2018-2019学年高二数学选修2-1课时跟踪训练：(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断

第二课时含逻辑联结词的命题的真假判断[对应学生用书P10][例1]分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．q：不等式x2＋x＋2<0无解；(3)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；(2)判断其中简单命题p，q的真假；(3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．解：2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假： (1)全等三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：全等三角形周长相等，q ：全等三角形对应角相等，因为p 真q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真． (3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真.[例2] 已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[思路点拨] 由p 或q 为真，p 且q 为假，可判断p 和q 一真一假，进而求m 的范围． [精解详析] 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m 2≤－1，解得m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3. 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <2，1<m <3，得1<m <2.综上可知，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}． [一点通]1．含有逻辑联结词的命题p ∧q 、p ∨q 的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假也可以判断命题p 、q 的真假．2．解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p ∧q 、p ∨q 的命题p 、q 成立时参数需满足的条件； (2)其次根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判定命题p 、q 的真假； (3)根据p 、q 的真假求出参数的取值范围．3．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：由Δ＝4a 2－16<0，得－2<a <2， 故命题p ：－2<a <2. 由5－2a >1，得a <2， 故命题q ：a <2.若p 或q 为真，p 且q 为假，则①p 真，q 假．则由⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，得a ∈∅.②p 假，q 真.⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，∴a <－2.综上可知，符合条件的a 的取值范围为(－∞，－2)4．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.(1)若p 为真且q 为假，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，则a ∈(0,1)∩⎣⎡⎦⎤12，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 为假且q 为真，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，则a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p ，q 的真假，p ，q 的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．2．相关结论：使“p 或q ”为真的参数范围为使命题p ，q 分别为真的参数范围的并集，使“p 且q ”为真的参数范围为使命题p 、q 分别为真的参数范围的交集．[对应课时跟踪训练(四)]1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________． ①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题．答案：①②③2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．答案：②3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x－b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．答案：非p4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q .解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．答案：③④5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)， q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)． 解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数； p 且q ：5是有理数且5是整数； 非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3. 所以p ：1<x <3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0， x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔ x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ， 设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 由(1)知q ：2<x ≤3， 设B ＝{x |2<x ≤3}． 由于q ⇒綈p ，所以BA ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ∨q 为真命题；(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． 解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0， 即a ＞13或a ＜－1.①命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.②(1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13；∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13.(2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12.∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。

课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题2．已知命题p ：若a>1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p ∨(綈q)；④p ∧q.3．已知命题p ：不等式ax ＋b>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x>－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a)(x －b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 或q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p)∨(綈q)；②p ∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p ∨q.6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a>0)，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧ |x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若q⇒綈p，求实数a的取值范围．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p∨q为真命题；(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．答案课时跟踪训练(四)1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p ∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：①②③2．解析：当a＝1.1，x＝2时，a x＝1.12＝1.21，loga x＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<logax，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，an ＋am＝ap＋aq成立，当公差d＝0时，由am ＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．答案：②3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)∨(綈q)．答案：①6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x<3.所以p ：1<x<3.解不等式组⎩⎨⎧ |x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3. 由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎨⎧ 1<x<3，2<x ≤3得2<x<3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a>0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a)(x －3a)≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x|x ≤a 或x ≥3a}，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x|2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a|a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。

