1.1.1学案

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算． 1．了解空间向量的概念．(数学抽象)2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(逻辑推理)3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算)4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象)必备知识·探新知知识点1 空间向量的概念1．定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的__大小__． 3．表示方法：(1)几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；(2)字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|．4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量__长度为0__的向量叫做零向量．记为0 单位向量__模为1__的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度__相等__而方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向__相同__且模__相等__的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？提示：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异．知识点2 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA→＋AB→＝OB→减法a－b＝OA→－OC→＝CA→数乘当λ＞0时，λa＝λOA→＝PQ→；当λ＜0时，λa＝λOA→＝MN→；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?提示：不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0．知识点3 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__a＝λb__．2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把__与向量a平行的非零向量__称为直线l的方向向量．思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?提示：不能．若b ＝0，则对任意向量a ，c 都有a ∥b 且b ∥c ． 思考5：怎样利用向量共线证明A ，B ，C 三点共线？ 提示：只需证明向量AB →，BC →(不唯一)共线即可．知识点4 共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l ．如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使__p ＝x a ＋y b __．思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？提示：是．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．关键能力·攻重难题型探究题型一 空间向量及相关概念的理解典例1 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为 __②③__．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反； ⑤错误，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[规律方法] 空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．【对点训练】❶ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故②错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，必有AC →＝A 1C 1→，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．题型二 空间向量的线性运算典例2 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AC 1→；②AP →；③A 1N →．[分析] 根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． [解析] ①AC 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝a ＋b ＋c ． ②AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ．③A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ．[规律方法] 空间向量线性运算的技巧和思路 (1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．(2)化简空间向量的常用思路①分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【对点训练】❷ (2020·山东潍坊学年高二期末)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，设P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝( B )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c[解析] 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝P A →＋AD →＝P A →＋BC →＝P A →＋(PC →－PB →)＝P A →－PB →＋PC →＝a －b ＋c ．故选B ．题型三 空间共线向量定理及其应用典例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[分析] 可通过证明EF →与EB →共线来证明E ，F ，B 三点共线． [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ． 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ． 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ．∴EF →＝25EB →，又∵EF →与EB →有公共点E ，∴E ，F ，B 三点共线． [规律方法] 1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键是找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P 、A 、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【对点训练】❸ 如图所示，ABCD －ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？[解析] M 、N 分别是AC 、BF 的中点，而四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →．又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →． ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． 题型四 空间向量共面定理及其应用典例4 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →． (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．[分析] 要证明三个向量MA →，MB →，MC →共面，只需证明存在实数x ，y ，使MA →＝xMB →＋yMC →，证明了三个向量共面，即可说明点M 就在平面内．[解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →． 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．[规律方法] 1．证明点P 在平面ABC 内，可以用AP →＝xAB →＋yAC →，也可以用OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，若用OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则必须满足x ＋y ＋z ＝1．2．判定三个向量共面一般用p ＝x a ＋y b ，证明三线共面常用AP →＝xAB →＋yAC →，证明四点共面常用OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．【对点训练】❹ 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别为A 1D 1、D 1C 1、AA 1、CC 1的中点，用向量方法证明M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 令D 1A 1→＝a ，D 1C 1→＝b ，D 1D →＝c ， ∵M 、N 、P 、Q 均为棱的中点，∴MN →＝12b －12a ，MP →＝MA 1→＋A 1P →＝12a ＋12c ，MQ →＝MD 1→＋D 1C 1→＋C 1Q →＝－12a ＋b ＋12c ．令MQ →＝λMN →＋μMP →，则－12a ＋b ＋12c ＝12(μ－λ)a ＋12λb ＋12μc ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12(μ－λ)＝－1212λ＝112μ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝1．∴MQ →＝2MN →＋MP →，因此向量MQ →、MN →、MP →共面， ∴四点M 、N 、P 、Q 共面．易错警示混淆平面向量与空间向量致错典例5 已知非零空间向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，那么下列结论正确的是( B )A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面 C ．A ，B ，C ，D 四点不共面 D ．无法确定[错解] ∵AB →＝e 1＋e 2，AC →＋AD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →， ∴A ，B ，C ，D 四点共线．故选A ．[辨析] 在平面向量中，若a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线；在空间向量中，若a ＝λb ＋μc (b 与c 不共线)，则a ，b ，c 共面．[正解] 由错解知AB →＝15AC →＋15AD →，则AB →，AC →，AD →共面．从而A ，B ，C ，D 四点共面．。

1.1.1算法的概念【学习目的】了解的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。

【学习重点】算法的设计与算法意识的的培养【自学设计引导】我们从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外去括号，竖式笔算等都是算法，解一元二次方程，一元一次不等式、一元二次不等式，求两个数的最大公因数、最小公倍数都是算法。

