江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试卷

2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B=__________．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=__________．3．在△ABC中，若==，则△ABC是__________三角形．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为__________．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为__________．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为__________．8．若不等式x2﹣log m x＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为__________．9．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是__________．10．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f （x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为__________．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是__________．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为__________．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于__________．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是__________．二、解答题：15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（16分）在△AB C中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC 的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c；（3）求d的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．三、附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．求函数y=sin2（2x+）的导数．22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．23．证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，∴A∩B={1，2}故答案为：{1，2}．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．在△ABC中，若==，则△ABC是等腰直角三角形．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，可得A=B=，故C=，可得三角形为等腰直角．解答：解：△ABC中，∵==，再由正弦定理可得==，故有sinA=cosA，sinB=cosB，∴A=B=，∴C=，故三角形为等腰直角，故答案为：等腰直角．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先求导函数，由函数在区间（0，1]上是减函数，可得导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立，从而可求实数a的取值范围．解答：解：显然a≠0，求导函数可得：∵函数在区间（0，1]上是减函数，∴在区间（0，1]上恒成立∴∴a≤0或1＜a≤3∵a≠0∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题的关键是利用导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立建立不等式．5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为．考点：正弦函数的图象．专题：二项式定理．分析：由条件利用正弦函数的增区间可得2ω•﹣≤，由此求得ω的最大值．解答：解：由函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，可得2ω•﹣≤，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为2．考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：数形结合．分析：先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象，因为是要求整数解，所以比较下整数点通过图象可先判断出，2＜x0＜3再看不等式，2x﹣3＜x0因为要求整数解，所以2x﹣3也应为整数，所以有 2x﹣3≤2所以x≤5/2 那么最大整数解为2解答：解：先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象如图：通过图象可先判断出2＜x0＜3∵2x﹣3＜x0∴2x﹣3≤2∴x≤5/2故最大整数解为2点评：考察了函数图象的画法和利用数学结合解决实际问题．8．若不等式x2﹣log m x＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为令f（x）=2ax（a＞0），∴F（x）=ax2，∵F（2x﹣1）＜F（x）∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，．故答案为：点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由||=||=•=2，=x+y，不妨设=（2，0），=（m，n），利用=2，2m=2，解得m=1，n=．可得=x+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．即可得出．解答：解：∵||=||=•=2，不妨设=（2，0），=（m，n），∴=2，2m=2，解得m=1，n=．∵=x+y，=x（2，0）+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．可得（a，b）满足的区域的面积为=4．故答案为：4．点评：本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为2．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b的值，即为AC的长．解答：解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，由正弦定理=得：=，即=，整理得：b=6cosA，即cosA=，再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b•，解得：b=2（负值舍去），则AC=b=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：===．只考虑x＞0，则===≤2，当且仅当时取等号．∴的最大值等于2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q（x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（I）利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式即可得出f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）利用三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）==sin2x+2+2cos2x=．∴T=，由于，则x=（k∈N）故函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x=（k∈N）．（Ⅱ）由f（A）=4得，，∴．又∵A为△AB C的内角，∴，∴，解得．∵，b=1，∴，解得c=2．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+1﹣2×=3．∴a=．点评：熟练掌握数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式、三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理等是解题的关键．16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）=log2﹣x为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）=0，代入可得a的值；（2）设1＜x1＜x2＜+∞，结合对数运算性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而可得函数f （x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，m＜min，分析f（x）﹣2x的单调性并求出最值，可得实数m取值范围．解答：解：（1）由条件得：f（﹣x）+f（x）=0，∴，化简得（a2﹣1）x2=0，因此a2﹣1=0，a=±1，当a=1时，，不符合题意，因此a=﹣1．…（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；证明如下：设1＜x1＜x2＜+∞，，∵1＜x1＜x2＜+∞，∴x2﹣x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0，∵（x1+1）（x2﹣1）﹣（x1﹣1）（x2+1）=x1x2﹣x1+x2﹣1﹣x1x2﹣x1+x2+1=2（x2﹣x1）＞0，又∵（x1+1）（x2﹣1）＞0，（x1﹣1）（x2+1）＞0，∴，，又x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分）…（3）不等式为m＜f（x）﹣2x恒成立，∴m＜min∵f（x）在x∈上单调递减，2x在x∈上单调递增，∴f（x）﹣2x在x∈上单调递减，当x=3时取得最小值为﹣10，∴m∈（﹣∞，﹣10）…（14分）点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，恒成立问题，奇函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．令sinθ+cosθ=t∈，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC 的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c；（3）求d的取值范围．考点：余弦定理；简单线性规划．专题：综合题；数形结合．分析：（1）把已知的条件变形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；（2）根据三角形的面积公式及，a=3，联立即可求出b与c的值；（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．解答：解：（1）由变形得，利用余弦定理得因为A∈（0，π），所以sinA===；（2）∵，∴bc=20由及bc=20与a=3解得b=4，c=5或b=5，c=4；（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，则又x、y满足由d=+（2x+y）得到y=﹣2x+5d﹣12，画出不等式表示的平面区域得：y=﹣2x+5d﹣12是斜率为﹣2的一组平行线，当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，所以满足题意d的范围为：点评：此题考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数的极小值，求出a，b的值，进而可求f（x）的单调递减区间；（2）求出g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1的表达式，利用二次函数的图象和性质，建立条件关系即可得到结论围；（3）利用参数分离法，将不等式转化为求参数的最值问题．解答：解：（1）由f'（x）=3ax2﹣2x+b，因为函数在x=3时有极小值﹣9，所以，从而解得，所求的，所以f'（x）=x2﹣2x﹣3，由f'（x）＜0解得﹣1＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），（2）由f'（x）=x2﹣2x﹣3，故g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；若x＜0，g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，①如果对称轴x0=≥0，即0＜m≤4时，g（x）的开口向上，故在（﹣∞，x0]上单调递减，又g（0）=1，所以当x＜0时，g（x）＞0②如果对称轴x0=＜0，即4＜m时，△=（2m﹣8）2﹣8m＜0解得2＜m＜8，故4＜m＜8时，g（x）＞0；所以m的取值范围为（0，8）；（3）因为f′（x）=x2﹣2x﹣3，所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即，记，则，由φ′（x）＞0，得x＞k+1，所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（k+1）=k+6﹣kln（k+1），φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即，记，则，所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又，所以k的最大值为6．点评：本题主要考查函数的单调性，极值和导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b），可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f （x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f （x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b），…∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根 b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b），∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…∴（x﹣b）≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则 x1=b，，且 b=．①当b=0，则由二次函数的性质得 a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或 a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．求函数y=sin2（2x+）的导数．考点：简单复合函数的导数；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：法一：利用复合函数的求导公式直接求导；法二：先用二倍角公式降幂，再利用复合函数的导数公式求导．