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《抽样技术》练习题5及答案习题⼀1.请列举⼀些你所了解的以及被接受的抽样调查。
2.抽样调查基础理论及其意义；3.抽样调查的特点。
4.样本可能数⽬及其意义；5.影响抽样误差的因素；6.某个总体抽取⼀个n=50的独⽴同分布样本，样本数据如下：567 601 665 732 366 937 462 619 279 287690 520 502 312 452 562 557 574 350 875834 203 593 980 172 287 753 259 276 876692 371 887 641 399 442 927 442 918 11178 416 405 210 58 797 746 153 644 4761）计算样本均值y与样本⽅差s2;2）若⽤y估计总体均值，按数理统计结果，ｙ是否⽆偏，并写出它的⽅差表达式；3）根据上述样本数据，如何估计v(y)？4）假定y的分布是近似正态的，试分别给出总体均值µ的置信度为80％，90％，95％，99％的（近似）置信区间。
习题⼆⼀判断题1 普查是对总体的所有单元进⾏调查，⽽抽样调查仅对总体的部分单元进⾏调查。
2 概率抽样就是随机抽样，即要求按⼀定的概率以随机原则抽取样本，同时每个单元被抽中的概率是可以计算出来的。
3 抽样单元与总体单元是⼀致的。
4 偏倚是由于系统性因素产⽣的。
5 在没有偏倚的情况下，⽤样本统计量对⽬标量进⾏估计，要求估计量的⽅差越⼩越好。
6 偏倚与抽样误差⼀样都是由于抽样的随机性产⽣的。
7 偏倚与抽样误差⼀样都随样本量的增⼤⽽减⼩。
8 抽样单元是构成抽样框的基本要素，抽样单元只包含⼀个个体。
9 抽样单元可以分级，但在抽样调查中却没有与之相对应的不同级的抽样框。
10 总体⽬标量与样本统计量有不同的意义，但样本统计量它是样本的函数，是随机变量。
11 ⼀个抽样设计⽅案⽐另⼀个抽样设计⽅案好，是因为它的估计量⽅差⼩。
12 抽样误差在概率抽样中可以对其进⾏计量并加以控制，随着样本量的增⼤抽样误差会越来越⼩，随着n越来越接近N，抽样误差⼏乎可以消除。
概率初步主题单元教学设计
确定事件
事件
（二）学生探究教师引领
探究1：
5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。
签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。
小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。
请考虑以下问题：
（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？
（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？
（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？
（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？
探究2：
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。
请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一
数
率
解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会。
转盘一共等分成20个扇形，其中1份是红色、2份是黄色、4份是绿色，因此，对于该顾客来说，
P（获得购物券）=_______________；
P（获得100元购物券）=_______________；
P（获得50元购物券）=_______________；
P（获得20元购物券）=_______________。
拓展：
如图所示转盘被分成16个相等的扇形。
请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针
落在红色区域的概率为。
例2.如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转。
概率算法概率算法的一个基本特征是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。
这两次求解问题所需的时间甚至所得到的结果可能会有相当大的差别。
一般情况下，可将概率算法大致分为四类:数值概率算法，蒙特卡罗算法，拉斯维加斯算法和舍伍德算法。
一、数值概率算法常用于数值问题的求解。
这类算法所得到的往往是近似解。
而且近似解的精度随计算时间的增加不断提高。
在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能或没有必要的，因此用数值概率算法可得到相当满意的解。
1、用随机投点法计算π值设有一半径为r 的圆及其外切四边形。
向该正方形随机地投掷n 个点。
设落入圆内的点数为k 。
由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为4422ππ=r r 。
所以当n 足够大n k 4≈π（n k≈4π）2、计算定积分设f(x)是[0，1]上的连续函数，且0≤f(x) ≤ 1。
需要计算的积分为⎰=1)(dx x f I , 积分I 等于图中的面积G在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的概率为⎰⎰⎰==≤10)(01)()}({x f r dx x f dydx x f y P 假设向单位正方形内随机地投入 n 个点(xi,yi)。
如果有m 个点落入G 内，则随机点落入G 内的概率nm ≈I 3、解非线性方程组求解下面的非线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f 其中，x 1, x 2, …, x n 是实变量，fi 是未知量x1,x2,…,xn 的非线性实函数。
要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解x 1*, x 2*, …, x n * 。
在指定求根区域D 内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。
在算法的搜索过程中，假设第j 步随机搜索得到的随机搜索点为xj 。
在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量∆xj 。
苏教版数学四年级上册第六单元《可能性》单元说课稿一. 教材分析苏教版数学四年级上册第六单元《可能性》是小学数学课程中概率知识的初步介绍。
该单元的主要内容是让学生理解不确定事件的概念，学会用概率的方法来描述和比较不同事件发生的机会大小。
通过本单元的学习，学生能够理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念，掌握基本的概率计算方法，并能运用概率知识解决一些简单的实际问题。
二. 学情分析学生在学习本单元之前，已经学习了统计和概率的初步知识，对事件的概念有一定的了解。
但是，对于概率的计算和应用可能还比较陌生。
此外，学生的思维方式可能还停留在简单的逻辑思维阶段，对于概率的抽象概念和计算方法需要通过具体的实例和活动来理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念，学会用概率的方法来描述和比较不同事件发生的机会大小。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验和计算等方法，培养观察和思考的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对概率知识产生兴趣，培养对数学的好奇心和探索精神。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念，学会用概率的方法来描述和比较不同事件发生的机会大小。
2.难点：学生能够运用概率知识解决一些简单的实际问题，理解概率的抽象概念和计算方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与和思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、卡片游戏等辅助教学，通过直观的展示和互动的活动，帮助学生理解和掌握概率知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的概率问题，引发学生对概率的好奇心，激发学习兴趣。
2.教学活动一：必然事件和不可能事件a.引导学生观察和思考日常生活中的一些必然事件和不可能事件。
b.通过实例和讲解，让学生理解必然事件和不可能事件的定义。
