2013高考人教A版文科数学一轮强化训练：8.5直线、圆的位置关系

第八章 第五节 直线、圆的位置关系(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：由于d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2＝r ， ∴直线与圆相切．答案：B2．(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |最小值为2 3.答案：B3．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解析：将两圆方程分别化为标准式圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9，则|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2＝2m 2＋2m ＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3∴两圆相离．答案：D4．(2011·济南模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4解析：圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2， 则(2)2＋(|a －2|2)2＝22， ∴a ＝0或4.答案：D5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离解析：∵点P (a ，b ) (ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2，k OP ＝b a ，k m ＝－a b， 直线l 的斜率k l ＝－a b＝k m ， ∴m ∥l ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r . ∴l 与圆相离．答案：C6．(2010·湖北高考)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－4x －x 2与直线y ＝x ，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点．注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1±2 2.结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]． 答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是______________．解析：圆心坐标为C (1,0)，弦AB 的垂直平分线斜率为32，故其方程为y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.答案：3x －2y －3＝08．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：先求出圆心C (x 0，y 0)坐标．⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－22＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 令圆半径为r ，(0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3，∴r 2＝32＋32＝18，∴x 2＋(y ＋1)2＝18.答案：x 2＋(y ＋1)2＝189．(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1， 即要求圆心到直线的距离小于1， 即|c |122＋(－5)2<1， 解得－13<c <13.答案：(－13,13)三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0②联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点，∴⊥，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4，∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.12．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1， 直线l 的斜率k ＝m m 2＋1， 因为|m |≤12(m 2＋1)， 所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12. 圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．高╚考≒试ο题﹥库。

第4课 直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是-6＜a ＜42.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于23.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的方程为 x =2或3x -4y -2=0 .【范例导析】例1.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.求实数a 、b 间满足的等量关系.解：连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a .例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1， l 2都相切. (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：（1）直线1:2,l y =设12l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，2k ∴=∴反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)，圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ，又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=81b ∴=+=-，圆C 的半径r=3， 故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=.例2（2）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则00004224y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得(2)B '-，固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为33B C '-=-.此时由121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩1)2P .【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为20x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是-（ 3.设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+，圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1，0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为)23,21(- 6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥，求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥，所以圆心C 到直线l ，解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.。