解答：解：法一：=…法二：∵…∴…点评：本题考查复合函数的导数及二倍角公式，属于基本计算题，对相应的运算规则要熟练掌握22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由题，依据图形得出V关于高度h的函数及高度h关于t的函数，利用导数研究其变化规律即可得出水面上升的速度．解答：解：设注入水tmin后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为，这时水的体积为…由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数h=h（t）由此可得水的体积关于时间t的导数为由假设，注水速度为4m3/min，∴所以当h=5时，h t'=，当水深为5m时，水面上升的速度．…法（2）设t时刻水面的高度为hm则……由=5…∴…点评：本题考查建立函数模型及利用导数研究实际问题中事物变化的规律，导数在实际问题中有着广泛的运用23．证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．考点：简单复合函数的导数；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明；（2）利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明；解答：证明：（1）设f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T）．∴f′（x）=′=f′（x+T）•（x+T）′=f′（x+T），即f′（x）为周期函数且周期与f（x）的周期相同．…（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴′=′．∴f′（﹣x）•（﹣x）′=﹣f′（x）．∴f′（﹣x）=f′（x），即f′（x）为偶函数…点评：本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明，有一定的综合性24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与g（x）的图象相切，所以g（x）在点（1，0）的导函数值为1，建立方程组，解之即可求出g（x）的解析式；（2）先利用导数研究出函数h（x）在（0，+∞）的单调性，连续函数在区间（0，+∞）内只有一个极值，那么极大值就是最大值．解答：解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，所以直线l的方程为y=x﹣1．又因为直线l与g（x）的图象相切，所以在点（1，0）的导函数值为1．所以（2）因为h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）所以当时，h′（x）＞0；当时，h′（x）＜0因此，当时，h（x）取得最大值所以函数h（x）的值域是．（13分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．。

2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．若集合{12},{32}a A B ==，，，且}2{=B A ，则实数a 的值为________． 【答案】1【解析】试题分析：因为}2{=B A ，所以2{32}22 1.a aB a ∈=⇒=⇒=， 【考点】集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为________． 【答案】65【解析】试题分析：由ααcos 2sin =得tan 2α=，因此22222222sin 2cos tan 2426sin 2cos .sin cos tan 1415αααααααα++++====+++ 【考点】弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．商数关系：tan α＝sin cos αα（α≠2π＋k π，k ∈Z ）． 二、1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α．3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤ 【考点】命题真假4．已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________．【答案】320x y ++=【解析】试题分析：由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=【考点】两直线垂直 【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）；（2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C '++=，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C '-+=5．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________． 【答案】5.2【解析】试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=【考点】椭圆定义6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()s i n 3c o s2s i n ()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0xπ-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．【考点】三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a =【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==【考点】导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】试题分析：由题意得：1(|l g|)1|lg |l g 1110110xx x xf f x x <⇒<⇒><-⇒>（））或或【考点】函数奇偶性及单调性9．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,8,10a b ==,ABC ∆的面积为ABC ∆的最大角的正切值是________．【答案】【解析】试题分析：由题意得12810sin sin (2233C C C C ππ=⨯⨯⨯⇒=⇒==或舍)，由余弦定理得：22218102810842c =+-⨯⨯⨯=，因此B 角最大，22cos tan B B === 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________． 【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅==【考点】向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a=-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________．【答案】0 2.a <≤【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1f a f a f a a≤≥-≤，即212,2,a aaa a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 【考点】二次函数最值12．若直线220x y +-=与椭圆221mx ny +=交于点C,D,点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为12，且OC OD ⊥，则m n +=________． 【答案】5.4【解析】试题分析：设112233(,),(,),(,)C x yD x y M x y ，则22211221,1m x n y m xn y +=+=，两式相减得：222212*********()()0()()0(2)(2)()02CD m x x n y y m x x n y y k m x n y -+-=⇒+++=⇒+-=111()0()04.222OM m nk m n n m ⇒+-=⇒+⨯-=⇒=由直线220x y +-=与椭圆2241mx my +=方程消去x 得：218840y y m -+-=，又12121212054()40OC OD x x y y y y y y ⊥⇒+=⇒-++=所以14154140.84m m -⨯-⨯+=⇒=5.4m n += 【考点】直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.xx x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e '≤∈；当10x -<≤时，()[1,f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 【考点】函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即|222k ≤⇒-≤≤【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式 （2）若6(),0,52f παα=<<求(2)12f πα+的值 【答案】（1）)6sin(2)(π-=x x f （2） 【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅2=A ，由最值点距离确定周期π2=T ，进而确定1=ω，最后根据最值点确定6πϕ-=（2）先由56)(=αf 确定角α满足条件：53)6sin(=-πα，因为)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f 2sin(2)cos 2cos(2)sin3434ππππαα=-+-因此由20πα<<得54)6cos(=-πα，从而24sin(2)2sin()cos()36625πππααα-=--=，257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα，从而(2)12f πα+=25试题解析：解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ， 又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．于是，)6sin(2)(π-=x x f ．由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα．因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα．所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα． 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα．所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f2sin(2)cos 2cos(2)sin 3434ππππαα=-+-=．【考点】三角函数解析式，三角函数求值16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）25(34【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADB AB ABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以25(35cos7524BA DA ⋅=⨯⨯=． 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+=试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 【考点】直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G ．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m ．在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径．【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r【解析】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为(0,25)，半径为25r =，因此22225)25(:=-+y x C ，求直线PF 的方程实质求过点P 的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，则25150252=++k k解得34=k ；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF 的斜率k ：因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ，所以rr =+-81160020009，40=r试题解析：解：（1）圆22225)25(:=-+y x C ． 直线PB 方程：050=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C 相切，所以25150252=++k k，解得34=k ．所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即020034=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+．因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ． 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ．因为直线PF 与圆C 相切，所以rr =+-81160020009，化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r ． 故40=r ．【考点】直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x 0，y 0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M ．（1）若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x （2）不存在【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“ABM ∆的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M 的横坐标222b ca ，即得三角形的高，因此1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△，又因为2=a ，所以1==c b ．（2）由中点坐标公式得))4(,4(22222a a c b a c b D -，再根据点D 也在椭圆上，得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线bx b cy BF -=:．联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -．所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△．又因为2=a ，所以1==c b ．所以椭圆方程为1222=+y x ．因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -．代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ．化简得012224=+-e e ．因为04<-=∆，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上．【考点】椭圆标准方程 【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程． 20．已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的极值；（2）已知函数()f x 在点(1,(1))A f 处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过()y f x =的图像（即函数()f x 上的动点P 在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式；（3）若0a >，函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点，求实数a 的值． 【答案】（1）函数)(x f 的极小值为1)1(=f ．（2）2-=a （3）1=a【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域(0,)+∞，再求函数导数：x x x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数()()()h x f x l x =-，（其中()l x 为切线函数）满足1为()0h x '=唯一零点，先表示切线方程：(1)2k f a '==-，)1)(2(1--=-x a y ，构造函数()()()h x f x l x =-，求导函数(2)(1)()x a x h x x +-'=，因此2-=a （3）先分析函数()()g x f x ax =-变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。

