复习 直线的倾斜角与斜率

平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4.掌握经过两点111(,)P x y 和222(,)P x y 的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-(12x x ≠)；5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件. 【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180α≤<． 要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②x 轴正向； ③小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率 1．定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=． 要点诠释：(1)当直线l 与x 轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0； (2)直线l 与x 轴垂直时，=90°，k 不存在.由此可知，一条直线l 的倾斜角一定存在，但是斜率k 不一定存在. 2．直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系由斜率的定义可知，当α在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较ααα斜率的大小即可，反之亦然．要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-.要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x 轴垂直；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x 轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量； (3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ； (4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得，即.因此，若21//l l ，则21k k =. 反之，若21k k =，则21//l l . 要点诠释：1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l . 要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k . 要点诠释：1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；αα21tan tan αα=21k k =2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α+45°，则（ ）A ．0°≤α＜90°B ．0°≤α＜135°C ．0°＜α≤135°D ．0°＜α＜135° 【答案】D【解析】 ∵α，α+45°均为倾斜角，∴0180045180αα︒≤<︒⎧⎨≤+︒<︒⎩，∴0°≤α＜135°．又∵直线l 与x 轴相交，∴α≠0°．故选D ．【总结升华】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例2．下列说法正确的是________．①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y 轴的对称直线的倾斜角为30°； ③若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°； ④若倾斜角α=90°，则此直线与坐标轴垂直． 【答案】 ①②【解析】 若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故①正确；若两直线关于y 轴对称，则其倾斜角互补，故②正确；当α=60°时，3α=180°，故③错误；若α=90°，则直线与x 轴垂直．故④错误．【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围．理解倾斜角的定义是解决此题的关键．举一反三：【变式1】 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确【解析】题图（1）中的角α的一边取的是x 轴的负方向，因此标注不正确； 题图（2）中的角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；题图（3）中的角α的两边分别取的是x 轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角．题图（4）中的角α是x 轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确．例3．如图所示，直线1l 的倾斜角130α=︒，直线1l 与2l 垂直，求1l ，2l 的斜率．【答案】1k =k 2=【解析】由图形可知，2190αα=+︒，则k 1，k 2可求． 直线1l的斜率11tan tan 30k α==︒=． ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°，∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键． （2）公式tan(180°－α)=－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．举一反三： 【变式1】（2016 山西曲沃县模拟）过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）的直线的倾斜角为135°，求m 的值．【答案】m =―2【解析】依题意可得：直线的斜率为―1 又直线过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）即：22223132m m m m m --+=----- 整理的2223121m m m m --=+-可求得m =―2或m =―1 经检验m =―1不合题意，故m =―2． 类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． （1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，．【答案】（1）34-（2）0（3）95（4）不存在【解析】 当倾斜角α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时，2121y y k x x -=-．（1）2(1)3314k --==---；（2）2(2)051k ---==-；（3）549235k --==--；（4）∵倾斜角α=90°，∴k 不存在．【总结升华】 应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x 轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．举一反三：【变式1】 直线l 过点A （1，2），B （m ，3），求l 的斜率．【答案】不存在或11m - 【解析】若m=1，此时l 的倾斜角为2π，显然直线斜率不存在，； 若m ≠1，则直线斜率存在，设此时斜率为k ，倾斜角为α，321tan 11k m m α-===--． 例4．已知A （a ，2），B （5，1），C （―4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值． 