初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学相似知识点
1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的对
应边长成比例，对应角度相等。

2. 相似比例：相似三角形的边长比值称为相似比例。

如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc，那么它们的相似比例为a:b:c。

3. 相似三角形定理：包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。

其中，AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似；AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似；对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等，并且对应边长之比相等，那么它们相似。

4. 相似三角形的性质：相似三角形的相似比例等于对应边长之比；相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值；相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例；相似三角形的面积与边长平方成比例。

5. 相似三角形的应用：相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用，如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。

6. 图形的相似：除了三角形，其他图形（如矩形、圆、椭圆等）也有相似的概念和相
似关系，可以利用相似关系解决相关问题。

这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点，希望对你有帮助！如有其他问题，请
随时提问。

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

数学初三必考知识点归纳这里按照五个大类把初三的全部知识点都整理一遍，一共二十八个知识点，如下所示：一、相似三角形（7个考点）考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8：锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点9：解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三、二次函数（4个考点）考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。

考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

初三数学知识点：相似三角形定理聪明出于勤奋，天才在于积累。

我们要振作精神，下苦功学习。

编辑了初三数学知识点：相似三角形定理，以备借鉴。

相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。

性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

初三数学知识点：相似三角形定理就是为大家整理的，希望对大家数学成绩的提高有所帮助。

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相似的初三知识点总结归纳初三学习是中学阶段的重要阶段，也是学生们的过渡期。

这个阶段的学习内容广泛而深入，其中很多知识点之间存在一定的相似性。

下面将对初三学习过程中一些相似的知识点进行总结归纳，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、相似的数学知识点1.1 相似三角形与比例关系相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它与比例关系密切相关。

同学们在学习相似三角形时，需要理解相似三角形的定义、性质和判定条件，并能灵活运用比例关系解决相关题目。

1.2 线性方程组与解的判定线性方程组是数学中常见的问题，解线性方程组的方法有很多，其中常用的是消元法和代入法。

同学们需要学会分析问题，选择合适的方法来求解线性方程组，并能判断方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解。

二、相似的物理知识点2.1 运动与力学定律初三物理中的运动与力学定律是相似且密切相关的知识点。

在学习运动时，同学们需要理解匀速直线运动、加速直线运动和自由落体运动等基本概念，并掌握牛顿运动定律以及动力学中的力和加速度的关系。

2.2 热学与热力学的基本概念热学与热力学是物理学中的重要分支，它们之间存在着相似性。

同学们需要理解温度、热力学第一定律、热传递等基本概念，并能运用这些知识解决与热学相关的问题。

三、相似的化学知识点3.1 元素周期表与化学反应元素周期表是化学中的基础知识，它与化学反应密切相关。

同学们需要掌握元素周期表的基本组成以及元素的周期性规律，并能运用这些知识预测或解释化学反应中的现象。

3.2 酸碱中和与溶液的性质酸碱中和与溶液的性质是化学中的重要知识点，它们之间存在一定的相似性。

同学们需要理解酸碱中和反应的特点和计算方法，以及溶液的酸碱性质与pH值的关系，并能运用这些知识解决相关问题。

总结：以上仅是初三学习中一部分相似的知识点的总结归纳，这些知识点之间可能存在相似的思维方式、解题方法或者概念框架。

同学们在学习时应该注意将相似的知识点联系起来，进行横向对比和纵向延伸，以帮助更好地理解和掌握这些知识。

初三相似性知识点总结归纳相似性是数学中一个重要的概念，它在初中数学中有着广泛的应用。

相似性是指形状、大小、比例等方面的相似性质，通过相似性的理论和定理，我们可以解决各种与形状和比例相关的问题。

本文将总结归纳初三阶段学习的相似性知识点，帮助同学们更好地掌握相似性的概念和应用。

1. 相似三角形相似三角形是初三相似性知识的基础，它是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的性质有以下几点：1.1 角的相等性质相似三角形的对应角相等，即每个角都有与之对应的角相等。