如东中学2016届高三数学检测卷一、填空题：1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z = 3．在△ABC 中，若a b ccosA cosB sinC ==，则△ABC 的形状是_____4.若函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则a 的取值范围是5.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为________.6．曲线y =2ln x 在点(e ,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 7．设方程2ln 103x x =-的解为0x ，则关于x 的不等式023x x -<的最大整数解为8．若不等式X 2- log m X ＜0在区间（0,21）内恒成立，则实数m 的取值范围是 ； 9. 已知函数32)(2-+=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M 的面积是 ；10. 设一次函数()f x 为函数()F x 的导数．若存在实数0x ∈(1，2)，使得00()()0f x f x -=-<， 则不等式F (2x -1)< F (x )的解集为11. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是 ；12. 在△ABC 中，已知5AB =，3BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为13.设12,e e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+， ,x y R ∈.若12,e e 的夹角为6π，则x b的最大值等于_________.14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是. 二、解答题： 15.（本题满分14分）已知向量()()()x f x x x ⋅==+=,cos 2,1,cos ,22sin 3．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c 若()4=A f ，b=1，△ABC 的面积为23，求的值．16.设21()log 1axf x x x -=--为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性；（3）若对于区间[]2,3上的每一个x 值，不等式()2x f x m >+恒成立，求实数m 取值范围．17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC .（1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. 在△ABC 中,c b a ,,分别为角A.B.C 的对边,58222bcb c a -=-,a =3, △ABC 的面积为6,D 为△ABC 内任一点,点D 到三边距离之和为d.⑴求角A 的正弦值; ⑵求边b.c; ⑶求d 的取值范围19.（本小题满分16分）已知函数32()f x ax x bx =-+（,a b ∈R ），()x f '为其导函数，且3x =时()x f 有极小值9-．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()2()(68)61g x mf x m x m '=+-++，()h x mx =，当0m >时，对于任意x ，()g x 和()h x 的值至少有一个是正数，求实数m 的取值范围；（3）若不等式/()(ln 1)64f x k x x x >---（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值．20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值； (2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2, f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2016届高三数学期中练习(附加题)解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中，其速度为min /43m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度.23. 证明下列命题:（1）若函数f （x ）可导且为周期函数，则f'（x ）也为周期函数； （2）可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0（1）求直线l 的方程及()g x 的解析式；（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.2016届高三数学周练卷（二） （组题：田玉平）一、填空题：1．{}2,1 . 2.i 3.等腰直角三角形 4. ()(],01,3-∞⋃. 5. 21; 6． (0,1)7．2 8.161≤m ＜1 9. π4 10. ()1 13， 11. 12.13. 214. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 15. 解（Ⅰ）．所以最小正周期T=，对称轴方程为 （2）根号316.（1）（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数； 证明如下： ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分） ………………………………………………9分 （3）不等式为()2xm f x <-恒成立，min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减，2x 在[2,3]x ∈上单调递增，()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减，当3x =时取得最小值为10-，(,10)m ∴∈-∞-。

沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试高三数学试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1．已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=-则A B ⋂= ▲ ． 2．函数2(2)2log x x y -=的增区间为 ▲ ．3．设复数z =21ii+，则z z ⋅= ▲ . 4．如图：执行右边的程序框图,若15p =， 则输出的n = ▲ .5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行， （第4题） 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ▲ . 6．若命题“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 使得”是真命题，则实数a 的取值范围 是 ▲ .7．若θ为锐角，且5sin 313πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ= ▲ . 8．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为 ▲ . 9．右图为函数)2||,0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A k x A y的图象，则y 的表达式是 ▲ . （第9题） 10．已知向量(3,2),(1,0)=-=-a b ,且向量λ+a b 与2-a b 垂直,则实数λ的值 为 ▲ .11．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ▲ .12．已知公差不为0的正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1lg a ，2lg a ，4lg a 也成 等差数列，510a =，则5S 等于 ▲ .13．过双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ .14．已知： M={a |函数2sin y ax =在[4,3ππ-]上是增函数}，N={b |方程013|1|=+---b x 有实数解}，设D=N M ，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =， （1）求22tansin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S =△b 的值．16．（本小题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．17.（本小题满分14分） 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关（第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.18.（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点12(F F ，且椭圆短轴的两个端点与2F 构成正三角形． （1）求椭圆的方程；（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，若在x 轴上存在定点E （m ，0），使⋅恒为定值，求m 的值.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分16分）已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-，且在23x =处取得极值．(1) 求实数,b c 的值；(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值.沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试高三数学附加题数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为23，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABD CPO· (第21A 题)22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．23．已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，（其中n N *∈） ⑴求0a 及123n n S a a a a =++++；⑵试比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，并说明理由．PABC DE(第22题)应届高三试卷数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}-12， 2．0,1（） 3．2 4．5 5． 1276．（3，+∞）⋃（－∞，－1） 7．．1e 9．3sin(2+)123y x π=+10．17-11．(2,1)- 12．30 13． 5 14．m>23二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =， （1）求22tansin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S =△，求b 的值． 解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋Csin A =所以cosA ＝13. …………………………2分 则 22222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－…………………………7分（2）ABC ABC11S2Sbcsin A bc 223∙因为＝，又＝＝，则bc ＝3. …9分 将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中 得42b 6b 90－＋＝解得b …………………………14分16．（本题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．（1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 16．（本题满分14分）证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ．由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点． 又∵F 是EC 中点，∴在△ACE 中，FG ∥AE ．……………………………………………3分 ∵AE ⊂/平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD ； ……………………………6分 （2）∵π2AEB ∠=，∴AE BE ⊥． 又∵直线BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥． 又BCBE B =，∴直线AE ⊥平面BCE ． …………………………………………8分 由（1）知，FG ∥AE ，∴直线FG ⊥平面BCE ． ………………………………………10分 又∵直线FG ⊂平面DBF ，∴平面DBF ⊥平面BCE ． ………………………………………14分17.（本小题满分14分） 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.17.解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--·············5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩·············7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时取等号·············10分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033·············12分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元·············13分答：该城市旅游日收益的最小值为14033万元。

