2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第八章 8.5.3 平面与平面平行

∵ PN α，DE α，∴ PN∥α.
又∵ M，P分别为AB，AE的中点，∴ MP∥BE.
又∵ MP α，BE α，∴ MP∥α. ∵ MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，∴ 平面MPN∥α. 又∵ MN 平面MPN，∴ MN∥α.
3. ［2019·广东深圳高一检测］如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，M是A1C1
ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中 点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1. （2）求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：（1）如图，连接AC，CD1. ∵ P，Q分别是AD1，AC的中点，∴ PQ∥CD1. 又PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1， ∴ PQ∥平面DCC1D1. （2）如图，取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1平行且等
【名师点拨】 1.用面面平行的判定定理时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面. （2）这两条直线必须相交. 2.该定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. ◆平面与平面平行的四种判定方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. （2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另 一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相 交直线分别平行，则α∥β. （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
文字
符号
一个平面内的_两_条__ _相__交__直__线___与另一 个平面平行，则这 两个平面平行
a⊂β b⊂β _a_∩__b_＝__P_ ⇒β∥α a∥α b∥α
注意
1.用该定理判定平面α和平面β平行时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面； （2）这两条直线必须相交. 2.平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. 该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行的问题. 3.要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内 寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直 线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线
∴
OE平行且等于D1G.
∴ 四边形OEGD1是平行四边形.∴ GE∥D1O. 又D1O 平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1， ∴ EG∥平面BDD1B1. （2）取BB1中点M，连接HM，C1M，则HM∥AB∥C1D1，且HM＝ D1C1.∴ 四边形HMC1D1是平行四边形，∴ HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴ BF∥HD1.又BD∥B1D1，B1D1，HD1 平面HB1D1， BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， ∴ 平面BDF∥平面HB1D1.
训练题
1.［2019·安徽黄山高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O
为底面ABCD的中心，P，Q分别为DD1，CC1的中点. 求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：如图，连接PQ，BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形， ∴ AP∥BQ.
∵ AP 平面AOP，BQ 平面AOP， ∴ BQ∥平面AOP. 同理可证D1B∥平面AOP. 又∵ BQ∩D1B＝B， BQ 平面BQD1，BD1 平面BQD1， ∴ 平面BQD1∥平面AOP.
于
1 2
B1C1.又BE平行且等于
1 2
B1C1，∴
BE平行且等于FO1.
∴ 四边形BEFO1为平行四边形，∴ EF∥BO1. 又EF 平面BB1D1D，BO1 平面BB1D1D， ∴ EF∥平面BB1D1D.
2. ［2019·山东济宁高一检测］如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，
（1）【证明】由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于 中点F，故GF∥AC.
∵ GF 平面ABC，∴ GF∥平面ABC.
（2）【解】 线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点. 理由如下：由点G，H分别为CE，CB的中点可得GH∥EB∥AD.
∵ GH 平面ACD，∴ GH∥平面ACD. ∵ GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD，∴ GF∥平面ACD.
∵
MP∥BB1，∴
CM ＝ CP .
MB1 PB
∵ BD＝B1C，DN＝CM，∴ B1M＝BN，
∴ CM ＝ DN ，∴ CP ＝ DN ，∴ NP∥CD∥AB.
MB1 NB
PB NB
∵ NP 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
∴ NP∥平面AA1B1B. ∵ MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，
8.5.3 平面与平面平行
学习目标 1.理解平面与平面平行的判定定理. 2.理解平面与平面平行的性质定理. 3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用. 难点：两个定理的应用..
知识梳理 一、面面平行的判定定理
表示 定理
图形
平面与平面平 行的判定定理
A1C1＝
1 2
AC，
所以N为AC的中点.
三 平行关系的综合与探究问题
1.线面、面面平行的综合应用
例3［2019·天津高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
【证明】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP.
二 面面平行性质的应用 例2 ［2019·河南郑州高一检测］如图，两条异面直线AB，CD与三个平行
平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的 交点为H，G.
平面ABC ＝AC
【证明】 平面ABC ∥
＝EG
AC
∥
EG
.
同理AC∥HF.
AC ∥ EG
源自文库
AC
∥
HF
EG∥HF.
2. ［2019·山东临沂联考］如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平
面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点.求证： MN∥α.
证明：如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵ AE∥CD，∴ AE，CD确定平面AEDC. ∴ 平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵ α∥β，∴ AC∥DE. 又∵ P，N分别为AE，CD的中点， ∴ PN∥DE.
∴ MP∥平面AA1B1B.
又∵ MP 平面MNP，NP 平面MNP，MP∩NP＝P，
∴ 平面MNP∥平面AA1B1B.
∵ MN 平面MNP，∴ MN∥平面AA1B1B.
◆三种平行关系的转化 要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化. 在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化 思想是解决这类问题的最有效的方法.
H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1， CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1.
又EH 平面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1. 又平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG， 所以FG∥EH，即FG∥A1D1.
又FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
2.线面、面面平行的探究性问题
例4 ［2019·重庆高一联考］如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED 是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：GF∥平面ABC. （2）线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在， 请找出点H并证明；若不存在，请说明理由.
◆利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向 关键：过直线作平面与已知平面相交. 思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条 件；若条件中含有线面平行，可考虑由线面平行的性质定理得线线平 行.
训练题
1.［ 2019 · 山 东 潍 坊 高 一 联 考 ］ 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体
的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点.
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， 所以C1N∥AM. 又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN＝C
1M＝
1 2
训练题
1.［2019·山东济南联考］如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分
别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的 交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM.
2. ［2019·湖南长沙高一联考］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H.
证明：（1）如图，取BD中点O，连接OE，OD1，
则OE平行且等于 1 DC，
2
二、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 文字语言
线_平__行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b__
图形语言
注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
又GF∩GH＝G，∴ 平面GFH∥平面ACD.
【方法技巧】 平行问题中探索存在性问题是高考的常考内容，考查的形式多是解答 题.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的 线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用三角 形中位线定理等找平行关系. 【名师点拨】 探索性问题主要有两种类型： （1）结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件. （2）存在型：先假设“存在”，若经过推理无矛盾，则“存在”成 立，若推出矛盾，则结论为“不存在”.
同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
◆证明线线平行的四种常用方法
（1）定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
（2）平行公理：a∥b，b∥c a∥c.
a∥
（3）线面平行的性质定理：a
a∥b.
b
∥
（4）面面平行的性质定理：
a
a∥b.
b
◆常用的面面平行的其他几个性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面. （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 行.
常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
【证明】（1）如图，连接B1D1， ∵ E，F分别是边B1C1，C1D1的中点， ∴ EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴ BD∥EF， ∴ E，F，D，B四点共面. （2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴ MN∥BD. 又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，∴ MN∥平面EFDB. 连接MF.∵ M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴ MF∥A1D1，MF＝A1D1， ∴ MF∥AD，MF＝AD，∴ 四边形ADFM是平行四边形，∴ AM∥DF. 又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，∴ AM∥平面BDFE. 又∵ AM∩MN＝M，∴ 平面MAN∥平面EFDB.