1.2 边的成比例性质相似三角形的对应边成比例，即两个三角形的相似比例为一个固定的常数。

1.3 对应线段成比例在相似三角形中，如果有一条直线平行于两个三角形的边，则这条直线将两个三角形的对应边分成相等的线段。

2. 相似三角形的判定在初三数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。

常用的判定方法包括以下几种：2.1 AAA判定法如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2.2 AA~判定法如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对边成比例，则它们相似。

2.3 SS~判定法如果两个三角形的两边分别成比例，并且对应角相等，则它们相似。

3. 相似三角形的比例性质在相似三角形中，存在着多种比例性质，对于解题非常有帮助。

3.1 对应边的比例在相似三角形中，对应边的比例相等。

即如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。

3.2 海伦定理海伦定理是指在一个三角形内部，从一顶点引两条边，使得这两条边分别与另外两个顶点连成的线段比等于这两条边本身。

利用海伦定理可以解决一些关于相似三角形的比例问题。

4. 三角形的相似变换通过对三角形的简单变换可以得到相似的三角形。

常见的变换包括平移、旋转和翻转。

4.1 平移平移是指通过将一个图形的每个点沿着同一方向移动相等的距离，得到一个新的图形。

平移不会改变图形的大小和形状，因此平移可以保持相似性。

4.2 旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定的中心点旋转一定角度得到一个新的图形。

初三数学课堂讲义---相似学校 姓名Ⅰ.知识归纳1．几个重要概念与性质①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即ba ＝dc ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果d c b a =，那么ad=bc 。

如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。

②合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a ±=±。

③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ban d b m c a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.补充：射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD ２＝ＢＤ•AD 、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

）图1ABDEAD 图3E BCF GⅡ.典例剖析例1① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。

② 若b a =32 则b ba +=__________. ③ 若b a b a -+22=59 则a ：b=__________.④ 已知: 2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____.⑤ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m ，立即去测量旗杆的影子长为5m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为___m.例2．如图1，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED 相似．（20XX 年浙江省金华市中考试题）例3、如图18-6，在□ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于点G ，交BC 于点F ，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对例4．将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图3的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，那么图形中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，把他们一一写出来．（20XX 年吉林省中考试题）例5、如图18-4，∆ABC 中，E 为中线AD 上一点，且AE=1/3AD.BE 的延长线交AC 于点F ，则AF:FC=＿＿＿ .A F EB DC 图18-4ADGCBEF 图18-6N M Q P E D B A 例6、 如图1，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：AB ·AC=AE ·AD.图1例7、在△ABC 中，AD 是高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，QM 在边BC 上.若BC=8cm ，AD=6cm ，且PN=2PQ ，求矩形PQMN 的周长.Ⅲ.同步测试 一、选择题1．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于………………………………（ ）（A ）91 （B ）－9 （C ）9 （D ）－91 2.在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm ，这个零件的实际长是（ ） (A)64m (B)64dm (C)64cm (D)64mm3.已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）, 则AC ∶BC = ( )(A)(5－1)∶2 (B)（5 +1）∶2 (C)（3－5）∶2 (D)（3+5）∶24 如图18-25，在□ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交与点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对(第4题图) (第5题图) (第6题图)5、小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m ），且落在对方区域离网5m 的位置上，已知他击球的高度是2.4m ，则她应站在离网的（ ）ABCDNDABEFGA.15m 处B.10m 处C.8m 处D.7.5m 处6、如图，在□ABCD 中，如果M 为CD 中点，AM 与BD 相交于点 N ，那么S △DMN ∶S □ABCD 为 （ ） A 、1∶12 B 、1∶9 C 、1∶8D 、1∶67、如图是一束平行的阳光从感教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米。

初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。

本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。

一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。

2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。

4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。

2.相似三角形的对应角相等。

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形的高成比例。

5.相似三角形的周长比等于相似比。

三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。

2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。

3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。

4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。

5.进行计算或几何分析，得出最终答案。

实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。

解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。

因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。

总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。

初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。

它是相似多边形中最简单的一种。

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。

需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。

在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。

如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。

比例有一些基本性质和定理。

比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。

需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。

比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。

其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。

例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。

反身性是指任何三角形都与自己相似。

初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB， 则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ， 求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。