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是__________．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为__________．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为__________．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为__________．11．已知数列{a n}满足，，则=__________．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且 x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意作出y=x2﹣4|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x2﹣4|x|+5的图象有四个交点，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x2﹣4|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1⇒a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．11．已知数列{a n}满足，，则=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有 C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）] =1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。

（图1）江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂= 则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥ ，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 . 8.已知命题()()2:,2,P b f x x b x c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命图2题，则取得真命题的概率是 9.若函数2()(,,)1b x cf x a b c R x a x +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，图3向量()(1sin ,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+ ，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图512e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8. 149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

一、填空题（题型注释）1、若集合，且，则实数的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）2、若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）3、已知命题是真命题，则实数的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）4、已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）5、椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）6、函数的单调增区间是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）7、已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）8、设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）9、在锐角中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,,的面积为，则的最大角的正切值是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）10、在中，若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）11、已知为正实数，函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）12、若直线与椭圆交于点C,D,点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且，则________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）13、已知函数若函数有四个零点，则实数的所有可能取值构成的集合是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）14、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、已知函数（其中为常数，且）的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式（2）若求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）16、在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）17、已知直线与圆相交于A,B两点，弦AB的中点为（1）求实数的取值范围以及直线的方程;（2）若以AB为直径的圆过原点O，求圆C的方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）18、如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为,求该圆形标志物的半径．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）19、已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．（1）若，的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）20、已知函数（1）若，求函数的极值；（2）已知函数在点处的切线为，若此切线在点A处穿过的图像（即函数上的动点P在点A附近沿曲线运动，经过点A时从的一侧进入另一侧），求函数的表达式；（3）若，函数有且仅有一个零点，求实数的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）21、已知圆，M是圆C上的动点，，MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）22、已知函数，为的导函数，若为奇函数，求的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）23、已知P是内一点，且满足条件，设Q为CP的延长线与AB的交点，令，用表示．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）24、已知当时，求函数的单调区间；设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）参考答案1、12、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、（1）（2）16、（1）（2）17、（1），（2）18、（1），（2）19、（1）（2）不存在20、（1）函数的极小值为．（2）（3）21、22、23、24、（1）增区间为，减区间为和（2）【解析】1、试题分析：因为，所以考点：集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2、试题分析：由得，因此考点：弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1．2．商数关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．二、1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．3、试题分析：由题意得：考点：命题真假4、试题分析：由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）；（2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．（3与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为5、试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为考点：椭圆定义6、试题分析：因为，所以由得，又，因此单调增区间是．考点：三角函数单调区间7、试题分析：因为，所以考点：导数几何意义8、试题分析：由题意得：考点：函数奇偶性及单调性9、试题分析：由题意得，由余弦定理得：，因此B角最大，考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10、试题分析：由题意得：，因此考点：向量数量积11、试题分析：当时，，即因此；当时，，即因此；综上实数的取值范围为考点：二次函数最值12、试题分析：设，则，两式相减得：由直线与椭圆方程消去x得：，又所以考点：直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13、试题分析：因此：当时，；当时，；当时，；当时，；，因为函数有四个零点，因此，实数的所有可能取值构成的集合是考点：函数零点14、试题分析：因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即考点：直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．15、试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅，由最值点距离确定周期，进而确定，最后根据最值点确定（2）先由确定角满足条件：，因为因此由得，从而，，从而试题解析：解：（1）由图可知，，，故，所以，，又，且，故．于是，．由，得．因为，所以．所以，．．所以．考点：三角函数解析式，三角函数求值16、试题分析：（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17、试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即，所以．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为，所以．直线的方程为．（2）以AB为直径的圆的圆心为弦AB的中点，半径为OM，因此圆O方程标准式为，两圆公共弦方程为，与重合，因此，即圆C的方程为试题解析：解：（1）因为，所以．因为在圆内，所以，所以．综上知．因为弦的中点为，所以直线．因为，所以．所以直线的方程为．由得，故，．不妨设，．则，故．故圆．考点：直线与圆位置关系，圆方程【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18、试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为，半径为，因此，求直线PF的方程实质求过点P的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线方程：，则解得；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF的斜率：因为，所以．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线方程：，即，所以，试题解析：解：（1）圆．直线方程：．设直线方程：，因为直线与圆相切，所以，解得．所以直线方程：，即．设直线方程：，圆．因为，所以．所以直线方程：，即．因为直线与圆相切，所以，化简得，即．故．考点：直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．19、试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M的横坐标，即得三角形的高，因此，又因为，所以．（2）由中点坐标公式得，再根据点D也在椭圆上，得，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线，直线．联立可得．所以．又因为，所以．所以椭圆方程为．因为，所以．代入椭圆方程得．化简得．因为，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．考点：椭圆标准方程【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．20、试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域，再求函数导数：，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数，（其中为切线函数）满足1为唯一零点，先表示切线方程：，，构造函数，求导函数，因此（3）先分析函数变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若集合{}2,1=A ，{}a B 2,3=，且{}2=B A ，则实数a 的值为______. 2.若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为______.3.已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.4.已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直，则直线l 的方程为_______.5.椭圆171622=+y x 上横坐标为2的点到右焦点的距离为_____.6.函数)0(cos 3sin )(≤≤--=x x x x f π的单调增区间是______.7.已知函数)(2R a xax y ∈+=在1=x 处的切线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为_______.8.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，则满足不等式)10(lg)1(xf f <的x 的取值范围是_______. 9.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8=a ，10=b .ABC △的面积为320，则ABC △的最大角的正切值是______. 10.在ABC △中，若5=AB ，12=AC ，AB AC BC +=，则BA BC BC⋅的值为______.11.已知a 为正实数，函数a x x x f +-=2)(2，且对任意的],0[a x ∈，都有],[)(a a x f -∈，则实数a 的取值范围为______.12.