第五节 直线、圆的位置关系强化训练当堂巩固1.若直线l :ax+by=1与圆C:221x y +=有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C 的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案:C解析:由题意知1d =<,∴221a b +>.从而点P(a,b)在圆外. 2.两圆2261648x y x y +-+-=0与224x y x ++-8y-44=0的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:将两圆方程化为标准方程为2222(3)(8)121(2)(4)64x y x y -++=,++-=. ∴11(38)11O r ,-,=;22(24)8O r -,,=.∵|12O O |13==,∴3<|12O O |<19,∴两圆相交,从而公切线有两条.3.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0则a 的值为( ) A.-2或2 B.12或32 C.2或0D.-2或0答案:C解析:圆心为(1,2),= 化简得|a-1|=1,解得a=0或4.已知1(0)2A B -,,是圆F:221()4(2x y F -+=为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P,则动点P 的轨迹方程为 .答案:22413x y += 5.以点(2,-1)为圆心,与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 .答案:22(2)(1)9x y -++=解析:半径324(1)535r |⨯-⨯-+|==,∴圆的方程为22(2)(1)9x y -++=. 6.已知圆2225(2)4x y ++=的圆心为M,圆221(2)4x y -+=的圆心为N,一动圆P 与这两圆都外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹方程;(2)若过点N 的直线l 与(1)中所求轨迹有两个交点A 、B,求AM BM ⋅的取值范围. 解:(1)设动圆P 的半径为r,则|PM|52r =+,|PN|=r +12,相减得|PM|-|PN|=2.由双曲线定义知,点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,焦距为4,实轴长为2的双曲线右支,其双曲线方程为221(1)3y x x -=≥. (2)当直线l 的斜率k 存在时,设直线l 的斜率为k.22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩ 2222(3)4430k x k x k ⇒-+--=. 由 1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩ 23k ⇒>.设1122()()A x y B x y ,,,,则11AM (2)x y BM =--,-,2(2x =--,2)y -,AM BM ⋅1212(2)(2)x x y y =----+212121242()(2)(2)x x x x k x x =++++--22279127733k k k -==+>--. 当k 不存在时1212233x x y y ,==⇒=,=-.∴AM =(-4,-3), BM =(43)AM BM-,⇒⋅综上可得AM BM ⋅7≥. 课后作业巩固提升见课后作业B题组一 直线与圆的位置关系1.过原点且倾斜角为60的直线被圆2x +240y y -=所截得的弦长为( )B.2D.答案:D 解析:利用|AB|=易知选D.2.若直线y=k(x-2)与曲线y =,则( )A.k最小值 B.k 有最大值12,最小值12- C.k 有最大值0,最小值 D.k 有最大值0,最小值12-答案:C题组二 圆与圆的位置关系3.已知01r <<+,则圆222x y r +=与2(1)x -+2(1)2y +=的位置关系是( )A.外切B.内含C.相交D.相离答案:C解析:两圆连心线长|12O O |=设两圆的半径分别为12r r ,,则12r r r +=|12r r -r -|,因为01r <<,11r r <<+,<<.所以r |<|12O O |r <+.所以两圆相交.4.两个圆1C :22222x y x y +++-=0与2C :22421x y x y +--+=0的公切线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B5.两圆22640x y x y +++=和22424x y x y +++-=0的公共弦所在直线方程为 .答案:x+y+2=0题组三 有关圆的切线问题6.由直线y=x+1上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为( )A.1B.D.3答案:C解析:设00()P x y ,为直线y=x+1上一点,圆心C(3,0)到P 点的距离为d,切线长为l ,则l =当d 最小时l 最小,当PC 垂直于直线y=x+1时,d 最小,此时d ==∴min l ==.7.若实数x,y 满足22(2)3x y -+=,则y x的最大值是 .答案题组四 有关圆的弦长、中点弦问题8.圆224x y +=0y +-=所得的弦长是( )A.2B.1D.答案:A9.与x 轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线y=x 截得的弦长等于程为 .答案:22(1)(3)9x y +++=或22(1)(3)9x y -+-=解析:∵圆心在直线3x-y=0上,故可设圆心又∵圆与x 轴相切,∴r=|3a|,从而设圆的方程为222()(3)(3)x a y a a -+-=.由弦心距d ==|a|,∴222)(3)a +=,解得1a =±.当a=-1时,3a=-3,r=3,圆方程为22(1)(3)9x y +++=;当a=1时,3a=3,r=3,圆方程为22(1)(3)9x y -+-=. 题组五 直线、圆的位置关系综合问题10.已知m ∈R ,直线l:2(1)4mx m y m -+=和圆C:2x +28416y x y -++=0.(1)求直线l 斜率的取值范围;(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧?为什么? 解:(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-,++ 直线l 的斜率21m k m =,+ 因为|m|21(1)2m ≤+, 所以|k|2121m m ||=≤,+当且仅当|m|=1时等号成立. 所以斜率k 的取值范围是11[]22-,. (2)不能.由(1)知l 的方程为y=k(x-4),其中|k|12≤. 圆C 的圆心为C(4,-2),半径r=2.圆心C 到直线l 的距离d =.由|k|12≤,得1d ≥>,即2r d >. 从而,若l 与圆C 相交,则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧. 11.已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0求该圆的方程. 解:设圆的方程为222()()x a y b r -+-=.令x=0,得222220y by b a r -++-=.|12y y -|2===,得2r =21a +.①令y=0,得222220x ax a b r -++-=,|12x x -==,得222r b =. ②由①②,得2221b a -=.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0得d ==即21a b -=±.综上可得 222121b a a b ⎧-=,⎨-=⎩ 或 222121b a a b ⎧-=,⎨-=-,⎩解得 11a b =-,⎧⎨=-⎩ 或 11a b =,⎧⎨=.⎩ 于是2222r b ==. ∴所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或2(1)x -+2(1)2y -=.12.已知点P 是圆C:221x y +=外一点,设12k k ,分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率.(1)若点P 坐标为(2,2),求12k k ⋅的值;(2)若12(10)k k λλ⋅=-≠-,,求点P 的轨迹M 的方程,并指出曲线M 所在圆锥曲线的类型.解:(1)设过点P 的切线斜率为k,方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.1=,化简得23k -8k+3=0,可知12k k ,就是此方程的根,所以121k k ⋅=.(2)设点P 坐标为00()x y ,,过点P 的切线斜率为k,则方程为00()y y k x x -=-, 即kx-y-2k+2=0.1=,化简得2220000(1)2(1)0x k x y k y --+-=. ① 因为12k k ,存在,则01x ≠±,且200(2)x y ∆=-204(1)x -222000(1)4(1)0y x y -=+->.12k k ,是方程①的两个根,所以20122011y k k x λ-⋅==-,- 化简得22001x y λλ+=+, 即所求的曲线M 的方程为221x y λλ+=+(1)x ≠±若(1)M λ∈-∞,-,所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的双曲线; 若(10)M λ∈-,,所在圆锥曲线是焦点在y 轴上的双曲线; 若(01)M λ∈,,所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的椭圆;若1M λ=,所在圆锥曲线是圆;若(1)M λ∈,+∞,所在圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。

直线与圆的位置关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线x+y-1=0与圆M:+-2ax-2y=0交于A,B两点,若AMB=4MAB,则a=（）A. 2B. 1C. 2或-1D. 1或-22.已知直线l:x-y+4=0与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为( )A. B. 3 C. D. 33.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )A. B. C. D.4.已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )A. (，＋∞)B. [，＋∞)C. [，2)D. [，2)二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。

