2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形 3.1.2 含解析

§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用课时过关·能力提升1.函数y=2cos2x的一个递增区间是()A-C解析:y=2cos2x=1+cos 2x的递增区间为{x|2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)},即{x|kπ≤x≤kπ(k∈Z)}.令k=1,有≤x≤π.答案:D2.已知si-则-的值为A解析:因为si-所以co---答案:D3.的值为-A.解析:原式-答案:B4.设向量a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且a∥b,则cos 2θ等于()A解析:∵a∥b,∴3sin2θ=1,∴sin2θ∴cos 2θ=1-2sin2θ答案:A5.若tan θ则A解析:∵tan θ即∴sin 2θ答案:D6.函数f(x)=sin-是A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数解析:-----2x.∴T=π,f(x)为奇函数.答案:C7.函数y=2sin x cos x的最大值为解析:∵y=2sin x cos x2x=sin 2x2x=2si∴-2≤y≤2 ∴所求函数的最大值为2.答案:28.计算sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的结果是.解析:sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°=sin 6°·cos 24°·cos 12°·cos 48°答案:9.已知A,B是△ABC的两个内角,向量m=co-其中i,j为互相垂直的单位向量.若|m|则的值为解析:|m|2=cos---∴4cos(A-B)=5cos(A+B),∴cos A cos B=9sin A sin B,即tan A tan B答案:10.(1)已知cos θ=求的值(2)在△ABC中,若cos A求的值解(1)∵cos θ=∴sin θ--(2)sin2A-2A=11.已知函数f(x)(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解(1)因为f(x)x x)=si所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0所以≤x当x即x=时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为-★12.某一扇形铁皮的半径长为1,圆心角为现在铁皮匠想从中剪下一个矩形如图设∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,并求出这个最大面积.解在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α.在Rt△OAD中∴OAα,∴AB=OB-OA=cos αα.∴S=AB·BC-α=sin α·cos α2α2α)2α2α∵0<α∴当2α即时,S max。

第2课时 两角和与差的正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]两角和与差的正切公式1．思考辨析(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )[解析] (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知tan α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－3 [tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.]3．tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知α，β均为锐角，tan α＝2，tan β＝3，则α＋β＝________.(2)如图3­1­2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝________.图3­1­2[思路探究] (1)先用公式T (α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD ，∠BAD 的正切值，再依据tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )求值． (1)π4 (2)17 [(1)∵tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.∵α，β均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝π4.(2)∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17.] [规律方法] 1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T (α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． [跟踪训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝________.(1)32 (2)3 [(1)因为tan α－5π4＝15， 所以tan α＝tan α－5π4＋5π4＝tan α－5π4＋tan 5π41－tan α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cos α＝35，α为锐角，所以sin α＝45，tan α＝43，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－α－β1＋tan αα－β＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3.](1)1－tan 15°＝________.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________. 【导学号：84352318】[思路探究] 注意特殊角的正切值和公式T (α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)3 (2)－1 [(1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.] [规律方法] 公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.[跟踪训练]2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A [∵sin 2α＝2sin 2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得 tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．2．若tan α、tan β是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的两个根，则如何用a 、b 、c 表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－b a 1－c a＝－ba －c.(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.(2)已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tanB －1，试判断△ABC 的形状.【导学号：84352319】[思路探究] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A ，B 的等式求出tan(A ＋B )得角A ＋B ，然后求角C 并代入关于角B ，C 的等式求角B ，最后求角A ，判断△ABC 的形状．