张喜林制单元知识整合二、本章知识整合本章学习的重点是概率的统计定义，以及古典概型和几何概型的特征以及简单的概率计算方法．1．随机事件、基本事件和基本空间．在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫随机事件，必然事件和不可能事件也看成随机事件． 一次试验可能出现的每一个不同的结果称为基本事件，也叫试验结果．基本事件不能或不必分解为更小的事件，不同的基本事件不可能同时发生.每一个随机事件都由若干个基本事件构成，基本空间是试验的所有基本事件的集合，或者说基本空间力是试验结果的全体，因此力是一个必然事件．基本事件ω可看成总体Ω的元素，记为.Ω∈ω事件A 发生，是指A 所包含的基本事件有一个发生，记为.A ∈ω2．概率．(1)概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率在[0，1]中取值．(2)如果随机试验的基本事件个数有限（或试验结果个数有限），并且是等可能的，则称这种随机试验为古典概型.设Ω有n 个基本事件，随机事件A 包含m 个基本事件，则事件A 的概率nm A P =)( 对任何事件A ，有 .1)(0≤≤A P对必然事件,1)(,=ΩΩP 对不可能事件.0)(,=∅∅P(3)概率的统计定义适合更广泛的概率模型，通过多次重复试验，可以用频率得到概率的近似值；频率与概率既有区别又有联系，因为频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，做两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次的试验无关．(4)几何概型适合试验结果有无限多个的情形，且每个基本事件出现的可能性相等，它可以用长度、面积、体积、角度等几何量度量基本空间和事件的随机试验．3．不可能同时发生的两个事件，叫互斥事件．如果A 与B 互斥，则有⋅+=-∅=)()()(,B P A P B A P H B A （加法公式）4．对立事件.1)()(=+A P A P)()()()(.5B A P B P A P B A P -+=（选学）． 16．随机数由于计算机具有高速度和大容量的特点，因此，我们可以用计算机来模拟那些庞大而复杂的试验，这种模拟称为数字模拟或随机模拟，注意用模拟的方法得到的计算结果是近似的．三、方法规律总结1．本章与其他章节知识联系较少，在学习过程中，要重视教材的基础作用、重视过程的学习、重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力．2．随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例分析何为必然事件、不可能事件和随机事件，再充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自己所学的概率知识应用到实际生活中去．3．应用互斥事件的概率的加法公式，一定要注意首先确定诸事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式)(1)(A P A P -=求解．4．对于古典概型试验概率的计算，关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的结果数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式nm A P =)(求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．5．对于几何概型试验概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后带入公式即可求解．6．若事件A 与B 互斥，且A 与B 中必有一个发生，则事件A 与B 叫做对立事件；互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件．7．事件A 的概率的计算，关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的结果数m ．因此，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是否是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好了这三个方面的问题，解题才不会 出错．8．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1)无限性．在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性．每个结果的发生具有等可能性．9．几何概型的试验中，事件A 的概率P(A)只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，四、重要专题选讲专题一互斥事件与对立事件概念的理解与求法互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系，在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生． 所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件n A A A A ,,,321彼此互斥，则=)(21n A A A P ).()()(21nA P A P A P +++ 应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．[例1] 给出以下四个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A:“两次都出现正面”，事件B:“两次都出现反面”，则事件A 与B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与B 是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A:“所取3件中最多有2件是次品”，事件B:“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A 与B 是互斥事件；(4)两事件对立必然这两个事件互斥，反之不成立．试判断以上命题的真假．[解析] 互斥事件是“在一次试验中不可能同时发生的两个事件”，对立事件是“在一次试验中，事件A 与事件B 有且只有一个发生，非A 即B ，则A 与B 是对立事件”，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．互斥事件是指两事件不可能同时发生，即AClB 是不可能事件，而对立事件除满足互斥事件的条件外，还须满足AUB 是必然事件，理解了这些就能正确判断各命题的真假，进而可作出正确的选择，因为他掷两次硬币，除事件A 、B 外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两种事件，所以事件A 和B 不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件．又因为在命题(3)中，若所取的3件产品恰有2件次品，则事件A 和B 同时发生，所以事件A 和B 不是互斥事件.由对立事件的定义知：若两个事件是对立事件，则它们首先是互斥事件，但互斥事件不一定必有一个发生，而另一个不发生，即互斥事件不一定是对立事件，所以命题(4)为真？[答案] 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题，命题(4)是真命题．[点拨] 关于“互斥事件”和“对立事件”，往往因理解不深而发生判断失误，这是在计算概率时发生错误的重要原因，应引起重视，对…！至少”“至多”等概念的理解也很重要．本题主要考查对互斥事件和对立事件两个基本概念的理解，至此，我们应清楚地认识到：若事件A 与B 互斥，则A 与B 不可能同时发生，但可以同时不发生，也可以一个发生、一个不发生；若事件A 与日是对立事件，则A 与B 必定是一个发生，而另一个不发生．[例2] 甲、乙二人各进行一次射击，如果二人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)二人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率；(3)至少有1人击中目标的概率．[解析] 甲、乙二人射击具有独立性；复杂的事件须分解成互斥事件．[答案] 记A=“甲射击1次，击中目标”，B=“乙射击1次，击中目标”．(1) ∵ “二人都击中目标”=B A ，且A 与B 相互独立，.36.06.06.0)()()(=⨯=⋅=∴B P A P B A P答：二人都击中目标的概率为0.36．(2)可知，“二人各射击1次，恰有1人击中目标” =),()(B A B A且事件B A B A 与互斥，A 与A B 与B 都相互独立．)()()]()[(B A P B A P B A B A P +=∴-+<-=⋅+⋅=1[)]1)[()()()()(B P A P B P A P B P A P =⋅)()](B P A P .48.06.04.04.06.0=⨯+⨯(3)解法一：“二人各射击1次，至少有1人击中目标”= )[()(B A B A)],(B A∴ 其概率.84.048.036.0=+= P解法二：二人都来击中目标的概率是 .16.0)6.01()6.01()()()(=-⨯-=⋅=B P A P B A P因此，至少有一人击中目标的概率是.84.016.01)(1=-=-=B A P P答：至少有1人击中目标的概率是0.84.