在每小题有多项符合题目要求）5.已知圆，下列命题正确的是A. 为过点的圆C的一条切线B. 为过点的圆C的一条切线C. 为过点的圆C的一条切线D. 为过点的圆C的一条切线6.已知集合A={(x，y)|x-y+a=0}，B={(x，y)|x=}，若集合A⋂B中只有一个元素，则实数a的可能取值为（）A. -1B. 1C.D.7.已知直线y=x+b与圆+=16交于A、B两点,且|+|=|-|(其中O为坐标原点),则实数b的值可以是（）A. -4B. -2C. 2D. 48.已知圆O的方程为，过第一象限内的点作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（）A. 直线AB的方程为B. 四点O、A、P、B共圆C. 若P在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2D. 若，则的最大值为9.已知圆C过点A(1,3)、B(2,2),直线m:3x-2y=0平分圆C的面积,过点D(0,1)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N,则( )A. 圆心的坐标为C(2,3)B. 圆C的方程为+=1C. k的取值范围为(,)D. 当k=时,弦MN的长为10.P是直线y=2上的一个动点,过点P作圆+=1的两条切线,A,B为切点,则（）A. 弦长|AB|的最小值为B. 存在点P,使得APB=C. 直线AB经过一个定点D. 线段AB的中点在一个定圆上三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.过点且与圆相切的直线方程为.12.已知点P（x，y）是直线l：kx-y+4=0（k＞0）上的动点，过点P作圆C：x2+y2+2y=0的切线PA，A为切点，若|PA|最小为2时，圆M：x2+y2-my=0与圆C外切，且与直线l相切，则m 的值为.13.若在平面直角坐标系xOy中,直线x-y=2与直线x-y=4分别截圆+=(r>0)所得弦长之比为3:1,则r= .14.已知圆，点为直线上的一个动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过的定点的坐标为．15.已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为；直线AB 过定点.四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。