(1)1 [∵tan 67°－t an 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.] (2)解：∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6， ∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形．母题探究：1.将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？ [解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝tan 68°－tan 23°1＋tan 68°tan 23°，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k 180°＋90°，k ∈Z )，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1.[规律方法] 1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βα＋β；(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．[当 堂 达 标·固 双 基]1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝( ) A ．17 B ．－17C ．1D ．－1A [tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝－2＋31－－＝17.] 2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )【导学号：84352320】A ．2B ．1C ．12D ．4C [∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4，且tan α＋tan β＝2，∴21－tan αtan β＝4，解得tan αtan β＝12.]3．求值：tan 11π12＝________.－2＋3 [tan 11π12＝－tan π12＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6 ＝－tan π4－tan π61＋tan π4tan π6＝－1－331＋33＝－2＋ 3.]4．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3，则tan α的值为________． 6－5313 [tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α1＋tan π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3－31＋3×3＝3－333－1332－1＝12－10326＝6－5313.]5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值. 【导学号：84352321】[解] 因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45， tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

北师大版数学必修四第三章三角恒等变形复习题三（P133～135)A组1。

化简（1）√1-2sin(3—π）cos（3-π）解析:∵—π/2〈3—π〈0,则：0〈π—3<π/2∴√[1—2sin（3—π）cos（3—π)］=√[1+2sin(π—3）cos(π—3)]=√［sin²（π—3）+ 2sin（π-3）cos(π—3） +cos²（π—3)］=√［sin（π-3)+cos(π—3)]²=sin(π—3）+cos（π-3)=sin3 -cos3（2）√（1—2sin190°cos190°）/[cos170°+√（1—cos²170°)]sin（α+180°)=—sinα，cos(α+180°）=-cosα，sin（180°-α)=sinα，cos(180°-α）=cosα。

∴√（1-2sin190°cos190°)/[cos170°+√(1—cos²170°)]=√(sin²190°+cos²190°-2sin190°cos190°）/（cos170°+｜sin170°|）=｜sin190°-cos190°｜/（cos170°+|sin170°｜）=(cos10°—sin10°）/(sin10°—cos10°）= -12.已知tanα=—4/3 计算（1）（3sinα+2cosα)/(sinα—4cosα）同时除以cosα得(3sinα+2cosα）/（sinα-4cosα)=（3tanα+2）/(tanα-4）=(3＊(—3/4）+2)/（-3/4—4）=（-9+8）/（—3—16)=1/19（2）2sin²α+3sinαcosα—cos²α解：原式=［2sin2а+3sinаcosа-cos2а］/［(sina)^2 +（cosa)^2］（分母1=sina）^2 +(cosa）^2） =[2（tana)^2 +3tana -1］/［(tana)^2 +1] (代入tanα=—3/4)=—34/253.求证（1）2（1-sinα）（1+cosα)=(1-sinα+cosα）∧2(1—sina+cosa)^2=[1-（sina-cosa)］^2=1-2（sina—cosa）+(sina-cosa)^2=1—2sina+2cosa+（sina）^2+(cosa）^2-2sinacosa=2+2cosa—2sina-2sinacosa=2（1+cosa-sina—sinacosa）=2(1-sina)(1+cosa)(2）sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2αcos^2β=1sin^2α+sin^2β—sin^2α·sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·（1-sin^2β)+sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·cos^2β+sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·cos^2β+cos^2α·cos^2β+sin^2β=cos^2β·（sin^2α+cos^2α）+sin^2β=cos^2β+sin^2β=1（3）tanAsinA/(tanA-sinA）=(tanA+sinA）/tanAsinAtanAsinA/(tanA-sinA)=sinA/cosA＊sinA/（sinA/cosA-sinA）=sinA/cosA*sinA＊(1/cosA+1)/｛(1/cosA+1）*（sinA/cosA-sinA)}=sinA*sinA(1/cosA+1/cos^2A）/｛sinA*(1/cos^2A-1）｝=sinA*sinA（1/cosA+1/cos^2A)＊cosA/(sinA*sin^2A/cosA）=sinA(1+1/cosA）/tanAsinA=（tanA+sinA)/tanAsinA4.选择题（1)下列表达式中，正确的是（A)A.sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB.cos(α+v)cosαcosβ+sinαsinβC。