因此，算法其实是重要的数学对象。

1、算法的概念：2、算法的特征：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决.【典型例题】例题1：解一元一次方程0(0)ax b a+=≠的步骤有：①移项；②系数化为1。

“翻译”成算法语言，就是第一步：输入,a b；第二步：计算bxa=-；第三步：输出x的值，结束。

自我检测：写出解一元二次方程20(0,0)ax bx c a++=≠∆>的一个算法。

例题2、正方体的棱长为a，写一个计算正方体的表面积的算法【课堂达标练习】A组1、若长方体的长、宽、高分别为,,a b c，写出求长方体的体积的一个算法。

2、任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积和周长。

B组写出解一元二次方程20++=的一个算法。

ax bx c【课后延伸拓展】两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。

1.1.1第2课时集合的表示方法基础认知 自主学习1.列举法把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？2．描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为．(3)集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为．{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？3．区间及其表示(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 {x |a ＜x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示． 定义 R{x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？基础小测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)x ＞1的解集可以用列举法表示．( )(2)集合{(1，2)}和{1，2}是相等的集合．( )(3)集合{x |1<x ≤3}可表示为[1，3).( )2．下列说法：①集合{x ∈Z |x 3＝x }用列举法表示为{－1，0，1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1 的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．(教材练习改编)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．能力形成 合作探究类型一 列举法表示集合(数学运算、逻辑推理)1．用列举法表示下列集合：(1)方程(x －1)2(x －2)＝0的解组成的集合． (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合． (3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y ＝2x －1的图像与坐标轴交点组成的集合．2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪44－x ∈Z ，x ∈N ，用列举法表示为A ＝________．解题策略1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来．2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．用列举法表示下列集合．(1)A ＝{y │y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{()x ，y │y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }．【补偿训练】设a ，b ，c 为非零实数，则x ＝||ab ab＋b c ||bc ＋abc||abc 的所有可能取值构成的集合为________． 类型二 描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.已知集合M ＝{}x |x ＝3n ，n ∈Z ，N ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z ， P ＝{}x |x ＝3n －1，n ∈Z ，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P ，若d ＝a －b ＋c ，则( ) A ．d ∈M B ．d ∈N C ．d ∈PD ．d ∈M 且d ∈N2．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数的集合；(2)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． 解题策略1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}可以写成{x |x <1}，而不能写成{x <1}． (2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进大括号内， 即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }． (3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．用适当的方法表示下列集合：(1)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有的点组成的集合．(2)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有点的纵坐标组成的集合．(2021·枣庄高一检测)下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}类型三用区间表示集合及集合表示方法的综合应用(数学运算、直观想象)【典例】1.用区间表示下列集合：(1)3x－4<0的所有解组成的集合A＝________．(2)2x＋6≥0所有解组成的集合B＝________．2．用适当的方法表示下列集合．(1)36与60的公约数组成的集合．(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合．(3)不等式x－2>6的解的集合．(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．解题策略1．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．1．用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5. (2)－3<x ≤4. (3)2≤x <5. (4)x ≤4.(5)x >－3.(6)x ≥－4.2．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数．(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，2x －1<5 的解集．备选类型 利用集合的表示方法求参数值或范围(数学运算、逻辑推理) 【典例】已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }， (1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围； (3)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； (4)若A ＝∅，求a 的取值范围．当堂达标1．(教材二次开发：练习改编)对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}2．(2021·聊城高一检测)若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4>0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．4D ．33．已知3∈{2，a ，a －1}，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．3或4 D ．无解4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪62－x ∈N 用列举法可以表示为________．参考答案基础认知 自主学习1.一一列举提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．2．(1)性质p(x)(2) {x|p(x)}(3) {x∈I|p(x)}提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．3．(1) [a，b] (a，b) [a，b)(2)特殊区间的表示．定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)(1)提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．