第四节直线与圆、圆与圆的地点关系[考纲传真 ] 1.能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的地点关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 .3.初步认识用代数方法办理几何问题的思想．1．判断直线与圆的地点关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： d<r? 订交； d ＝r? 相切； d>r? 相离．(2)代数法：联立直线 l 与圆 C 的方程，消去 y(或 x)，得一元二次方程，计算鉴别式＝b2－4ac， >0? 订交，＝0? 相切， <0? 相离．2．圆与圆的地点关系设圆 O1： (x－a1)2＋(y－b1)2＝ r21(r 1>0)，圆 O2：(x－ a2)2＋(y－b2)2＝r 22(r2>0).1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“ k＝ 1”是“直线x－ y＋ k＝ 0 与圆 x2＋ y2＝1 订交”的必需不充足条件．()(2)假如两个圆的方程构成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)假如两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆订交．()(4)若两圆订交，则两圆方程相减消去二次项后获得的二元一次方程是公共弦所在直线的方程． ()[分析 ]依照直线与圆、圆与圆的地点关系，只有(4)正确．[答案 ](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编 )圆 (x＋2)2＋y2＝4 与圆 (x－2)2＋(y－1)2＝9 的地点关系为() A．内切 B. 订交C．外切 D. 相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－ 2<d<3＋2，∴两圆订交．]3．(2017 ·肥调研合 )直线＋ 4y ＝ b 与圆 x 2＋ y 2－2x － 2y ＋1＝0 相切，则 b3x的值是()A ．－2 或 12 B.2 或－ 12 C ．－2 或－ 12D.2 或 12D [由圆 x 2＋ y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心 (1,1)，半径为 1，所以|3×1＋4× 1－ b|32＋42＝ 1，解得 b ＝2 或 12.]4 ．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x ＋2y －3＝0 被圆 (x －2) 2＋ (y ＋ 1)2＝4截得的弦长为 __________．255 [ 圆心为 (2，－ 1)，半径 r ＝2.5圆心到直线的距离 d ＝ |2＋2× －1 －3| 3 51＋ 4＝ 5 ，22－ 32 55所以弦长为 2r 2－d 2＝25 5 2＝5 .]5．(2016 ·国卷Ⅰ全 )设直线 y ＝x ＋2a 与圆 C ：x 2＋y 2－ 2ay － 2＝ 0 订交于 A ，B 两点，若 |AB|＝2 3，则圆C 的面积为 ________．4π [圆 C ： x 2＋y 2－2ay － 2＝ 0 化为标准方程是 C ：x 2＋ (y －a)2＝ a 2＋2，所以圆心 C(0， a)，半径 r ＝ a 2＋ 2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y ＝x ＋ 2a 即 x|0－ a ＋ 2a|2 3 2 |0－a ＋2a| 22＋2， － y ＋2a ＝0 的距离 d ＝，由勾股定理得2 ＋2＝a2解得 a 2＝ 2，所以 r ＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝ 4π .]直线与圆的地点关系(1)(2017 豫·南九校联考 )直线 l ：mx － y ＋ 1－ m ＝0 与圆 C ：x 2＋(y －1)2＝ 5 的地点关系是 ( )【导学号： 01772298】A．订交 B. 相切C．相离 D. 不确立(2)已知直线 l ：x＋ay－ 1＝ 0(a∈R)是圆 C： x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴．过点 A(－4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 |AB|＝ () A．2 B.42C．6 D.210|m|<1< 5.(1)A (2)C[(1) 法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝m2＋1故直线 l 与圆订交．法二：直线 l： mx－ y＋1－m＝ 0过定点 (1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝ 5 的内部，∴直线 l 与圆 C 订交．(2)由圆 C 的标准方程为 (x－ 2)2＋ (y－1)2＝ 4.∴圆心为C(2,1)，半径 r＝2，因为直线 x＋ay－1＝0 是圆 C：x2＋y2－ 4x－2y＋1＝0 的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线 x＋ay－1＝0 上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－ 1，∴A(－4，－ 1)．于是 |AB|2＝|AC|2－r 2＝ 40－4＝36，则 |AB|＝ 6.][规律方法 ] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的地点关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后获得的一元二次方程的鉴别式来判断直线与圆的地点关系；(2)注意灵巧运用圆的几何性质，联系圆的几何特点，数形联合，简化运算．如“ 切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长相关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练 1](1)(2017 山·西忻州模拟 )过点 (3,1)作圆 (x －1)2＋y 2＝r 2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ()A ．2x ＋ y － 5＝ 0B.2x ＋y －7＝0C ．x －2y － 5＝0D. x －2y －7＝0 (2)(2016 全·国卷Ⅲ 已知直线 l ：x － 3y ＋ ＝ 与圆 x 2＋y 2＝ 12 交于 A ，B 两) 6 0点，过 A ， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点，则 |CD|＝__________.(1)B (2)4[(1) 依题意知，点 (3,1)在圆 (x －1)2＋y 2＝ r 2 上，且为切点．1∴圆心(1,0)与切点 (3,1)连线的斜率为 2.所以切线的斜率 k ＝－ 2.故圆的切线方程为 y － 1＝－ 2(x －3)，即 2x ＋y －7＝0.(2)由圆 x 2＋ y 2＝12 知圆心 O(0,0)，半径 r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线 x － 3y ＋6＝0 的62距离 d ＝＝3，|AB|＝ 2 12－3 ＝ 2 3.过C 作CE ⊥BD 于E.如下图，则 |CE|＝|AB|＝ 2 3.∵直线l 的方程为 x － 3y ＋6＝0，3∴k AB ＝ 3 ，则∠BPD ＝30°，进而∠BDP ＝ 60°.∴|CD|＝|CE||AB|2 3sin 60 ＝＝＝4.]°sin 60 ° 32圆与圆的地点关系(2016 ·山东高考 )已知圆 M ：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x－1)2＋ (y－1)2＝1 的地点关系是 () A．内切 B. 订交C．外切 D. 相离x2＋y2－2ay＝0，B[法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．x＋y＝0∵圆M 截直线所得线段长度为22，∴a2＋－a 2＝2 2.又 a>0，∴a＝2.∴圆M 的方程为 x2＋ y2－4y＝0，即 x2＋(y－ 2)2＝ 4，圆心 M(0,2)，半径 r 1＝2.22又圆 N：(x－1) ＋(y－ 1) ＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1，∵r1－r2＝1，r 1＋r 2＝ 3,1<|MN|<3，∴两圆订交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)? x2＋ (y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)， r1＝a.∵圆M 截直线 x＋y＝ 0 所得线段的长度为 2 2，∴圆心 M 到直线 x＋y＝0 的a2距离 d＝＝ a －2，解得 a＝ 2.以下同法一． ][规律方法 ] 1.圆与圆的地点关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆订交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2， y2项获得．3．若两圆订交，则两圆的连心线垂直均分公共弦．[变式训练 2]若⊙ O：x2＋y2＝5与⊙ O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈ R)订交于A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线相互垂直，则线段AB 的长度是 __________．4 [由题意⊙O1与⊙O 在 A 处的切线相互垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝ 5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5.又 A， B 对于 OO1对称，∴AB 为 Rt△OAO1斜边上高的 2 倍．11又∵·OA·O1 A＝ OO1·AC，得 AC＝ 2.22∴AB＝ 4.]直线与圆的综合问题(2016 ·江苏高考改编 )如图 8-4-1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2＋y2－12x－14y＋ 60＝0 及其上一点 A(2,4)．图 8-4-1(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝ 6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 订交于 B，C 两点，且 BC＝OA，求直线 l 的方程．[解 ]圆 M 的标准方程为 (x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.1 分(1)由圆心 N 在直线 x＝6 上，可设 N(6，y0)．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0<y0<7，圆 N 的半径为 y0，进而 7－ y0＝5＋y0，解得 y0＝ 1.4 分所以，圆 N 的标准方程为 (x－6)2＋ (y－1)2＝1.5 分(2)因为直线 l∥OA，所以直线 l 的斜率为4－0＝2. 2－0设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，即 2x－y＋m＝0，则圆心 M 到直线 l 的距离d＝|2×6－7＋m||m＋5|＝.8 分55因为 BC＝OA＝22＋ 42＝25，22BC2而 MC ＝d ＋2，m＋5 2所以 25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.5故直线 l 的方程为 2x－y＋5＝0 或 2x－y－15＝ 0.12 分[规律方法 ] 1.(1)设出圆 N 的圆心 N(6，y0)，由条件圆 M 与圆 N 外切，求得圆心与半径，进而确立圆的标准方程．(2)依照平行直线，设出直线l 的方程，依据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法 )．[变式训练 3] (2017 ·天津南开中学模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2＋ y2＋4x－ 2y＋m＝0 与直线 x－3y＋3－ 2＝ 0 相切．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 上有两点 M， N 对于直线 x＋ 2y＝0 对称，且 |MN|＝23，求直线MN 的方程．[解 ](1)将圆 C： x2＋y2＋4x－2y＋ m＝ 0 化为 (x＋ 2)2＋ (y－1)2＝ 5－ m.1 分∵圆C：x2＋ y2＋4x－ 2y＋m＝0 与直线 x－3y＋3－2＝0 相切，4∴圆心(－2,1)到直线 x－3y＋3－ 2＝ 0 的距离 d＝＝2＝r，4分1＋3∴圆C 的方程为 (x＋2)2＋(y－1)2＝4.5 分(2)若圆 C 上有两点 M，N 对于直线 x＋2y＝ 0 对称，则可设直线 MN 的方程为 2x－y＋c＝0.7 分∵|MN|＝23，半径 r＝ 2，∴圆心(－2,1)到直线 MN 的距离为 22－ 3 2＝1.|－ 4－ 1＋ c|则＝1，∴c＝5± 5.10 分5∴直线MN 的方程为 2x－y＋5± 5＝0.12 分[思想与方法 ]1．直线与圆的地点关系表现了圆的几何性质和代数方程的联合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形联合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距 (即圆心到直线的距离 )、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式 |AB|＝2AB2A B2 A B]. 