课时跟踪训练(四) 逻辑联结词“且”“或”“非” 1．已知命题p，q，假设命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，那么( ) A．p是真命题，q是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题 D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题 2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，以下说法正确的选项是( ) A．p且q为假命题 B．p或q为假命题 C．非p为真命题 D．非q为假命题 3．命题“假设a∉A，那么b∈B”的否定是( ) A．假设a∉A，那么b∉B B．假设a∉A，那么b∈B C．假设a∈A，那么b∉B D．假设b∉A，那么a∈B 4．已知命题p：假设(x－1)(x－2)≠0，那么x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.以下选项中为真命题的是( ) A．綈p B．綈p或q C．綈q 且p D．q 5．别离用“p或q”，“p且q”，“非p”填空： (1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式； (2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式； (3)命题“非空集∁UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式． 6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，假设綈p是假命题，那么a的取值范围是______________________． 7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q和逻辑联结词“或”“且”“非”表示以下命题： (1)命题s：两次都击中飞机； (2)命题r：两次都没击中飞机； (3)命题t：恰有一次击中了飞机； (4)命题u：至少有一次击中了飞机． 8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．假设“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

1．1.1四种命题观察下列语句的特点：(1)这幅画真漂亮！(2)求证3是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x>2 012；(6)若x2＝2 0122，则x＝2 012.问题：在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．提示：(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．1．能够判断真假的语句叫做命题．2．命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的命题.假命题：判断为假的命题.观察下列四个命题：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似； (4)若两个三角形不相似，则这两个三角形不全等．问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．2．命题的四种形式原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若非p ，则非q ；逆否命题：若非q ，则非p . 3．四种命题之间的关系观察下列命题，回答后面的问题：(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等．问题1：若把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．问题2：判断四个命题的真假．提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题．1．四种命题的真假性2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来研究它的其他形式的命题．2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，大前提仍作大前提．3．若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，即它们同真同假．所以，当一个命题的真假不易判断时，可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假．[对应学生用书P3][例1]判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1>0；(6)把门关上．[思路点拨]首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．[精解详析](1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．(6)因为没有作出判断，所以不是命题．[一点通]1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．1．下列语句：(1)2＋2 2是有理数； (2)1＋1>2； (3)2100是个大数； (4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？ 其中是命题的是________．解析：(1)能判断真假，是命题，是假命题； (2)能判断真假，是命题，是假命题； (3)不能判断真假，不是命题； (4)是命题，是真命题； (5)不能判断真假，不是命题． 答案：(1)、(2)、(4) 2．判断下列命题的真假：(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； (2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式|3x －2|>4的解集是(－∞，－23)∪(2，＋∞)；(4)平行于同一平面的两条直线平行．解：(1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，故(1)为真命题．(2)斜率相等的两条直线有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命题． (3)由|3x －2|>4得，3x －2>4或3x －2<－4， ∴x >2或x <－23，∴|3x －2|>4的解集是(－∞，－23)∪(2，＋∞)．故(3)为真命题．(4)平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故(4)为假命题.[例2]分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；(2)函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a2<0.[思路点拨]先分清所给命题的条件和结论，再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题，并做出真假判断．[精解详析](1)原命题可以写成：若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac，为真命题．逆命题：若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列，为假命题．否命题：若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，为假命题．逆否命题：若实数a，b，c，满足b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题．(2)原命题可以写成：若函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，则log a2<0，为真命题．逆命题：若log a2<0，则函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，为真命题．否命题：若函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则log a2≥0，为真命题．逆否命题：若log a2≥0，则函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，为真命题．[一点通]1．四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的概念直接转化即可．2．对于命题的真假判断，当直接判断有难度时，可以通过判断它的逆否命题的真假来判断．3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；(3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)原命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．(2)原命题可改写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．(3)原命题可改写成：已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题．4．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断其真假：(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数；(3)若x∈A则x∈(A∪B)．