§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用课时过关·能力提升1.函数y=2cos2x的一个递增区间是()A.[-π4,π4]B.[0,π2]C.[π4,3π4]D.[π2,π]解析:y=2cos2x=1+cos 2x的递增区间为{x|2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)},即{x|kπ−π2≤x≤kπ(k∈Z)}.令k=1,有π≤x≤π.答案:D2.已知si n(π4-x)=35,则cos(π2-2x)的值为()A.1925B.1625C.1425D.725解析:因为si n(π4-x)=35,所以co s(π2-2x)=cos[2(π4-x)]=1−2sin2(π4-x)=725.答案:D3.sin110°sin20°cos2155°-sin2155°的值为()A.−12B.12C.√32D.−√32解析:原式=cos20°sin20°cos225°-sin225°=12sin40°cos50°=12sin40°sin40°=12.答案:B4.设向量a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且a∥b,则cos 2θ等于()A.1B.2C.−1D.−2解析:∵a∥b,∴3sin2θ=1,∴sin2θ=1.∴cos 2θ=1-2sin2θ=1.答案:A5.若tan θ+1tanθ=4,则sin 2θ=()A.15B.14C.13D.12解析:∵tan θ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4.∴sin2θ+cos2θcosθsinθ=4,即2sin2θ=4.∴sin 2θ=12.答案:D6.函数f(x)=sin2(x+π4)−sin2(x-π4)是()A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数解析:∵(x+π4)+(π4-x)=π2,∴f(x)=cos2(π4-x)−sin2(π4-x)=cos[2(π4-x)]=cos(π2-2x)=sin 2x.∴T=π,f(x)为奇函数.答案:C7.函数y=2sin x cos x+√3cos 2x的最大值为.解析:∵y=2sin x cos x+√3cos 2x=sin 2x+√3cos 2x=2si n(2x+π3),∴-2≤y≤2,∴所求函数的最大值为2.答案:28.计算sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的结果是.解析:sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°=sin 6°·cos 24°·cos 12°·cos 48°=2cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°2cos6°=2sin12°cos12°cos24°cos48°4cos6°=2sin24°cos24°cos48°8cos6°=2sin48°cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=sin(90°+6°)16cos6°=cos6°16cos6°=1 16.答案:1169.已知A,B是△ABC的两个内角,向量m=co s A-B2i+√52sin A+B2j,其中i,j为互相垂直的单位向量.若|m|=3√24,则tan Atan B的值为.解析:|m|2=cos2A-B2+54sin2A+B2=1+cos(A-B)2+54·1-cos(A+B)2=(3√24)2=98,∴4cos(A-B)=5cos(A+B),∴cos A cos B=9sin A sin B,即tan A tan B=19.答案:1910.(1)已知cos θ=−√23,θ∈(π2,π),求2sin2θ−cosθsinθ的值;(2)在△ABC中,若cos A=13,求sin2B+C2+cos 2A的值.解(1)∵cos θ=−√23,θ∈(π2,π),∴sin θ=√1-cos2θ=√1-29=√73,∴2sin2θ−cosθsinθ=22sinθcosθ−cosθsinθ=1sinθcosθ−cos2θsinθcosθ=1-cos2θsinθcosθ=sin2θsinθcosθ=sinθcosθ=√73-23=−√142.(2)sin2B+C2+cos 2A=1-cos(B+C)2+cos 2A=1+cosA2+2cos2A−1=12+12×13+2×(13)2−1=−19.11.已知函数f(x)=√2sin x2cos x2−√2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解(1)因为f (x )=√22sin x −√22(1−cos x )=si n (x +π4)−√22,所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0, 所以−3π4≤x +π4≤π4.当x +π4=−π2,即x=−3π4时,f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (-3π4)=−1−√22.★12.某一扇形铁皮的半径长为1,圆心角为π3.现在铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD,如图,设∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,并求出这个最大面积. 解在Rt △OBC 中,OB=cos α,BC=sin α.在Rt △OAD 中,DA=tan π=√3,∴OA =√33DA =√33BC =√33sin α, ∴AB=OB-OA=cos α−√33sin α. ∴S=AB ·BC =(cosα-√33sinα)sin α=sin α·cos α−√33sin2α=12sin 2α−√36(1−cos 2α) =12sin 2α+√36cos 2α−√36=√33(√32sin2α+12cos2α)−√36=√33sin (2α+π6)−√36.∵0<α<π3,∴当2α+π6=π2,即α=π6时,S max=√33−√36=√36.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式、(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明、(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用、(易错点)[自 主 预 习²探 新 知]1、二倍角的正弦、余弦、正切公式23、正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α,cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos _α)2.[基础自测]1、思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角、( ) (2)存在角α,使得sin 2α＝2sin α成立、( ) (3)对于任意的角α,cos 2α＝2cos α都不成立、( )[解析] (1)³.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z ),故此说法错误、(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时,sin 2α＝2sin α. (3)³.当cos α＝1－32时,cos 2α＝2cos α.[答案] (1)³ (2)√ (3)³ 2、sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12³2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3、12－cos 2π8＝________.－24 [12－cos 2π8＝12－1＋cosπ42＝12－12－12³22＝－24.] 4、若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2³21－22＝－43.] [合 作 探 究²攻 重 难](1)cos π7cos 7cos 7的值为( )A 、14 B 、－14C 、18D 、－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.