所以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．基础小测1．(1)提示：×x＞1的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示．(2)提示：×集合{(1，2)}中只有一个元素为(1，2)，而{1，2}中有两个元素1和2，所以这两个集合不相等．(3)提示：×集合{x|1<x≤3}可表示为(1，3].2．C【解析】因为x3＝x的解为－1，0，1，所以集合{x∈Z|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}，故①正确；实数集可以表示为{x |x 为实数}或R ，故②错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1 的解集为{(1，2)}，集合{x ＝1，y ＝2}中的元素是x ＝1，y ＝2，故③错误． 3．{－1，4}【解析】因为4∈A ，所以16－12＋a ＝0， 所以a ＝－4，所以A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1，4}．能力形成 合作探究类型一 列举法表示集合(数学运算、逻辑推理)1．(1) {1，2}(2){W ，e ，l ，c ，o ，m} (3) {北京，张家口} (4) ⎩⎨⎧⎭⎬⎫（0，－1），⎝⎛⎭⎫12，0【解析】 (1)方程(x －1)2(x －2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1，2}． (2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}． (4)函数y ＝2x －1的图像与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0 ，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（0，－1），⎝⎛⎭⎫12，0 .2．{}0，2，3，5，6，8 【解析】因为44－x∈Z ，x ∈N ，所以4－x ＝1时，44－x ＝4∈Z ，x ＝3∈N ；4－x ＝4时，44－x ＝1∈Z ，x ＝0∈N ；4－x ＝2时，44－x ＝2∈Z ，x ＝2∈N ；4－x ＝－1时，44－x＝－4∈Z ，x ＝5∈N ；4－x ＝－4时，44－x ＝－1∈Z ，x ＝8∈N ；4－x ＝－2时，44－x ＝－2∈Z ，x ＝6∈N .综上，A ＝{}0，2，3，5，6，8 .用列举法表示下列集合． (1) A ＝{2，5，6}；(2) B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}【解析】(1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2， 所以A ＝{2，5，6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． 【补偿训练】{}－1，1，3，－3【解析】因为a ，b ，c 为非零实数， x ＝||ab ab＋b c ||bc ＋abc||abc ， 当a ，b ，c 全为正数时，x ＝3； 当a ，c 为正数，b 为负数时，x ＝－3； 当a ，b 为正数，c 为负数时，x ＝－1； 当b ，c 为正数，a 为负数时，x ＝－1； 当a 为正数，b ，c 为负数时，x ＝1； 当b 为正数，a ，c 为负数时，x ＝－1； 当c 为正数，a ，b 为负数时，x ＝1； 当a ，b ，c 全为负数时，x ＝1.故x 的所有可能取值构成的集合为{}－1，1，3，－3 . 类型二 描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理) 【典例】1. B【解析】令a ＝3，b ＝4，c ＝5，得d ＝4.排除A ，C ，D.2．(1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x >0，且y <0}．(3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．用适当的方法表示下列集合：(1)【解】二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{()x ，y │y ＝x 2＋2x －10}．(2)【解】二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y │y ＝x 2＋2x －10}．D【解析】因为{x |x ＋3＝3}＝{0}，{(x ，y )|y 2＝－x 2，x ，y ∈R }＝{(0，0)}，{x |x 2≤0}＝{0}都不是空集，而x 2－x ＋1＝0中Δ＝1－4＝－3<0，故方程无解，所以{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }＝∅.类型三 用区间表示集合及集合表示方法的综合应用(数学运算、直观想象)【典例】1. (1)⎝⎛⎭⎫－∞，43 (2)[－3，＋∞) 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，所以x <43，所以A ＝⎝⎛⎭⎫－∞，43 . (2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，所以x ≥－3，所以B ＝[－3，＋∞).2．(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}．(2){x |x ＝2n ＋1且x <1 000，n ∈N }．(3)(8，＋∞).(4){1，2，3，4，5，6}．1．(1)(－2，5).(2)(－3，4].(3)[2，5).(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞).(6)[－4，＋∞).2．【解】(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y )|－1≤x ≤32 ，－12≤y ≤1，且xy ≥0}． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，2x －1<5， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <3， 所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，2x －1<5 的解集为[1，3). 备选类型 利用集合的表示方法求参数值或范围(数学运算、逻辑推理)【典例】【解】(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．所以a ＝0或a ＝1时，集合A 中只有一个元素．(2)若A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．当A 中没有元素时，Δ＝4－4a <0 ，解得a >1，当A 中只有一个元素时，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ＝0，a ≠0， 解得a ＝0或a ＝1. 故当a ＝0或a ≥1时，A 中至多有一个元素；(3)若A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．当A 中有两个元素时，由Δ＝4－4a >0，解得a <1.当A 中只有一个元素时，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ＝0a ≠0 ，解得a ＝0或a ＝1. 故当a ≤1时，A 中至少有一个元素；(4)由(2)知，当a >1时，A ＝∅.【方法点拨】(1)对本题中集合A 的元素的个数的讨论，实际上是讨论方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根的个数，从而确定a 的取值范围．(2)本题中“a ＝0”这一条件易被忽视，对于方程ax 2＋2x ＋1＝0有两种情况，一是a ＝0时变为一次方程，二是a ≠0时它才是二次方程；(3)对二次项系数中含有待定字母，题中没有明确指明是二次方程、二次函数、二次不等式等问题的题目，要优先对二次项系数中的待定字母是否为零讨论；(4)转化是数学中的重要思想，本题是将集合问题转化为方程问题，使问题很容易得到解决．当堂达标1．D【解析】A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中集合当k 取负数时，多出了若干元素；C 中集合当t ＝0时多了－3这个元素，只有D 正确．2．D【解析】由已知，得x ＝2，y ＝3；x ＝3，y ＝2；x ＝3，y ＝3满足题意，所以B ＝{(2，3)，(3，2)，(3，3)}，集合B 中有三个元素．3．B【解析】因为3∈{2，a ，a －1}，当a ＝3时，那么a －1＝2，不满足元素的互异性， 不满足题意，当a －1＝3时，a ＝4，集合为{2，4，3}满足题意，所以实数a 的值为4. 4．{}0，1【解析】当x ＝0时，62－x ＝3，3∈N ，故x ＝0符合条件；当x ＝1时，62－x＝6，6∈N ，故x ＝1符合条件，当x ≥2时，不符合题意，故集合为{}0，1 .。