1＋k|x － x |＝1＋k[ x＋x－4x x[易错与防备 ]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，能够用勾股定理或斜率之积为“ －1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程能否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等. [归纳·知识整合] 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 方法位置关系 几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解相外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解相内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解 [探究]　2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程． [自测·牛刀小试] 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A　法一：圆心(0,1)到直线的距离 d＝<1<. 法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的． 2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B　两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<<5，所以两圆相交． 3．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　a＝，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±.因此p是q的充分不必要条件． 4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0 解析：选D　法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P在直线l上，故可排除A、B、C. 法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0. 5．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( ) A．1 B. C. D．2 解析：选D　因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB|＝2. 直线与圆、圆与圆的位置关系 [例1]　(1)(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3][1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． [自主解答]　(1)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤r＝，可得|a＋1|≤2，即a[－3,1]． (2)圆C方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故≤2，整理得(k2＋1)x2－(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解之得0≤k≤，故最大值为. [答案]　(1)C　(2) ——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解． 1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________． 解析：将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋(y－1)2＝4. 由于直线l过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝10)，化简得x2＝8y－8. 有关圆的弦长问题 [例2]　(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________． [自主解答]　(1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2×＝2＝2. 法二：代数法：联立直线和圆的方程 消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为＝2. (2)由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0. [答案]　(1)2　(2)x＋y－3＝0 ——————————————————— 求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2； ?2?代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝·|x1－x2|＝. 3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( ) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 解析：选D　圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋2＝22， 所以a＝0或a＝4. 4．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________． 解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R2＝d2＋2，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 答案：x2＋(y－1)2＝10 圆的切线问题 [例3]　已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程． [自主解答]　(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x＋y－a＝0， 由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3. 故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2， |PM|2＝|PC|2－r2. 又|PM|＝|PO|，|PC|2－r2＝|PO|2， (x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2. 2x－4y＋3＝0即为所求的方程． 若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程． 解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±)x； 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上可知，直线l的方程为 (2＋)x－y＝0或 (2－)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. ——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法 (1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0. (2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线． 5．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值． 解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知＝2， 解得k＝. 故方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. 2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法 直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合． (1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质． (2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算． 3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直； (2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用； (3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错. 创新交汇——直线与圆的综合应用问题 1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题． 2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法． [典例]　(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OAOB，求a的值． [解]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可设圆C的圆心为(3，t)， 则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为＝3. 则圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1. 1．本题有以下创新点 (1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查． (2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想． 2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点 (1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． 1．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( ) A.＋1 B．2 C. D.－1 解析：选A　直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2， a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝＝，当b＝－时，|PM|max＝＝＋1. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1， 解得－13<c<13. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是( ) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＝0 D．y＝0 解析：选C　圆心为(1，－)，半径为1，故x＝0与圆相切． 2．已知直线l：y＝k(x－1)－与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D.π 解析：选D　由题意知，＝1，得k＝－， 故直线l的倾斜角为π. 3．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解析：选A　把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－30，解得－<k0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8. 2．(2012·天津高考)设m，nR，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( ) A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ][1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ][2＋2，＋∞) 解析：选D　由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2. 3．已知O的方程是x2＋y2－2＝0，O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向O与O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________． 解析：O的圆心为(0,0)，半径为，O′的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝. 答案：x＝ 4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：依题意，设l的方程为y＝x＋b， x2＋y2－2x＋4y－4＝0， 联立消去y得 2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ∵以AB为直径的圆过原点， ⊥，即x1 x2＋y1y2＝0， 而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2， 2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， 由得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0， b＝1或b＝－4. 满足条件的直线l存在，其方程为 x－y＋1＝0或x－y－4＝0.。