【导学号：84352329】(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7,cos 5π7＝－cos 2π7,∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos4π78sinπ7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. ②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2³1－tan 275°2tan 75°＝2³1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4 sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题,一般有两类：1 直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1、求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°. [解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12³2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5,2≤α＜2,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4,求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2,α－π4与2α－π2具有2倍关系,用二倍角公式联系；(2)2α＋π2与2α差π2,用诱导公式联系、[解] (1)∵π2≤α＜3π2,∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0,∴3π2＜α＋π4＜7π4, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45,∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³35＝－2425,sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22³725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α, ∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4,解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4,故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3,即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下,求sin 4α的值、[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2³725³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2、将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,0＜x ＜π4,求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值、[解] ∵0＜x ＜π4,∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2³513³1213＝120169,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法1 有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化；寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2 当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ， sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.[探究问题]1、解答化简证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理？ 提示：通常要切化弦后再进行变形、2、证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么？ 提示：由复杂一侧向简单一侧推导、(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12° 4cos 212°－2 ＝－4 3. [思路探究] (1)通分变形、(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ [(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1 tan θ＋1 tan θ－1 ＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12° 2cos 212°－1 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23sin 12°－60° sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边,所以原等式成立、] [规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤1 观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.2 证明恒等式的一般步骤：①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.[跟踪训练]2、求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[证明] (1)左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos 2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边, ∴等式成立、(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边、 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边、 [当 堂 达 标²固 双 基]1、下列各式中,值为32的是( ) A 、2sin 15°cos 15° B 、cos 215°－sin 215° C 、2sin 215°D 、sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1,故选B.] 2、(2018²全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A 、f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B 、f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C 、f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D 、f (x )的最小正周期为2π,最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4.]3、若sin α＝3cos α,则sin 2αcos 2α＝________.6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.] 4、设sin 2α＝－sin α,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α, ∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0,∴cos α＝－12,∴α＝2π3,∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.]5、已知π2＜α＜π,cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值、[解] (1)因为cos α＝－45,π2＜α＜π,所以sin α＝35,所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,cos 2α＝2cos 2α－1＝725,所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。

