
n
xi3xi , i 1
.
n
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
.
y=f (x) y
AS
oa
x b
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
b
f (x)dx
a
就是位于 x 轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即
b
a f(x)dxS
.
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
个小区[x间 i1,xi]，
长度 xix 为 ixi 1;
在每个小区[x间i1, xo i a x 1 上任取一点i，
b xi1 i x i xn1

答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a

(2)求曲边梯形面积的方法和步骤： ①分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：
n－1 1 1 2 0， ， ， ， „， 记第 ，1， n n n n
i
i－1 i 个区间为 „， ，n(i＝1,2， n
(3)求和：sn＝ Δsi
i＝1
n
i－1 t ＝ g· n ·n t· i＝1 gt2 ＝ n2 [0＋1＋2＋…＋(n－1)] 1 1 2 ＝ gt 1－n. 2 (4)取极限：s＝ 1 1 2 1 2 lim 2gt 1－n＝2gt . n→∞
n
求变速直线运动的路程问题，方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和步骤类似于求曲
ΔSi， 即在局部小范围内“以直代曲”， 则有
i－1 ΔSi≈ΔS′i＝f n Δx.
③求和 各个小矩形的面积求和， 图②中阴影部分的面积 Sn 为 Sn＝ ΔS′i
i＝1 n i－1 n
＝ f
i＝1
n
Δx，从而得到
曲边梯形的面积 S≈Sn.
④取极限 如图③所示，可以看到，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时， Sn 趋向于 S，从而有 S＝ .

n
＝1＋
1 1 1 lim 31－n1－2n n→∞
1 4 ＝1＋ ＝ . 3 3 4 所以所求的曲边梯形的面积为3.
分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四 个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→
i－1 it 在 „， 可取 ξi 使 t，n上任取一时刻 ξi(i＝1,2， n)， n

������ =1
1 ������
������ ������
, ,…,
������-1 ������ ������
,
������
,…,
������-1 ������
,1 ,
������
������
∑ f(ξ i)Δx= ∑
������
n
1 ������ 2 1 = 3 ∑ i +2= ������ ������=1 6 1
做一做
在区间[a ,b]上的函数 f(x)<0,如图,若阴影部分面积为 S,则 ������ f(x)d x= . ������
解析 :∵f(x)<0,∴-f(x)>0,根据图象的对称性,有 ������ ������ ������ S= ������ [-f(x)]d x=- ������ f(x)d x.∴ ������ f(x)d x=-S. 答案 :-S
1 ������
Δ������→0������=1
1
������ →∞ 6
2+
1
������
+ 2 = +2= .
3 3
1
7
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
探究二利用定积分的几何意义求定积分
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3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������

解析答案
4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①1xdx__>___1x2 dx；
0
0
②2
4－x2dx__<___22dx.
0
0
1234
答案
课堂小 结
1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(1) 在区间[a，b]上，若 f(x)≥0，则 S＝bf(x)dx，如图(1)所示，
bf(x)dx＝S
a
即 a
.
答案
(2)在区间[a，b]上，若 f(x)≤0，则 S＝－bf(x)dx，如图(2)所示，
bf(x)dx＝－S.
a
即 a
.
(3)若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则 S＝cf(x)dx
n b－a
(3)求和： f(ξi)· n ； i＝1
n b－a
(4)取极限：S＝lim n→∞
f(ξi)·
n
.“近似代替”
i＝1
也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上
的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
n b－a
2.定积分bf (x)dx 是一个和式
a
i＝1
n f (ξi)的极限，是一个常数.
∴R
R2－x2dx＝π2R2.
－R
解析答案
易错易 混
因对定积分的几何意义理解不准确致误
例4 如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为( )
A.bf (x)dx a
B.cf (x)dx(x)dx

0 0
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处 将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平 面区域的面积用积分表示为________．

1．5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分． 2.理解 定积分的几何意义． 3.掌握定积分的基本性质．
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间
n
[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑f(ξi)Δ x＝

a
(3)baf(x)dx＝___caf_(_x_)d__x_＋__cb_f_(x_)_d_x_ (其中 a<c<b)．
1．对定积分概念及几何意义的理解
(1)定积分bf(x)dx 是一个常数——实数，一般情况下，被积函数 a
y＝f(x)的图象可以在 x 轴的上方，也可以在 x 轴的下方，在积
2．利用定义求定积分3x2dx. 0
解：令 f(x)＝x2， (1)分割： 在区间[0，3]上等间隔地插入 n－1 个点，在区间[0，3]分成 n 等份，其分点为 xi＝3ni(i＝1，2，…，n－1)，这样每个小区间 [xi－1，xi]的长度Δ x＝n3(i＝1，2，…，n)．
答案：C
直线 x＝1，x＝2，y＝0 与曲线 y＝1x围成曲边梯形的面积用
定积分表示是( )
A.20dx 1
B.21xdx 0
C.11xdx 2
答案：D
D.21xdx 1
若bf(x)dx＝12，则b2f(x)dx＝________．
a
a
解析：b2f(x)dx＝2bf(x)dx＝1.
(2)对于具有公共区间[a，b]上的两个函数，若上界函数为 f1(x)， 下界函数为 f2(x)，则直线 x＝a，x＝b 与曲线 y＝f1(x)，y＝f2(x) 围成平面图形的面积为 S＝b[f1(x)－f2(x)]dx.

定积分的概念
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
1.
f ( x)dx 与

b a
n
b
a
f ( x)dx 的差别
是函数 是一个确定的常数
f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数
f ( x)dx是一个和式的极限
i 1 i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
x dx lim f ( i )xi a f ( x)dx n
2
b i 1
n
x
2
在
[0,1] 上连续，所以

1
0
x 2 dx 存在
0,1分成n等份，每份长 1 n ，各分点是：
n 2
x0 0, x1 1 n , x2 2 n ,, xn n n 1
n i 1 1 2 xdx lim lim 3 i 0 n n n i 1 n n i 1
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx a f ( x)dx

a
a
f ( x)dx 0
例 1: 用定义求定积分 解 因为 把区间

1
0
1
1 1 1 lim 3 nn 12n 1 n n 6 3

上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A =
b a
dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
f(x)=(x-1)2-1
y
0a
①
x -10 2
②
x a 0 b x -10 2 x
③
④
解：（4）在图④中，被积函数f (x) = (x -1)2 -1在[-1，2]
[a, b] —叫做积分区间。
积分上限
n
b a
f
( x)dx
=
I
=
lim
n i =1
f
(xi )Dxi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
b
f(x)dx =
b
b
f (t)dt =
f(u)du。
a
a
a
2
-
f
(x)dx
=
A2
-
A1
=
0
2
f(x)=sinx
A2 x
2
高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (xi )Dx i=1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n
i=1
f (xi )Dx
Oa