居余马线性代数第三章课后习题

第三章课后习题及解答将1, 2题中的向量a表示成多,%，%,%的线性组合：1.2=（121,1厂吗=（1,1,1,=（1,1,-1,-1厂,% =（1，-口，-1）:% =（1，T，T』）\2. a =（0,0,01）,4 = （1,1,04）,4 =（2,1,31）,4 = （U，0,。

）。

4 =（。

J，-if解：设存在占次2,攵3,好使得a =+k2a2 +攵3。

3 +攵4。

4，整理得%+七+七+攵』=1 1 - j r尤+八一3一3=2占一攵2 +%3 一3=1占一攵2 一攵3 +的=1解得％]=-，欠2 =，攵3 = -- ，左4 =一4 . 4 4所以2=3囚+■% 4 4 -设存在占次2,攵3,好使得。

+攵2。

2 +勺% +3%，整理得k[ + 2k2 + 女3 =。

，k}+k2+k3+k4 =0 9 342 —k4 = 0 ,公+攵2 —攵4 = 1・解得k x = l,k? = 0/3 = —1/4 =。

・所以& = 4 — %・判断3, 4题中的向量组的线性相关性: 3.q=（1』,1）;% =（025）,% =（1，3,614,自=（LT2,4）T ，4=（0,3,1,2）T ,网=（3,0,7,1”.解：3 .设存在 %,攵2，々3使得占4 +%2 a2 +"3a3 = 0 9即1 0 1由1 2 3 =0,解得占次2，砥不全为零,1 5 6故&],々2，々3线性相关.4设存在攵1,七,43使得占4+攵2旦+勺23=°，即卜 + 3k 3 = 0，一” 八 可解得公，公,号不全为零，故4,A ，凤线性相关.2勺 +& +73 =。