若直线022=-+y x 与椭圆122=+ny mx 交于点C ，D ，点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为21，且OD OC ⊥，则=+n m _______.13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.0,2,0,1)(2x x x x exe x f x 若函数))((a x f f y -=有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是_______.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(-A ，点B 是圆4)2(:22=+-y x C 上的点，点M 为AB 的中点，若直线k kx y l 5:-=上存在点P ，使得 30=∠OPM ，则实数k 的取值范围为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若56)(=αf ，20πα<<，求)122(πα+f 的值.16.（本小题满分14分）在ABC △中， 45=∠B ，D 是边BC 上一点，5=AD ，3=CD ，7=AC . （1）求ADC ∠的值； （2）求⋅的值.17.（本小题满分14分）已知直线l 与圆042:22=+-++a y x y x C 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为)1,0(M .（第15题）（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程； （2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程.18.（本小题满分16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且m PG 50=.在观测点正前方m 10处（即m PD 10=）有一个高为m 10（即m ED 10=)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.（1）若圆形标志物半径为m 25，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠)的正切值为3941，求该圆形标志物的半径.19.（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 为椭圆的右焦点，点A ，B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M . （1）若2=a ，ABM △的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上.若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.GEDPACF第18题20.(本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2-=.(R a ∈) （1）若2=a ，求函数)(x f 的极值；（2）已知函数)(x f 在点))1(,1(f A 处的切线为l .若此切线在点A 处穿过)(x f y =的图像（即函数)(x f 上的动点P 在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧）.求函数)(x f 的表达式；（3）若0>a ，函数ax x f x g -=)()(有且只有一个零点，求实数a 的值.数学加试试卷（物理方向考生作答）第19题解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.已知圆152:22=++x y x C ，M 是圆C 上的动点，)0,1(N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的轨迹方程.2.已知函数)0)(3sin()(πϕϕ<<+=x x f ，)(x f '为)(x f 的导函数.若)()()(x f x f x g '+=为奇函数，求ϕ的值.3.已知P 是ABC △内一点，且满足条件032=++CP BP AP ，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令p CP =，用p 表示CQ .4.已知)(11ln )(R a xaax x x f ∈--+-=. （1）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设42)(2+-=bx x x g .当41=a 时，若对任意],1[e ex ∈，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数b 取值范围.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.62.563.]1,(-∞ 4.023=++y x 5.256.]0,6[π-7.0 8.),100()1,0(+∞ 9.32510.1325 11.]2,0( 12.45 13.)11,1(e+ 14.]2,2[-二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分） 解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ，又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=.于是，)6sin2)(π-=x x f . ...........................................................................................6分 （2）由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα. 因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα. .......................................................................8分 所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα. 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα. ...................................................6分 所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f252314sin )32cos(24cos )32sin(2=-+-=ππαππα. ...........................................14分16.（本小题满分14分）（1）在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+.把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC . 因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC . ....................................................................7分（2）在ADC △中，由正弦定理得：ADBABABD AD ∠=∠sin sin .故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB . 所以4)33(2575cos 5265-=⨯⨯=⋅ . .......................................................14分17.（本小题满分14分）解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a .因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a . 综上知3<a . ......................................................................................3分 因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥. 因为1-=CM k ，所以1=l k . 所以直线l的方程为1+=x y . ...........................................................................7分（2）由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232ax --=.不妨设)123,23(+--aa A ，)123,23(+----aa B . ........................................10分 则0223123=-=--+--=⋅a aa ，故2=a . ........................................13分故圆0242:22=+-++y x y x C . .........................................................................14分 18.（本小题满分16分）解：（1）圆22225)25(:=-+y x C . 直线PB 方程：050=+-y x .设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C相切，所以25150252=++kk ，解得34=k . ...........................6分 所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即20034=+-y x . ........................................8分（2）设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+. 因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k . ....................10分 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x . 因为直线PF 与圆C 相切，所以r r =+-81160020009， .......................................13分化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r . .......................................................................................................16分19.（本小题满分16分） 解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线b x bcy BF -=:. 联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -.所以1222212322==⨯⨯=acb ac b b S ABC △. 又因为2=a ，所以1==c b .所以椭圆方程为1222=+y x . .............................................................................................8分（2）因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -. 代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b .化简得012224=+-e e . ................................................................................................13分 因为04<-=∆，所以方程无解. ..............................................................................15分所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上. ..................16分 20.（本小题满分16分）（1）当2=a 时，函数x x x f ln 2)(2-=. 因为xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 所以函数)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增. 所以函数)(x f 的极小值为1)1(=f . .................................................................................4分 （2）因为xax x f -='2)(，所以a f -='2)1(. 所以切线方程为)1)(2(1--=-x a y ，即1)1)(2(+--=x a y . 构造函数1)2(ln ]1)2[()()(2+--+-=-+--=a x a x a x a x a x f x h .因为xx a x x a x a x a x a x x h )1)(2()2(2)2(2)(2-+=--+=-+-='， 且)1(='h ，所以12=-a，所以2-=a . ....................................................................10分（3）因为ax x a x x g --=ln )(2，所以xaax x a x a x x g --=--='222)(.因为0>a ，所以令0)(='x g 可得4820a a a x ++=.所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增， 所以函数)(x f 的极小值为0)(0=x f .可得0ln 0020=--ax x a x ，02020=--a ax x . 联立可得1ln 200=+x x . ..............................................................................................14分 考查函数x x y +=ln 2，可知012>+='xy ，故其在),0(+∞上单调递增. 又因为1=x 时111ln 2=+=y ，故1ln 200=+x x 有唯一解10=x . 代入可得1=a . ..............................................................................................................16分2016届高三年级第二次学情检测数学（加试）参考答案1.解：由题有NC PC MP PC NP >=+=+4，故点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆. .....................................5分所以点P 的轨迹方程为13422=+y x . ...............................................................................10分2.解：因为)3cos(3)(ϕ+='x x f ，所以)33s 2)3c 3)3si )(πϕϕϕ++=+++=x x x x g . .........................3分因为)(x g 为奇函数，所以3tan -=ϕ. ......................................................................7分因为πϕ<<0，所以32πϕ=. ..............................................................................10分3.解：+= ，+=，3)(2)(=++++∴.323=+++∴. 又B Q A ,, 三点共线，Q P C ,,三点共线，∴令BQ AQ λ=，QP CP μ=. 323=+++∴μλ，)33()2(=+++μλ. ......................6分又BQ ，QP 为不共线的向量，20,330.λμ+=⎧∴⎨+=⎩解得2λ=-，1μ=-. ...............................................................................................8分CP QP PQ ∴=-=，故22CQ CP PQ CP p =+==. .......................................10分4.解：（1）)0(11ln )(>--+-=x xa ax x x f ， )0(111)(222>-++-=-+-='x x a x ax x a a x x f ， 令)0(1)(2>-+-=x a x ax x h ，由0)(='x h ，即012=-+-a x ax ，解得11=x ，112-=a x . 当210<<a 时，0111>>-a. )1,0(∈x 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时，0)(<x h ，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； ),11(+∞-∈ax 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减. 当210<<a 时，函数)(x f 的增区间为)11,1(-a ，减区间为)1,0(和),11(+∞-a. ................................................................................................................5分。