【答案】2 或72【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB =k BC ，∴2121545a a --=---，解得a=2或72a =． 故所求的a 的值为2或72．【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A ，B ，C 三点共线⇔A ，B ，C 中任意两点的斜率相等（如k AB =k AC ）．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．举一反三：【变式1】已知A （―3，―5），B （1，3），C （5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上． 【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+，直线BC 的斜率113251BC k -==-．因为k AB =k BC ，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B ，所以A ，B ，C 三点在同一直线上．例5．（2015春 三明月考）已知两点A （―3，4），B （3，2），过点C （2，―1）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，求出满足条件的直线l 斜率k 的取值范围． 【答案】k ≤－1或k ≥3．【解析】如图所示， ∵A （―3，4），B （3，2），C （2，―1），∴14123AC k --==-+， 12323BCk --==-； 要使过点C 的直线L 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3．【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题，也考查了数形结合的应用问题．举一反三：【变式1】 已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交，设(1,0),(1,0)B C -，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．【答案】113k -≤≤-【解析】画出图形，数形结合类型三：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫-⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ． 【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----，直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---，∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N （―1，―1）； （2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N （2，0） （4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）． 【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行．（2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合． （3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标． 【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法． 类型四：两条直线垂直的条件例8．判断下列各题中1l 与2l 是否垂直．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （1，2），2l 经过点M （―2，―1），N （2，1）； （2）1l 的斜率为―10，2l 经过点A （10，2），B （20，3）；（3）1l 经过点A （3，4），B （3，10），2l 经过点M （－10，40），N （10，40）．【解析】 求出斜率，利用1l ⊥2l ⇔k 1k 2=－1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况． （1）12(2)21(1)k --==--，21(1)12(2)2k --==--，k 1k 2=1， ∴1l 与2l 不垂直； （2）k 1=－10，2321201010k -==-，k 1k 2=－1，∴1l ⊥2l ；（3）1l 的倾斜角为90°，则1l ⊥x 轴；24040010(10)k -==--，则2l ∥x 轴，∴1l ⊥2l ．【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于―1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两条直线也垂直．例9．已知定点A （―1，3），B （4，2），以A ，B 为直径的端点，作圆与x 轴交于点C ，求交点C 的坐标．【答案】（1，0）或（2，0）【解析】 本题中有三个点A ，B ，C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k AC ·k BC =―1．列出方程，求解即可．以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥CB ．设C （x ，0），MJ 31AC k x -=+，24BC k x -=-．∴32114x x --⋅=-+-，去分母解得x=1或2． ∴C （1，0）或C （2，0）．【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．本例中，当AC 或BC 的斜率不存在时，不满足AC ⊥BC ，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论．举一反三： 【变式1】（2015春 海淀区期末）已知点A （a ，a ）（a ≠0），B （1，0），O 为坐标原点．若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）A ．11(,)22- B ．(,)22a a - C ．(,)22a a D ．11(,)22【思路点拨】设C （x ，y ），利用点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直得到关于x ，y 的方程组解之． 【答案】D【解析】设C （x ，y ），因为点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，所以11x y y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故选：D【巩固练习】1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）A ．（4，2）与（―4，1）B ．（0，3）与（3，0）C ．（3，―1）与（2，―1）D ．（―2，2）与（―2，5） 2．过点P （－2，m ），Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 3．如图，若图中直线的斜率分别为k 1， k 2， k 3，则( )321,,l llA.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 24．若直线1l ，2l 的倾斜角分别为1α，2α，且1l ⊥2l ，则（ ）A ．