. .4占+23+143=05.论述单个向量2=（卬，。

2，一・，。

〃）线性相关和线性无关的条件.解：设存在女使得左。

= 0,若2工0,要使左。

= 0,当且仅当Z=0,故，单个向量线性 无关的充要条件是。

1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量α暗示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设消失4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得 解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=.设消失 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得02321=++k k k ,04321=+++k k k k ,0342=-k k ,1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 断定3,4题中的向量组的线性相干性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解：3.设消失 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ,由0651321101=,解得321,,k k k 不全为零, 故321,,ααα线性相干.4.设消失 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零,故321,,βββ线性相干. ）（n a a a ,,,21 =α线性相干和线性无关的前提.解：设消失k 使得0=αk ,若0≠α,要使0=αk ,当且仅当0=k ,故,单个向量线性无关的充要前提是0≠α;相反,单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相干的充要前提是0=α.6.证实：假如向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关,应用反证法,假设消失该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r≤ααα 线性相干,则向量组n n αααα,,,,121- 线性相干,与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关抵触,所以该命题成立.7.证实：若21,αα线性无关,则2121,αααα-+也线性无关. 证：办法一,设消失21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k , 整顿得,0)()(221121=-++ααk k k k , 因为21,αα线性无关,所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ,可解得021==k k ,故2121,αααα-+线性无关.办法二,因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα, 又因为021111≠-=-,且21,αα线性无关,所以向量组2121,αααα-+的秩为2,故2121,αααα-+线性无关.s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 个中s βββ,,,21 是分离在s ααα,,,21 的k 个分量后随意率性添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所构成的m k +维向量,证实：(1) 若s ααα,,,21 线性无关,则s βββ,,,21 线性无关; (2) 若s βββ,,,21 线性相干,则sααα,,,21 线性相干.证：证法1,(1)设()s A ααα,,,21 =,()s B βββ,,,21 =,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,即,)(s A r = 且s B r =)(,s βββ,,,21 线性无关.证法2,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,再增长方程的个数,得0=BX ,该方程也只有零解,所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 应用反证法可证得,即假设s ααα,,,21 线性无关,再由（1）得s βββ,,,21 线性无关,与s βββ,,,21 线性相干抵触.9. 证实：133221,,αααααα+++线性无关的充分须要前提是321,,ααα线性无关.证：办法1,（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关,且02110011101≠=,可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关;反之也成立.办法2,充分性,设321,,ααα线性无关,证实133221,,αααααα+++线性无关.设消失321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整顿得,因为321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ,可解得0321===k k k ,所以133221,,αααααα+++线性无关. 须要性,（办法1）设133221,,αααααα+++线性无关,证实321,,ααα线性无关,假设321,,ααα线性相干,则321,,ααα中至少有一贯量可由其余两个向量线性暗示,无妨设321,ααα可由线性暗示,则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性暗示,且23>,所以133221,,αααααα+++线性相干,与133221,,αααααα+++线性无关抵触,故321,,ααα线性无关.办法2,令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,设消失321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=,代入 0332211=++αααk k k 得,0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ,即 因为321,,βββ线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ,所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否准确？如准确,证实之;如不准确,举反例： （1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分须要前提是随意率性两个向量线性无关;解：不准确,须要前提成立,充分前提不成立,例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,固然两两线性无关,但这3个向量线性相干.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα两两线性无关,而321,,ααα线性相干.（2）m ααα,,,21 ）（2>m 线性相干的充分须要前提是有1-m 个向量线性相干;解：不准确,充分前提成立,但须要前提不成立,例：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα线性相干,而俩321,,ααα两两线性无关.(3) 若21,αα线性相干,21,ββ线性相干,则有不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 且02211=+ββk k ,从而使得0222111=+++）（）（βαβαk k , 故2211βαβα++，线性相干.解：不准确,因为21αα，线性相干和21ββ，线性相干,不一定消失统一组不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立;或者说消失两组不全为零的数21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.(4). 若321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα---线性无关. 解：不准确,因为取1,1,1这组常数,使得0133221=-+-+-）（）（）（αααααα,所以133221,,αααααα---线性相干.(5) 若4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++线性无关; 解：不准确,因为14433221,,,αααααααα++++线性相干, 由9题,n 为奇数个时,线性无关,n 为偶数时,线性相干.(6). 