2016届如东中学高三数学阶段测试一．填空题：1.已知集合{}1,3A =，{}2,B x =，若{1,2,3,4}A B = ，则x = ▲2.命题“0,1xx e x ∃><+”的否定是 ▲ 3.已知函数=''+=)0(),1(2)(2f f x x x f 则 ▲4．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ▲5．已知a ，b 为正实数，函数xbx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 ▲ 6．已知3(0,),cos()45παπα∈+=，则tan α＝ ▲ 7．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 ▲8. 已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 ▲9．设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 有下列四个结论：①D （x ）的值域为{0,1}；② D （x ）是偶函数；③D （x ）不是周期函数；④D （x ）不是单调函数；其中正确的是 ▲ （填序号）10．已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件：①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(,4)x ∃∈-∞-, )(x f 0)(<x g 。

则m 的取值范围是 ▲11．在ABC ∆中，若tan tan tan tan 2tan tan A C B C A B +=，则 222cb a += ▲ 12．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ▲13．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲14.设函数132)(2+-+=a bx ax x f ，当]4,4[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，则b a +5的最大值是 ▲二．解答题：15．已知命题p ：函数21y x mx =++ 在(1,)-+∞内单调递增 ；命题q ：函数244(2)1y x m x =+-+大于0恒成立 ，若命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．16．已知函数()sin()(0,||,)2f x A x A x R πωϕϕ=+><∈，且函数()f x 的最大值为2，最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0)24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()24c f =，c =2a b +的取值范围。

江苏省如东高级中学2016-2017学年高二12月阶段测试数学试题 一、填空题.1.命题:P “2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：__________. 2.不等式220x x +-<的解集为__________.3.抛物线()20y ax a =≠的准线是1x =-，那么它的焦点坐标是__________.4.已知圆O ：122=+y x ，圆C ：16)4()3(22=-+-y x ，则两圆的位置关系为 ．5.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线方程为____________.6.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米, 水面宽4米,水位下降1米后,水面宽________米．7.已知命题2:450p x x -->，命题()22:2100q x x m m -+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的最大值为__________.8.“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的__________条件.（必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件中选一个作答）.9.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则22a b +的取值范围为 ．10.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则7112a a +的最小值为_________. 11.已知函数()()2ln 1f x x =+，则满足不等式()()213f x f -<的x 的取值范围是 ．12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B两点，若AB 的中点坐标为()11-，，则E 的方程为___________.13.．函数()212f x x=，()ln g x a x =，对区间()1,2上任意不等的实数12,x x ，都有2f x f x->恒成立，则正数a 的取值范围为 ．14.若实数,x y满足x -=x 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，满分90分）15.（1）命题:p “[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题:q “2000,220x R x ax a ∃∈++-=，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.（2）已知()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>，若p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．16已知圆22:(3)(4)4C x y ++-=.（1）若直线1l 过点(1,0)A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为4，圆心D 在直线2l ：220x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程．17.如东某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）.为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元. （1）要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线()0y kx k =>相交于A,B 两点（从左至右）.过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为)，求椭圆的方程；（2）若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率.19.某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点O 处的某种设备产生水波圈，水波圈生产t 秒时的半径r （单位：m ）满足2343r t=；AB 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端,A B 固定在水岸边.游戏规定：当点O 处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的A 端跑向B 端；若该参与者通过浮桥AB 的过程中，从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知tan 2AOB ∠=-，6OA m =，浮桥AB 的某个桥墩处点M 到直线,OA OB的距离分别为2m ，且4AM m <，若某游戏参与者/s 的速度从浮桥A 端匀速跑到B 端.（1）求该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间？ （2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.20.已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.试卷答案 一、填空题1. 2,230x R x x ∃∈+-< 2. ()21-， 3. ()10， 4. 外切5. y =6. 57. 28.必要不充分条件 9.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10. 8 11. ()1,2- 12. 221189x y+= 13.(]0,1 14. {}[]0420⋃，二、解答题15.试题解析：（1）若P 是真命题，则2a x ≤，因为[]1,2x ∈，所以1a ≤；2分若q 为真命题，则方程2220x ax a ++-=有实根，所以()24420a a ∆=--≥，即1a ≥或2a ≤-，4分p 真q 也真时，所以2a ≤-或1a =，6分若“p 且q ”为假命题，即()()2,11,a ∈-+∞.7分所以“p ⌝”：{}|102B x R x x =∈><-或，由p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知01203110m B A m m m >⎧⎪⊆⇔-≥-⇒<≤⎨⎪+≤⎩，13分故m 的取值范围为03m <≤.14分16.（1）①若直线1l 的斜率不存在，直线1l ：1x =-，符合题意． …………………2分 ②若直线1l 的斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．2=， …………………4分解得34k =-，∴直线1l ：3430x y ++=. …………………6分∴直线1l 的方程是1x =-或3430x y ++=． …………………7分 （2）依题意，设(,22)D a a -，由题意得，圆C 的圆心(3,4),C -圆C 的半径2r =，2CD =. ……………9分2， 解得915a a =-=-或，∴ (1,4)D -或928(,)55D -. …………………12分 ∴圆D 的方程为 22(1)(4)16x y ++-= 或22928()()1655x y ++-=． ………14分17.解：（1）根据题意，332005130005140x x x x ⎛⎫+-≥⇒--≥ ⎪⎝⎭………………………4分又110x ≤≤，可解得310x ≤≤………………………………6分 因此，所求x 取值范围是[]310，………………………………7分（2）设利润为y元，则2490031161100519103612y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦…………………11分故6x =时，max 457500y =元…………………………………13分因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元……………14分18.（1）由题意222222211c aa ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=.6分（2）方法一：设()()1122A ,,,x y D x y ，则()()111B ,,,0x y C x ---21121211211,22AD AC BD y y y y y k k k k x x x x x k -+======--+.8分又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,10分两式相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，12分∴2211102k a b k ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，14分化为222a b =，15分∴椭圆的离心率2e ==.16分 方法二：设(),B t kt ，则()(),kt ,,0A t C t --，所以直线AD 的方程为()2ky x t =-.由()222212x y a b k y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y ，得()22222224a k b x x t a b +-=，即()222222222224240b a k x a k tx a k t a b +-+-=，所以2222224A D a k tx x b a k +=+， 从而2222224D a k t x t b a k =++，即2222222222234,44a k b a k D t t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，所以直线BD 的斜率222222222222224344a k t kt b b a k k a k b a kt tb a k -+'==-+-+，由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率2c e a ==.19.（1）18．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则()6,0A ，直线OB 的方程为20x y +=.1分设()0,2M x5=，解得03x =或05x =-.2分当03x =时，4AM =<，符合；3分 当05x =-时，4AM =>，不符合.4分 所以03x =，直线AM 的方程为23120x y +-=.5分由20,23120x y x y +=⎧⎨+-=⎩解得3,6x y =-⎧⎨=⎩即()3,6B -. 