专题二 概率计算的模型概率的题目是每年高考的必考题目，所以同学们应当牢固掌握各种概率的计算方法．这里我们推荐一种掌握概率运算的方法，叫做概率模型法．我们所遇到的概率问题，实际上在我们平时的生活中都可以找到它们的原型，所以对于某一类问题只要掌握一道典型例题的解决方法，那么这一类问题便可以迎刃而解．下面我们来讨论几种模型．1．随机事件发生的基本事件数的计算．[例3] 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，则每人从中拿一张别人送出的贺年卡的分配方法有____种．[解析] 将4张贺年卡编号为1，2，3，4，将4个人编号为1，2，3，4，进行不对号分配，画出树状图（如图3 -1），则共有9种分配方法．[答案] 9[点拨] 这是一个不对号入座问题，在画树状图时，要紧紧扣住“不对号入座”这一要求．可以发现3个人不对号入座的方法有2种；4个人不对号入座的方法有9种，5个人不对号入座的方法有52种，6个人呢？试试用树状图来表示．2．不放回或放回模型．[例4] 口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同．100个人依次从中摸出一个球，求第81个人摸到白球的概率．[答案] 只考虑第81个人摸球的情况．他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为⋅1001 [点拨] 若在题目条件中加上“每个人摸球后放回”，则第81个人摸到白球的概率是多少？是否还是,1001两者有区别吗？ 仍然是,1001虽然概率相同，但是两者是有区别的：前一种情况下，前一个人摸球后，后一个人摸得的球已经不同；而后一种情况下，前一个人摸球后，后一个人摸得的球仍可以是前一个人摸得的球．[例5] 从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的三件产品中每次任取一件，连续取两次，求下列条件下取出的两件产品中恰有一件次品的概率：(1)每次取出不放回；(2)每次取出后放回．[解析] 问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验，不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变，通过列出所有基本事件解答比较直观易懂．[答案] (1)方法1：每次取出后不放回的所有可能结果为（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），(b ，c)，(c ，b)，(c ，b)，其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共6个基本事件．其中有一件次品的可能结果为(a ，c)：(b ，c)，（c ，a ），(c ，b)，共4个基本事件，因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为⋅=3264 方法2：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果为(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共3个基本事件；而恰有一件次品的可能结果为(a ，c)，(b ，c)，共2个基本事件．因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为⋅32 (2)这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果为),,(),,(),,(),,(),,(b b a b c a b a b a ),,(),,(),,(),,(c c b c a c c b 共9个基本事件，其中恰有一件次品的可能结果为),,(),,(),,(),,(b c a c c b c a 共4个基本事件． 因此，每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为⋅94 [点拨] 放回与不放回是两种区别非常明显的概率模型；求解过程中应用通法首先建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答．3．几何概型．[例6] 有一个边长是cm 34的等边三角形，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此三角形内，求硬币落下后与等边三角形的边没有公共点的概率．[解析] 硬币落下后与等边三角形的边没有公共点，应满足硬币的中心到各边的距离都大于1，在等边三角形内作三条到等边三角形三边距离都为1的线段，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与原等边三角形的边没有公共点，所以硬币与等边三角形的边没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．[答案] 记A={硬币落下后与等边三角形的边没有公共点}，如图3-2所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为1，由平面几何知识可以求得小等边三角形的边长为.323234=-由几何概型的概率计算公式，得⋅==41)34(43)32(43)(22A P [点拨] 与古典概型一样，几何概型是概率中最具有代表性的试验概率之一，它占有较为重要的地位．我们尤其要理解并掌握几何概型的两个重要特征：每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．新典考题分析[例1]（2009年安徽高考题）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是[解析] 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5．故 .75.043334===C P [答案]0.75[例2] （2009年江西高考题）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为( )．61.A 41.B 31.C 21.D [解析] 所有可能的比赛分组情况共有12!242224=⨯C C 种，甲、乙相遇的分组情况恰好有6种，故选D ．[答案]D[例3] （2009年福建高考题）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．[答案] (1) -共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），事件A 包含的基本事件数为3．由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为⋅=83)(A P [例4] （2009年全国高考题）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．[解析] 本题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题．[答案] 记“第i 局甲获胜”为事件),5,4,3(=i A i “第j 局乙获胜”为事件⋅=)5,4,3(j B j(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则,4343B B A A A ⋅+⋅=由于各局比赛结果相互独立，故=⋅+⋅=⋅+⋅=)()()()(43434343B B P A A P B B A A P A P +)()(43A P A P )(3B P =)(4B P.52.04.04.06.06.0=⨯+⨯(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜l 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而,54354343A B A A A B A A B ⋅⋅+⋅⋅+⋅=由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343A B A A A B A A P B P ⋅⋅+⋅⋅+⋅=)()()(54354343A B A P A A B P A A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅=)()()()()()()()(54354343A P B P A P A P A P B P A P A P ++=.648.06.04.06.06.06.04.06.