§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用课时过关·能力提升1.函数y=2cos2x的一个递增区间是()A.[-π4,π4]B.[0,π2]C.[π4,3π4]D.[π2,π]解析:y=2cos2x=1+cos 2x的递增区间为{x|2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)},即{x|kπ−π2≤x≤kπ(k∈Z)}.令k=1,有π2≤x≤π.答案:D2.已知si n(π4-x)=35,则cos(π2-2x)的值为()A.1925B.1625C.1425D.725解析:因为si n(π4-x)=35,所以co s(π2-2x)=cos[2(π4-x)]=1−2sin2(π4-x)=725.答案:D3.sin110°sin20°cos2155°-sin2155°的值为()A.−12B.12C.√32D.−√32解析:原式=cos20°sin20°cos225°-sin225°=12sin40°cos50°=12sin40°sin40°=12.答案:B4.设向量a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且a∥b,则cos 2θ等于()A.13B.23C.−13D.−23解析:∵a∥b,∴3sin2θ=1,∴sin2θ=13.∴cos 2θ=1-2sin2θ=13.答案:A5.若tan θ+1tanθ=4,则sin 2θ=()A.15B.14C.13D.12解析:∵tan θ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4.∴sin2θ+cos2θcosθsinθ=4,即2sin2θ=4.∴sin 2θ=12.答案:D6.函数f(x)=sin2(x+π4)−sin2(x-π4)是()A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数解析:∵(x+π4)+(π4-x)=π2,∴f(x)=cos2(π4-x)−sin2(π4-x)=cos[2(π4-x)]=cos(π2-2x)=sin 2x.∴T=π,f(x)为奇函数.答案:C7.函数y=2sin x cos x+√3cos 2x的最大值为.解析:∵y=2sin x cos x+√3cos 2x=sin 2x+√3cos 2x=2si n(2x+π3),∴-2≤y≤2,∴所求函数的最大值为2.答案:28.计算sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的结果是.解析:sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°=sin 6°·cos 24°·cos 12°·cos 48°=2cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°2cos6°=2sin12°cos12°cos24°cos48°4cos6°=2sin24°cos24°cos48°8cos6°=2sin48°cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=sin(90°+6°)16cos6°=cos6°16cos6°。

2.3两角和与差的正切函数课时过关·能力提升1.tan(-165°)的值是()A.2+√3B.−2−√3C.2−√3D.√3−2解析:原式=tan(-180°+15°)=tan 15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=2−√3.答案:C2.已知tan A tan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)的值是()A.−√22B.√22C.±12D.±√22解析:因为tan A tan B=tan A+tan B+1,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=−1,所以cos(A+B)=±√22.答案:D3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析:由题意,知tan A+tan B=53,tan A tan B=13.∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=−tanA+tanB1-tanAtanB =−531-13=−52<0.∴π2<C<π.∴△ABC为钝角三角形.答案:D4.已知α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α+cos α的值为()A.−15B.75C.−75D.34解析:∵ta n(α+π4)=tanα+11-tanα=17,∴tan α=−34.又α∈(π2,π),sin2α+cos2α=1,tan α=sinαcosα, ∴sin α=35,cos α=−45.∴sin α+cos α=−15.答案:A5.已知M=sin 100°-cos 100°,N =√2(cos 46°cos 78°+cos 44°cos 12°),P =1-tan10°1+tan10°,Q =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°,则M,N,P,Q 之间的大小顺序是( )A .M<N<P<QB .P<Q<M<NC .N<M<Q<PD .Q<P<N<M解析:M=sin 100°-cos 100°=√2sin(100°−45°)=√2sin 55°>1,N =√2(cos 46°cos 78°+cos 44°cos 12°)=√2(sin 44°cos 78°+cos 44°sin 78°)=√2sin 122° =√2sin 58°>M.P =1-tan10°1+tan10°=tan(45°−10°)=tan 35°<1,Q =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=tan(22°+23°)=tan 45°=1, 故P<Q<M<N.答案:B★6.已知tan θ和ta n (π4-θ)是关于x 的方程x2+px +q =0的两根,则p,q 间的关系满足( )A .p+q+1=0B .p-q-1=0C .p+q-1=0D .p-q+1=0 解析:由题意,得tan θ+ta n (π4-θ)=−p,tan θ·ta n (π4-θ)=q,而ta n π4=tan [θ+(π4-θ)]=tanθ+tan (π4-θ)1-tanθtan (π4-θ),从而1-q=-p ,即p-q+1=0.答案:D7.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,则tan(α+β)= . 解析:∵tan β=1-tanα1+tanα=tan π4-tanα1+tan π4tanα,。