若n αααα,,,,321 线性相干,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干;解：准确,因为n αααα,,,,321 线性相干,所以n αααα,,,,321 中至少有一贯量可由残剩的1-n 个向量线性暗示,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那残剩的1-n 个向量线性暗示,再因为1->n n ,所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干.4321,,,αααα线性相干,但个中随意率性3个向量都线性无关,证实必消失一组全不为零的数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k . 证：因为4321,,,αααα线性相干,所以消失不全为零的常数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k ,假设01=k ,则0443322=++αααk k k ,得432ααα，，01≠k ;同样办法可证得432,,k k k 都不为零. 所以该命题成立.r ααα,,,21 线性无关,证实：r αααβ,,,,21 线性无关的充分须要前提是β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.证：须要性,假设β能由r ααα,,,21 ,则r αααβ,,,,21 线性相干与r αααβ,,,,21 线性无关抵触,故β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.充分性,设消失r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ , 若00≠k ,则β能由r αααα,,,,321 线性表出,抵触,所以00=k , 是以,0332211=++++r r k k k k αααα ,又因为r ααα,,,21 线性无关, 所以021====r k k k ,故,r αααβ,,,,21 线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性暗示： （1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα; （3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα解：（1）()TT T T 4321,,,αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----322421639092114047116→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 所以,向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,2135ααα-=. （2）相似（1）,可求得向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,且2133ααα+=,2145αααα--=.（3）相似（1）,可求得向量组的秩为3,321,,ααα为一个极大线性无关组,312435αααα--=.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证实21ξξ，线性无关;（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.（1）证：设消失21,k k ,使得02111=+T T k k ξξ,求得021==k k ,所以21ξξ，线性无关;（2）解, ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000011000101101030160142452712110312131,,,,T 54321 ξξξξξT T T T ,所以,421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.B A ,皆为n 阶矩阵,n B r n A r ≤≤)(,)(,证实：（1）秩)()(00B r A r B A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛,C 为随意率性n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==,则消失n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P , 使得,0001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E PAQ ,0002''⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E BQ P 从而 则秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）因为秩())(A r C A≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛.))(),(min()(B r A r AB r ≤.证：设B A ,分离为s n n m ⨯⨯,矩阵,将A 按列分块,则有()n AB ααα 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ns n n s s b b b b b bb b b212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性暗示,故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ,同样,将B 按行分块,得)()(B r AB r ≤,是以,该命题成立.1. 设B A ,分离为m n n m ⨯⨯,矩阵,且m n <,证实：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(,所以0=AB ,故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.A 是一个n s ⨯矩阵,B 是由A 的前m 行构成的n m ⨯矩阵.证实：若A的行向量组的秩为r ,则s m r B r -+≥)(.证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+s m mA αααα 11,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B αα 1.设p B r =)(,于是,B 的行向量组的极大线性无关组{}pi i i ααα,,,21含p个向量.是以,A 的行向量组的一个极大线性无关组是向量组{}s m i i i p ααααα,,,,,,121+的一个子集,所以它所含向量个数)(m s p -+≤,即)()(m s p r A r -+≤=, 从而,s m r p B r -+≥=)(.求下列（19—22题）矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12100400003210054321.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000200003210054321342112100400003210054321 所以,矩阵的秩为3.04400310531≠-=--为一个最高阶的非零子式. 20. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000400010030012112341 所以,矩阵的秩为3.01203103111≠=--为一个最高阶的非零子式. 21. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------165543131223123.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------165543131223123→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------213200917137039431所以,矩阵的秩为3.014554312123≠-=---为一个最高阶的非零子式. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100011000111200112001120011 所以,矩阵的秩为4.011200112001120011≠-=为一个最高阶的非零子式.A 是一个n m ⨯矩阵,证实：消失非零的s n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充要前提是n A r <)(.证：设齐次线性方程组0=AX ,()021≠=s B βββ ,则由0=AB , 可得s j A j ,,2,1,0 ==β,因为,()021≠=s B βββ ,至少有一个0≠j β,再由0=AX 有非零解的充要前提是n A r <)(,故,s j A j ,,2,1,0 ==β, 至少有一个0≠j β的充要前提是n A r <)(.B A ,是同形矩阵,证实：A 与B 相抵的充要前提是)()(B r A r =.