人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)

2. 4等比数列教案（一）授课类型：新授教学目标（一） 知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式． （二） 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程一、情境导入：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263; ① 1，21，41，81，…； ② 1，3220,20,20，…； ③ ......1098.1,1098.1,0198.132④对于数列①，n a =12-n ;1-n n a a =2（n ≥2）．对于数列②， n a =121-n ；211=-n n a a （n≥2）．对于数列③，n a =120-n ;1-n na a =20（n ≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数． 二、检查预习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n3．｛a n ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a nn 4．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）22,1,2)4(;,83.21,32 ，…….三、合作探究（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ （4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q=1时，{a n }为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅= 观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a an n =-1 所以11342312--=⋅⋅n n n q a aa a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 等比数列的通项公式2: )0(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，五精讲精练例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：23231218=⇒=q.316328,832122132=⨯===⨯==∴q a a q a a 点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第52页第1例2．求下列各等比数列的通项公式：;8,2 )1(31-=-=a a n n a a a 32,5 )2(11-==+且解：(1)24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或(2)111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

高中一年级（下）数学必修5 第二章：数列——2.4：等比数列一：知识点讲解（一）：等比数列的概念➢ 等比数列的定义还可以用符号表述：在数列{}n a 中，若q a a nn =+1（q 为常数，且q ≠0）对任意*N n ∈都成立，则数列{}n a 是等比数列。

➢ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0）。

➢ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。

当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列。

例1：判断下列数列是否为等比数列。

1) 1、3、23、33、……、13-n 、……；2) ﹣1、1、2、4、8、……； 3) 1a 、2a 、3a 、……、n a 、……。

（二）：等比中项➢ 由等比中项的定义可知，若G 是a 、b 的等比中项，则Gba G =，所以ab G =2。

➢ 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成 ，那么G 叫做a与b 的等比中项，这三个满足关系式 。

➢ 因为等比数列中任一项均不为0，所以由ab G =2知，0>ab ，即同号的两个数（不为0）才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值。

如12+和12-的等比中项为±1。

例2：已知在等比数列{}n a 中，168321=++a a a ，4252=-a a ，求5a 、7a 的等比中项。

（三）：等比数列的递推公式和通项公式➢ 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q （q ≠0）。

➢ 递推公式：()21≥=-n q a a n n。

➢ 通项公式：=n a 。

➢ 等比数列的通项公式：11-=n n q a a （其中1a 是首项，q 是公比）。

✧ 在已知首项1a 和公比q 的前提下，利用通项公式11-=n n q a a 可求出等比数列的任一项。

✧ 在等比数列中，已知1a 、n 、q 、n a 中的三个量就可以求出第四个量。

2．4 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程．[学问链接]下列推断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引]1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8，①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)法一 由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二 由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点二 等比中项的应用例2 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解 由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327. 要点三 等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列： 证明a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)． 又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1， ∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法 推断一个数列是否是等比数列的常用方法有 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 解 ∵S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}． 跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 A解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝16.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不行能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应留意分子、分母次序不能颠倒．(3)假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2.等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来推断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B. 8 C. 16 D. 32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．假如－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 二、力量提升9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.10．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.11．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.12．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 2a na n －1＝log 2q ， ∴{b n }为等差数列，且d ＝log 2q ，而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1(b 1＋d )(b 1＋2d )＝－3， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2.∴b n ＝2n －3或5－2n .∴a n ＝22n －3或a n ＝25－2n . 三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的表达式．(1)证明 法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。