第二节 直线与圆的位置关系 强化训练当堂巩固1.如图,AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点23a P PD ,=,30OAP ∠= ,则CP= .答案:98a解析:∵点P 是AB 的中点, ∴OP AB ⊥.又∵30OAP ∠= ,且圆O 的半径为a,∴AP PB =,=. 由题意知23PD a =,由相交弦定理知AP PB PD CP ⋅=⋅,∴98AP PB CP a PD ⋅===. 2.如图,点A 、B 、C 是圆O 上的点,且AB=430ACB ,∠= ,则圆O 的面积等于.答案:16π解析:如题图所示:60BOA ∠= ,△ABO 是正三角形,∵AB=4, ∴OA=4. ∴S=16π.3.如图,已知PA 是O 的切线,A 是切点,直线PO 交O 于B 、C 两点,D 是OC 的中点,连结AD 并延长交O 于点E.若30PA APB =∠= ,则AE= .答案 解析:连结AO AO PA,=tan30 ,AO=2,PB=2,由余弦定理得222525AD ,=+-⨯⨯cos 30 =7,所以AD =.由相交弦定理得:BD DC AD DE BD DC DE AD⋅⋅=⋅,===所以AE =+=4.(2011广东六校高三联考)如图,AB 是O 的直径,P 是AB 延长线上的一点,过P 作O 的切线,切点为C PC ,=若30CAP ∠= ,则O 的直径AB= .答案:45.从O 外一点P 引圆的两条切线PA,PB 及一条割线PCD,A,B 为切点. 求证:AC AD BCBD=.证明:∵PA 为O 的切线, ∴PAC PDA ∠=∠. 而APC DPA ∠=∠, ∴△PAC ∽△PDA.则AC PA ADPD=.同理可得BC PB BDPD,=.∵PA=PB, ∴AC BC ADBD=.∴AC AD BCBD=.课后作业巩固提升 见课后作业B题组一 圆的切线1.如图,已知EB 是半圆O 的直径,A 是BE 延长线上一点,AC 是半圆O 的切线,切点为D BC AC ,⊥于C,若BC=6,AC=8,则AE= .答案:52解析:设圆的半径为R,连结DO ,AB ==6101510102104BC AB R AE R DO AO R R ,=,=,=,=-=-10-15522=.2.如图,已知PA,PB 是O 的切线,A 、B 分别为切点,C 为O 上不与A,B 重合的另一点,若120ACB ∠= ,则APB ∠= .答案:60解析:连结AO,BO,由120ACB ∠= ,得ACB ∠所对的弧为240 , ∴120AOB ∠= .又180PAO PBO ∠+∠= ,得60APB ∠= . 题组二 弦切角定理及其推理3.如图,PA 切O 于点A,割线PBC 经过圆心O,OB=PB=1,OA 绕点O 逆时针旋转60 到OD,则PD 的长为 .答案解析:∵PA 切O 于点A,B 为PO 中点,∴AB=OB=OA. ∴60AOB ∠= .∴120POD ∠= . 在△POD 中由余弦定理,得:2222PD PO DO PO =+-⋅DOcos 1414()72POD ∠=+-⨯-=.∴PD =.4.如图所示,设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E BAC ,∠的平分线与BC 交于点D.求证:2ED =EC ⋅EB.证明:因为AE 是圆的切线, 所以ABC CAE ∠=∠.又因为AD 是BAC ∠的平分线, 所以BAD CAD ∠=∠.从而ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠. 因为ADE ABC BAD ∠=∠+∠,DAE CAE CAD ∠=∠+∠,所以ADE DAE ∠=∠.故EA=ED.因为EA 是圆的切线,所以由切割线定理知,2EA EC EB =⋅,而EA=ED,所以2ED EC EB =⋅.题组三 圆中的比例线段5.如图,已知P 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为切点,割线PEF 经过圆心O,若12PF PD =,=则圆O 的半径长为 、EFD ∠的度数为 .答案:4 30解析:连结DE,由切割线定理得22163412PD PD PE PF PE PF ⨯=⋅,===.∴EF=8,OD=4.∵12OD PD OD PO ⊥,=,∴30P ∠= 60POD ,∠= . ∴30EFD ∠= .6.如图,圆内的两条弦AB 、CD 相交于圆内一点P,已知PA 133PB PC PD ==,=,则CD= .答案:解析:由相交弦定理可得PA PB PC PD,⋅=⋅,∴23PC=9,即PC PD==∴CD=.7.如图O, 的割线PBA过圆心O,弦CD交PA于点F,且△COF∽△PDF,PB=OA=2,则PF= .答案:3解析:令OF=x,则AF BF CF FD OF FP⨯=⨯=⨯,即(x+2)(2-x)=x(2+2-x),x=1, 所以PF=3.8.如图所示,AC和AB分别是圆O的切线,B、C为切点,且OC=3,AB=4,延长AO到D点,则△ABD的面积是 .答案:485解析:由题知AB=AC.∵OC AC⊥,∴AO=5.∴sin BAD∠3152ABDS AB AD=,=⨯⨯sin BAD∠=348148255⨯⨯⨯=.题组四圆与直线位置关系的简单应用9.如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连结BD.(1)求BD的长;(2)求2ABE D∠+∠的度数;(3)求BGAG的值.解:(1)连结OC,OB,AE并延长BO交AE于点H,∵AB是小圆的切线,C是切点,∴OC AB⊥.∴C是AB的中点.∵AD是大圆的直径,∴O是AD的中点.∴OC是△ABD的中位线.∴BD=2OC=10.(2)由(1)知C是AB的中点.同理F是BE的中点.由切线长定理得BC=BF.∴BA=BE.∴BAE E∠=∠.∵E D∠=∠,∴2180ABE D ABE E BAE∠+∠=∠+∠+∠= .(3)在Rt △OCB 中, ∵OB=13,OC=5, ∴BC=12.由(2)知O OBC OAC ∠=∠=∠. ∵O AGB ∠=∠, ∴△O ∽△AGB. ∴1324BG OB AGAB==.10.如图O , 的直径AB=4,C 为圆周上一点,AC=2,过点C 作O 的切线l,过点B 作l 的垂线BD,垂足为D,BD 与O 交于点E.(1)求AEC ∠的度数;(2)求证:四边形OBEC 是菱形. 解:(1)在△AOC 中,AC=2, ∵AO=OC=2,∴△AOC 是等边三角形. ∴60AOC ∠= , ∴30AEC ∠= .(2)证明:∵OC l BD l ⊥,⊥. ∴OC ∥BD.∴60ABD AOC ∠=∠= . ∵AB 为O 的直径,∴△AEB 为直角三角形30EAB ,∠= . ∴EAB AEC ∠=∠.∴四边形OBEC 为平行四边形. 又∵OB=OC=2.∴四边形OBEC 是菱形.。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.答案 C 2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π解析 由题意知|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π.答案 D3．(2013·重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.答案 B4．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B 两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y ＋4k＝0.则有|3k－2|k2＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.答案 B5．(2014·北京市期末)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C 的切线方程是()A．y＝x＋2－ 2 B．y＝x＋1－1 2C．y＝x－2＋ 2 D．y＝x＋1－ 2 解析切线斜率为1，k OC ＝－1直线OC 方程y ＝－x 与圆C 联立方程得M (－1＋22，1－22)切线方程y ＝x ＋2－2，选A.答案 A6．(2014·安徽六校联考)两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．3解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切．两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4；圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由a 2＋b 2≥(a ＋b )22及当且仅当“a ＝b ”时等号成立，所以(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，即|a ＋b |≤3 2. 所以－32≤a ＋b ≤3 2.故a ＋b 的最小值为－3 2.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析 ∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝08．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 当点(0,1)点为弦AB 的中点时，|AB |的长最小，且易求得最小值为2 3.答案 2 39．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析 直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线，圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案 4三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如下图．则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(2013·福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l 与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为 x ＝－1.由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.。