1290αα-=︒B ．1290αα+=︒C ．12180αα+=︒D ．1290αα-=︒ 5．直线122a y x =--与直线2y x =-+互相垂直，那么a 的值为（ ） A ．1 B ．13- C ．23- D ．―26．（2015春 黄冈期末）已知直线1l ：x +2ay ―1=0，与2l ：(2a ―1)x ―ay －1=0平行，则a 的值是（ ）A ．0或1B ．1或14 C ．0或14 D ．147．已知点A （―1，3），B （3，1），点C 在x 轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知函数2()log (1)f x x =+，且0a b c >>>，则()f a a ，()f b b ，()f c c 的大小关系为( ) A ．()()()f a f b f c a b c >> B ．()()()f a f b f c a b c <<C ．()()()f b f a f c b ac>>D ．()()()f a f c f b a c b<<9．已知点M （2m+3，m ），N （m －2，1），当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为钝角． 10．已知三点A （2，―3），B （4，3），(5,)2kC 在同一条直线上，则k=________． 11．直线210x a y ++=与直线2(1)30a x by +-+=互相垂直，a 、b ∈R 且ab ≠0，则ab 的最小值为________． 12．（2016 湖南衡阳模拟）过A （m ，1）与B （―1，m ）的直线与过点P （1，2），Q （―5，0）的直线垂直，则m =________． 13．（2016 浙江金华模拟）如果三条直线mx +y +3=0，x ―y ―2=0，2x ―y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m 的值． 14．（2015春 淮安期中）直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，其中A （－2，3），B （3，2），求实数a 的取值范围．15．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （2，4），B （1，―2），C （―2，3），求BC 边上的高AD 所在直线的斜率．【答案与解析】1．【答案】 D【解析】 选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在． 2．【答案】A【解析】 由斜率公式可求得m=1． 3．【答案】B 【解析】设直线的倾斜角分别为321,,ααα，则，根据正切函数的图像可得. 4．【答案】 D【解析】 方法一：特殊值法，令145α=︒，2135α=︒．方法二：如图，可得2390αα+=︒， ①13180αα+=︒， ②②－①，得1290αα-=︒．若1l 与2l 变换位置，则有2190αα-=︒． 5．【答案】D【解析】 ∵两直线垂直，∴()(1)12a -⨯-=-，∴a=―2．6．【分析】先检验当a =0时，是否满足两直线平行，当a ≠0时，两直线的斜率都存在，由21121a a a a ---=≠-，解得a 的值． 【答案】【解析】当a =0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x =1，x =－1，显然两直线是平行的． 当a ≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由21121a a a a ---=≠-，解得：14a =． 综上，a =0或14，故选：C ．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验． 7．【答案】 B 【解析】 设C （x ，0），则有13131x x⋅=----，即3+(x ―3)·(x+1)=0．整理，得x 2―2x=0，∴x=0或x=2． 8．【答案】Ｂ321,,l l l παπαα<<<<<32120213k k k <<11【解析】该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务()()00f x f x x x -=-的特点，由此联想到利用斜率进行求解． 作出函数2()log (1)f x x =+的大致图象．由图可知，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小．因为0a b c >>>，所以()()()f a f b f c a b c<<．故选Ｂ． 9．【答案】（－∞，－5）∪（1，+∞） {}5- （―5，1）【解析】 112(23)5MN m m k m m m --==--+--，若直线MN 的倾斜角为锐角，则105MN m k m -=>--，有1050m m ->⎧⎨-->⎩或1050m m -<⎧⎨--<⎩．解得m ＜－5或m ＞1．其他同理可得． 10．【答案】12【解析】 由k AB =k AC 解方程可得．11．【分析】由题意知，两直线的斜率之积等于－1，得到a 、b 的关系，代入ab 的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．【答案】2 【解析】由题意得22111a a b +-⨯=-，∴ 221a b a =+，∴222111a b a a+==+， ∴211|||(1)|||||2ab a a a a=⨯+=+≥，当且仅当a =1或a =－1时，取等号，故ab 的最小值为2， 故答案为2．【点评】本题考查两条直线垂直的性质，利用基本不等式求式子的最小值，注意检验最小值取得的条件是否具备．12．【答案】―2【解析】过点A （m ，1）与B （―1，m ）的直线的斜率11m m ---，过点P （1，2），Q （―5，0）的直线的斜率为：201153-=+． 因为两条直线垂直，所以11113m m -⨯=---，解得m =―2． 故答案为：―2．13．【答案】―1或―2或34- 【解析】①mx +y +3=0与x ―y ―2=0平行时，m =―1，此时满足题意，所以m =―1；②mx +y +3=0与2x ―y +2=0平行时，m =―2，此时满足题意，所以m =―2；③联立x ―y ―2=-，2x ―y +2=0得20220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得：46x y =-⎧⎨=-⎩，12即x ―y ―2=0与2x ―y +2=0的交点坐标为（―4，―6），根据题意所求直线过（―4，―6）， 代入得，34m =-， 综上m 的值是―1或―2或34-． 14．【分析】由题意得直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m 的取值范围． 【答案】54(,)[,)23-∞-+∞ 【解析】由题意得，直线mx +y +2=0化为y =―mx ―2，则直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），画出图象：∴直线P A 的斜率是325202+=---，直线PB 的斜率是224303+=-， ∵直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，∴直线mx +y +2=0在直线P A 和直线PB 之间，且直线PB 按逆时针转动，直线P A 按顺时针转动，则实数m 的取值范围是54(,)[,)23-∞-+∞， 15．【答案】35【解析】由题意可知BC 边所在直线的斜率为2351(2)3BC k --==---．因为AD ⊥BC ，所以135AD BC k k =-=，所以BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35．。