明目标、知重点 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项的概念如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 3．等比数列的通项公式已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材48页至49页上半页列举了4个实例，请同学们写出这4个实例对应的4个数列，并观察它们有什么共同特点． 答 这4个数列分别为：①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,20,202,203，…；④10 000×1.019 8,10 000×1.019 82,10 000×1.019 83，10 000×1.019 84,10 000×1.019 85. 它们的特点为：每一项与它前一项的比等于同一常数．思考2结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义．答如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．思考3我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简洁地表示它？答a na n－1＝q(n>1，q≠0)．思考4下列所给数列中，是等比数列的为________．(1)1,1,1,1,1，….(2)0,1,2,4,8，….(3)2－3，－1,2＋3，….(4)1,3,9,27,81，….答案(1)(3)(4)解析(1)中数列显然符合等比数列的定义，公比为1，所以是等比数列；对于(2)由于第一项为0，公比不存在，所以不是等比数列；对于(3)－12－3＝－12－3＝－2＋3(2－3)(2＋3)＝2＋3－1，所以(3)是等比数列；对于(4)明显能看出是等比数列，公比为3.探究点二等比中项思考1请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．答如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．思考2下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.探究点三等比数列的通项公式思考1如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？答 根据等比数列的定义知：a 1＝a 1q 0，a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，一般地，有a n ＝a 1q n －1.思考2 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？ 答 根据等比数列的定义得：a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a na n －1＝q (n ＞1)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1， 化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1.当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．小结 (1)等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，要注意公式中q 的次数为n －1而非n . (2)对于公比q ，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q 是任意非零常数，可正可负； (4)首项和公比均不为0.思考3 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n 等于什么？为什么？ 答 a n ＝4·(32)n －1，由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n－1.小结 如果一个数列{a n }的任意三项满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)，则这个数列是等比数列．例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4.答 这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练1 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11.答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 例2 根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？解 若将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，…. 由框图可知，a 1＝1，a 2＝a 1×12＝12，a 3＝a 2×12＝14，a 4＝a 3×12＝18，a 5＝a 4×12＝116.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1(n >1).由于a n a n －1＝12，因此这个数列是等比数列，其通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列． (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减，得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.反思与感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其它项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其它项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中， (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解 (1)由等比数列的通项公式，得 a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32答案 C解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. [呈重点、现规律] 1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d .∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{b n }是等比数列，设公比为q . ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n .又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n. 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.。

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．过程与能力目标：1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题． 情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程学生自学：（1）阅读课本P48页-P49页上部分内容。

（2）思考数列1，2，3，4的共同特点是什么？二、新课 （抽生回答）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）.思考：（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？ （抽生回答，相互补充，直至完整）(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q= 1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，． 迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1所以11342312--=⋅⋅n n n q a a a a a a a a Λ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ，3.等比数列的通项公式2:)0(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， 三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.例2．求下列各等比数列的通项公式：例3．已知数列{an}满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式。

2.4等比数列（一）一、学习目标1. 掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并简单加以运用．2. 培养学生的类比、归纳、猜想能力．3. 感受等比数列丰富的现实背景，培养学生对数学学习的兴趣．二、教学过程1．创设情境问题1 拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，再拉伸，再捏合，如此反复多次，就拉成了许多根细面条。

试问经过8次，可以拉出多少根细面条？第一次 ___1_______ 第五次 __________第二次 ___________ 第六次 __________第三次 ___________ 第七次 __________第四次 ___________ 第八次 __________2．抽象概括等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示，即：= 3．分析总结：请同学们根据自己理解的定义写出一组等比数列.4．自主探究（1）你能根据等比数列的定义推导出等比数列的通项公式吗？1n n a a（2） 等比数列通项公式的结构特征是什么？5．技能提炼（1） 已知,162,3,21===n a q a 求n（2）已知,31,919-==q a 求1a（3）已知,27,1253==a a 求21a a +三 课堂小结1 知识内容（1）（2）2 主要的思想方法思考：给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了42次的时候，所达到的厚度有多少？44242=亿四 课后反馈1.在等比数列{}中，则该数列的公比是（ ） A ． B. C.2 D.82. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）. n a ,45,10a 6431=+=+a a a 4121q =A.B. C. D.3. 在等比数列{}中，,21,73213=++=a a a a 求该数列的公比。

2.4 等比数列自主学习知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝________.4．对于正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则等比数列中a m ，a n ，a p ，a q 的关系是____________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即________________(用数学式子表示)．自主探究首项为a 1，公比为q 的等比数列在各条件下的单调性如下表：a 1 a 1>0 a 1<0q 范围 0<q <1 q ＝1 q >1 0<q <1 q ＝1q >1 {a n }的 单调性对点讲练知识点一 等比数列通项公式的应用例1 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．总结 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练1 已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .知识点二 等比数列性质的应用例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．变式训练2 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值．知识点三 等比数列的判断与证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．总结 利用等比数列的定义a n ＋1a n＝q (q ≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练3 设S n 为数列{a n }前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34C ．2D ．4334．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.7．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．10．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．§2.4 等比数列知识梳理1．2 比 公比2．a n ＝a 1q n －13．等比中项 ±ab4．a m ·a n ＝a p ·a q5.a n ＋1a n＝q, (n ∈N *) 自主探究递减 常数列 递增 递增 常数列 递减对点讲练例1 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.变式训练1 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.当a 1＝1，q ＝2时，a n ＝2n －1；当a 1＝4，q ＝12时，a n ＝23－n . 例2 解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10.变式训练2 解 ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝(a 1a 30)·(a 2a 29)·…·(a 15·a 16)＝(a 1a 30)15＝215， ∴a 1a 30＝2.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝(a 2a 29)·(a 5a 26)·(a 8a 23)·(a 11a 20)·(a 14a 17)＝(a 2a 29)5＝(a 1a 30)5＝25＝32.例3 (1)解 由S 1＝13(a 1－1)， 得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 变式训练3 解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)．a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.课时作业1．B [∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．]2．B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]3．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.] 4．A [设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53.] 5．D [因为a 1，a 2，a 5成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 5， 即a 22＝(a 2－2)·(a 2＋6)．解得a 2＝3.]6．4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 7．5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧ q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 8.5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)， 则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 9．解 由题意可列关系式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ② ②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12， ∴a 1＝1681＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3， ∴a 5，a 7的等比中项为3.10．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q＝3时，a n＝2×3n－3.。