解：(1)原命题：在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B，真命题；逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)原命题：若一个数是正偶数，则它一定不是质数，假命题，例如2；逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题，例如9；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题，例如9；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题，例如2.(3)原命题：若x∈A，则x∈(A∪B)，真命题；逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A，假命题；否命题：若x∉A，则x∉(A∪B)，假命题；逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A，真命题.[例3]证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[思路点拨]根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．[精解详析]法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立，故a ＋b ≥0. [一点通]由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．5．已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．解：函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0<c <1. 记P ＝{c |0<c <1}不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >12.记Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | c >12.如果p 正确，且q 不正确， 借助数轴得0<c ≤12.如果p 不正确，且q 正确， 借助数轴得c ≥1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 6．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明：“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出原命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的概念写出所有命题．2．判断命题的真假时，可以根据互为逆否的命题的真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．[对应课时跟踪训练(一)]1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤⑤2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．答案：若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：逆命题：对于正数a，若lg a>0，则a>1.否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0. 逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1. 根据对数的性质可知都是真命题． 答案：44．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可． 答案：若tan α≠1，则α≠π45．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题；③“若m >1，则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．解析：①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m >1时，Δ＝4－4m <0恒成立，x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)奇函数的图像关于原点对称； (2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题． (2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大，是假命题． 7．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图像与x轴有交点．解：(1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则函数图像与x轴无交点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点，则b2－4ac≥0，为假．。

课时追踪检测（二）四种命题四种命题间的互相关系1．命题“若m＝ 10，则层级一学业水平达标2m ＝ 100”与其抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是 ()A．原命题、否命题C．原命题、逆否命题B．原命题、抗命题D．抗命题、否命题分析：选 C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．2．已知 a， b， c∈ R，命题“若 a＋ b＋ c＝ 3，则 a2＋ b2＋ c2≥ 3的”否命题是 () A．若 a＋ b＋ c≠3，则 a2＋ b2＋ c2<3B．若 a＋ b＋ c＝ 3，则 a2＋ b2＋ c2<3C．若 a＋ b＋ c≠3，则 a2＋ b2＋ c2≥3D．若 a2＋ b2＋ c2≥3，则 a＋ b＋ c＝ 3分析：选 A a＋ b＋ c＝ 3 的否认是 a＋ b＋ c≠3， a2＋ b2＋ c2≥的否认是a 2＋b2＋ c23<3.3．与命题“能被 6 整除的整数，必定能被 3 整除”等价的命题是 ()A．能被 3 整除的整数，必定能被 6 整除B．不可以被 3 整除的整数，必定不可以被6整除C．不可以被 6 整除的整数，必定不可以被3 整除D．不可以被 6 整除的整数，能被 3 整除分析：选 B 即写命题“若一个整数能被 6 整除，则必定能被 3 整除”的逆否命题．4．若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，则 q 与 r 的关系是 ()A．互抗命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确分析：选 A设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q 与 r 为互抗命题．5．原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝ |z2| ”，对于其抗命题，否命题，逆否命题真假性的判断挨次以下，正确的选项是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假分析：选 B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝ |z2|，当 z1＝ 1， z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的抗命题是假的，故否命题也是假的．应选B.6．命题“若 x≠1，则 x2－ 1≠0”的真假性为 ________．分析：可转变为判断命题的逆否命题的真假，因为原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则 x＝ 1”，因为 x2－ 1＝ 0， x＝±1，所以该命题是假命题，所以原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m－ 1<x<m＋ 1，则1<x<2”的抗命题为真命题，则m 的取值范围是________．分析：由已知得，若1<x<2建立，则m－ 1<x<m＋ 1 也建立．m－ 1≤1，∴∴ 1≤m≤2.m＋ 1≥2.答案： [1,2]8．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．分析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依照四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤9．写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，而后判断真假．(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直均分线均分弦所对的弧．解： (1)抗命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(2)抗命题：若一条直线均分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直均分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直均分线，则这条直线不均分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不均分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直均分线，是真命题．10．判断命题“已知 a，x 为实数，若对于x 的不等式x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知 a，x 为实数，若 a<1 ，则对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x ＋a2＋ 2≤0 的解集为空集”．判断其真若是下：抛物线 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2 的图象张口向上，鉴别式＝ (2a＋ 1)2－4(a2＋ 2)＝ 4a－ 7.因为 a<1，所以 4a－ 7<0.即抛物线 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2 的图象与 x 轴无交点．