直线的倾斜角与斜率笔记直线是我们生活中常见的几何概念之一，研究直线的性质有助于我们更好地理解和应用这个概念。

在研究直线时，我们经常遇到两个重要的概念：倾斜角和斜率。

本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的定义、计算方法以及它们之间的关系。

一、倾斜角的定义和计算方法倾斜角是指直线与水平线之间的夹角。

在几何中，我们通常使用斜率来计算直线的倾斜角。

斜率表示直线上两个点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。

具体计算方法如下：假设有直线通过两个点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁ ≠ x₂。

1. 计算纵坐标的变化量△y = y₂ - y₁。

2. 计算横坐标的变化量△x = x₂ - x₁。

3. 计算斜率 k = △y / △x。

4. 计算倾斜角θ = arctan(k)。

需要注意的是，当直线平行于水平线时，即斜率为0时，倾斜角为0度。

当直线垂直于水平线时，斜率不存在，我们将其倾斜角定义为90度。

举个例子来说明倾斜角的计算方法：例如，有两个点A（2，3）和B（5，9）。

我们可以按照上述方法计算倾斜角。

1. △y = 9 - 3 = 6。

2. △x = 5 - 2 = 3。

3. k = 6 / 3 = 2。

4. θ = arctan(2) ≈ 63.43度。

所以，通过A（2，3）和B（5，9）两点的直线的倾斜角约为63.43度。

二、斜率的定义和计算方法斜率是直线上两个点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比，它是描述直线 steepness（陡峭程度）的一个重要指标。

前文中已经提到，斜率的计算方法是通过纵坐标和横坐标的变化量之比得到的。

假设有直线通过两个点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁ ≠ x₂。

斜率的计算方法是 k = △y / △x。

我们来看一个具体的例子：例如，有两个点A（2，3）和B（5，9）。

通过计算纵坐标和横坐标的变化量之比，我们可以得到直线的斜率。

△y = 9 - 3 = 6。

直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角重点二、斜率(倾斜角为α)重点三、两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2⇔α＝β．重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1．下列命题正确的是（ ）．A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【解析】倾斜角为90︒的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[)0,απ∈时，其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.考点点睛： 1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】直线AB 的斜率k ==,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．考点3、两直线平行关系的判断与应用例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ⨯-⨯=⎧∴⎨⨯-⨯≠⎩，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4．已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．34π C ．3π D ．4【答案】B【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34π.故选B 。

直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。

直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。

本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。

一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。

它通常用角度或弧度来度量。

倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。

倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。

要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。

假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。

二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。

斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。

通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。

对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。

斜率也可以是整数、小数或无穷大。

当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。

三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。

斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。

通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。

通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。

第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。

直线的知识点总结一、 直线的倾斜角与斜率：1. 直线的倾斜角：1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转所得的最小正角；规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率：1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

2) 公式： tan k α=a.当[)οο90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当()οο180,90∈α时，0<k ，随着α的增大，斜率k 也增大； 当ο90=α 时，k 不存在,即直线与y 轴平行或者重合.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.b. 如果知道直线上两点()11,A x y ，()22,B x y2112122112()AB y y y y k x x x x x x --==≠-- 注意：(1)特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. (2)k 与A 、B 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

c ．设直线():00l Ax By C B ++=≠ 则A k B=-注：三点A ，B ，C 共线，则AB BC k k =二、直线的方程：①点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.注意：当直线的倾斜角为0°时，k=0，直线的方程是y =y 0。