所以AB ==.7分所以，该游戏参与者从浮桥A 端跑到B3s=.8分（2）在OAB∆中，sin OAB ∠=，cos OAB ∠=设ts 时，该参与者位于点P，则663P x t =-=-，2P y t ==.则ts 时，点P 坐标为()63,2t t -，其中03t ≤≤.10分()()2222632133636OP t t t t =-+=-+，2243r t =.令()22324133f t r OP t t =-=-()363603t t +-≤≤，则()242636f t t t '=-+=()()2429t t --12分()0,2t ∈时()0f t '>，()f t 在()0,2上为增函数， ()2,3t ∈时()0f t '<，()f t 在()2,3上为减函数，故当2t s =时，()f t 取得最大值()2f .14分由于()16203f =-<，所以[]0,3t ∈时，r OP <恒成立.即该游戏参与者通过浮桥AB 的过程中，从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，所以该参与者在这个游戏中过关.16分20.（1）因为()ln 2f x a x x'=-，依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根，∴0a ≠，2ln x a x =， 令()ln x g x x =，()21ln x g x x -'=，当()0,x e ∈时，()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()10g =，当x e >时，()0g x >，所以()20g e a <<∴()210g e a e <<=解得2a e >， 故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得，11ln 2a x x =，22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x a λλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-，故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x a λλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-，所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-，因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则()0h t <在()0,1上恒成立，()ln h t t tλλ'=+-，令()ln I t t t λλ=+-，()()()2210,1t I t t t t t λλ-'=-=∈①当1λ≥时，()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时，()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意；③当01λ<<时，()01I t t λ'>⇔<<所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减，故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.。

2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B=__________．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=__________．3．在△ABC中，若==，则△ABC是__________三角形．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为__________．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为__________．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为__________．8．若不等式x2﹣log m x＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为__________．9．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是__________．10．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f （x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为__________．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是__________．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为__________．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于__________．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是__________．二、解答题：15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC 的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c；（3）求d的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．三、附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．求函数y=sin2（2x+）的导数．22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．23．证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，∴A∩B={1，2}故答案为：{1，2}．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．在△ABC中，若==，则△ABC是等腰直角三角形．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，可得A=B=，故C=，可得三角形为等腰直角．解答：解：△ABC中，∵==，再由正弦定理可得==，故有sinA=cosA，sinB=cosB，∴A=B=，∴C=，故三角形为等腰直角，故答案为：等腰直角．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先求导函数，由函数在区间（0，1]上是减函数，可得导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立，从而可求实数a的取值范围．解答：解：显然a≠0，求导函数可得：∵函数在区间（0，1]上是减函数，∴在区间（0，1]上恒成立∴∴a≤0或1＜a≤3∵a≠0∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题的关键是利用导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立建立不等式．5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为．考点：正弦函数的图象．专题：二项式定理．分析：由条件利用正弦函数的增区间可得2ω•﹣≤，由此求得ω的最大值．解答：解：由函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，可得2ω•﹣≤，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为2．考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：数形结合．分析：先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象，因为是要求整数解，所以比较下整数点通过图象可先判断出，2＜x0＜3再看不等式，2x﹣3＜x0因为要求整数解，所以2x﹣3也应为整数，所以有 2x﹣3≤2所以x≤5/2 那么最大整数解为2解答：解：先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象如图：通过图象可先判断出2＜x0＜3∵2x﹣3＜x0∴2x﹣3≤2∴x≤5/2故最大整数解为2点评：考察了函数图象的画法和利用数学结合解决实际问题．8．若不等式x2﹣log m x＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为令f（x）=2ax（a＞0），∴F（x）=ax2，∵F（2x﹣1）＜F（x）∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，．故答案为：点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由||=||=•=2，=x+y，不妨设=（2，0），=（m，n），利用=2，2m=2，解得m=1，n=．可得=x+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．即可得出．解答：解：∵||=||=•=2，不妨设=（2，0），=（m，n），∴=2，2m=2，解得m=1，n=．∵=x+y，=x（2，0）+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．可得（a，b）满足的区域的面积为=4．故答案为：4．点评：本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为2．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b的值，即为AC的长．解答：解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，由正弦定理=得：=，即=，整理得：b=6cosA，即cosA=，再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b•，解得：b=2（负值舍去），则AC=b=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：===．只考虑x＞0，则===≤2，当且仅当时取等号．∴的最大值等于2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q（x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（I）利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式即可得出f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）利用三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）==sin2x+2+2cos2x=．∴T=，由于，则x=（k∈N）故函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x=（k∈N）．（Ⅱ）由f（A）=4得，，∴．又∵A为△ABC的内角，∴，∴，解得．∵，b=1，∴，解得c=2．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+1﹣2×=3．∴a=．点评：熟练掌握数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式、三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理等是解题的关键．16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）=log2﹣x为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）=0，代入可得a的值；（2）设1＜x1＜x2＜+∞，结合对数运算性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而可得函数f （x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，m＜min，分析f（x）﹣2x的单调性并求出最值，可得实数m取值范围．解答：解：（1）由条件得：f（﹣x）+f（x）=0，∴，化简得（a2﹣1）x2=0，因此a2﹣1=0，a=±1，当a=1时，，不符合题意，因此a=﹣1．…（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；证明如下：设1＜x1＜x2＜+∞，，∵1＜x1＜x2＜+∞，∴x2﹣x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0，∵（x1+1）（x2﹣1）﹣（x1﹣1）（x2+1）=x1x2﹣x1+x2﹣1﹣x1x2﹣x1+x2+1=2（x2﹣x1）＞0，又∵（x1+1）（x2﹣1）＞0，（x1﹣1）（x2+1）＞0，∴，，又x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分）…（3）不等式为m＜f（x）﹣2x恒成立，∴m＜min∵f（x）在x∈上单调递减，2x在x∈上单调递增，∴f（x）﹣2x在x∈上单调递减，当x=3时取得最小值为﹣10，∴m∈（﹣∞，﹣10）…（14分）点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，恒成立问题，奇函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．令sinθ+cosθ=t∈，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC 的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c；（3）求d的取值范围．考点：余弦定理；简单线性规划．专题：综合题；数形结合．分析：（1）把已知的条件变形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；（2）根据三角形的面积公式及，a=3，联立即可求出b与c的值；（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．解答：解：（1）由变形得，利用余弦定理得因为A∈（0，π），所以sinA===；（2）∵，∴bc=20由及bc=20与a=3解得b=4，c=5或b=5，c=4；（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，则又x、y满足由d=+（2x+y）得到y=﹣2x+5d﹣12，画出不等式表示的平面区域得：y=﹣2x+5d﹣12是斜率为﹣2的一组平行线，当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，所以满足题意d的范围为：点评：此题考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数的极小值，求出a，b的值，进而可求f（x）的单调递减区间；（2）求出g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1的表达式，利用二次函数的图象和性质，建立条件关系即可得到结论围；（3）利用参数分离法，将不等式转化为求参数的最值问题．