证：设B A ,是n m ⨯矩阵,p B r r A r ==)(,)(,则消失可逆矩阵2121,,,Q Q P P , 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00011rE AQ P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022p E BQ P , 充分性,因为)()(B r A r =,所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011rE AQ P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022pE BQ P , B Q AQ P P =--121112)(,令Q Q Q P P P ==--121112,)(,故,B PAQ =是以,A 与B 相抵.须要性,因为A 与B 相抵,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =, 是以,)()(B r A r =.A 是n m ⨯矩阵）（n m <,m A r =)(,证实：消失m n ⨯矩阵B 使得m I AB =. 证：因为m A r =)(,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得()0m I PAQ =,所以有()01m I P AQ -=,())0(011--==P I P AQ m, (1)(3) 右端乘m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0P T ,得m I AQT =,令B QT =,故,m I AB =.26.证实：若n 阶方阵A 的秩为r ,则必有秩为r n -的n 阶方阵B ,使得0=BA .证：因为n 阶方阵A 的秩为r ,所以T A 的秩为r ,则0=X A T 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,取这r n -个线性无关的解向量r n X X -,,1 为T B 的列向量,则)()(B r r n B r T =-=.是以,该命题得证.27.证实：任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和,而不克不及暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和.证：设A 为秩为r 的矩阵,则消失可逆矩阵Q P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000r E PAQ , 所以,1111111111)(000--------++=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P Q B P Q B B P Q E P A r r r,个中r B B ,,1 为秩为1的矩阵是以,任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和.后部的证实,（反证法）假设A 为秩为r 的矩阵,能暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和,无妨设A 能暗示为p 个秩为1的矩阵之和,个中,r p <,设),(1p B B A ++= 个中p B B ,,1 是秩为1的矩阵.r p B r B r A r p <=++≤)()()(1 ,与r A r =)(抵触.28.求下列齐次线性方程组的一个基本解系及一般解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000002271012301 取43,x x 为自由未知量,令0,143==x x 和1,043==x x ,得原方程组的一个基本解系为T T X X )1,0,2,1(;)0,1,27,23(21--=-=,是以,一般解为2211X k X k X +==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102101272321k k ,个中21,k k 为随意率性常数.(2).⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+-+=+---=++-+03162505341211027322028354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------316251534121112732212813→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000000000100121825872183819 取543,,x x x 为自由未知量,令0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x ,得原方程组的一个基本解系为是以,一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=10001000121213825832878191332211k k k X k X k X k X ,个中,321,,k k k 为随意率性常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2749422536372432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛246714922531372→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01080000151100491取32,x x 为自由未知量,令032==x x ,得方程组的一个特解：T X )10,0,0,8(0-=,再令0,132==x x 和1,032==x x ,得其导出组的一个基本解系：T T X X )5,1,0,4(,)11,0,1,9(21-=-=.所以,方程组的一般解为22110X k X k X X ++=,个中21,k k 为随意率性常数.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12232713345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00231600000000006221051101 取,,,543x x x 为自由未知量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,23,16(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-==-= 所以,方程组的一般解为3322110X k X k X k X X +++=,个中321,,k k k 为随意率性常数.q p ,取何值时,下列线性方程组有解.无解,有解时求其解.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(32)1(2)3(321321321x p px x p px x p px p x x x p 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+323)1(311213p p p pp p pp →→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++---++-+91536300)1(30321323222p p p p p pp p p p p所以,0=p 或1=p 时,该方程组无解,0≠p 且1≠p 时,有独一解是)1(91532231-+-+=p p p p p X ,)1(912232--+=p p p p X ,)1(912342233--++-=p p p p p X （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--q p 3113345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23100000000006221011111q p所以,当0≠p 或2≠q 时,方程组无解; 当0=p 且2=q 时,方程组有无限多解,取543,,x x x 为自由变量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,3,2(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-=-=-=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10065010210012100032321k k k X ,个中321,,k k k 为随意率性常数.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------333122111072111211q q q q p →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------2211100032003211211q q q q p 所以,当2≠p 且1≠q 时,方程组有独一解. 