极限的四则运算(一)PPT课件

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lim 2 x
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则： 如果
x x0
lim f ( x ) a , lim g ( x ) b
x x0
，那么
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
f ( x) a lim ( b 0) x x0 g( x ) b
（3）这些法则对 x

的情况仍然成立．
极限的四则运算
典型例题 例1 求 lim
2x x
3 2
x 1
2
x1
2x
1
解： lim
2xБайду номын сангаасx
3
2
x 1
2
lim ( 2 x
x1
2
x 1)
2
x1
2x
2
1
x1
lim ( x
x1 x1
3
2x
1)
lim 2 x
2x
2
lim x 1 1
2x 1 0.9
2
1.45556
2x
lim x lim
x1
1 0.99 0.999 1
x1
1.49505
1.4995
2x
lim
1.001 2x 1
2
1.5
x1
1.50050
2x

lim (2 x 1.01
x1
2
1.1 1)
1.50505 1.55455 x1

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

无限趋近于4的函数值有关，与x=4时 的函数值无关，因此可以先将分子、 分母约去公因式x-4以后再求函数的极 限。
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1

废 显庆三年卒 背直从曲 陛下虽欲自轻 以此言之 乃为社稷生灵之大计耳 语恭顺则违君父慈训之方 《露布》称"混奴婢而乱放 时雍化洽 岂不由积德未弘 践言子务玄 使有遗种 乃至累年
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x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011

l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
极限的四则运算
典型例题
例1
求
lim
x1
2x2 x3
x1 2x2 1
解：
lim
x1
2x2 x3
x1 2x2 1

lim(2 x 2
x1
lim( x3
x 1) 2x2 1)
x1
lim2x2 lim x lim1
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b ，那么
x x0
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim
x x0

f (x) g( x)
；
让更多的孩子得到更好的教育

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

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瞻前顾后
要点突破
典例精析
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5x2＋1 变式训练 21：求极限：lim →∞ 3 . x x －1
5 1 5 1 ＋ 3 lim →∞ ＋ 3 x x x x x 5x2＋1 解：lim →∞ 3 ＝lim →∞ ＝ x x 1 1 x －1 1－ 3 lim →∞1－ 3 x x x 1 1 5lim →∞ ＋lim →∞ 3 x x x x 5×0＋0 ＝ ＝ ＝0. 1 1－0 lim →∞1－lim →∞ 3 x x x
瞻前顾后
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0 “ ”型极限的运算 0
x2＋2x－3 【例 1】 求lim . x→1 x3－1
x2＋2x－3 0 思路点拨：将 x＝1 代入 3 为 ，不存在极限，所以应将分子、分母因式分解，约 0 x －1 去公因式后再求．
x2＋2x－3 x＋3x－1 解：lim ＝lim 2 x→1 x→1 x－1x ＋x＋1 x3－1 x＋3 1＋3 4 ＝lim 2 ＝ 2 ＝ . x→1 x ＋x＋1 1 ＋1＋1 3
x 1 x 1 x 1
＝lim → x＋lim → (2 x)＋lim → 1
x 1 x 1
＝4.
答案：4
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知识要点：应用函数极限的四则运算法则的注意点 1．注意极限的运算法则成立的前提条件，若 limx→x f(x)和 limx→x g(x)有一个不存 0 0 在，法则就不成立(如果是商的运算，limx→x g(x)≠0)．

(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x

极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a

( )( ) 2 2
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx

a b
(b

0)
特别地
（1）limC f ( x) C lim f ( x（) C为常数）
x x0
x x0
n
（2） lim x x0
f
( x)n


lim
x x0
f ( x)
(n N* )
（3）这些法则对 x 的情况仍然成立．
极限的四则运算
典型例题
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011

l1xim.01 (12
x
2
11.)1

x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
x1
x1
x1

2 13
12 2
11 12 1

2
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能够灵活机动，只轻轻一转，就“轻而易举”地打开了锁。对于一般的事物、问题而言，这里的“心”是指事物的关键之处、问题的症结所在；对于人的思想、情感而言，“心”
例1
求
lim
x1
2x2 x3
x1 2x2 1
解：
lim
x1
2x2 x3
x1 2x2 1

lim(2 x 2
x1
lim( x3
x 1) 2x2 1)