当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。

第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。

y －y 1 x －x 1 y 2－y 1 x 2－x 1＋ ＝1 不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 k ＝tan α ，当 α∈⎢0，π⎪时，α 越大，斜率 k 就越 大，同样 α∈ π，π⎪时也是如此，但当 α∈[0，π)且 α≠ 时就不是了．第九章 平面解析几何第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 α≠90°，则斜率 k ＝tan__α ．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线 l 上且 x 1≠x 2，则 l 的斜率 k ＝3．直线方程的五种形式y 2－y 1 x 2－x 1．名称点斜式斜截式已知条件斜率 k 与点(x 1，y 1)斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b方程y －y 1＝k(x －x 1)y ＝kx ＋b 适用范围不含直线 x ＝x 1不含垂直于 x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)截距式直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a ，b一般式＝(x 1≠x 2，y 1≠y 2)x ya b(a ≠0，b ≠0)Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)不含直线 x ＝x 1(x 1＝ x 2)和直线 y ＝y 1(y 1＝y 2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面直角坐标系内的直线都适用导师提醒1．掌握直线倾斜角和斜率的关系⎡ ⎫ ⎣ 2 ⎭⎛ ⎫ π ⎝ 2 ⎭22．识记几种特殊位置的直线方程(1)x 轴：y ＝0.(2)y 轴：x ＝0.解析：选 B.设直线的倾斜角为 α，则 tan α ＝ 3，因为 α∈[0，π)，所以 α＝ .解析：选 C.由题意知直线的斜率 k ＝－ ＜0，直线在 y 轴上的截距 b ＝－ ＞0，故选 C.经过两点 A(4，2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 3π，则 y ＝________．(3)平行于 x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)．(4)平行于 y 轴的直线：x ＝a(a ≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx. 3．关注两个易错点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为 0，这是解题时容易忽略的一点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．() (2)直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点 P(x 0，y 0)的直线都可以用方程 y －y 0＝k(x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x － x 1)(y 2－y 1)表示．()答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点 P 0(2，－3)，倾斜角为 45°的直线方程为()A ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0D ．x －y －5＝0解析：选 D.由点斜式得直线方程为 y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即 x －y －5＝0，故选D.直线 3x －y ＋a ＝0 的倾斜角为( )A ．30°C ．150°B ．60°D ．120°π3如果 AC ＜0，BC ＜0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0 不通过( )A ．第一象限C ．第三象限B ．第二象限D ．第四象限A CB B4解析：tan＝＝＝y＋2，4－2解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.B.⎣0，⎦∪⎣，π⎫C.⎣0，⎦D.⎣0，⎦∪⎝2，π⎫1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.kBP＝＝－3，所以直线l的斜率k∈－∞，－3∪1，＋∞.(][)－∞，－3＝1，k3π2y＋1－（－3）2y＋442因此y＋2＝－1，y＝－3.答案：－3直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．k k k k4343答案：－24直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A.[0，π)⎡π⎤⎡3π44⎭⎡π⎤4⎡π⎤⎛π4⎭(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－π3π44(2)如图，因为kAP＝1－0＝1，2－13－00－1【答案】(1)B(2)(]∪[1，＋∞)[迁移探究1](变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以k AP＝3－0＝＝ 3.0－（－1）1－02－（－1）3BP如图可知，直线l斜率的取值范围为⎡，3⎤.y－y1(x1≠x2)求x2－x[)率求倾斜角的范围时，要分⎢0，π⎪，与 π，π⎪三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈⎢0，π⎪时，斜率k∈0，＋∞；当α＝时，斜率不存在；当α∈ π，π⎪时，斜率) ()221⎣3⎦[迁移探究2](变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解：如图，直线P A的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x，y)，B(x，y)，一般根据斜率公式k＝211221斜率．[提醒]直线倾斜角的范围是0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡⎫π⎛⎫⎣2⎭⎝2⎭⎡⎫[π⎛⎫⎣2⎭⎝2⎭k∈－∞，0.1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3C．k3<k2<k1B．k3<k1<k2D．k1<k3<k2且α>α，所以0<k<k，因此k<k<k.故选D.6－45－43．已知点(－1，2)和⎝，0⎭在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值⎛3，0⎫在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋a＋1⎭>0，解得－3<a<－1，即直线l的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是 2π，3π⎪.