当1=q 时,方程组无解;当2=p 时,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----22111000300032101211q q q q →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---q 42110000100032101211所以,当2=p 且4=q 时,方程组有无限多解,()()T T k 0,1,2,02,0,7,10--,个中k 为随意率性常数.当2=p 且4≠q 时,方程组无解.A 是n m ⨯矩阵,证实：若任一个n 维向量都是0=AX 的解,则0=A .证：因为任一个n 维向量都是0=AX 的解,则n 维向量T i )0,,0,1,0,,0( =ε（第i 个分量为1其余分量均为0的列向量）知足0),,(),,(11==n n A A A εεεε ,即0=AI ,个中I 是n 阶单位方阵,是以,0=A .32. 设A 是一个s m ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵.X 是n 维列向量.证实：若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,则)()(B r AB r =.证： 因为若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,所以,0)(=X AB 的基本解系所含解向量的个数与0=BX 的基本解系所含解向量的个数相等.即)()(B r n AB r n -=-,是以,)()(B r AB r =. 33. 设A 是nm ⨯矩阵,B 是sn ⨯矩阵,证实：若0=AB ,则n B r A r ≤+)()(.证：设),,(1s B ββ =,个中s ββ,,1 是一组列向量,由0=AB 得,s j A j ,,1,0 ==β.若r A r =)(,则0=AX 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,而s ββ,,1 为0=AX 的解向量,则s ββ,,1 可由0=AX 的基本解系线性暗示, 所以,)()(A r n r n B r -=-≤. 故,n B r A r ≤+)()(.*A 是n 阶矩阵A 的陪同矩阵,证实：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1)(,01)(,1)(,)(n A r n A r nA r n A r（2） 1-*=n A A .证：（1）因为I A AA =*,当n A r =)(时,0≠A ,所以0≠*A ,得n A r =*)(; 当1)(-=n A r 时,即至少有一个1-n 阶子式不等于零,所以0≠*A ,且0=A ,因为0≠*A ,所以1)(≥*A r .因为0=A ,所以0=*AA ,即*A 的每一列均是齐次线性方程组0=Ax 的解,所以1)1()()(=--=-≤*n n A r n A r . 是以,1)(=*A r ;当1)(-<n A r 时,A 的任一1-n 阶子式都等于零,所以0=*A ,故0)(=*A r .（2）当0≠A 时,由I A AA =*,得1-*=n A A .当0=A 时,即1)(-≤n A r ,由（1）知,1)(≤*A r ,从而0=*A ,所以1-*=n AA 也成立,故,对随意率性n 阶方阵A ,都有：1-*=n A A .35. 设A 是n 阶可逆矩阵)2(>n ,证实：()A A A n 2-**=.证：因为A 是n 阶可逆矩阵,所所以*A n 阶可逆矩阵,且1-*=n A A . 因为()I A A A ****=,所以()1)(-****=A A A .又因为I A AA =*,所以AA A =-*1)(. 是以,()A A AA AA A A n n 211)(---****===. 36. 设A 是n 阶矩阵,证实：非齐次线性方程组b AX =对任何b 都有解的充要前提是0≠A .证：充分性,因为0≠A ,所以),()(b A r n A r ==. 是以,对于随意率性b ,),()(b A r n A r ==,b AX =有解.须要性,(反证法) 假设0=A , 则n A r <)(.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A ααα 21,则n ααα,,,21 线性相干,从而个中至少有一个向量能由其余向量线性表出,无妨设n α可由121,,,-n ααα 线性表出,取T b )1,0,,0,0( =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→-1000),(11n b A αα,即),()(b A r A r <,所以方程组无解,抵触. 证实：这个方程组有解的充要前提是∑==510i i a ,在有解的情况下,求出它的一般解.证：因为,121a x x =-,232a x x =-,343a x x =-,454a x x =-,515a x x =-即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----54321543211000111000011000011000011a a a a a x x x x x有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a →→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++----5432143210000011000011000011000011a a a a a a a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1100001100001100001110001A ,增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=123451100001100001100001110001,a a a a a b A ）（, 方程组有解的充要前提为),()(b A r A r =即∑==510i i a .当∑==51i ia时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000110000110000110000114321a a a a →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++----000000110001010010010100014434324321a a a a a a a a a a取5x 为自由变量,令05=x ,得方程组的一个特解：T a a a a a a a a a a X )0,,,,(44343243210++++++=;再取15=x 得其导出组的一个基本解系：T X )1,1,1,1,1(1=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+=111110443432432110k a a a a a a a a a a kX X X ,个中k 为随意率性常数.38. 已知21ββ，是方程组b AX =的两个不合解,21,αα是对应齐次线性方程组0=AX 的基本解系, 则b AX =一般解是: (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2112211ββααα++-+k k ; (C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++-+k k .解:可证得，，121ααα-是线性无关的且是0=AX 的解,是以是0=AX 的一个基本解系,221ββ+是b AX =的一个解, 是以, 选(B).⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ,P 为非零矩阵,0=PQ , 则:(A) 当6=t 时,1)(=P r ; (B) 当6=t 时,2)(=P r ; (C) 当6≠t 时,1)(=P r ; (D) 当6≠t 时,2)(=P r ;解: 因为0=PQ , 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q , 所以3)()(≤+Q r P r , 又因为P 为非零矩阵, 所以1)(≥P r , 当6≠t 时,2)(=Q r , 是以,1)(1≤≤P r , 即1)(=P r , 故选(C).T a a a ),,(3211=α,T b b b ),,(3212=α,T c c c ),,(3213=α,则三条直线)3,2,1(),0(,022=≠+=++i b a c y b x a i i i i i 交于一点的充要前提是:(A) 321,,ααα线性相干, (B) 321,,ααα线性无关;(C) =},,{321αααr },{21ααr ; (D) 321,,ααα线性相干,21,αα线性无关.解:因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111cy b x a c y b x a c y b x a 有独一解的充要前提是2333222111332211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a c b a r b a b a b a r , 2333222111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---c b a c b a c b a r ,即321,,ααα线性相干. 