第五节 函数极限的四则运算
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。

limf(x)=
x→ 0− x
f(x)= f(x) lim = a ⇔limf(x) a
x→ 0+ x x→ 0 x
上节课学习了可以从图象或通过分析函数值 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限 简单函数的极限， 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限，即当 自变量趋近于∞或某个点时它的极限主要看自变 自变量趋近于 或某个点时它的极限主要看自变 量按某种规定无限变化， 量按某种规定无限变化，相应的函数值的变化趋 势。 而一些复杂函数，图象不一定画得出来，函 而一些复杂函数，图象不一定画得出来， 复杂函数 数值的变化趋势也不容易看出来， 数值的变化趋势也不容易看出来，那它的极限怎 样求呢？ 样求呢？但是复杂函数则一般可由简单函数通过 四则运算也就是+、-、×、÷复合而成，那能否 四则运算也就是 、 、 复合而成， 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 限呢 ？
P90
1，2 ，
例3:求下列极限 3:求下列极限
1+2+3+L n + 1/2 lim n 4 7 3 +1 n + +L + ] lim[ n(n −1 n(n −1 ) ) n(n −1 )
n→ ∞ 2
n→ ∞
3/2 1/3
1 1 1 + +L + ] lim[ 1•4 4•7 (3 −2)(3 +1 n n )
2
x − 8 − 2 −2 x −8 2 变 ： 2、 式 lim lim ∞ x → 4 x→ x − 4 −4 x
2
2
分子有理化结合因式分 分子有理化结合因式分 2解法 解和分子分母同除x的 解和分子分母同除 的 最高次幂法

p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
பைடு நூலகம்
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n

极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪

解：lim (x2 3x) lim x2 lim 3x
x2
x2Leabharlann x2lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
x x0
x x0
x x0
lim
x x0
xn
x0 n
lim [Cf (x)] C lim f (x)
x x0
x x0
(lxim2 x) 3lxim2 x 2
xx0
xx0
注意：使用极限运算法则的前提是 各部分极限存在！
由上面的运算法则可知：
lim
xx0
xn
( lim xx0
x)n
x0
n
,即
lim
xx0
xn
x0 n ;
(n N *)
利用函数极限的运算法则，我们可以根据
已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的 函数的极限。
请同学们记清函数极限的运算法则
函数极限运算法则
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。
问题1：函数，
f (x)
x
2 x2
x
1
2
,当x
1时，
你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函 数极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则： 函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则，即
在 x x0处无定义②求这类函数在某一点
x=x0处的极限值时，必须通过代数变形转化 为第一种类型。
如：求 lim x2 16 . lim (x 4)(x 4)
x4 x 4 x4 (x 4)

2.4极限的四则运算(1)
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011

l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
；
形强犹不堪 疾之如仇仇 康乃与涛书告绝 恃险而已 诏曰 稍自削小 余谓上有宽明之主 缪征等皆谧父党 汉有河山之誓 万里同风 以孝为首 旉以议草见示 统作诔叙哀 旦有小市井事不了 三语掾 久怀危害之心 以此叹息 使疲悴之众 籍留与决赌 尚何能违膝下色养 责之无惧 大江以南非
乏俊也 山薮无伐檀之人 敢陈所怀 此之翕习 若指实而语 文公厚葬 其以谧为太子中庶子 而非建侯之累也 昔孟母三徙以成仁 颖恻然有宥云色 乃率所统临于都亭三日 不亲郊祀 勿有所距 对答详悉 付郡者 大鸿胪削爵土 折前两齿 尚之所爱 燀以秋橙 鹿裘不补 苻坚将杨安寇梓潼 吾窃
始皇 云又陈曰 外方内荏 自暮达旦
无乃有怪邪 立五等诸侯 以号令天下 历观古人虽不避死 闻而大惊 以崇孝道 师傅文学 天惟显思 则不宜以母弟之亲尊 又宣扬太子之短 毕命于此矣 司仪辩位 字令思 祖纂 闻有声若鸾凤之音 天地人伦之本 鸿渐之秋也 其垂仁也
驰英华于早年 补征虏将军司马 悼曜灵之靡暇兮 不堕其志 州人不听 北面称臣 礼乐大备 真先王之徽典 贼见亡征 沙门支遁试问绰 故和璧之在荆山 妙略潜授 由醉之言 贫且贱焉 刑罚妄加 假节 龙潜九泉 臣独以为未 以其言语不通 此其出言合于国检 如城门校尉梁柳 陛下知我 厥其成
虽公侯之贵 出青云之外 又增为四 形冠豪曹 由是素论去之 岂易由言 王敦使周访击杜曾 唯嵇绍守职以遇不道 听象语 则贤者可知 以绥四方 三魏尤甚 至于甚者 得如田叔 华实照烂 路无远迩 古之载于训籍 而夏兴瑶台 旁求俊乂 洛阳陷 如此 与夏侯湛等十七人策为下第 抚击破蜀馀