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第14讲 直线、圆的位置关系一．课标要求：1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。

预测2013年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。

三．要点精讲1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1。

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

2． 距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。

学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____________________________．注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2．(2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 自我检测 1．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝03．(2011·宁夏调研)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 55．(2011·聊城月考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标．变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例2 (2011·汉沽模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四 综合应用例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切 2．(2011·珠海模拟)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3C ．－33或 3D ．－33或3 3 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 34．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2二、填空题(每小题4分，共12分)6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 7．(2011·三明模拟)已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.8．(2011·杭州高三调研)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分) 9．(12分)圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50 直线、圆的位置关系自主梳理1．相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x 0x ＋y 0y ＝r 2 (x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 (2)(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0自我检测1．A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)过点P 作圆的切线有三种类型： 当P 在圆外时，有2条切线； 当P 在圆上时，有1条切线； 当P 在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．(3)切线长的求法：过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为M ，半径为R ， 则|PM|＝|PC|2－R 2.解 (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝2±6，得y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由|－1＋2－a|2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x ， 或x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2， 整理得2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 变式迁移1 解 设圆切线方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，∴1＝|k ＋2－2k|k 2＋1，∴k ＝34，另一条斜率不存在，方程为x ＝2.∴切线方程为x ＝2和3x －4y ＋6＝0.圆心C 为(1,1)，∴k PC ＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x ＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x ＋2y －4＝0.例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k ，直线与圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点C 到l 的距离为d ，圆的半径为r.方法一 代数法：弦长|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；方法二 几何法：弦长|AB|＝2r 2－d 2. (2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 方法二 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k2，x 1x 2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4 3.将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明 由kx －y －4k ＋3＝0， 得(x －4)k －y ＋3＝0.∴直线kx －y －4k ＋3＝0过定点P(4,3)． 由x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4， 又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.∴直线和圆总有两个不同的交点．(2)解 k PC ＝3－44－3＝－1.可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，因此过P 点斜率为1的直线即为所求，其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝2 2.例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手．解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2＝4. (1)如果C 1与C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2. (m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25.m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)如果C 1与C 2内含，则有(m ＋1)2＋(m ＋2)2<3－2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0， 得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b ，∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0.(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.由②得b ＝－12[(a ＋1)2＋4]≤－2，∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5.例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0， 解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73.方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k<4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4＋4k 1＋k 2x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.课后练习区1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.19．解 (1)当α＝3π4时，k AB ＝－1，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(3分)故圆心(0,0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22， 从而弦长|AB|＝28－12＝30.(6分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.(10分)∴直线l 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(12分) 10.解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则 |5k ＋2＋3|12＋k 2＝1，(8分)即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0. (12分)11．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m. 解得m ＝25＋1011.(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5. 解得m ＝25－1011.(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× 112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。