2332211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a r ,即21,αα线性无关.所以,选(D). A 是n m ⨯矩阵,)()(n m m A r <=,B 是n 阶矩阵,下列哪个成立?(A) A 中任一m 阶子式0≠; (B) A 中随意率性m 列线性无关;(C) 0≠A A T ; (D) 若0=AB ,则0=B ; (E) 若n B r =)(,则m AB r =)(.解：选 （E ）. n B r =)(, 所以B 可逆,m A r AB r ==)()(.42. 设)2,,,1,(,,,21>=∈m m i R n i m αααα线性无关, 下列哪个成立? (A) 对随意率性常数m k k k k ,,,,321 ,有02211=+++m m k k k ααα ;(B) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性相干;(C) 对随意率性,n R ∈ββαα,,,1m 线性相干; (D) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性无关.解：选（D ）,因为整体线性无关,部分必线性无关.γβα,,线性无关,δβα,,线性相干,下列哪个成立?(A) α必可由δγβ,,线性暗示; （B ） β必可由δγα,,线性暗示; (C) δ必可由γβα,,线性暗示; (D) δ必不成由γβα,,线性暗示.解：选（C ）.因为γβα,,线性无关,所以βα,线性无关.因为βα,线性无关,δβα,,线性相干,所以δ必可由βα,线性暗示,从而δ必可由γβα,,线性暗示.44. 设A 是34⨯矩阵,1)(=A r ,321,,ξξξ长短齐次线性方程组b AX =的三个线性无关解,下列哪个是0=AX 的基本解系？ (A) 321ξξξ++ (B)3212ξξξ-+ (C)2312,ξξξξ-- (D)3221,ξξξξ++解：因为1)(=A r ,所以0=AX 的基本解系含有2个线性无关的解,是以(A), (B)不准确.(D)的两个解不是0=AX 的解,故选(C).45. 设向量组{321,,ααα}线性相干,{432,,ααα}线性无关.答复下列问题,并证实之.（1）1α可否由{32,αα}线性暗示？ （2）4α可否由{321,,ααα}线性暗示？解：（1）因为432,,ααα线性无关,所以32,αα也线性无关, 又因为321,,ααα线性相干,所以1α可由32,αα线性暗示.（2）（反证法）假设4α能由321,,ααα线性暗示,再由（1）,1α能由32,αα线性暗示,所以4α能由32,αα线性暗示,即432,,ααα线性相干,与432,,ααα线性无关抵触.所以,4α不克不及由{321,,ααα}线性暗示.46.设A 为n 阶矩阵,若消失正整数)2(≥k k 使得0=αk A ,但01≠-αk A （个中α为n 维非零列向量）,证实：ααα1,,,-k A A 线性无关. 证实：（界说法证）若0121=+++-αααk k A t A t t , 上式双方左乘1-k A 得,022211=+++--αααk k k k A t A t A t 因为0=αk A ,所以0221===-+ααk k A A 是以,011=-αk A t ,又因为01≠-αk A ,得01=t . 应用同样办法,可求得032====k t t t ,是以,ααα1,,,-k A A 线性无关.47.设B A ,分离为n m m n ⨯⨯,矩阵（),m n < 且I AB =（n 阶单位矩阵）, 证实：B 的列向量组线性无关.证：因为I AB =,且,m n < 所以n B r A r n AB r ≤≤=))(),(min()(, 是以,n B r =)(,而B 是n m ⨯矩阵, 故,B 的列向量组线性无关.48.已知秩{321,,ααα}=秩{321,,βββ},个中,)1,0,3(,)3,2,1(21T T =-=ααT )7,6,9(3-=α;T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ,且3β可由321,,ααα线性暗示,求b a ,的值.解：()3321,,,βααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛07-13-1602b 931→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 5-00034201-11-1 因为3β可由321,,ααα线性暗示,所以有05=-b ,是以,5=b . 所以秩{321,,ααα}=2.因为秩{321,,βββ}=秩{321,,ααα}=2,所以0315=-a ,所以,15=a .49. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 a a a a a a A 为n 阶矩阵（3≥n ）,R ∈a ,且1)(-=n A r ,求a .解：因为)3(21)(≥≥-=n n A r 所以1≠a 因为1)(-=n A r ,所以01)1(=+-a n ,是以,na -=11. 50.设n 阶矩阵A 的每行元素之和均为零,又1)(-=n A r ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解.解：因为1)(-=n A r ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含一个解向量.设()n A βββ 21=,因为A 的每行元素之和均为零,所以021=+++n βββ即0111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A ,是以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系.从而,0=Ax 的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 k ξ,个中k 为随意率性常数.51. 已知下列线性方程组I, II 为同解线性方程组,求参数t n m ,,之值.解：因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------542210010101001316011311142011 所以,T )0,5,4,2(---是方程组I 的一个解,因为方程组I 与II 同解,所以它也是方程组II 的一个解,将它带入方程组II,可得：6,4,2===t n m .52.设αβαβγβαT T T T T B A =====,,)8,0,0(,)0,21,1(,)1,2,1(,求解方程γ++=x B x A x A B 44222.解：即求解非齐次线性方程组：γ=--x B A A B )2(4422因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--0100021010180016480816048),2(214422 γA B A B 所以γ=--x B A A B )2(4422的一个特解为：T )0,1,21(.)1,2,1(为其导出组的一个基本解系.是以,γ=--x B A A B )2(4422的一般解为：T T k )1,2,1()0,1,21(+,个中,k 为随意率性常数.53. 设n 阶矩阵),,,(21n A ααα =的行列式0≠A ,A 的前1-n 列构成的)1(-⨯n n 矩阵记为),,,(1211-=n A ααα ,问方程组n x A α=1有解否？为什么？解：无解,因为n A r n A r n =-=),(,1)(11α.54.设βα,均为非零的n 维列向量,T A αβ=,证实：A 中随意率性两行（或两列）成比例.解：因为1))(),(m in()(=≤T r r A r βα,所以A 中随意率性两行（或两列）成比例.55.设n 阶矩阵A 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A ,个中11A 为k 阶可逆矩阵（n k <）,证实：消失主对角元为1的上三角矩阵U 和下三角矩阵L ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A LAU 0011. 解：由分块矩阵的初等变换,不难知道：所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--k n kI A A I L 111210,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--k n kI A A I U 012111. 56. 设B A ,皆为n 阶矩阵,证实：（1）;AB I IAB I -= （2）;BA I AB I -=-（3）)det()det(BA I AB I -=-λλ（λ为随意率性常数）.证：（1）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB I B II A B I I A I 00 所以ABI BIIA B II A I-=-00是以,AB I IAB I -=.（2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-I ABA I I A B I I B I 00所以IABA I IA B I I B I 00-=-是以,BA I IAB I -=由（1）即得：BA I AB I -=-.