2.4 等比数列（导学案）一、学习目标1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

二、本节重点理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

三、本节难点遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。

四、知识储备1、等差数列的通项公式。

2、等差数列的前n 项和公式。

3、等差数列的性质。

(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1推广：d m n a a m n )(-+=(3)前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112)1(2 (4)性质：①2b a A A b a +=⇔的的等差中项与 ②q p n m a a a a q p n m +=++=+则若,特别地：p n m a a a p n m 2,2=+=+则若③ 奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯)1()1(2121121+⋅=+⋅+=+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n ⋅=⋅+=+1222偶 所以有⎩⎨⎧==-+⋅=+++中偶奇偶奇a a S S n a S S n n 1112)(n n a n n a a S n ⋅=⋅+=-22121奇项，则若有偶数项 1222+⋅=⋅+=n n a n n a a S 偶 所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+⋯+-+-=--1223412奇偶④设n a a A +⋯+=1，n n a a B 21+⋯+=+ ， n n a a C 312+⋯+=+则有C A B +=2五、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1︒ “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。

精品精品资料精品精品资料2.4等比数列（一）【学习目标】理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解等比数列模型应用．【自主学习】1、等比数列的定义:_______________________________________________________________________________________________________________________________.（1）符号语言：｛n a ｝成等比数列________________. （N n ,q ≠0）（2）数列｛n a ｝为等比数列，则n a ____0．（3）q= 1时，{a n }为_____________数列.（4）既是等差数列又是等比数列的数列是____________________数列. 2.等比数列的通项公式： .3.等比中项： .【自主检测】已知四个等比数列分别是：①1, 2, 4, 8, …②1,21，41，81，…③1,20 ,202 ,203 ,…④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984, …它们的公比分别为： __ . 它们的通项公式分别为： .【典型例题】例1.类比等差数列通项公式的推导，请推导等比数列的通项公式. 例2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 例3.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.【课堂检测】1．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于（）A. 12B.13C.2D.32.一个等比数列的第2项是10，第4项是40，求它的第1项与第4项.3．（1）已知等比数列x，－34，y，－2716，8132，…，求x，y.（2）已知数列{a n}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4的值.【总结提升】熟练掌握等比数列的通项公式是解决问题的关键。

2.4 等比数列（一）一、学习目标：1.掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导;2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;3. 灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题;4.进一步培养严密的思维习惯以及实事求是的科学态度.二、学习重点：理解等比数列的定义，探索并掌握等比数列的通项公式.三、学习难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.四、学习方法类比学习、小组合作学习五、学习过程（一）、复习旧知——完成表格（二）、情境问题——引出课题情境1：我国古代算书《孙子算经》上的名题:出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。

问各几何？”情境2：《庄子》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．情境3：年初某人在银行存款a万元，年利率为p，每年年末的本息为多少？（三）、合作探究——等比定义及通项公式学生活动1——观察、联想，交流，总结①②③问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？问题3：观察数列①②③，，分类：按项数分：有穷数列：无穷数列：按单调性分：递增数列：递减数列：知识点1：等比数列的定义：学生活动2——对等比数列概念深化理解问题4：上述三例的公比分别为多少？问题5：你能举一个公比小于0的等比数列吗？问题6：有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列？小结：＜小组互动＞互考环节问题7：若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？知识点2：等比中项：学生活动3——探寻等比数列的通项公式问题8：回忆等差数列的推导方法，比较两个数列定义的不同，推出等比数列通项公式。

知识点3：等比数列的通项公式:问题9：知道m a 与q 如何表示n a ？（四）、实际应用例题：在等比数列{}n a 中，已知3a =20，6160a =，求n a ．变式1：在等比数列{}n a 中，已知3a =20，160n a =，公比2q =，求n ．变式2：在等比数列{}n a 中，1210a a +=，4554a a +=，求n a .变式3：在等比数列{}n a 中，n+2n+12,()n a a a n N *+=∈，求n a .小结：（五）、达标检测（1～4每题5分，5题10分，共30分）： 1. 在数列{}n a 中，111+=0n n a a a +=，，求n a 2. 在等比数列{}n a 中，256,48a a ==，则8a =3.24.9是数列012222333...，，，中的第 项. 5.数列{}n a 中，首项为1，若1(2)n n na n a +=+，求通项公式n a .（六）、课堂小结问题10：你学会了什么？（七）、留疑思考问题11：利用课余时间探索等比数列与指数函数的关系（八）、布置作业：教材习题2.4A组第1,2题.将等差等比数列相关知识汇总成表。