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合． 跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0， 解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ， 当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

1.1.1变化率问题学案【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。

【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 【学习难点】平均变化率的概念．【自学点拨】一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 二、问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________. ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以___________.， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf xy ___________.思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?（1） 一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量x=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)化率f x∆=∆注意：①Δ与x 相乘； ②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．解：例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

空间向量及其运算空间向量及其线性运算1．空间向量1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2长度或模：空间向量的大小．3表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；假设向量a的起点是A，终点是B，也可记作：错误![提示]设＋n，即3a＋2b＋c＝a－b＋c＋a＋b－c＝＋a＋－＋b＋－c因为a，b，c不共面，所以错误!而此方程组无解，所以，n表示，即，n不共面．【例4】A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，假设点M满足错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，n的值分别为A．错误!，－错误!B．－错误!，－错误!C．－错误!，错误!D．错误!，错误!A[由于错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，n＝－错误!，故答案为A]3．化简：错误!a＋2b－3c＋5错误!－3a－2b＋c＝________错误!a＋错误!b－错误!c[原式＝错误!a＋b－错误!c＋错误!a－错误!b＋错误!c－3a＋6b－3c＝错误!a＋错误!b＋错误!c＝错误!a＋错误!b－错误!c]4．给出以下四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②假设a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，那么a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|其中正确命题的序号为________．④[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比拟大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．] 5．设两非零向量e1，e2不共线，且e1＋e2与e1＋e2共线，求的值．[解]∵两非零向量e1，e2不共线，且e1＋e2与e1＋e2共线，∴e1＋e2＝t e1＋e2，那么－t e1＋1－t e2＝0∵非零向量e1，e2不共线，∴－t＝0,1－t＝0，解得＝±1。

第一节化学反应与能量的变化第1课时焓变反应热关键词语1．反应热“三要素”：(1)符号：ΔH；(2)单位：“kJ/mol”；(3)正、负号：ΔH<0为放热反应，ΔH>0为吸热反应。

2．反应热计算“两公式”：(1)ΔH＝生成物的总能量－反应物的总能量；(2)ΔH＝反应物的键能总和－生成物的键能总和。

教材新知[自学教材·填要点]1．反应热(1)定义：化学反应在一定条件下反应时所释放或吸收的热量。

(2)特殊值——焓变：焓变是生成物与反应物的焓值差，符号“ΔH”，常用单位“kJ/mol”，恒定条件下的反应热等于焓变。

2．ΔH与吸热反应、放热反应的关系(2)实例：1 mol H2与0.5 mol O2完全反应生成1 mol液态水时放出285.8 kJ的热量，则该反应的焓变ΔH＝－285.8_kJ/mol。

[师生互动·解疑难](1)等压条件下的反应热在不做其他功的情况下，化学反应的焓变等于化学反应的反应热。

(2)当生成物的总焓大于反应物的总焓[即H(生成物)>H(反应物)]时，ΔH>0，反应为吸热反应。

(3)当H(生成物)<H(反应物)时，ΔH<0，反应为放热反应。

小试身手1．对于放热反应2H2(g)＋O2(g)===2H2O(l)，下列说法正确的是()A．反应产物H2O所具有的总焓高于反应物H2和O2所具有的总焓B．反应物H2和O2所具有的总焓高于反应产物H2O所具有的总焓C．反应物H2和O2所具有的总焓等于反应产物H2O所具有的总焓D．反应物H2和O2比反应产物H2O稳定解析：反应物总焓高于生成物总焓的反应是放热反应，反应物总焓低于生成物总焓的反应是吸热反应。

焓值越低，物质越稳定。

答案：B[自学教材·填要点]1．化学反应的本质化学反应是旧键断裂，新键生成的过程，两者吸收和释放能量的差异表现为反应中的能量变化。

2．焓变与键能的关系化学键的断裂和形成是化学反应中能量变化的主要原因若E1>E2，则化学反应吸收能量，ΔH>0；若E1<E2，则化学反应放出能量，ΔH<0。

集合的含义与表示【学习目标】一、知识与技能：（1）初步理解集合的含义，知道常用的数集及其记法。

（2）初步了解“属于”关系的意义。

（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义。

二、过程与方法：（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合。

（2）观察关于集合的几组实例，并举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。

（3）学会借助实例分析，探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性和无序性）。

三、情感、态度与价值观：（1）在学习运用集合语言过程中，增强认识事件的能力，初步培养实事求是，扎实严谨的科学态度。

（2）探索利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想。

【学习重难点】1．学习重点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容。

2．学习难点：区别元素与集合等概念及其符号表示。

【学习过程】一、集合的概念一般地，把一些__________不同的对象看成一个整体，就说这个__________是由这些对象的全体构成的集合。

1．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：（1）集合是一个“整体”（2）构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。