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯=[例5] （2009年山东高考题）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．(1)求z 的值．(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．[答案] (1)设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得，=n 50,30010010+所以 -----==4501503001002000.2000z n .400600=(2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以,51000400m =解得2=m ．也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作,,,;,32121B B B s s 则从中任取2辆的所有基本事件为),,(),,(),,(312111B S B S B S ),,(),,(),,(322212B S B S B S ,)S ,(21S ),(),,(),,(313221B B B B B B 共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：,(),,(),,(12111S B S B S ),,(),123B S B ),,(),,(),,(213222S S B S B S 所以从中任取2辆，至少有l 辆舒适型轿车的概率为.107⋅ (3)样本的平均数为+++++=7.86.92.96.84.9(81x ,9)2.80.93.9=++ 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.75.086= [例6] （2010年深圳模拟题）一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为________．[解析] 蚂蚁活动的区域为三角形内部，面积为6.而蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的图形的面积是三角形的面积减去三个扇形的面积，即：以三角形的三个顶点为圆心，以1为半径画弧与三角形的三边围成的三个小扇形，由于三角形为直角三角形，所以这三个扇形可拼成一个半圆，面积为,2π所以 蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的图形的面积为-6,2π所以某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为⋅-=-121626ππ [答案] 121π-。
单元测试(六) 概率初步一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1.下列事件中，是必然事件的为( ) A.3天内会下雨B.打开电视，正在播放广告C.367人中至少有2人公历生日相同D.某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩2.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A.可能有5次正面朝上 B.必有5次正面朝上 C.掷2次必有1次正面朝上 D.不可能10次正面朝上3.袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( ) A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上4.对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是( ) A.某市明天将有75%的时间下雨 B.某市明天将有75%的地区下雨 C.某市明天一定下雨D.某市明天下雨的可能性较大5.有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分別是4，5，6，7，8.若将这5张牌背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为偶数的概率是( )A.15B.25C.35D.456.在如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是( )A.1π B 12C.πD.507.一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么第一位抽奖者(仅买一张奖券)中奖的机会是( )A.150B.225C.15D3108.如图，有四个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成若干等份，转动转盘，当转盘停止后，指针指向白色区域的概率相同的是( )A.转盘1与转盘4B.转盘2与转盘4C.转盘3与转盘4D.转盘2与转盘39.一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是( )A.59B.13C.19D.3810.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是( )A.①B.②C.①②D.①③二、填空题(每小题3分，共15分)11.如图是可以自由转动的一个转盘，转动这个转盘，当它停下时，指针落在标有号码5上的扇形区域的可能性最大.12.把标有号码1，2，3，…，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是______.13.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是______.14.小兰设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为13，如果她将转盘等分成12份，那么红色区域应占的份数是______.15.如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是______.三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？(1)打开电视机，正在播动画片；(2)任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6；(3)在一个平面内，三角形三个内角的和是190度；(4)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.17.(9分)一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同.将球搅匀后，从中任意摸出一球.(1)会有哪些等可能的结果；(2)你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？18.(9分)一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷试验，试验数据如表：(1)请直接写出a，b的值；(2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；(3)如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？19.(9分)米奇家住宅面积为90平方米，其中客厅30平方米，大卧室18平方米，小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米.如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑.求：(1)P(在客厅捉到小猫)；(2)P(在小卧室捉到小猫)；(3)P(在卫生间捉到小猫)；(4)P(不在卧室捉到小猫).20.(9分)一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后：(1)“2”朝上的概率；(2)朝上概率最大的数；(3)如果规定出现朝上的数为1或2时，甲胜；出现朝上的数为3时乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些？21.(10分)一个不透明的袋子装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个.(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下面表格：(2)当(1)中的m=2时，请直接写出事件A发生的概率.22.(10分)(1)如图1是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？(2)请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为38，落在白色区域的概率为38，落在黄色区域的概率为14.23.(11分)超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会.摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60元，50元，40元.一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元.(1)摇奖一次，获一等奖的概率是多少？(2)老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算.参考答案1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B 10.B 11.512.31013.12 14.4 15.1416.解：(1)是随机事件；(2)是随机事件；(3)是不可能事件；(4)是必然事件.17.解：(1)一共有6种等可能的结果，其中摸到红球1种，摸到绿球2种，摸到白球3种.(2)摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小.18.解：(l)a=40×0.45=18；b=66÷120=0.55.(2)0.55.(3)2000×0.55=1100(次).19.解：(1)P(在客厅捉到小猫)=3090=13.(2)P(在小卧室捉到小猫)=1590=16.(3)P(在卫生间捉到小猫)=9+490=1390.(4)P(不在卧室捉到小猫)=90189015－－=1930.20.解：(1)P(“2”朝上)=26=13.(2)P(“1”朝上)=16，P(“3”朝上)=36=12.因为12＞13＞16，所以朝上概率最大的数是3.(3)P(“1”或“2”朝上)=36=12，因为12=12，甲、乙获胜的机会一样大.21.解：(1)3 2 (2)当m=2时，P(A)=23.22.解：(1)P(红色)=150360=512；P(白色)=210360=712.(2)图略.23.解：(1)P(获一等奖)=116.(2)60×116＋50×216|＋40×416=20(元)，因为20元＞15元，所以参与摇奖划算.。
【基础知识精讲】进一步体会不确定事件发生的可能性是有大有小的．会计算事件发生可能性的概率．【重点难点解析】1．一般的，若一次试验中所有可能结果出现的可能性一样，那么事件发生的概率为.)(所有可能出现的结果数可能出现的结果数事件E E P =)1)(0(≤≤E P2．求事件发生的概率，一种方法是列出所有可能出现的结果，用公式法计算；另一种方法是利用“树图”．3．概率问题答案可以不约分．A ．重点、难点提示1．通过摸球游戏，了解计算一类事件发生的可能性的方法； 2．进一步理解概率的意义．B ．考点指要这部分内容是新课程新增加的内容．可能性的大小比较是概率的重要内容，也是现代数学的重要内容，在现实生活中有着重要的应用，必然会受到中考的重视．【难题巧解点拨】[例1]有一个宝藏被随意埋在这个图形的某个区域内，根据图形回答问题：(1)宝藏被埋在哪个区域的可能性最大?为什么? (2)宝藏被埋在哪个区域的可能性相同?为什么?(3)若只准你选定一个区域挖掘，你选哪一个区域?为什么要这样选?在这个区域你一定能挖到宝藏吗?(4)如果区域是不规则图形，你如何挑选寻宝区域?解：(1)宝藏被埋在区域D 的可能性最大，因为区域D 的面积最大．(2)宝藏埋在区域A 和区域B 的可能性相同，因为区域A 和区域B 的面积相同．(3)若只准我选定一个区域挖掘，我会选区域D 挖掘，因为区域D 的面积最大，宝藏被埋在区域D 的可能性最大．但是，尽管宝藏被埋在区域D 的可能性最大，我们也不能说宝藏一定埋在区域D内，因为这是一个不确定事件，所以在这个区域不一定能挖到宝藏．(4)不管区域的形状是否规则，宝藏被埋在哪个区域的可能性的大小只与区域的面积的大小有关，区域的面积越大，其可能性越大，区域的面积越小，其可能性越小．因此，我会挑选面积最大的区域挖掘宝藏．[例2] 如图，这是一个可以自由转动的转盘．当这个转盘停止转动时，(1)指针落在红色区域的可能性比落在蓝色区域的可能性________________；(2)指针落在绿色区域的可能性比落在蓝色区域的可能性____________；(3)指针落在绿色区域的可能性比落在红色区域的可能性______________.解：(1)由于红色区域的面积比蓝色区域的面积小，因此指针落在红色区域的可能性比落在蓝色区域的可能性小；(2)由于绿色区域的面积比蓝色区域的面积小，因此指针落在绿色区域的可能性比落在蓝色区域的可能性小；(3)要比较指针落在绿色区域的可能性与落在红色区域的可能性的大小，就要比较绿色区域的面积和红色区域的面积的大小，这取决于两圆的半径和扇形的圆心角的大小．同学们可以自己测量一下，并计算两块区域的面积的大小，并做出正确的判断．[例3]如图，这是一个可以自由转动的转盘，转5次得到5个数，分别填在这4个空格内(顺序自定)，组成一个数字．(1)你认为有可能得到的最小数是多少?这种可能性大吗?(2)利用这个转盘，可能得到的最大的五位数是多少?可能得到的最小的五位数是多少?它们出现的可能性谁大?解：(1)你认为有可能得到的最小数是即0，这种可能性很小．(2)利用这个转盘，可能得到的最大的五位数是99 999，可能得到的最小的五位数是10000，它们出现的可能性一样大，因为五位数中，只有一个99999，也只有一个10000．【典型热点考题】例1 袋子有白球3个和红球2个共5个球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球：(1)P(摸到白球)=______________． (2)P(摸到红球)=______________． (3)P(摸到绿球)=_______________． (4)P(摸到白球或红球)=_____________．点悟：所有可能出现的结果为：1号球，2号球，3号球，4号球，5号球． 摸到白球可能出现的结果：1号球，2号球，3号球． 摸到红球可能出现的结果：4号球，5号球．解：(1)53P==结果数摸到一球有可能出现的果数摸到白球可能出现的结(摸白)，52(P )2(==的结果数摸到一球所有可能出现果数摸到红球可能出现的结摸红)，(3)P(摸绿)=0， (4)15253)(P =+=摸白或红． 点拨：计算概率问题，可先列出所有可能出现的结果数及每一事件可能发生的结果数，再利用公式计算．例2 转盘游戏盘如图所示，各扇形面积相等，求下列各事件概率，并标注在数轴上：(1)指针指向5； (2)指针指向6； (3)指针指向偶数； (4)指针指向奇数；(5)指针指向小于4的数；(6)指针指向大于0的数．点悟：扇形面积相等，说明指针每一个数字的区域的概率都是51，转盘上只有1—5个数．解：(1)51)5(=指P ；(2)P(指6)=0； (3)P(指偶)=52；(4)P(指奇)=53；(5)53)4(=指小于P ；(6)155)0(P ==指大于．例3 一个家庭有3个孩子．(1)求这个家庭有3个男孩的概率；(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率； (3)求这个家庭至少有一个男孩的概率． 点悟：可用“树图”来解决问题．解：用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树图”列出所有可能的结果： 第一个孩子第二个孩子第三个孩子所有可能结果概率． 所有可能出现结果数=8． (1)可能出现的结果数=1，∴81)3(=男P ．(2)可能出现的结果数=3， ∴ 83)12(=女男和P ． (3)可能出现的结果数=7， ∴ 87)1(=男P ． 点拨：树图对于某一些概率问题具有很好的解题效果，它直观、详尽，可能使你更容易发现问题．例4 一副扑克牌，任意从中抽一张 (1)抽到大王概率； (2)抽到K 的概率； (3)抽到黑桃概率； (4)抽到黑牌概率；(5)抽到红牌或黑牌的概率．点悟：一副牌只有54张，大、小王各一张，红桃、方块、梅花、黑桃各13张，红牌即红桃和方块，黑牌即黑桃和梅花，除大、小王外，一张牌有4种花色． 解：541)(=抽大王P ， 272544)K (P ==抽，5413)(=抽黑桃P ， 27135426541313)(P ==+=抽黑牌， 27265452)(P ==抽红牌或黑牌． 点拨：“红牌或黑牌”指的其实是它们概率之和．例5 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成20份，1份是红色，2份是蓝色，4份是绿色．并规定，顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭此券可以在该商场继续购物．(1)甲顾客购物120元，他分别得到100元购物券、50元购物券、20元购物券的概率是多少?(2)乙顾客购物185元，他获得购物券的概率是多少? 解：甲、乙顾客购物的钱数都在100元到200元之间，都可以获得一次转动转盘的机会． 转盘一共等分成了20份，其中1份是红色、2份是黄色、4份是绿色、因此， (1)P(获得100元购物券)=201； P(获得50元购物券)=101202=； P(获得20元购物券)=51204= (2)P(获得购物券)=207．【同步达纲练习一】 一、选择题1．在1个口袋里装有a 个白球，b 个红球，c 个黄球，则任选一个是白球或红球的概率为( ) A ．