答案：⎝3，4⎭(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为10设倾斜角为α，则sinα＝10(0≤α＜π)，从而cosα＝±310，则k＝tanα＝±1.故所求直线方程为y＝±1(x＋4)，(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，12－a解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，23321322．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝5－3a－3＝1，k＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即aAB＝4.答案：4⎛3⎫3范围是________．解析：点(－1，2)和⎝3⎭⎛3⎫1)⎝3⎛⎫⎝34⎭⎛2π3π⎫求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：10；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．101033即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.x ya＋＝1，解得a＝－4或a＝9.＝5，解得k＝3.所以直线方程为y＝－2x，即2x＋5y＝0.又直线过点(－3，4)，从而－3a412－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋14故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为＝－1，2所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2，55故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.x＋y＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a2a a【 解 】 法一： 设直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1(a >0 ， b >0) ，将点 P(3 ， 2) 代入得 ＋ ＝1≥26 ，得 ab ≥24，从而 S ＝1ab ≥12，当且仅当3＝2时等号成立，这时k ＝－b ＝－2， ab 2 a b a 3则 A ⎛3－，0⎫，B(0，2－3k)， S △ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭ ＝1⎢12＋（－9k ）＋ ⎦－k ⎦⎢ ＝1×(12＋12)＝12， 解：法一：由原例题解法一知 ＋ ＝1.又过点(3，4)，由点斜式得 y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0 或 x ＋y －7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程．x y 3 2a b a b△AOB从而所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.△所以 ABO 的面积的最小值为 12，所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k <0，可设直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3)(k<0)，2⎝ k ⎭1 ⎛ 2⎫2 ⎡4 ⎤ 2⎣ －k ⎥≥1⎡12＋22⎣4 ⎤（－9k ）· ⎥2当且仅当－9k ＝ 4 ，即 k ＝－2时，等号成立．此时直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.－k3△所以 ABO 的面积的最小值为 12，所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.[迁移探究] (变问法)若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时 l 的方程．3 2a b因为|OA|＋|OB|＝a ＋b ，⎫3b2a＋＝5＋＋≥5＋26.所以(a＋)⎛|OA|＋|OB|＝3－＋2－3k(k<0)－⎫＋(－3k)＝5＋⎛此时直线l的方程为y－2＝－6(x－3)，此时，直线l的方程为x＋＝1，≥5＋2⎛－2⎫·（－3k）＝5＋26.32⎝a b⎭a b当且仅当2a＝3b，且3＋2＝1，a b即a＝3＋6，b＝2＋6时，|OA|＋|OB|的最小值为5＋2 6.y3＋62＋6即6x＋3y－6－36＝0.法二：由原例题解法二知2k2⎝k⎭⎝k⎭当且仅当－2＝－3k，即k＝－6时，k3|OA|＋|OB|取最小值5＋2 6.3即6x＋3y－6－36＝0.(1)给定条件求直线方程的思路①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．(2)与直线有关的最值问题的解题思路①借助直线方程，用y表示x(或用x表示y)；②将问题转化成关于x(或y)的函数；③利用函数的单调性或基本不等式求最值．1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是()（a－1）·＝9.1⎫215，当a＝1⎛a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝⎝a－2⎭＋2a b cf（b）f（c）a b cA．1C．2解析：选D.当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝B.2D．3a＋3a＋3，令t＝a＋3＋a－1a－1＝5＋(a－1)＋4a－1.因为a>1，所以a－1>0.所以t≥5＋24（a－1）当且仅当a－1＝4，即a＝3时，等号成立．a－12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为112242时，面积最小．1答案：构造直线的斜率，利用数形结合法求解问题一、比较大小已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则f（a）f（b）f（c），，的大小关系为________．【解析】作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以f（a）<<.a b c【答案】f（a）f（b）f（c）<<f（a）f（b）对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这a b两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3接P A，PB，则k≤k≤k.＝4，k＝1－（－2）3＝8，所以4≤k≤8，故的最大值是8，最小值是4.－1－（－2）x＋2y2－y1c＋dx已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：a＋m>a.