2018-2019学年高二数学选修2-1课时跟踪训练：(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断

课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断
1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．
①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题
2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．
①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .
3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．
4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q
5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．
①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .
6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；
(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，
q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．
7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
|x －1|≤2，x ＋3x －2
≥0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围．
8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p∨q为真命题；
(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．
答案
1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．
答案：①②③
2．解析：当a＝1.1，x＝2时，
a x＝1.12＝1.21，log a x＝log1.12>log1.11.21＝2，
此时，a x<log a x，故p为假命题．
命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，
当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．
答案：②
3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．
答案：非p
4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或
綈q 为真命题．
答案：③④
5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．
答案：①
6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．
(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．
7．解：(1)由于a ＝1，
则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3.
所以p ：1<x <3.
解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧ |x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，
所以q ：2<x ≤3.
由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题， 解不等式组⎩
⎨⎧
1<x <3，2<x ≤3得2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，
x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，
所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，
设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．
由于q ⇒綈p ，所以B A ，
所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23
或a ≥3， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，
即a ＞13
或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12
.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：
当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12
. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是
⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13
＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。