cb a a++B ．cb a b++C ．cb a c++D ．cb a ba +++2．在1到10的10张扑克牌中，如果第一次摸出1张是9点后，第二次任意摸取，则摸奇数点的概率为( ) A ．94 B ．52 C ．21 D ．53 3．文具盒里有4支圆珠笔，3支铅笔、任取一支，则选取圆珠笔的概率为( ) A ．41B ．81C ．21D ．74 二、填空题4．从A 村到B 村有3种不同的路径，再从B 到C 村又有2种不同的路径，因此从A 村去C 村，选择其中一种走法的概率为________.5．从你班里任选一名学生，则选到男生的概率为__________.6．图7—3—1是一个转盘，3条直径把这个图等分成6块，其中3块涂上红色，2块黄色，1块黑色，当指针任意旋转时，指针落在__________色的可能性最小，其概率为__________．7．假如小猫在如图7—3—2所示的地板上自由自在地走，它最终停留在黑色方砖上的概率是__________.8．从甲地到乙地有三种交通工具，火车、汽车及飞机，则任选一种，不乘火车的概率为________．三、解答题9．某商场销售一批衬衫，衬衫的合格率为90％，若销售2000件衬衫，需准备好多少件合格的衬衫让顾客调换?10．小明和小红在做掷硬币的游戏，任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜，如果两次朝上的面不同，那么小红获胜．这个游戏公平吗?11．设计一个摸球游戏，在一个袋子里装有一些彩色的球，使得摸到红球的概率P(摸红)=0．4，P(摸黄)=0．5，P(摸绿)=0．1，你需要每种颜色的球多少个?【同步达纲练习二】1．有一个转盘游戏，转盘被平均地分成10等份(如图)，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数字．转盘上有指针，可以自由转动．转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参与游戏，一个人转动转盘，另一个猜数．若猜的数与转出的数字相同，则猜数的人赢；若猜的数与转出的数字不相符，则转动转盘的人赢．猜数的方法从下面三种方法中选一种：(1)猜“是奇数”或“是偶数”；(2)猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”； (3)猜“是大于4的数”或“是不大于4的数”． 如果你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，你将选择第几种猜数方法?并且怎么猜?为什么?2．袋中有11个球：6个红球，3个白球，2个黑球，它们除了颜色外都相同．两个人做游戏，游戏规则如下：一个人抓住袋子，一个人摸球，并在摸球前先说出自己要摸的颜色．若摸出的球与他摸前所说的颜色一致，则摸球者胜，否则拿袋子的人获胜．你说这个游戏公平吗?如果你参加游戏，为了尽可能获胜，你是做摸球的人还是拿袋子的人，为什么?3．请你重新设计一个与2题类似的游戏，要求你设计的游戏对双方都是公平的．参考答案【同步达纲练习一】一、1．D 2．A 3．D 二、4．61 5．略 6．黑，61 7．164或41 8．32 三、9．200件 10．公平 11．略【同步达纲练习二】 1．假如参加游戏，为了尽可能获胜，我会选择第(2)种猜数方法，并猜“不是3的倍数”．因为这10个数中，“不是3的倍数”的数最多，有7个，因此获胜的可能性也就最大．2．这个游戏不公平，假如我参加游戏，为了尽可能获胜，我做摸球的人，并且说摸红球，因为在这11个球里面，红球有6个，超过总数的一半．3．对双方公平的游戏方案很多，只要求某种颜色的球占总球数的一半，并且猜这种颜色的球即可．例如，有20个球：10个红球，7个白球，2个黑球，1个黄球．。
第二十五章概率初步单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一事件概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.【典例分析】1．（2019·莆田第二十五中学初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件【答案】D【解析】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．2．（2017·重庆十八中初三期中）下列说法正确的是（）A.打开电视，它正在播广告是必然事件B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定【答案】C【解析】试题分析：A．打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；故选C．3．（2017·成都树德中学博瑞实验学校初一期末）下列事件为必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．两角及一边对应相等的两个三角形全等D．三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形【答案】C【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；B、打开电视机，正在播放动画片是随机事件；C、两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；D、三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件.故选C.4．（2018·成都七中嘉祥外国语学校初三期中）下列事件中是必然事件的是（）A.任意画一个正五边形，它是中心对称图形x-有意义，则实数x＞3B.实数x3C.a，b均为实数，若a38，b4，则a＞bD.5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3【答案】D【解析】解：A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能时事件，故本选项错误；x-有意义，则实数x＞3，是不可能时事件，应为x≥3，故本选项错误；B．实数x3C．a，b均为实数，若a=38，b=4，则a=2，b=2，所以，a=b，故a＞b是不可能事件，故本选项错误；D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本选项正确．故选D．5．（2018·福建省泉州第一中学初三期中）下利事件中，是必然事件的是（）A.将油滴在水中，油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯C.如果，那么D.掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【答案】A【解析】选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.知识点二概率计算概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
概率初步一、学习要求：（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件，什么是随机事件.（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.（6）了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验.二、例题分析1、概率的有关概念1、下列事件中是必然事件的是（）A、小婷上学一定坐公交车B、买一张电影票，座位号正好是偶数C、小红期末考试数学成绩一定得满分D、将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上2、下列说法正确的是（）A、一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C、天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2、用列举法求概率（1）直接列举法3、四张不透明的卡片为，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为_______.（2）两步、三步试验的问题：列表和树状图4、甲盒中装有2张相同的卡片，它们分别写有字母A和B；乙盒中装有3张相同的卡片，它们分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张相同的卡片，它们分别写着字母H和I，从3个盒中各随机取出一张卡片.（1）取出的3张卡片上恰好有1个，2个，3个元音字母的概率是多少？（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？解：根据题意，画出树形图：（1）P（一个元音）=；P（两个元音）=；P（三个元音）=；（2）P（三个辅音）=；5、把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：（1）P（抽到牌面数字４）=（2）游戏规则对双方不公平．