“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。

一般地，判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。

“不同”是指构成集合的各个对象互不相同，即相同的对象归入一个集合时，该对象只能出现一次。

例1：下列各组对象中，哪些能组成集合？哪些不能组成集合？ （1）参加2010年全国高考的山东考生。

（2）所有数学难题。

（3）数组2，2，4，6．（4）参加2010年广州亚运会的运动员。

（5）全国所有大湖。

2．元素的概念构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。

1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.[知识链接]1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1.元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.(3)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号要点一集合的基本概念例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是________.(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.答案(1)(4)解析要点二 元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *.A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确.N *表示正整数集，∴③和④不正确.规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M答案 B解析 本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2∈M . 要点三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准. 跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为________. 答案 1解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意. 当a 2－1＝0时，a ＝±1. a ＝－1(舍)，∴a ＝1.此时，A ＝{2,0}，符合题意.1.下列能构成集合的是( ) A.中央电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.上海市所有的中学生 D.香港的高楼 答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合. 2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A.0∈A B.a ∉A C.a ∈A D.a ＝A答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因为0是否属于A 不确定，故选C.3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉).答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.4.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 5.已知1∈{a 2，a }，则a ＝________. 答案 －1解析 当a 2＝1时，a ＝±1，但a ＝1时，a 2＝a ，由元素的互异性知a ＝－1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.。

集合及其表示方法【课前案】【学习目标】1、准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系.2、在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集；3、能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题；4、熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系【新知探究】知识点一集合的含义把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个_______（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的_______．集合通常用大写的拉丁字母_______表示，元素常用小写的拉丁字母_______表示．知识点二元素与集合（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______．（3）集合中元素的三大特性：________、_______、________知识点三集合的表示方法与分类（1）常用数集及其记法:名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法（2）集合的表示方法:_______、_______、_______.（3）一般地，我们把不含任何元素的集合称为_______，记作_______；（4）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为_______；含有无限个元素的集合称为_______．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是_______．（5）给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合_______，记作_______．【自我检测】1.下面几组对象可以构成集合的是（）A.视力较差的同学B.2019年的中国商人C.接近2的实数的全体D.大于-2小于2的所有非负奇数2.下列关系中，正确的是（）∈Z C.π∉Q D.0∉NA.0∈N+B.32集合及其表示方法【课中案】一、导：复习集合的概念 二、思：复习相关知识点 三、议：探究一、判断元素能否构成集合【例1】 （多选题）下列各组对象能组成集合的是( ). A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数 y=x 图象上所有的点【变式1-1】下列所给对象不能组成集合的是 ．（1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子；（4）某学校身高超过1.80米的学生．探究二、判断元素与集合的关系【例2】用符号“∈”或“∉”填空．（1）3- N ； （2）3.14 Q ； （3）13 Z ； （4）12- R ；（5）1 Z ； （6）0 N ． 【变式2-1】.用符号“∈”或“∉”填空：(1)2____N; (2)√33____Q; （3）13____Z ； (4) 3.14 ____R; （5）-3____ N; （6）√9____ Q.探究三、根据元素与集合的关系求参数【例3】已知集合{},||,2A a a a =-，若2A ∈，则实数a 的值为（ ）A ．2±或4B ．2C ．-2D ．4【变式3-1】已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3【变式3-2】设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若1A ∈且1B ∈，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}【变式3-3】设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（ ）A ．25m <<B ．25m ≤<C ．25<≤mD ．25m ≤≤探究四、利用元素的互异性求参数【例4】已知集合{}21,3,1A m m m -=-，若1A -∈，求实数m 的值．【变式4-1】已知集合{}22,3,42A a a =++，}2{0,7,42,2B a a a =+--，且7A ∈，求集合B ．【变式4-2】若{}232,25,12x x x -∈-+，则x = .探究五、用列举法与描述法描述集合【例5】方程22310x x --=的解集为 ． 【例6】用适当的方法表示下列集合：(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A ； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合B ； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合C ； (4)不等式30x a -+≤的解集组成的集合．四、展：提问 质疑 展示 五、评: 老师点评六、检：自主构建本节课的思维导图。

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第 1 页 共 1 页 第 一 章 空间几何体1 学习方法指导：本节课同学们可以通过自学来了解空间几何体。