(3)分两种情况来评论辩论.当0=λ时,BA B A AB n -=-=-)1(,成立. 当0≠λ时,因为,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-I A BA I I A B I I B I AB I B II A B I I A I λλλλλλ00,0011 所以,IA BI BA I AB I λλλ=-=-)det()det(.综上,结论成立.57. 证实：若A 是n m ⨯矩阵,r A r =)(,则消失r m ⨯矩阵B ,n r ⨯矩阵C ,且r C r B r ==)()(,使得BC A =（提醒：应用相抵尺度形）. 证实：因为,r A r =)(,所以消失可逆矩阵P (m 阶).Q (n 阶),使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,则11000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A r=11000000-⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q I I P nn rn m r令()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯-⨯--⨯⨯-')(1')(1,n r n n r r m m r m N N Q M M P 因为11,--Q P 为可逆矩阵,所以r m M ⨯的列向量组线性无关,n r N ⨯的行向量组线性无关.令()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯0000,0000')(')(n r n r n n r n n rr m n m r r m m r m N N N I C M I M M B 即知足前提,从而此题得证.58.设B A ,皆为n 阶矩阵,n B r A r <+)()(,证实消失可逆矩阵Q ,使得0=AQB .证实：联合相抵尺度形,不难知道,消失可逆矩阵2211,,,Q P Q P ,使得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(22)(11B r A r I BQ P I AQ P 因为n B r A r <+)()(,所以02211=BQ P AQ P ,令21P Q Q =,则此题得证. 59. 证实：r ααα,,,21 （个中01≠α）线性相干的充要前提是消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示,且暗示法独一. 证实：（充分性）因为消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示所以,i ααα,,,21 线性相干,从而r ααα,,,21 线性相干.（须要性）因为r ααα,,,21 线性相干,所以消失不全为零的一组常数r k k k ,,,21 使得02211=+++r r k k k ααα在使02211=+++r r k k k ααα 成立的所有不为零的系数中,必有一个最小的下标i ,使0≠i k ,但)(0i j k j >=.下面解释r i ≤<1.假如1=i ,则0,0111≠=k k α,从而01=α抵触.最后证暗示法独一.若121,,,-i ααα 线性相干,则显然得到一组数与前面i k 的取法抵触.所以,121,,,-i ααα 线性无关.又因为i ααα,,,21 线性相干,所以暗示法独一. 60.证实：向量组s ααα,,,21 线性无关的充要前提是),,3,2(11s i k i j j j i =≠∑-=αα.提醒：此命题是59题的逆否命题.61. 设向量组r ααα,,,21 线性无关,如在向量组的前面参加一个向量β,证实：在向量组r αααβ,,,,21 中至多有一个向量)1(r i i ≤≤α可经其前面的i 个向量121,,,,-i αααβ 线性暗示.并在3R 中做几何解释. 证实：反证,设有两个向量)1(,r j i j i ≤<≤αα均可经其前面的向量线性暗示：1111--+++=i i i k k k ααβα （1） 1111--+++=j j j l l l ααβα （2）k l ⨯-⨯)2()1(得：因为r ααα,,,21 线性无关,所以j ααα,,,21 线性无关,i ααα,,,21 线性无关,是以0=k ,则由（1）知i α可由121,,,-i ααα 线性表出,与i ααα,,,21 线性无关抵触.62.证实：在n 维向量空间n R 中,若向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,则暗示法独一的充分须要前提是向量组s ααα,,,21 线性无关.证实：（充分性）设有暗示法两式相减得：0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα因为s ααα,,,21 线性无关,所以s s l k l k l k ===,,,2211 ,即可证暗示法独一.（须要性）反证,设s ααα,,,21 线性相干,则消失不全为零的一组数设为s p p p ,,,21 使得02211=+++s s p p p ααα因为向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,所以消失一组常数s q q q ,,,21 使得s s q q q αααα+++= 2211所以,s s s q p q p q p αααα)()()(222111++++++=因为s p p p ,,,21 不全为零,所以这是异于上面的另一种暗示法,从而与暗示法独一抵触.63.设A 是n 阶矩阵,1)(=A r .证实：证实：（1）因为1)(=A r ,所以A 的每行向量成比例,即得此成果.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a a a b b b k 2121,,,即得此成果.64. 设.),,,(,),,,(,,212121212222111211Tm T m n mn m m n n x x x x b b b b y y y y a a a a a a a a a A==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1）证实：如有b Ay =解,则0=x A T 的任一组解m x x x ,,,21 必知足方程.02211=+++m m x b x b x b（2）方程组b Ay =有解的充要前提是方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解（个中0是1⨯n 零矩阵）.证实：（1）因为b Ay =,所以T T T A y b =.是以,对任一组m x x x ,,,21 ,若它知足0=x A T ,则必有0=x A y T T ,即0=x b T ,即.02211=+++m m x b x b x b (2) 方程组b Ay =有解⇔),()(b A r A r =⇔b 可由A 的列向量组线性表出（须要性）因为b 可由A 的列向量组线性表出,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)(TTT T b A r b A r A r 所以,方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解. （充分性）因为方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解,所以1)(10)(+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤T TTT T T A r b A r b A r A r是以,)(TT T A r b A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,从而b 可由A 的列向量组线性表出. 65. 设A 是一个n m ⨯矩阵,n m <,m A r =)(,齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系为 试求齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数,并求出一个基本解系. 解：齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数为m m n n =--)(.66. 设n m ⨯矩阵A 的m 个行向量是齐次线性方程组0=Cx 的一个基本解系,又B 是一个m 阶可逆矩阵.证实：BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.证实：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mm m m m m m b b b b b b b b b B A21222211121121,ααα.则由已知前提：),,2,1(0m i C T i ==α,且 m ααα,,,21 线性无关.因为所以BA 的行向量是0=Cx 的解.又因为B 可逆,A 的m 个行向量线性无关,所以BA 的m 个行向量线性无关,是以BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.67.