3 4 53 （3，3）（3，4）（3，5）4 （4，3）（4，4）（4，5）5 （5，3）（5，4）（5，5）或由上述表格或树状图知：所有可能出现的结果共有9种．P（抽到牌面数字相同）=，P（抽到牌面数字不相同）=．∵，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．3、用频率估计概率1、通过实例让学生体会有频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”2、蒙特卡罗方法：有些事情是动态的，或者很难将每一个一一数出，这时可用试验频率来估计总数.其思想依据是：理论概率=试验概率.常用方法是：先做记号，再数记号6、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．7、一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小刚向其中放入8个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400次, 其中88次摸到黑球. 估计盒中大约有白球( )A、28个B、30个C、36个D、42个一、本章知识结构框图二、学习目标：1．理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；2．在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。
数 学K 单元 概率K1 随机事件的概率 17．K1、K2、K6[2015·四川卷] 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．17．解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.K2 古典概型 4．K2[2015·广东卷] 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 4．B [解析] 设取的2个球中恰有1个白球，1个红球为事件A ，则P (A )＝C 110C 15C 215＝1021.5．K2[2015·江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．5.56[解析] 方法一：以1表示白球，以2表示红球，以3，4表示2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求概率P ＝56.方法二：2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同，有1种情况，故所求概率P ＝1－16＝56. 16．K2，I2[2015·北京卷] A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率．(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 16．解：设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知， C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.K3 几何概型7．K3[2015·湖北卷] 在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 17．B [解析] 在同一平面直角坐标系中，依次作出x ＋y ＝12，||x －y ＝12，xy ＝12在x ∈[0，1]，y ∈[0，1]时的图像，如图所示．则p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDG S 四边形OCDE ，p 3＝S 曲边多边形GEOCFS 四边形OCDE .易知S 多边形BOAFDG <S 曲边多边形GEOCF <S 多边形BACDE ， 所以S 多边形BOAFDG S 四边形OCDE <S 曲边多边形GEOCF S 四边形OCDE <S 多边形BACDES 四边形OCDE，即p 2<p 3<p 1.故选B. 13．B13，K3[2015·福建卷] 如图1-2所示，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．图1-213.512 [解析] 矩形ABCD 的面积为4，矩形中空白部分的面积为⎠⎛12x 2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 321＝83－13＝73，故阴影部分面积为4－73＝53， 所以所求概率为534＝512.K4 互斥事件有一个发生的概率 4．K4[2015·全国卷Ⅰ] 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3124．A [解析] 记事件M ＝{恰好投中2次}，N ＝{3次都投中}，E ＝{通过测试}，则事件M 与N 互斥，且E ＝M ∪N .又P (M )＝C 23×(0.6)2×(1－0.6)＝0.432，P (N )＝C 33×(0.6)3＝0.216，所以P (E )＝P (M ∪N )＝P (M )＋P (N )＝0.648.故选A.18．J2、K2、K6、K4[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B 3，15.于是P (X ＝0)＝C 03150453＝64125， P (X ＝1)＝C 13151452＝48125， P (X ＝2)＝C 23152451＝12125， P (X ＝3)＝C 33153450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.K5 相互对立事件同时发生的概率 20．K6、K8、K5、E5[2015·湖北卷] 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．20．解：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y.(1)(2)(3)当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800. 故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 19．K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列与数学期望ET ；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．19．解：(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而ET ＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同． 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0．4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.K6 离散型随机变量及其分布列 17．K1、K2、K6[2015·四川卷] 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．17．解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2. 16．K2、K6、K8[2015·天津卷] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.17．K2、K6[2015·重庆卷] 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．17．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能的取值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.17．K6、K8[2015·安徽卷] 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.20．K6、K8、K5、E5[2015·湖北卷] 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．20．解：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y.(1)(2)(3)当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800. 故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 17．