第二章 泊松过程-随机过程

定义 2.1.2 计数过程{N(t),t≥0}称为具有速率 , 0 泊松过程，如果 ⑴N(0)=0 ⑵过程有平稳增量与独立增量 ⑶P{N(h)=1}=λh+o(h) ⑷P{N(h)≥2}= o(h)
n!
定理 2.1.1 定义 2.1.1 与 2.1. 2 是等价的。 证明 首先我们证明定义 2.1. 2 蕴含定义 2.1.1。为此设
i 1 n
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t ) sup{n : Sn t}， 则 计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（ conditional distribution of the arrival times) 1. 顺序统计量(the order statistics) 设 Y1,Y2,, Yn 是 n 个随机变量，如果 Y(k)是 Y1,Y2,, Yn 中的第 k 个最 小值， i=1,2,,n,则称 Y(1),Y(2),, Y(n)是对应于 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 (the order statistics corresponding to Y1,Y2,, Yn)。

P{ Xn>t| X1=x1,

, Xn-1=xn-1 }= P{在(x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事
件 | X1=x1, … , Xn-1=xn-1 }=P{在 (x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事件 } (由独立增量)= e t (由平稳增量)
X1=x1 X2=x2
n!
注意，从条件(3)可知泊松过程有平稳增量且 E[ N (t )] t ，这正是称 为此过程的速率的原因(单位时间内发生的事件的平均个数)。
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件 (1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
f ( y1 , y2 ,, yn ) n! ,0 y1 y2 yn t n t
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times) 假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件 发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为 [0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个 事件的来到时刻应在[0,t]上均匀分布。容易验证此事，因为对 s t 有
因 P1 (0) 0 ，得 0 C1 ， P1 (t ) te ．用数学归纳法可证明 Pn (t ) e
t
t
( t ) n n!
于是定义 2．1．2 蕴含了定义 2．1．1。逆命题的证明留给读者去作。
二 、 来 到 间 隔 与 等 待 时 间 的 分 布 (interarrival and waiting time distributions) 1. 来到间隔时间的分布(interarrival time distributions) 考虑一泊松过程，以 X1 记第一个事件来到的时刻。对 n1 以 Xn 记第 n－1 个到第 n 个事件之间的时间。 序列{Xn,n1}称为来到间 隔序列（the sequence of interarrival times） 。
计数过程有独立增量（independent increments） ：计数过程在不相交的时 间区间中发生的事件个数是独立的。
计数过程有平稳增量(stationary increments)：在任一时间区间中发生的事 件个数的分布只依赖于时间区间的长度。
（二）泊松过程(the Poisson process) 1．泊松过程第一个定义 定义 2.1.1 如果计数过程{N(t),t≥0}满足 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量， (3)在任意长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为 t 的泊松分布。 n t ( t ) 即对一切 s, t 0 ， P{N (t s) N (s) n} e , 0, n 0,1,2, 则称计数过程{N(t),t≥0}为具有速率 的泊松过程。
第二章（第三讲） 泊松过程
一、 计数过程（a counting process)与泊松过程(the Poisson process) （一）计数过程（a counting process) 定义：随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程，若 N(t)表示到时刻 t 为止已 发生的“事件”的总数。 计数过程性质：⑴ N(t)≥0 ⑵ N(t) 是整值⑶若 s<t, 则 N(s)≤N(t) ⑷当 s<t, N(t)-N(s)等于(s,t]中发生事件个数.
P{ X 1 s, N (t ) 1} P{ X1 s | N (t ) 1} P{N (t ) 1} P{在[0, s]内有一个事件, 在(s, t ]内没有事件} P{N (t ) 1} P{在[0, s]内有一个事件}P{在(s, t ]内没有事件} se s e (t s ) s t te t P{N (t ) 1}
因此
＝ P0 (t )(1 h o(h)) P0 (t )(1 h) o(h) P0 (t h) P0 (t ) o( h) P0 (t ) h h
条件（3）（4）
t 令 h 0得 P0 (t ) P0 (t ) 解得 P ( t ) e 0
Pn (t ) P{N (t ) n}
按以下方法导出一个关于 P0 (t ) 的微分方程：
独立增量
P0 (t h) P{N (t h) 0} P{N (t ) 0, N (t h) N (t ) 0}
P{N (t ) 0}P{N (t h) N (t ) 0}
( n 1)! e ,t 0
证明：利用关系 N (t ) n Sn t
注意到第 n 个事件在时刻 t 或 t 之前发生当且仅当到时间 t 已发 生的事件数目至少是 n，即 N ( t ) n Sn t j t ( t ) 因此 P{ Sn t } P[ N ( t ) n} e ,
x1 x1+ x2 Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn 独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
1 2 n 1 2 n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以
i 1 n i 1
n
Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为
f ( y1 , y2 ,, yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统 计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数是
定义 2.1.1 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量(3)在任意长度为 t 的区间中 事 件 的 个 数 服 从 均 值 为 t 的 泊 松 分 布 。 即 对 一 切 s , t 0 ， n t ( t ) P{N (t s) N ( s) n} e , 0, n 0,1,2,
2.等待时间的分布(waiting time distributions) 第 n 个事件来到的时间记为 Sn，也称为第 n 个事件的等待时间。则
Sn X i , n 1
i 1 n
命题
f (t )
Sn 有 参 数 为 n 与 的 — 分 布 ， 即 其 概 率 密 度 为 ( t ) n 1 t
P{ N ( t ) n}{ N ( t h) N ( t ) 0} P{ N ( t ) n 1}{ N ( t h) N ( t ) 1}+
t
>1 1 0
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⑴N(0)=0⑵过程有平稳增 P{ N ( t h) n 2, N ( t h) N ( t ) 2} = Pn (t )(1 h) Pn1 (t ) h o(h) 量与独立增量⑶ P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷ (4)P{N(h)≥2}= o(h)
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。 证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}= e t P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有 事件}(由独立增量)= e t (由平稳增量) 所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2 独立于 X1。
类似地，当 n 1时 Pn (t h) P{ N (t h) n}
P{ N ( t ) n, N ( t h) N ( t ) 0}
<n-1 n-1 n
P{ N ( t ) n 1, N ( t h) N ( t ) 1} P{ N ( t h) n, N ( t h) N ( t ) 2} ＝
命题：若 Yi，i=1,2,,n,是独立同分布的连续随机变量，具有概率密度 f，则顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度为
f ( y1 , y2 ,, yn ) n ! f ( yi ), y1 y2 yn
i 1 n
证明： (1)对 y1 y2 yn ，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当 ( yi , yi ,, yi ) 是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于 ( yi , yi ,, yi ) 的概率密度是
Pn ( t h) Pn ( t ) o( h) Pn ( t ) Pn1 ( t ) h h
Pn ( t ) Pn ( t ) Pn1 ( t ) 于是
Pn ( t ) e t ( Pn1 ( t )e t dt C n ) P1 ( t ) e t ( P0 ( t )e t dt C1 ) ＝ e t ( e t e t dt C1 ) ＝ e t ( t C1 ) ，
jn
j!
求导得 Sn 的密度函数 j 1 t ( t )
f (t ) e
jn
( j 1)!
e
j n
t
( t ) j
j!
e
t
( t ) n 1
( n 1)!
3. 泊松过程第三个定义 命题 2.2.1 又给我们定义泊松过程的另一个方法。 泊松过程的第三个等价定义：{Xn,n1}是一列均值为 1/的独立同分 布的指数随机变量。Sn X i , n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t)