课后作业：
学生作业后的反思与体会：
学习目标： 1、了解长方体，会画长方体的简图； 2、立体几何中线、面的画法以及字母表示方法； 3、通过长方体了解线面平行，线面垂直，
面面平行，面面垂直，点到面距离。

学习的重点与关键：
1、画长方体；
2、通过长方体了解线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，点到面距离。

课前预习要求及内容：
1、画出一个长方体，注意线条的虚实。

指出长方体的面，棱，顶点。

2、立体几何中，点、直线和平面的关系及字母表示方法？
3、在你自己画的长方体中指出线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，点到面距离的例子。

第一节化学反应与能量的变化第1课时焓变反应热学习目标1．了解化学反应中能量转化的原因和常见的能量转化形式。

2．了解反应热和焓变的含义。

3．知道反应热与反应物、生成物总能量的关系。

(重点)4．了解热化学方程式的含义并能正确书写热化学方程式。

(重点)知识点一焓变反应热知识整理1反应热与焓变1．反应热化学反应过程中所或的能量都可以用热量来表述，叫做反应热。

2．焓变(1)定义：与的焓值差即为焓变。

(2)符号：。

(3)单位：或。

3．反应热与焓变的关系条件下，反应的热效应等于焓变。

知识整理2化学反应中的能量变化1．H2(g)＋Cl2(g)===2HCl(g)反应的能量变化示意图化学键反应中能量变化1 mol A—B化学键反应中能量变化H—H 吸收kJ共吸收kJ Cl—Cl 吸收kJH—Cl 放出kJ 共放出kJ结论H2(g)＋Cl2(g)===2HCl(g)的反应热ΔH＝kJ/mol2.放热反应与吸热反应用E(反应物)、E(生成物)分别代表反应物、生成物的总能量；Q(吸)、Q(放)分别代表反应物断键吸收的热量、生成物成键放出的热量。

放热反应吸热反应定义热量的化学反应热量的化学反应比较E(反应物)>E(生成物) E(反应物)<E(生成物)宏观角度图示微观角度Q(吸)<Q(放) Q(吸)>Q(放)表示方法ΔH<0 ΔH>0[课堂互动探究][思考探究]已知有下列变化过程：①浓硫酸溶于水；②盐酸和氢氧化钠溶液的反应；③甲烷在空气中燃烧；④氢气和氯气反应，焓变小于0；⑤二氧化碳气体与碳共热生成一氧化碳，该反应ΔH>0；⑥加热石灰石生成生石灰；⑦液态水变成水蒸气；⑧铝与盐酸反应产生氢气；⑨常温下，Ba(OH)2·8H2O晶体研细后与NH4Cl晶体反应。

问题思考：(1)以上变化中，需要吸收热量的是哪几个？是不是都需要加热？(2)上述变化中，属于化学反应并且能够放出热量的有哪些？(3)反应④在光照和点燃条件下均可以发生上述反应，那么该反应的ΔH是否发生变化？[归纳总结]1．常见的放热反应、吸热反应放热反应吸热反应①大多数化合反应②所有燃烧反应③酸碱中和反应④金属与水或酸的置换反应①大多数分解反应②盐的水解③Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl的反应④C和CO2或H2O(g)的反应2．两个角度理解焓变(ΔH)(1)能量角度放热反应：H(反应物)大于H(生成物)，ΔH＝H(生成物)－H(反应物)<0；吸热反应：H(反应物)小于H(生成物)，ΔH＝H(生成物)－H(反应物)>0。