K6、K8[2015·安徽卷] 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.20．K6、K8、K5、E5[2015·湖北卷] 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．20．解：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y.(1)(2)(3)当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800. 故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 18．J2、K2、K6、K4[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B 3，15.于是P (X ＝0)＝C 03150453＝64125， P (X ＝1)＝C 13151452＝48125， P (X ＝2)＝C 23152451＝12125， P (X ＝3)＝C 33153450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.19．K6[2015·山东卷] 若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． 19．解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为0，－1，1， P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.19．K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列与数学期望ET ；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．19．解：(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而ET ＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同． 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0．4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.K7 条件概率与事件的独立性13．K7[2015·广东卷] 已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________________________________________________________________________.13.13 [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 17．K6、K8[2015·安徽卷] 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.20．K6、K8、K5、E5[2015·湖北卷] 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．20．解：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y.(1)(2)(3)当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800. 故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 19．K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．19．解：(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得从而ET ＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同． 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0．4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P (A )＝1－P (A )＝0.91. 16．K2、K6、K8[2015·天津卷] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.K9 单元综合 16．K9[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52. 1．[2015·宁波二模] 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中，随机取出3个不同的数，则它们的和为3的倍数的概率是( )A.184B.928C.142D.5141．D 4．[2015·唐山一中等五校联考] 在区间[1，5]和[2，4]内各取一个数，分别记为a ，b, 则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( )A.12B.1532C.1732D.31324．B [解析] ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，且a>0，b>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>b>0，a<2b ，1≤a ≤5，2≤b ≤4，它对应的平面区域如图中阴影部分所示．∴方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×（1＋3）×2＋12×12×12×4＝1532. 2．[2015·重庆巴蜀中学模拟] 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.9102．D [解析] 所取的3个球中至少有1个白球的对立事件为所取的3个球中没有白球，即所取的3个球均为红球，故所求概率为1－1C 35＝910.9．[2015·温州二模] 袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球，随机地从袋子中一次性摸取2个小球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分，则摸取2个小球的得分之和为________分时，其概率最大．9．3 [解析] 摸取2个小球的得分之和可能出现2，3，4三种情况 ，依次记其发生的事件分别为A ，B ，C .事件A 表示摸取的2个小球都为白球，其概率P (A )＝C 23C 25＝310；事件B 表示摸取的2个小球为1个白球、1个绿球，其概率P (B )＝C 13·C 12C 25＝610＝35；事件C 表示摸取的2个小球为2个绿球，其概率P (C )＝C 22C 25＝110.通过以上的计算结果可以知道，摸取2个小球的得分之和为3分的概率最大． 4．[2015·南昌二中模拟] 从1，2，3，4，5中任取两个数，事件A 表示“取到的两个数的和为偶数”，事件B 表示“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.124．B [解析] P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110410＝14.7．[2015·黄山质检] 甲、乙两人参加某选拔测试，在备选的10道题中，甲答对每道题的概率都是35，乙只能答对其中的5道题，且二人答题情况互不影响．规定每次测试都从备选的10道题中随机抽出3道题，答对1道题加10分，答错1道题(不答视为答错)减5分，得分低于0分时记为0分(即最低为0分)，至少得15分才能入选．(1)求乙得分的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．7．解：(1)设乙的得分为ξ，则ξ的所有可能的取值为0，15，30，所以P (ξ＝0)＝C 05C 35C 310＋C 15C 25C 310＝112＋512＝12，P (ξ＝15)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝30)＝C 35C 05C 310＝112，所以ξ的分布列为故E (ξ)＝0×12＋15×512＋30×112＝354.(2)设“甲入选”为事件A ，“乙入选”为事件B ，则 P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫25＋C 33⎝⎛⎭⎫353＝54125＋27125＝81125，P (A －)＝1－81125＝44125，由(1)知P (B )＝P (ξ＝15)＋P (ξ＝30)＝512＋112＝12，P (B －)＝1－12＝12.故所求概率P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝103125.。