证实：若A 为n 阶矩阵（1>n ）,且0=A ,则A 中随意率性两行（或列）对应元素的代数余子式成比例.证实：因为0=A ,所以1)(-≤n A r ,是以1)(≤*A r ,即可证.68.设A 是n n ⨯-)1(矩阵,j A 暗示A 中划去第j 列所构成的行列式.证实：（1）T n n A A A ))1(,,,(21-- 是0=Ax 的一个解;（2）若j A （n j ,,2,1 =）不全为零,则（1）中的解是0=Ax 的一个基本解系.证实：（1）令)1,,1,1( =α,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A B α,不难知道B 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .所以A 中的每行元素乘以T n n A A A ))1(,,,(121+-- 均为0,是以,0))1(,,,())1(,,,(12121=---=--+T n n T n n A A A A A A A A(2) 令)0,,0,0( =β,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A C β,则不难知道C 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .因为jA （n j ,,2,1 =）不全为零,所以C 的陪同矩阵0≠*C ,即1)(≥*C r ,是以1)(-≥n C r ,又因为显然1)(-≤n C r ,所以1)(-=n C r ,所以1)(-=n A r ,从而齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含1)(=-A r n 个解向量.再由（1）及j A （n j ,,2,1 =）不全为零,此题得证. 69.若A 为一个n 阶矩阵,且A A =2,证实n I A r A r =-+)()(.证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()(I A r A r A I r A r A I A r I r n -+=-+≤-+== 所以n I A r A r ≥-+)()(因为A A =2,所以0)(=-I A A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0=Ax 的解,是以)()(A r n I A r -≤-,即n I A r A r ≤-+)()( 综上,n I A r A r =-+)()(70.若A 为一个n 阶矩阵,且I A =2,证实 证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()2(I A r I A r A I r I A r A I I A r I r n -++=-++≤-++== 所以n I A r I A r ≥-++)()(因为I A =2,所以0))((=-+I A I A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0)(=+x I A 的解,是以)()(I A r n I A r +-≤-,即n I A r I A r ≤-++)()( 综上,n I A r I A r =-++)()(71.设B A ,皆为n 阶方阵,证实：n B r A r AB r -+≥)()()(.并问：若m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,上述结论是否成立？证实：给出一般情况的解释.设m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(, ,)(l A r =.则消失可逆矩阵n n s s Q P ⨯⨯,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000lI PAQ .记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n nm n n m m b b b b b bb b b B Q βββ 212122221112111则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000000))((121112112122221112111l lm l l m nm n n m m lb b b b b b b b bb b b b b b I B Q PAQ PAB ββ所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==l r PAB r AB r ββ 1)()(是以)()()()(211l n AB r r B Q r B r n -+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-βββ ,即n B r A r AB r -+≥)()()(.72.设向量组),,2,1(),,,(21n j a a a T nj j j j ==α,证实：假如,,,2,1,1n i a a ni j j ij ii =>∑≠=则向量组n ααα,,,21 线性无关.证实：（反证法）设向量组n ααα,,,21 线性相干,取()n A ααα,,,21 =,则0=A .所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解.无妨设Tn x x x ),,,(21为其一个非零解,即它知足),,2,1(,01n i x a nj j ij ==∑=所以),,2,1(,1n i x a x a nij j j ij i ii =-=∑≠=设{}n k x x x x ,,,max 21 =,因为T n x x x ),,,(21 为0=Ax 的一个非零解,所以0≠k x .是以,,11111∑∑∑∑∑≠=≠=≠=≠=≠==≤≤=-==nkj j ij k n kj j k ij n kj j j ij n kj j j ij n kj j j ij k kk k kk a x x a x a x a x a x a x a从而有∑≠=≤nkj j ij kk a a 1,与已知前提抵触,所以假设不成立,所以向量组n ααα,,,21 线性无关.。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201. 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1))⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B ,求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x xx x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x xx x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=ww z z w z y w z x 757975767171,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). 14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x xx x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x cx c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ.要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311xx x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ.要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=33223211x x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数). 18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A .令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ; 证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,E m),而| E m|是矩阵(A,E m)的最高阶非零子式,故R(A)=R(A,E m)=m.因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。

第三章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得T nT T nnn n n n Tn TTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T TT n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21 = T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。