2012线性代数复习纲要

线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。

2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。

3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。

特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。

4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。

特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。

2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。

3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。

⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。

特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。

⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。

第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。

1线性代数复习提纲《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)二、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

考研数学线性代数复习要点对于考研数学中的线性代数部分，掌握好复习要点至关重要。

线性代数在考研数学中占据着重要的地位，其特点是概念多、定理多、符号多、运算规律多，并且前后知识的联系紧密。

以下是为大家梳理的线性代数复习要点。

一、行列式行列式是线性代数中的基础概念，其计算方法和性质是必须要熟练掌握的。

1、行列式的定义要理解行列式的定义，特别是二阶和三阶行列式的计算方法。

对于高阶行列式，可以通过行列式的性质将其化为上三角行列式或下三角行列式来计算。

2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质，如行列式转置值不变、两行（列）互换行列式变号、某行（列）乘以常数加到另一行（列）行列式不变等。

这些性质在行列式的计算中经常用到。

3、行列式按行（列）展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够将高阶行列式降阶计算。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，需要重点掌握。

1、矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算。

要特别注意矩阵乘法的规则和性质，以及矩阵乘法不满足交换律这一特点。

2、矩阵的逆理解逆矩阵的定义和存在条件，掌握求逆矩阵的方法，如伴随矩阵法和初等变换法。

3、矩阵的秩掌握矩阵秩的定义和求法，了解矩阵秩的性质。

矩阵的秩在判断线性方程组解的情况等方面有重要应用。

4、分块矩阵了解分块矩阵的概念和运算规则，能够灵活运用分块矩阵解决一些复杂的矩阵问题。

三、向量向量是线性代数中的重要概念，与线性方程组和矩阵的秩密切相关。

1、向量的线性表示理解向量线性表示的概念，掌握判断向量能否由一组向量线性表示的方法。

2、向量组的线性相关性掌握向量组线性相关和线性无关的定义和判定方法，这是线性代数中的重点和难点。

3、向量组的秩理解向量组的秩的概念，掌握求向量组秩的方法。

4、向量空间了解向量空间的基本概念，如基、维数等。

四、线性方程组线性方程组是线性代数的核心内容之一，在考研中经常出现。

1、线性方程组的解掌握线性方程组有解、无解和有唯一解、无穷多解的判定条件。

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

线性代数复习提纲1、逆序数的定义，会求简单排列的逆序数。

理解奇排列、偶排列的定义。

2、会求简单的行列式，行列式按行按列展开，会求形如A 11+2A 12-3A 13+4A 14 的值。

例1 确定下列排列的逆序数，并确定是奇排列还是偶排列？ ①（1，8，2，7，3，6，4，5）②（2，4，5，3，1，8，7） ③（2，4，6，。

，2n,2n-1,…3，1）例2、设A ij 是n 阶行列式D 中元素a ij 的代数余子式且D =2， 求111111111111...A a A a A a +++值例3 计算下列二、三阶行列式()()62172134244354310143274272462cos sin sin cos 1---ϕϕϕϕ例 3 已知ij ij A M A ,,0113352040300201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=分别表示余子式和代数余子式，求：()()242322214131211163422621M M M M A A A A +-++--3、 会求矩阵的逆矩阵，会求解简单的矩阵方程。

4、理解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩。

例4 已知,350211,001111001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B A 解矩阵方程2X =AX+B 。

例5 解下列矩阵方程()().2343111110121122;126431521⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X X例5 用定义和初等行变换求下列逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120AP81，填空题1，3，5。

选择题1，3，75、理解向量组的线性相关、线性无关的定义，了解几种特殊情形向量组的线性相关性。

例6 已知向量组321,,ααα线性无关，证明向量组3133223211,2,2ααβααβαααβ-=+=++=也线性无关。

例7 求向量组：54321,,,,ααa a a 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。

线性代数复习提纲1．什么叫排列的逆序数？什么叫奇排列？什么叫偶排列？2．行列式的定义3．行列式的性质4．行列式按行（列）展开5．计算行列式的思想6．克拉默法则7．对矩阵定义了哪些运算、每种运算都有哪些运算法则？8．什么叫矩阵可逆？可逆矩阵有哪些运算性质？你有哪些方法判别一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？9．什么叫初等行变换、什么叫初等列变换？什么叫初等矩阵？如何用初等矩阵表示初等变换？10．什么叫矩阵的K 阶子式？什么叫矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？你有哪些方法可以计算矩阵的秩？为什么可以用初等行变换把矩阵化成行阶梯形来计算矩阵的秩？11．你有哪些方法可以判别一个齐次线性方程组0=Ax 是否有非零解？12．你有哪些方法可以判别一个非齐次线性方程组b Ax =是否有解？有唯一解、有无穷多解？13．什么叫向量组m ααα,,,21 的线性组合？14．什么叫向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示？你有哪些方法判别向量β能否由向量组m ααα,,,21 线性表示？15．什么叫两个向量组等价？你有哪些方法判别两个向量组是否等价？16．什么叫向量组m ααα,,,21 线性相关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性相关？17．什么叫向量组m ααα,,,21 线性无关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性无关？18．什么叫向量组的极大无关组？你有哪些方法判别一个向量组的线性无关部分组是否为该向量组的极大无关组？19．什么叫向量组的秩？如何求一个向量组的秩？如何求向量组的一个极大无关组？如何把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示？20．齐次线性方程组0=Ax 的解有哪些性质？21．什么叫齐次线性方程组0=Ax 的基础解系？齐次线性方程组0=Ax 的基础解系包含的向量个数与系数矩阵的秩有什么关系？如何求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系及通解？22．非齐次线性方程组b Ax =的解有哪些性质？23．非齐次线性方程组b Ax =的解与其对应的齐次线性方程组0=Ax 的解有什么关系？24．什么叫向量的内积？向量的内积有哪些运算性质？25．什么叫正交向量组？如何把一组线性无关的向量组化为正交向量组？26．什么叫正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？27．什么叫矩阵的特征值？什么叫矩阵的特征向量？矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？28．如何求矩阵的特征值及特征向量？29．什么叫两个矩阵相似？相似矩阵有哪些性质？30．矩阵与对角矩阵相似的条件是什么（或者说，什么样的矩阵能相似对角化）？如何将一个矩阵相似对角化？31．实对称矩阵有什么重要的性质？如何将一个实对称矩阵对角化？32．什么叫二次型？二次型的矩阵有什么特点？什么叫二次型的秩？33．什么叫二次型的标准形？如何将一个二次型化为标准形（有哪几种方法）？34．什么叫矩阵合同？35．什么叫二次型的规范形？什么叫正惯性指数？什么叫负惯性指数？36．什么叫正定二次型？什么叫正定矩阵？如何判别一个矩阵是否为正定矩阵？着重申明：以下题目仅供复习自测参考，绝无任何暗示意义判断正误：1．逆序数为奇数的排列称为奇排列。

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。