所以对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0 的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设 a， b， c∈ R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题共有 ()A．0个B．1 个C．2 个D．4 个分析：选C若 c＝ 0，则 ac2>bc2不建立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．抗命题“设 a，b，c∈ R，若 ac2>bc2，则 a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2 个真命题，应选 C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的 ()A．抗命题B．否命题C．逆否命题D．没关命题分析：选 A因为这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为抗命题，应选 A.3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则以下说法正确的选项是()A．原命题是真命题B．抗命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题分析：选C原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，抗命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，应选 C.πα＝ 1”的逆否命题是 ()4．命题“若α＝，则 tan4ππα≠1A．若α≠，则 tan α≠1B．若α＝，则 tan44ππC．若 tan α≠1，则α≠D．若 tan α≠1，则α＝44分析：选 C否认原命题的结论作条件，否认原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知 C 正确．5．命题“若 x>1，则 x>0”的抗命题是 ________________，逆否命题是 ________________．答案：若 x>0，则 x>1若x≤0，则x≤16．在原命题“若 A∪ B≠B，则 A∩B≠A”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ________．分析：抗命题为“若 A∩B≠A，则 A∪ B≠B”；否命题为“若 A∪ B＝ B，则 A∩B＝ A”；逆否命题为“若 A∩B＝ A，则 A∪B＝ B”；全为真命题．答案： 417．已知 a， b， c∈ R，证明：若a＋ b＋ c<1，则 a， b， c 中起码有一个小于3.1证明：原命题的逆否命题为：已知a，b， c∈ R ，若 a，b，c 都不小于3，则 a＋ b＋c≥1.111由条件 a≥， b≥， c≥，333三式相加得a＋ b＋ c≥1，明显逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知 a， b， c∈ R，若 a＋ b＋ c<1，1则 a， b， c 中起码有一个小于3.8．已知函数f(x)＝ x2－ 2x， g(x)＝ ax＋ 2(a>0) ，若命题：对于随意的x1∈ [－ 1,2]，存在x2∈ [－ 1,2]使 f (x1)＝ g(x2)为真命题，务实数 a 的取值范围．解：对于随意的x1∈ [－ 1,2]，存在 x2∈ [－ 1,2]使 f(x1)＝ g(x2)，则 { f(x)|x∈ [－ 1,2]}? {g(x)|x ∈[－ 1,2]}．又 f(x)＝ x2－ 2x 在 [－ 1,1]上单一递减，在 [1,2]上单一递加，所以－ 1≤f(x)≤3.因为－ a＋ 2≤－ 1，g(x)＝ ax＋ 2(a>0) 在 [－ 1,2]上单一递加，所以－ a＋ 2≤g(x)≤2a＋ 2，于是有即2a＋ 2≥3，a≥3.故实数 a 的取值范围为[3，＋∞)．。

第2课时“非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一逻辑联结词“非”思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二“p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三命题的否定与否命题思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一綈p命题及构成形式例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解(1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二含逻辑联结词的命题的真假判断例2分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点綈p形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p 为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )． 考点 “綈p ”形式命题真假性的判断 题点 判断綈p 的真假 答案 ④解析 由于命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此，命题綈p 是假命题，命题綈q 是真命题，从而(綈p )∨q ，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )都是假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 类型三 命题的否定的真假应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围． 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p，q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x 的取值范围为________．答案{x|－1<x<2且x≠0,1}解析由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p∧q：x∈{－1,0,1,2}．綈p：x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－1<x<2且x ≠0,1.1．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假，“綈q”为假；②“p∨q”为真，“綈q”为假；③“p∧q”为假，“綈p”为假；④“p∧q”为真，“p∨q”为假．答案②解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故②正确．2．命题“若a>b，则3a>3b”的否命题是________________，命题的否定为________________．答案若a≤b，则3a≤3b若a>b，则3a≤3b3．“a≥5且b≥2”的否定是________．答案a<5或b<2解析“p∨q”的否定是“(綈p)∧綈q”，而“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”．4．给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号)①命题“p∧q”为真；②命题“p∨q”为假；③命题“p∨(綈q)”为真；④命题“p∧(綈q)”为真．答案 ③④解析 依题意得命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∨(綈q )为真，p ∧(綈q )亦为真，只有③④正确．5．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若(綈p )∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________________．考点 “非p ”形式命题真假性的判断 题点 由“非p ”命题的真假求参数的取值范围 答案 ⎝⎛⎭⎫52，＋∞解析 由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a ＜1. 若抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点， 则Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.∵(綈p )∧q 为真命题，∴p 为假命题，且q 为真命题，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜12或a ＞52，∴a ＞52. ∴所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p )只是否定命题的结论，而否命题(“若p 则q ”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案②③解析由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案①④解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案②解析由(x＋2)(x－3)<0，得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真．∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真．5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．6．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要解析 p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}． 则綈p ：{x |－3≤x ≤1}，綈q ：{x |x ≥3或x ≤2}． ∴(綈p )⇒(綈q )且(綈q )⇏(綈p )． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．7．若命题p ：x ∈{1,2,3,4}，命题q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则p 是綈q 的____________条件．答案 充分不必要解析 ∵q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈q ：x ∈{x |0<x <5，x ∈R }， ∴p ⇒綈q 但綈q ⇒/p .8．