1.1.1第1课时集合的概念基础初探1.元素与集合的概念(1)集合：(2)元素：(3)集合的元素具有的三个特点：思考：根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？2．元素与集合的关系思考：元素与集合之间有哪些关系？3．空集思考：对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？4．两个集合相等5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有 元素的集合无限集：含有 元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号思考：N 与N ＋(或N *)有何区别？基础小测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (2)好听的歌能组成一个集合．( )(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．( )(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．( ) 2．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．(教材练习改编)已知集合M 中有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练}1．下列对象能构成集合的是( )①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A ．①②④ B ．②⑤ C ．③④⑤ D ．②③④2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________． 解题策略1．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a∉A D ．a ＋1∉A2．集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．解题策略判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 跟踪训练1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 解题策略根据集合中元素的特点求值的三个步骤跟踪训练1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－22．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件． (2)若－2∈M ，求实数x 的值．【补偿训练】集合P 由1，m ，m 2－3m －1三个元素组成，若3∈P 且－1∉P ，则实数m ＝________． 备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由； 跟踪训练设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．当堂检测1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( ) A ．充分接近π的实数的全体 B ．善良的人 C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．73．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，ba ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－24．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号).参考答案基础初探1.(1) 对象(2) 每个对象(3) 确定的不同的任意排列思考：提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．a∈A思考：提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．任何元素∅思考：提示：由空集的定义可知，a∉∅.4．完全相同5.（1）有限个无限个6．N N*或N＋思考：提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.基础小测1．(1) ×提示：集合中的元素是互不相同的．(2) ×提示：好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3) √提示：高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4) ×提示：因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．D【解析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．3【解析】由题意可知a ＋1＝4，即a ＝3.题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练} 1．D【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 2．±2【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 【补偿训练】C【解析】根据集合元素互异性： 假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件； 假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14 .类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理) 【典例】1.A【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5， 所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5， 所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5， 所以a 2∉A ，1a ＝12＋3 ＝3－2（2＋3）（3－2） ＝3 －2 <5， 所以1a ∈A .2．0，1，2【解析】由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x >0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63－0 ＝2∈N ，当x ＝1时，63－1 ＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2. 跟踪训练 1．B【解析】12是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确． 2．解：因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】C【解析】k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103 ∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误． 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确． 类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：由题意可知，a ＝1或a 2＝a ， ①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0. 跟踪训练 1．D【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3. (2)因为－2∈M ，所以x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 若x 2－2x ＝－2， 则x 2－2x ＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0. 方程无解． 所以x ＝－2. 【补偿训练】4【解析】由题意，分两种情况：(1)若m ＝3，则m 2－3m －1＝－1，不满足题意． (2)若m 2－3m －1＝3，则m ＝4或m ＝－1， m ＝－1不满足题意，应舍去． 故m ＝4.备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a ∈A ， 又11－11－a＝1－a 1－a＝1－a －a＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素， 因为a ∈A ， 则11－a∈A ， 所以a ＝11－a，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数． 跟踪训练解：(1)由题意，由2∈A 可得11－2 ＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－()－1 ＝12 ∈A .所以集合A 中有元素－1，12.(2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)， 则11－x∈A ，x －1x ∈A ，且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ，故集合A 中至少有3个元素．当堂检测1．D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．A【解析】由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．A【解析】因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数， 所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．②④【解析】因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．。

高一数学高效课堂资料学案一：1.1.1集合的概念【课标要求】1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。

【学习目标】1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系；2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号。

【学习过程】[课前预习]阅读教材第3-4页回答下列问题1.集合：把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的________构成的集合(或集)．集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．2元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素(或成员)．元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．3.元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A的元素a____A a属于集合 A不属于a不是集合A的元素a____A a不属于集合 A4.集合元素的三个特性元素意义元素与集合的关系是________的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居确定性其一互异性集合中的元素__________，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素是没有顺序的5.集合的分类及常用数集（1）集合的分类集合空集：不含任何元素，记作.非空集合：含有有限个元素；：含有无限个无素.（2）常用数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[课堂探究]探究一、集合的概念思考下列问题：1.请我们班的全体女生起立！问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”2.下面请班上身高在 1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？3.其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?结合这些例子，能否得出集合的概念？集合：一般地，把一些能够_____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的_____________（或__________）。