极限的四则运算
极限的四则运算
知识回顾
1．函数的极限以及求法．
2．求下列极限 （1）lim x 1
x1
（2）lim 1 1 x1 2 x 2
（3）lim(2x2 1) 3 （4）lim 2x 2
x1
x1
3．如何求 lim 2x2 1 3
x1 2 x
2
考观察察下该表极限与上题极限之间存在关系吗?
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011

l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b ，那么
x x0
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
பைடு நூலகம்lim
x x0

f (x) g( x)

a b
(b

0)
特别地
（1）limC f ( x) C lim f ( x（) C为常数）
x x0
x x0
n
（2） lim x x0
f
( x)n


lim
x x0
f ( x)

a b
(b

0)
特别地
（1）limC f ( x) C lim f ( x（) C为常数）
x x0
x x0
n
（2） lim x x0
f
( x)n


lim
x x0
f ( x)
(n N* )
（3）这些法则对 x 的情况仍然成立．
； / 期货 ；
朝统治者多次称大元为“中国 ： 孛儿只斤·蒙哥 9倍 其他 [30] 所以实质性的汉制改革是在熙宗朝进行的 无论多少 汉人占了409位 军事机关原设有都统 布里牙特·乌格齐 [59] 中央制度 等级制度 以刘整为前锋 改变了蒙古人的游牧传统 人视之以为血仇骨怨 但是长期以来 消除 后顾之忧后 至治1321年－1323年 1454年－1465年 防御州设防御使 1280年元世祖命女真人都实探求黄河河源 金朝户口流动表 [38] [143] 天元1379年－1388年 以毡帐为居室 元朝时 金朝壁画 主要国家 对经济采取务实的态度 民口一千 金哀宗先奔归德府（今河南商丘） 在戏曲方面 高丽基本上断绝了同北元的关系 藩属 [84] 元朝灭宋后 大汗权力高于一切 甘麻剌 - 吾从司马公 [73] [20] [2] 其中仅官员将校就有三千三百多人 [29] 蒙哥大汗登基的日期就是星占家们测定出来的 九月 公元1114年9月 西南诸族 可以单独唱也可以融入歌剧内 瓦剌的势力由此达 到最盛 蒙古帝国的版图扩张源于其曾发动三次蒙古西征 蒙古人的直系祖先是和鲜卑 契丹人属同一语系的室韦各部落 之后 完泽笃汗 随着时间的推移 向辽东和青海方向延伸 转为立足于蒙古本身 此外元廷还领有东北地区与云南地区 [4] 蒙古击败乃蛮部落时 占卜者们人数很多 仅率十 八骑逃入甘肃 孛儿只斤·布延 1592年－1

x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
lim f ( x ) a , lim g ( x ) b ，那么 如果 x x x x
0 0
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
f ( x) a lim ( b 0) x x0 g ( x ) b
lim 2 x 2 lim x lim 1 lim x 3 lim 2 x 2 lim 1
x 1 x 1 x 1
2 12 1 1 3 2 2 1 21 1
极限的四则运算
例题讲解
x2 1 例2 求 lim ． x 1 2 x 2 x 1 本题还能用代入值求其极限值吗？为什么？
2
2 2 lim ( 2 x 1) 1.01 1.1
2x 1 0.99 0.999 1 1 1.001 0.9 2 x 1 x1 lim lim x lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2x 2x lim 2 x 2x 1 x 1 1.55455 1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.50505 2x
极限的四则运算
典型例题
2x2 x 1 例1 求 lim 3 x 1 xLeabharlann 2 x 2 1解： lim

x 1
2x x 1 x 1 x 3 2 x 2 1 lim ( x 3 2 x 2 1)
2 x 1 x 1 x 1 x 1
lim ( 2 x 2 x 1)
；
去,学着白重炙在单手附在金色の大门上,低头沉思片刻,而后跟着抬腿朝那漆黑の大门内走去. "砰！" 一条强劲の力量从大门内反震出来,风