复 3. 在等差数列中，公差 d.=复 4.在等差数列中，若且，二、新学◆ 学研究察：① 1， 2， 4，8，16，⋯1111②1，，，，，⋯24816③1，20，202，203，204，⋯思虑以上四个数列有什么共同特点？新知：1. 等比数列定：一般地，假如一个数列从第起，一与它的一的等于常数，那么个数列就叫做等比数列.个常数叫做等比数列的，往常用字母表示（ q≠ 0），即：a n=（ q≠ 0）a n 12.等比数列的通公式：；；；⋯⋯∴等式建立的条件注 :⑴“从第二起”与“前一”之比常数 q ,{ a n } 成等比数列a n1q （ n N ，a nq0 ）⑵含：任一 a n 0 且q 0⑶______________， {a n} 常数列 .既是等差又是等比数列的数列：_______．3. 等比数列中随意两与的关系是：4.等比中的定：假如在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么称个数G 称 a 与 b 的等比中 . 即G=（a，b 同号）5.在等比数列中，⑴ 当，q >1 时，数列是递加数列；⑵ 当，，数列是递加数列；⑶ 当，时，数列是递减数列；⑷ 当，q >1 时，数列是递减数列；⑸ 当时，数列是摇动数列；⑹ 当时，数列是常数列 .6.三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。

◆ 典型例题例 1 （ 1）一个等比数列的第9项是4，公比是－1，求它的第 1 项；93（ 2）一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第 1 项与第 4 项.小结：对于等比数列的问题第一应想到它的通项公式a n a1 q n 1.⑴a4 =27 ，q＝－ 3，求 a7；⑵ a218 ， a48 ，求 a1和 q；⑶ a4 4 , a7 6 ，求 a9；⑷ a5a115, a4a2 6 ,求 a3 .例 2 已知数列 { a n } 中， lg a n3n 5，试用定义证明数列是{ a n } 等比数列 .小结：要证明一个数列是等比数列，只要证明对于随意正整数n，an 1是一个不a n为 0 的常数就行了 .例 3 三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数◆ 着手试一试练 1. 判断以下数列能否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３） 1， 1 ， 1， 1 ， 124816练 2.求出以下等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８；（２）－４，ｂ，ｃ，1 ．2练 3.在等比数列 {a n} 中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求a6；（２）已知 a3＝ 20， a6＝160，求 a n．练 4. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后边的相邻两项之和，则公比 q（） .A.3 B.35C.5 1 D.5 122223. 已知数列 a ，a （1－a ），a(1 a) 2 ，⋯是等比数列， 数 a 的取 范 是（ ）.A. a ≠1B. a ≠0 且 a ≠1C. a ≠0D. a ≠0 或 a ≠14. 1234，2a1a2 ＝.a， a ， a ， a成等比数列，公比 22a 3 a 45. 在等比数列 { a n } 中， 2a 4 a 6a 5 ， 公比 q ＝. ．在等比数列 n 中，假如 69 ，那么3 等于()6 {a } a =6,a =9aA. 4B.3C.16D.229。

高中数学必修五《2.4 等比数列》学案一、教学目标：1、通过具体实例抽象出等比数列模型，理解并掌握等比数列概念；2、类比等差中项的概念掌握等比中项的概念；3、理解等比数列的通项公式及推导，并能简单的应用公式。

二、教学过程：（一）自主探究：1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。

2. 符号表示：若()为常数q n q a a n n ,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。

3、等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G 叫做a 与b 的 ，此时a 与b （填同号或异号）。

4、等比数列的通项公式为： 。

5、等比数列的函数特征：预习自测：1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），881． 2、等比数列211473,3,3,1，…中，983是这个数列的第 项．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）1,1,1,1,1； （2）8,4,2,1,0； （3）161,81,41,21,1-- （4）432,,,x x x x 4、求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a ； （2）21,,,4c b - 5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列； （ ） ②数列 ,81,41,21,1是公比为2的等比数列； （ ） ③若cb b a =，则c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） 思考：如何证明一个数列是等比数列：（二）合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。

例3、已知数列{}n a 的前n 项和n S =1(1)3n a -，*n N ∈，求证：数列{}n a 是等比数列。