已知p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假，则x 的值为________． 答案 －1,0,1,2解析 ∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假．又“綈q ”为假，∴q 为真，进而可知p 为假．由p 假q 真可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z ，∴x 的取值为－1,0,1,2.9．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是__________________________________________、_______________________． 考点 “非p ”形式命题真假性的判断 题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－3]解析 由题意，知－2(a －1)2≥4，解得a ≤－3.10．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)①p ∨q 是假命题；②(綈p )∧q 是假命题；③p ∧q 是真命题；④(綈p )∨q 是真命题． 答案 ②解析 p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假．11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面或相交． 二、解答题12．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)若x <0，则x 2>0.解 (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：若x <0，则x 2≤0. 否命题：若x ≥0，则x 2≤0.13已知p ：关于x 的不等式|2x －3|<m (m >0)，q ：x (x －3)<0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由|2x －3|<m (m >0)，得3－m 2<x <3＋m2.由x (x －3)<0，得0<x <3.若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，3－m 2>0，3＋m 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m 2≥0，3＋m 2＜3，解得0<m <3.故实数m 的取值范围是(0,3)． 三、探究与拓展14．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是假命题；④綈q 是假命题． 考点 “p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p ∨q ”“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ③解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题．因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是假命题，綈q 是真命题．15．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <94. ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12或x ≥94，12 ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪94≤x <3. (2)由綈p 是綈q 的必要条件，得q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．。

课时跟踪训练(四)　含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p是真命题，q是假命题，则下列说法错误的是________．①p∧q是真命题　②p∨q是假命题　③綈p是真命题　④綈q是真命题2．已知命题p：若a>1，则a x>log a x恒成立；命题q：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q 是a m＋a n＝a p＋a q成立的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面为真命题的是________．①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q.3．已知命题p：不等式ax＋b>0的解集为Error!，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b) <0的解集为{x|a<x<b}，则“p或q”“p且q”和“非p”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p：所有自然数都是正数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p或q；②p或q；③綈p且綈q；④綈p或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p)∨(綈q)；②p∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p∨q.6．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．55(1)p：是有理数，q：是整数；(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命题q：实数x满足Error!(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若q⇒綈p，求实数a的取值范围．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p∨q为真命题；(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．答案课时跟踪训练(四)1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：①②③2．解析：当a＝1.1，x＝2时，a x＝1.12＝1.21，log a x＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<log a x，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．答案：②　3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)∨(綈q)．答案：①55556．解：(1)p或q：是有理数或是整数；p且q：是有理数且是整数；非p：不是有理数．因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．5(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p假，q假，所以p 或q假，p且q假，非p为真．7．解：(1)由于a＝1，则x2－4ax＋3a2<0⇔x2－4x＋3<0⇔1<x<3.所以p：1<x<3.解不等式组Error!得2<x≤3，所以q：2<x≤3.由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，解不等式组Error!得2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤或a ≥3，23所以实数a 的取值范围是∪[3，＋∞)．(0，23]8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞或a ＜－1.①13命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－.②12(1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为；{a |a ＜－12或a ＞13}∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是Error!.(2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－.1312∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是Error!.。

课堂达标训练1.判断下列各命题的真假:①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;③两个有公共终点的向量,一定是共线向量;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )A.2B.3C.4D.1【试题解析】选B.①假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;②真命题;③假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;④假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.2.已知空间四边形ABCD中,＝a ,＝b ,＝c,则等于( )A.a＋b－cB.－a－b＋cC.－a＋b＋cD.－a＋b－c【试题解析】选C.＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量的共有( )①(＋)＋;②(＋)＋;③(＋)＋;④(＋)＋.A.1个B.2个C.3个D.4个- 1 -- 2 -【试题解析】选 D.①(＋)＋＝＋＝;②(＋)＋＝＋＝; ③(＋)＋＝＋＝; ④(＋)＋＝＋＝.4.如图,在四面体ABCD 中,设G 是CD 的中点,试化简＋(＋).【解题指南】先求出(＋)＝,根据向量的加法运算法则计算即可.【试题解析】因为G 是CD 的中点,所以＋(＋)＝＋＝.5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 是上底面A 1C 1的中心,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)＋＋. (2)＋＋. 【试题解析】(1)＋＋＝.(2)＋＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.- 3 -。