第二课时集合的表示学习目标1．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．‖自主导学‖知识点|集合的表示方法阅读教材P3倒数第11行～P5的内容，完成下列问题．1．列举法1一一列举出来，并用花括号“2{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法(1)3共同特征表示集合的方法称为描述法．(2)写法：4一般符号及5取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的6共同特征．[思考辨析]|判断正误|1．一个集合可以表示为{s，k，t，k}．(×)2．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(×)3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(√)4．集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．(√)5．集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．(×)‖小试身手‖1．若P＝{(1,1)，(1,2)}，则集合P中元素的个数是()A．1B．2C．3 D．4答案：B2．用列举法表示x2－2x＋1＝0的根组成的集合为()A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1}C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}答案：C 3．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1}C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0} 答案：B4．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 答案：B5．当{a,0，－1}与{4，b,0}表示同一个集合时，a ＝________，b ＝________. 答案：4 －1题型一 用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合．(1)方程x (x 2－4)＝0的所有实数根组成的集合；(2)不等式5x －3<3x ＋8的解集中的正整数组成的集合；(3)函数y ＝x 与y ＝2x －1的图象的交点组成的集合；(4)关于x 的方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的解集．[解] (1)由x (x 2－4)＝0，即x (x －2)(x ＋2)＝0，得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，∴方程x (x 2－4)＝0的所有实数根组成的集合为{－2，0,2}．(2)由5x －3<3x ＋8，得x <112，又x ∈N *，∴x 的值为1,2,3,4,5.∴所求的集合为{1,2,3,4,5}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴由y ＝x 与y ＝2x －1的图象的交点组成的集合为{(1,1)}．(4)由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0，得x ＝1或x ＝a .若a ＝1，则解集为{1}；若a ≠1，则解集为{1，a }.| 方 法 总 结 |列举法表示集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；(2)元素个数多且有限时，可以判断部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N ”可以表示为{0,1,2,3，…}．[提醒] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．(2)用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏.1．用列举法表示下列集合．(1)由绝对值小于5的整数组成的集合；(2)方程|x ＋1|＋y －3＝0的解集．解：(1)绝对值小于5的整数有－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，故其集合为{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}．(2)由|x ＋1|＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3. ∴方程|x ＋1|＋y －3＝0的解集为{(－1,3)}．题型二 用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．[解] (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ －1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}.| 方 法 总 结 |使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性；(3)不能出现未被说明的字母；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.2．试分别用描述法和列举法表示下列集合．(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x ∈R |x (x 2－2x －3)＝0}，用列举法表示为{0，－1,3}．(2)用描述法表示为{x ∈Z |2<x <7}，用列举法表示为{3,4,5,6}．题型三 集合表示法的简单应用角度一：运用适当的方法表示集合【例3】 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，3x ＋2y ＝5的解集；(2)100以内被3除余1的正整数；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合；(4)所有的正方形．[解] (1)方程组的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，故可写成{(1,1)}或{(x ，y )|x ＋y ＝2且3x ＋2y ＝5}．(2)可以写成{x |x ＝3n ＋1，n ∈N 且1≤x ≤100}或{100以内被3除余1的正整数}．(3)可以写成{(x ，y )|x ±y ＝0}．(4)可以写成{正方形}．角度二：新定义的集合问题【例4】 若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x ∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] (1)集合B 不是“好集”．假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”．因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .[答案] C角度三：方程思想在集合中的应用【例5】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－12，符合题意；当a≠0时，由Δ＝0，得a＝1，此时x＝－1.所以若A中只有一个元素，则a的值为0或1.(2)解法一：当a≠0时，A中至多含有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实根或没有实根，故Δ＝4－4a≤0，得a≥1.当a＝0时，由(1)知方程有唯一解．所以若A中至多有一个元素，则a≥1或a＝0.即a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．解法二：若A中只有一个元素，同(1)a＝0或a＝1；若A中没有元素，即方程ax2＋2x＋1＝0没有实根，故a≠0，且Δ＝4－4a<0，所以a>1.所以若A中至多有一个元素，则a≥1或a＝0.故实数a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}.|方法总结|解决集合表示方法问题，要明确两点(1)明确集合中的元素形式，区分数集与点集；(2)明确元素所满足的条件.3．集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为()A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}D．{x|x＝(－1)n＋1(2n＋1)，n∈N}解析：选C观察分析集合A知，其元素的绝对值为正奇数，可表示为2n ＋1，n∈N.又正负相间隔，且第一个为正数1，故可表示为(－1)n(2n＋1)，n∈N，故选C.4．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N . (1)试判断元素1,2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N . 所以1∈B,2∉B .(2)因为62＋x∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2,3,6.所以x 只能取0,1,4.所以B ＝{0,1,4}．1．关注三个注意点——列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．(2)a 与{a }是完全不同的，{a }表示一个集合，这个集合由一个元素a 构成，a 是集合{a }的元素．(3)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取列举法表示较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N *＝{1,2,3，…}．2．遵循两个步骤——认识描述法的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集．(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．3．辨明四个集合(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的自变量x 的取值范围，且x 的取值范围是R ，因此A ＝R .(2)B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的函数值y 的取值范围，而y 的取值范围是y ＝x 2＋1≥1，因此，B ＝{y |y ≥1}．(3)C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}表示满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )组成的集合，因此C表示函数y ＝x 2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P ＝{y ＝x 2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y ＝x 2＋1.「自测检评」1．集合{x ∈N *|x －2<3}的另一种表示形式是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选B {x ∈N *|x －2<3}＝{x ∈N *|x <5}＝{1,2,3,4}．2．下列集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}解析：选B 选项A 中的集合M 是由点(3,2)组成的点集，集合N 是由点(2,3)组成的点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 是由一次函数y ＝1－x 图象上的所有点组成的集合，集合N 是由一次函数y ＝1－x 图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 是数集，而集合N 是点集，故集合M 与N 不是同一个集合．对于选项B ，由集合中元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．3．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ x ＝1y ＝2C ．{1,2}D ．{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}解析：选C 原方程组的解为x ＝1，y ＝2，其解集中只含有一个元素，可表示为A ，B ，D 项，C 不符合，故选C.4．设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若A 与B 的元素相同，则a ＋b ＝________. 解析：因为A 与B 的元素相同，所以⎩⎨⎧a ＝2，ab ＝4，即a ＝2，b ＝2.故a＋b＝4.答案：45．用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．解：(1)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.故可用列举法表示为{3,5,7,11}．(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．(3)集合中的元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}．(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．。