连接OP，PM，则k＝a，k＝.b＋m所以k>k，即b＋m bx＋2的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连P A PB易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k＝P A1－（－3）PB5－（－3）y＋333对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直x2－x1a＋bx线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式b＋m b【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．a＋mOP b MP因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，MP OPa＋m a>.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6，4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．＝1×4a × 5a ， a －1＝ 10a ＝10 ⎡ 1 ＋2⎤ a －1 ⎥≥40， a －1 形为 y ＝－a x －c .易知－a <0 且－c>0，故 ab >0，bc<0.3．两直线 － ＝a 与 － ＝a(其中 a 为不为零的常数)的图象可能是()解析：选 B.直线方程 － ＝a 可化为 y ＝ x －na ，直线 － ＝a 可化为 y ＝ x －ma ，由此解：设点 Q 坐标为(a ，4a)，PQ 与 x 轴正半轴相交于 M 点．由题意可得 a ＞1，否则不能围成一个三角形．PQ 所在的直线方程为：y －4＝ 4a －4(x －6)，a －6令 y ＝0，x ＝ 5a，a －1因为 a ＞1，所以 S △OQM2则 S △OQM 2 ⎛a 2－2a ＋1＋2a －2＋1⎫ ⎪a －1 ⎝ ⎭＝10⎢（a －1）＋ ⎣ ⎦当且仅当(a －1)2＝1 时取等号．所以 a ＝2 时，Q 点坐标为(2，8)，所以此时直线 l 的方程为：x ＋y －10＝0.[基础题组练]1．倾斜角为 120°，在 x 轴上的截距为－1 的直线方程是()A. 3x －y ＋1＝0C. 3x ＋y － 3＝0B. 3x －y － 3＝0D. 3x ＋y ＋ 3＝0解析：选 D.由于倾斜角为 120°，故斜率 k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为 y ＝－3(x ＋1)，即 3x ＋y ＋ 3＝0.2．直线 ax ＋by ＋c ＝0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a ，b ，c 应满足()A ．ab >0，bc <0C ．ab <0，bc >0B ．ab >0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选 A.由于直线 ax ＋by ＋c ＝0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变b b b bx y x ym n n mx y n x y mm n m n m nC ．k ＞ 或 k ＜－1解析：选 D.设直线的斜率为 k ，则直线方程为 y －2＝k(x －1)，直线在 x 轴上的截距为 1－ .令－3＜1－2＜3，解不等式得 k ＜－1 或 k ＞1.解析：选 C.令 x ＝0，得 y ＝ ，所以所求三角形的面积为1⎪ ⎪|－b |＝1b 2，且 b ≠0，1b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范 6．过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y ＝3x 的斜率的－ 的直线方程为________．k ＝－ ×3＝－ .因此所求直线方程为 y ＋3＝－3(x ＋1)，可知两条直线的斜率同号．4．(2019· 广东惠州质检)直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率 k 的取值范围是()A ．－1＜k ＜ 15B ．－1<k < 1215D ．k ＜－1 或 k > 1 22kk 25．直线 x －2y ＋b ＝0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)b2令 y ＝0，得 x ＝－b ，b 2⎪2⎪ 4 4围是[－2，0)∪(0，2]．14解析：设所求直线的斜率为 k ，依题意1 34 4又直线经过点 A(－1，－3)，4即 3x ＋4y ＋15＝0.答案：3x ＋4y ＋15＝07．已知直线 l ：ax ＋y －2－a ＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是________．解析：由题意可知 a ≠0.当 x ＝0 时，y ＝a ＋2.当 y ＝0 时，x ＝ a ＋2a.(2)斜率为 .解：(1)设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－ －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎛ ＋3⎫＝±6，解得 k ＝－2或 k ＝－8.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，则直线 l 的方程是 y ＝ x ＋b ，它在 x 轴上的截距是－6b ，1 23a ＋2 所以 ＝a ＋2，a解得 a ＝－2 或 a ＝1.答案：－2 或 18．设点 A(－1，0)，B(1，0)，直线 2x ＋y －b ＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是________．解析：b 为直线 y ＝－2x ＋b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y ＝－2x ＋b 过点 A(－1，0)和点 B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以 b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(－3，4)；164k4 ⎝k ⎭ 3 3故直线 l 的方程为 2x ＋3y －6＝0 或 8x ＋3y ＋12＝0.16由已知，得|－6b · b |＝6，所以 b ＝±1.所以直线 l 的方程为 x －6y ＋6＝0 或 x －6y －6＝0.10.如图，射线 OA ，OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA ，OB 于 A ，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y ＝12 x 上时，求直线 AB 的方程．解：由题意可得 k OA ＝tan 45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－ 3，所以直线 l ：y ＝x ，l ：y ＝－ 3x.