名师推荐BB64平面与直线

解：设所求方程为： x y z 1 abc
a : b : c 1: 2 : 3 b 2a, c 3a
又知平面过点（－1，0，－3）于是有
1 0 3 1 a 2, b 4, a 2a 3a
所求平面方程为： x y z 1 246
c 6
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4、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
n2
n1
cos n1 n2
二、平面的一般方程
将平面的点法式方程 ①
展开得 A x B y Cz (A x0 B y0 C z0 ) 0
令
D ( A x0 B y0 C z0 )
得平面方程
Ax B y C z D 0 ② ( A2 B2 C2 0)
显然方程②与点法式方程①等价, 因此方程②

M0 (x0, y0, z0 )
和它的一方向向量 S m, n, p 直线L的位置就完全
确定了。
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建立直线 L 的点向式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
则 故有
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
x x0 y y0 z z0
例如, 当 m 0, n 0, p 0 时,
当
直线方程为 x x0 0

y
n
y0
z z0 p
m n 0, p 0 时, 直线方程为
x x0

y

y0
( x0 , y0 )
根据空间任两点可以唯一地确定一条直线
设直线

L上两个已知点
M0 (x0, y0, z0 ),
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
即
2x y z 0
(C 0)
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五、点到平面的距离
例7. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为n (A, B , C), 在平面上取一点
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
Ax By Cz D 0
得：
Aa D 0 Bb D 0
Cc D 0

A


D a
B


D b
C


D c
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得到 D x D y D z D 0 ab c
D0
平面方程的截距式方程为
x y z 1 abc
的直线是唯一的。因此，若知道直线上的一点及与 已知直线平行的某一向量。那么该直线的位置就完全 确定了。由此可建立直线方程。
凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向 向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
与已知向量，所以当已知直线L上一点
d Prj n P1P0

P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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例8 求点(2,1,1)到平面x y z 1 0的距离
m
n
p
M (x, y, z) M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程)
此方程中实际包含了两个平面方程

x x0 m
x x0
y y0 n
z z0
方程组中两个方程均为一次的平面方程 m
p
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说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
解n:
取该平面 的法向量为
M1M 2 M1M3
n
i jk
M1
3 4 6 (14, 9, 1)
2 3 1
又 M3 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即 注：1.一平面的法向量有无穷多个,且相互平行.
2.平面方程是以 x, y, z 为变量的三元一次方程.
则所求平面方程为
2(x 1) 3( y 1) (z 1) 0
化简得
2x 3y z 6 0
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三、平面的截距式方程 当平面与三坐标轴的交点分别为
则 a, b, c 就分别称为平面在 x, y, z 轴上的截距。
例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
将已知点
分别代入
n
任取点M (x, y, z) ,
平面上任一向量均与
n
垂直。
M

M0
o
则有 n M0M 故 n M0M 0 x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
因为过空间内一点作与已知向量垂直的平面是 唯一的，所以已知平面上的一点及垂直于平面的 一个向量，那么这个平面的位置就完全确定。
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
注：取绝对值是表示 为锐角时 cos 的值。
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1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
,
P0 到 2 的距离 d 为:
d


6

365

56

21

3
32 22 62 7
平面 1 到2的距离为 3。
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说明：求两平行平面之间的距离，其中
解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面
的距离即为所求的距离。
在 上取一点 P0 x0, y0, z0 ,
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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例5：求两平面 x y 11 和 3x＋8 0 的夹角 .
解： n1 (1, 1, 0) n2 (3, 0, 0)
高等数学
第十六讲
主讲教师: 王升瑞
1
第四节
第六章
平面与直线
一、平面 二、直线 三、直线与平面的位置关系 本节我们将以向量和坐标为工具, 讨论平面和直线。
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B , C), 求该平面的方程. z
P0 到 2 的距离d 为:
d
A x0 B y0 C z0 D2 A2 B2 C2
平面1 到2的距离为:
d
D2 D1
A2 B2 C2
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高等数学
第十七讲
主讲教师: 王升瑞
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二、空间直线方程
1. 直线的一般式方程 直线可视为两平面交线，设
1 : A1x B1y C1z D1 0
由公式得：
cos n1 n2 3 2
n1 n2
23 2
所以两平面的夹角为：

4
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例6. 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0, 1, 1 ), 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 已知平面的法向量为
M1M2 (1,0,2) 和
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例1. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4, 3, 1) 得
化简,得所求平面方程
例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程.
解:由题意设所求平面为 Cz D 0
例如：坐标面 x 0 和 y 0 都通过z 轴，因此
方程组
x0

y

0
是z 轴的一般式方程。