解答：解：（1）由f'（x）=3ax2﹣2x+b，因为函数在x=3时有极小值﹣9，所以，从而解得，所求的，所以f'（x）=x2﹣2x﹣3，由f'（x）＜0解得﹣1＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），（2）由f'（x）=x2﹣2x﹣3，故g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；若x＜0，g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，①如果对称轴x0=≥0，即0＜m≤4时，g（x）的开口向上，故在（﹣∞，x0]上单调递减，又g（0）=1，所以当x＜0时，g（x）＞0②如果对称轴x0=＜0，即4＜m时，△=（2m﹣8）2﹣8m＜0解得2＜m＜8，故4＜m＜8时，g（x）＞0；所以m的取值范围为（0，8）；（3）因为f′（x）=x2﹣2x﹣3，所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即，记，则，由φ′（x）＞0，得x＞k+1，所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（k+1）=k+6﹣kln（k+1），φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即，记，则，所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又，所以k的最大值为6．点评：本题主要考查函数的单调性，极值和导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b），可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f （x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f （x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b），…∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根 b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b），∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…∴（x﹣b）≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则 x1=b，，且 b=．①当b=0，则由二次函数的性质得 a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或 a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．求函数y=sin2（2x+）的导数．考点：简单复合函数的导数；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：法一：利用复合函数的求导公式直接求导；法二：先用二倍角公式降幂，再利用复合函数的导数公式求导．解答：解：法一：=…法二：∵…∴…点评：本题考查复合函数的导数及二倍角公式，属于基本计算题，对相应的运算规则要熟练掌握22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由题，依据图形得出V关于高度h的函数及高度h关于t的函数，利用导数研究其变化规律即可得出水面上升的速度．解答：解：设注入水tmin后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为，这时水的体积为…由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数h=h（t）由此可得水的体积关于时间t的导数为由假设，注水速度为4m3/min，∴所以当h=5时，h t'=，当水深为5m时，水面上升的速度．…法（2）设t时刻水面的高度为hm则……由=5…∴…点评：本题考查建立函数模型及利用导数研究实际问题中事物变化的规律，导数在实际问题中有着广泛的运用23．证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．考点：简单复合函数的导数；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明；（2）利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明；解答：证明：（1）设f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T）．∴f′（x）=′=f′（x+T）•（x+T）′=f′（x+T），即f′（x）为周期函数且周期与f（x）的周期相同．…（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴′=′．∴f′（﹣x）•（﹣x）′=﹣f′（x）．∴f′（﹣x）=f′（x），即f′（x）为偶函数…点评：本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明，有一定的综合性24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与g（x）的图象相切，所以g（x）在点（1，0）的导函数值为1，建立方程组，解之即可求出g（x）的解析式；（2）先利用导数研究出函数h（x）在（0，+∞）的单调性，连续函数在区间（0，+∞）内只有一个极值，那么极大值就是最大值．解答：解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，所以直线l的方程为y=x﹣1．又因为直线l与g（x）的图象相切，所以在点（1，0）的导函数值为1．所以（2）因为h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）所以当时，h′（x）＞0；当时，h′（x）＜0因此，当时，h（x）取得最大值所以函数h（x）的值域是．（13分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin ，cos ），=（sin ，cos）（n ∈N +），则（•）= ﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos +cos π=﹣1．【解答】解： •=sin sin +coscos=cos （﹣）=cos ．∴+=cos +cos =0，同理，+=0，+=0，…+=0．∴（•）=+=cos +cos π=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则实数m 的取值范围是 [﹣2，2] ．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M 的坐标，由k MA 与k MB 之积为3得到M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【解答】解：设M （x ，y ），由k MA •k MB =3，得•=﹣1，即x 2+y 2=4．联立，得5y 2﹣4my +m 2﹣4=0．要使直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则△=（4m ）2﹣20（m 2﹣4）≥0，即m 2≤20．解得m ∈[﹣2，2]．∴实数m 的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm 3，设该圆柱纸筒的底面半径为r ，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3 cm ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过锐角三角函数的定义易知AC=2、MC=、AM=、BM=10﹣，进而利用y=30（BM+2AM）化简即得结论；（2）通过令y=0可知cosθ=，结合α≤θ≤及tanα=可知θ=，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，由AD=1、∠ACD=30°可知AC=2，在Rt△ACM中，MC=，AM=，则BM=10﹣，设造价y的单位为千万元，则y=30（BM+2AM）=30（10﹣+）=60（5+），（α≤θ≤，其中tanα=）；（2）y=60•=60•，令y=0，得cosθ=，又∵α≤θ≤，其中tanα=，∴θ=，列表：θcosθy′﹣0 +y ↓最小值↑∴当θ=时y有最小值，此时BM=10﹣．答：当BM长为（10﹣）米时才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B （x 0，﹣x 03+x 02lna ），则B 处的切线方程为：y ﹣（﹣x 03+x 02lna ）=﹣（﹣x 02+x 0lna ）（x ﹣x 0），将A 的坐标代入得m ﹣（﹣x 03+x 02lna ）=﹣（﹣x 02+x 0lna ）（1﹣x 0），即m=x 03﹣（1+lna ）x 02+x 0lna （※），则原命题等价为关于x 0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x ）=x 3﹣（1+lna ）x 2+xlna ，则φ′（x ）=2x 02﹣（2+lna ）x +lna=（x ﹣1）（2x ﹣lna ），∵a ＞e ，∴＞1，当x ∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x ）＞0，此时函数φ（x ）为增函数，当x ∈（1，）时，φ′（x ）＜0，此时函数φ（x ）为减函数，∴φ（x ）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna +lna=lna ﹣，φ（x ）的极大值为φ（lna ）=ln 3a ﹣ln 2a （1+lna ）+ln 2a=﹣ln 3a +ln 2a ，设t=lna ，则t ＞，则原命题等价为对t ＞恒成立，∴由m ≤t ﹣得m ≤，∵s （t ）=﹣t 3+t 2的最大值为s （4）=，∴由m ≥﹣t 3+t 2，得m ≥，即m=，综上所述当a ＞e时，函数F （x ）过点A （1，m ）的切线至少有2条，此时实数m 的值为．20．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且数列{b n }的前n 项和为S n ． （1）若a 1=b 1=d=2，S 3＜a 1006+5b 2﹣2016，求整数q 的值；（2）若S n+1﹣2S n =2，试问数列{b n }中是否存在一点b k ，使得b k 恰好可以表示为该数列中连续p （p ∈N ，p ≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．2016年9月16日。

沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期第一次月考高三数学试卷注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 参考公式：样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,2}B =-，则AB =▲2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是____▲____ 3．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为▲4．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是____▲____5．下图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60 株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7．已知向量(1,2),(2,3),a b ==若()()a b a b λ+⊥-，则λ＝ ▲8．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几 何体的侧面积为▲.9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于▲10．命题“[]21,2,+90x x ax ∀∈+≥”是假命题，则实数a 的取值X 围是▲（第5题）100 80 90 110 /cm（第6题）11．已知⊙A：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作 ⊙A、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值 为 ▲ ．12．若数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为▲ 13．设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-．若存在0R x ∈，使得0()0f x <与 0()0g x <同时成立，则实数a 的取值X 围是▲14．若实数,,,a b c d 满足22ln 341a a c b d--==，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC △的周长为13+ 且C B A sin 3sin sin =+．（1）求边c 的长；（2）若ABC △的面积为C sin 31，求角C 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC =，D 、E 分别为BC 、C B 1的中点， （1）求证：11//DE ABB A 平面； （2）求证：1ADE B BC ⊥平面平面17．（本小题满分14分）如图所示，某人在斜坡P 处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD 近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，21tan =α （1）以射线OC 为Ox 轴的正向，OB 为Oy 轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD 所 在直线方程；（2）当观察者视角∠APB 最大时，求点P 的坐标（人的身高忽略不计）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线)((313330k x k y k ++-=恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为23. （1）求F 点坐标 （2）求椭圆C 的方程；（3）设（m ，n ）是椭圆C 上的任意一点，圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx +ny =1和l 2：mx +ny =4的位置关系.19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x （a ，b ∈R ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y ＋2＝0． （1）求函数f (x )的解析式；（2）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有| f (x 1) －f (x 2)|≤c ， 某某数c 的最小值；（3）若过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线，某某数m 的取值X 围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期第一次月考高三数学II （附加题）命题人：章其玉 2015.10 21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F ．（1）判断BE 是否平分∠ABC，并说明理由； （2）若AE=6，BE=8，求EF 的长．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线 段长度.D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。