所以 AB 的中点 C m － 3n ，m ＋n ⎪，由点 C 在直线 y ＝1x 上，且 A ，P ，B 三点共线得2 m －2 ⎩1＝ 3n 03－1 所以 l ：y ＝ 3＋ 3(x －1)，线 l 的最大距离为 3，则 1 ＋ 的最小值为()4 所以 a ＋c ＝2，则 1 ＋2＝1(a ＋c )· ⎛ 1 ＋2⎫ ＝1⎛ ＋ c ＋2a ⎫⎝2a c ⎭ 2⎝2 2a c ⎭≥2⎝2＋2OA OB 3设 A(m ，m )，B(－ 3n ，n)，⎛ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭2⎧⎪m ＋n ＝1 · 2 3n ，⎨ ⎪m －0 － n － －1，解得 m ＝ 3，所以 A( 3， 3)．又 P(1，0)，所以 k ＝k ＝AB AP 3＝3＋ 3， 2AB 2即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x －2y －3－ 3＝0.[综合题组练]1．在等腰三角形 MON 中，MO ＝MN ，点 O(0，0)，M (－1，3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0C ．3x －y ＋6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选 C.因为 MO ＝MN ，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以 k MN＝－k MO ＝3，所以直线 MN 的方程为 y －3＝3(x ＋1)，即 3x －y ＋6＝0，选 C.2．(创新型)已知动直线 l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点 P(1，m )且 Q(4，0)到动直22a cA. 9 29 B. C ．1D ．9解析：选 B.因为动直线 l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点 P(1，m )，所以 a ＋bm ＋c－2＝0，又 Q(4，0)到动直线 l 的最大距离为 3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得 m ＝0，2a c 25 1⎛5 c · 2a ⎫＝9，当且仅当 c ＝ 2a c ⎭ 42a ＝ 时取等号，故选 B.⎧－2＋2＝1，解析：设 M (x ，y)，由 k MA k MB ＝3，得 yy ＝3，即 y ＝3x －3.得⎛ 2－3⎫x 2＋2 3x ＋6＝0.⎛2 3⎫2－24⎛ 1 －3⎫ k MB之积为 3，则Δ＝⎝ m ⎭ ⎝m 2 ⎭ 6 所以实数 m 的取值范围是⎛－∞，－ 6⎤∪⎡ 6，＋∞⎫.答案：⎝－∞，－ ∪⎣ 6 3－1 ＝4 33．直线 l 过点(－2，2)且与 x 轴、y 轴分别交于点(a ，0)，(0，b )，若|a|＝|b |，则直线 l 的方程为____________．解析：若 a ＝b ＝0，则直线 l 过(0，0)与(－2，2)两点，直线 l 的斜率 k ＝－1，直线 l 的方程为 y ＝－x ，即 x ＋y ＝0.若 a ≠0，b ≠0，则直线 l 的方程为x ＋y＝1，a b由题意知 ⎨ a b ⎩|a|＝|b |，⎧a ＝－4，解得⎨⎩b ＝4，此时，直线 l 的方程为 x －y ＋4＝0.答案：x ＋y ＝0 或 x －y ＋4＝04．已知直线 l ：x －my ＋ 3m ＝0 上存在点 M 满足与两点 A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率 k MA 与 k MB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是____________．2 2 x ＋1 x －1⎧x －my ＋ 3m ＝0， 联立⎨⎩y 2＝3x 2－3，1 ⎝m ⎭ m要使直线 l ：x －my ＋ 3m ＝0 上存在点 M 满足与两点 A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率 k1 ≥0，即 m 2≥ .⎝ 6 ⎦ ⎣ 6⎭ MA 与⎛ 6⎤ ⎡ 6 ⎫ 6 ⎦，＋∞⎭5．(应用型)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线 BC 经过 B(2，1)和 C(－2，3)两点，由两点式得 BC 的方程为 y －1x －2－2－2 ，(3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k 1＝－ ，2即 x ＋2y －4＝0.(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x ，y)，2－2 1＋3则 x ＝ ＝0，y ＝ ＝2.2 2BC 边的中线 AD 经过 A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得 AD 所在直线的方程为 x ＋y＝1，－3 2即 2x －3y ＋6＝0.1则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k ＝2.2由(2)知，点 D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线 DE 的方程为 y －2＝2(x －0)，即 2x －y ＋2＝0.6．(应用型)已知直线 l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线 l 过定点：(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于 B ，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S的最小值，并求此时直线 l 的方程．解：(1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x ＋2)＋(1－y)＝0，⎧x ＋2＝0， 令⎨⎩1－y ＝0，⎧x ＝－2， 解得⎨⎩y ＝1，所以无论 k 取何值，直线 l 总过定点(－2，1)．(2)直线方程可化为 y ＝kx ＋1＋2k ，当 k ≠0 时，要使直线不经过第四象限，⎧k >0， 则有⎨⎩1＋2k ≥0，解得 k >0；当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意．(3)依题意得 A － ，0⎪，B(0，1＋2k)，⎧－1＋2k 且⎨<0，所以 S ＝1 |OA| |OB|＝1 ⎪－1＋2k ⎪ |1＋2k| k1 （1＋2k ）2＝1⎛ 4k ＋ ＋4⎫⎭≥ ×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是 4k ＝ ，此时 k ＝ ，综上，k 的取值范围是 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ ⎭k⎩1＋2k >0，解得 k>0.⎪ ⎪ 2 2 ⎪ k ⎪＝ 2 k 2⎝ 1 1 k 21 1k 2所以 S min ＝4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.。