2013年高考数学一轮复习精品教学案8.4 直线、圆的位置关系[考纲解读]1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．[考点预测]高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.[要点梳理]1.直线与圆的位置关系:直线l ,圆的方程为222()()x a y b r -+-=,d 为圆心到直线l 的距离,那么(1)直线l 与圆相离d r ⇔>;(2)直线l 与圆相切d r ⇔=;(注意圆心到切线的距离等于圆的半径) (3)直线l 与圆相交d r ⇔<.牢记Rt ∆:22r d -等于弦长一半的平方. 2.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)假设点P 在圆外,那么过点P 的圆的切线有两条.3.圆与圆的位置关系:设1O 的半径为1r ,2O 的半径为2r ,两圆的圆心距为d ,规律:通过两个圆心的距离与两个圆的半径(和或差)比较大小来判断.[例题精析]考点一 直线与圆的位置关系例1.(2012年高考陕西卷文科6)圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔 〕 A l 与C 相交 B l 与C 相切 C l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能[变式训练]1. (2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，那么弦AB 的长等于〔 〕A. B. D.1考点二 圆与圆的位置关系例2.(2012年高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为〔 〕(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离[变式训练]2.〔2011年高考全国卷文科11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点〔4，1〕，那么两圆心的距离12C C =〔 〕(A)4 (B) (C)8 (D)[易错专区]问题：综合应用例. 5.方程〔x －4〕2+〔y －4〕2=4与直线y=mx 的交点为P 、Q ，原点为O ，那么｜OP ｜·｜OQ ｜的值为___________.[课时作业]1. 圆x2+y2－2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是〔 〕A.相离B.外切C.内切D.相交2.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是〔 〕相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心3. 〔2012年高考江苏卷12〕 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，假设直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，那么k 的最大值是 ．4．〔2010年高考陕西卷文科9〕抛物线y2＝2px 〔p>0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y2＝16相切，那么p 的值为( )〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕45. 〔2011年高考湖北卷文科14)过点(－1,－2)的直线l 被圆222210x y x y +--+=那么直线l 的斜率为 。

第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。

巩固1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋ 2C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2解析：选C.在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx ＋2，则|2|k 2＋1＝1，∴k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2.选C.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A.由圆的一般方程可得圆心O (－1,2)，由圆的性质易知O (－1,2)，C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB k OC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为：y －3＝x ＋2整理得：x －y ＋5＝0.3．(原创题)直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9相交于A ，B 两点，则△ABC (C 为圆心)的面积等于( )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5解析：选A.圆C 的圆心C (2，－1)，半径r ＝3，C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|4＋1|5＝5， ∴|AB |＝29－5＝4，∴S △ABC ＝12×4×5＝2 5.4．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.答案：2545．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB→＝________. 解析：如图，作OC ⊥AB 于C ，|AB |＝3，在Rt △OAC 中，AC ＝32，OA ＝1，所以∠AOC＝60°，则∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1·1·cos120°＝－12.答案：－126．已知圆x 2＋y 2＋4x ＋10y ＋4＝0.(1)证明点B (1，－1)在圆上，并求出过点B 的圆的切线方程．(2)证明点C (1,0)在圆外，并求出过点C 的圆的切线方程． 解：(1)因为12＋(－1)2＋4×1＋10×(－1)＋4＝0，所以点B (1，－1)在圆上．设圆心为M ，所以k BM ＝－1－(－5)1－(－2)＝43，所以过点B (1，－1)的圆的切线方程为y ＋1＝－34(x －1)．所以3x ＋4y ＋1＝0.(2)因为|CM |＝(1＋2)2＋52＝34＞5＝r (r 为已知圆的半径)，所以点C (1,0)在圆外．设过点C 与圆M 相切的直线的方程为y ＝k (x －1)(显然斜率存在)，即kx －y －k ＝0.因为圆与直线相切，所以半径5＝|－2k ＋5－k |1＋k2.所以k ＝0或k ＝－158. 所以切线方程为y ＝0或15x ＋8y －15＝0.练习1．若直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( )A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b 2≥1解析：选 D.由题意知直线与圆相交或相切，故有11a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D.2．过点(0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值，即d ≤|OG |＝1，此时弦长最短，即|AB |2≥R 2－d 2＝4－1⇒|AB |≥23，故选B.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0解析：选D.设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0.4．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝( )A.33B.33或－33C. 3D.3或－ 3解析：选D.∵OM →·CM→＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 5．(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B.圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，由题意得|AC |＝2×5＝10，|BD |＝252－12＝46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |·|BD |＝12×10×46＝20 6.故选B.6．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]解析：选A.∵圆心P (3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，由|5－r |<1得4<r <6.7.(2009年高考天津卷)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析：x 2＋y 2＋2ay ＝6，x 2＋y 2＝4两式相减得y ＝1a .联立⎩⎨⎧y ＝1a ，x 2＋y 2＝4，消去y 得x 2＝4a 2－1a 2(a ＞0)． ∴24a 2－1a＝23，解得a ＝1. 答案：18．过点M (1,2)的直线l 将圆A ：(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线l 的方程为______________．解析：当劣弧最短时，MA 与直线l 垂直．答案：x －2y ＋3＝09．(2009年高考湖北卷)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________． 解析：圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0可化为(x－3)2＋(y －4)2＝5.圆心(3,4)到原点的距离为 5.故cos α＝55，∴cos ∠PO 1Q ＝2cos 2α－1＝－35， ∴|PQ |2＝(5)2＋(5)2＋2×(5)2×35＝16.∴|PQ |＝4.答案：410．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，∠AOB ＝90°，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4×(x ＋1) 即x ＋y －2＝0，C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×(x －4－12)即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，∴n ＝1或5，r 2＝13或37(舍去)，∴圆C 为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 2－122，∵∠AOB ＝90°，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，∴m 2＋m －12＝0，∴m ＝3或－4(均满足Δ＞0)，∴l 为x ＋y ＋3＝0或x ＋y －4＝0.12．如右图，圆O1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2.又∵两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。