第2课时　半角公式及其应用课时过关·能力提升1.已知cos α=‒35,且π<α<3π2,则cos α2的值等于( )A .55B .‒55C .255D .‒255解析:∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4.∴cos α2=‒1+cosα2=‒5.答案:B 2.设5π<θ<6π,cos θ2=a ,则sin θ4的值等于( )A.‒1+a 2B.‒1-a 2C.‒2+2a 2D.‒2-2a 2解析:∵5π<θ<6π,∴5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,∴sin θ4=‒1-cos θ22=‒1-a 2=‒2-2a 2.答案:D3.设α∈(π,2π),则1-cos (π+α)2=( )A .si n α2B .cosα2C .-si n α2D .‒cosα2解析:∵α∈(π,2π),∴α2∈(π2,π),∴1-cos (π+α)2=1+cosα2=cos 2α2=‒cos α2.答案:D4.设a =12cos 6°‒3sin 6°,b =2tan13°1+tan 213°,c =1-cos50°2,则有( )A .a>b>cB .a<b<cC .a<c<bD .b<c<a 解析:a 6°6°=sin 24°,b 26°,c 25°.利用正弦函数的=12cos ‒32sin =2tan13°1+tan 213°=sin =1-cos50°2=sin 性质可知选C .答案:C★5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( )A .3α-β=π2B .2α‒β=π2C .3α+β=π2D .2α+β=π2解析:tan α=1+sinβcosβ=1+cos (π2-β)sin (π2-β)=2cos 2(π4-β2)2sin (π4-β2)cos (π4-β2)=cot (π4-β2)=ta n [π2-(π4-β2)]=tan (π4+β2),∴α=k π∈Z ,+(π4+β2),k ∴2α-β=2k π∈Z .+π2,k 当k=0时,满足2α-βB .=π2,故选答案:B6.若cos α=‒45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tan α2= .解析:由题意,得sin α=‒35,则ta n α2=1-cosαsinα=1+45-35=‒3,所以1+tanα21-tanα2=‒12.答案:‒1 27.3-sin70°2-cos210°= .解析:3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20°=2.答案:28.化简sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx= .解析:原式=2sin2xcos2x2cos22x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinxcosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.答案:ta n x 29.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于513,求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值.解设等腰三角形的顶角为α,底角为θ,则cos α=513,α+2θ=π,θ∈(0,π2),∴cos 2θ=‒5 13,∴sin θ=1-cos2θ2=1+5132=313,cos θ=1+cos2θ2=1-5132=213,tan θ=sinθcosθ=32.故这个三角形底角的正弦、余弦和正切值分别为31313,21313,32.10.在△ABC 中,若sin A sin B=cos △ABC 的形状.2C 2,试判断解sin A sin B=cos 2C 2=1+cosC 2=1-cos (A +B )2,即2sin A sin B+cos(A+B )=1,∴2sin A sin B+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B=cos(A-B )=1.∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B.∴△ABC 是等腰三角形.11.在△ABC 中,f (B )=4cos B ·sin2(π4+B 2)+3cos 2B ‒2cos B.(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m>2恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)由题意,得f (B )=4cos B ·2B-2cos B1-cos (π2+B )2+3cos =2cos B (1+sin B )2B-2cos B +3cos =sin 2B 2B=2si +3cos n (2B +π3).∵f (B )=2,∴2si n (2B +π3)=2.∵角B 是△ABC 的内角,∴2B B +π3=π2,则=π12.(2)若f (B )-m>2恒成立,即2si .n (2B +π3)>2+m 恒成立∵0<B<π,∴π3<2B +π3<7π3,∴2si ∈[-2,2],n (2B +π3)∴2+m<-2,∴m<-4.★12.已∈R ).求:知OA =(1,sin x ‒1),OB =(sin x +sin xcos x,sin x ),f (x )=OA ·OB (x (1)函数f (x )的最大值和最小正周期;(2)函数f (x )的递增区间.解(1)f (x )x+sin x cos x+sin 2x-sin x 2x =OA ·OB =sin =12sin π,令2x ∈Z ),可得当x=k π∈Z )时,+1-cos2x 2=22sin (2x -π4)+12,最小正周期为‒π4=π2+2kπ(k +3π8(k f (x )取得最大值1+22.(2)当2k π≤2x ≤2k π∈Z ),‒π2‒π4+π2(k 即k π≤x ≤k π∈Z )时,原函数为增加的,‒π8+3π8(k ∴函数f (x )的递增区间∈Z ).是[kπ-π8,kπ+3π8](k。

第2课时利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式课时过关·能力提升1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A解析:原式=sin2β+cos2β(cos2β+sin2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C2.化简-的结果是A.siC.co解析:-答案:C3.化简的结果是A.tan xB.sin xC.cos x D解析:·cos2x·cos2x答案:D4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α则这个三角形的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵sin α+cos α∴(sin α+cos α)2∴2sin αcos α=又α∈(0,π),∴sin α>0,∴cos α<0,∴α为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.答案:B5.sin221°+cos2381°+sin417°+sin217°cos2377°+cos2377°=.解析:原式=sin221°+cos221°+sin417°+sin217°cos217°+cos217°=1+sin217°(sin217°+cos217°)+cos217°=2.答案:26.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是.解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式------答案:-17.求证:tan2α-sin2α=tan2αsin2α.证明右边=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α·cos2α=tan2α-sin2α=左边,∴原等式成立.8.化简tan -其中是第二象限角解因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0.故tan---9.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.证明(方法一)∵tan2α=2tan2β+1,∴tan2β-∵tan2β-∴sin2β-----(方法二)∵tan2α=2tan2β+1,∴tan2α+1=2(tan2β+1),∴cos2β=2cos2α,∴1-sin2β=2(1-sin2α),∴sin2β=2sin2α-1.10.已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x2-kx+k+1=0的两个实根,求k和θ.解由题意,知①②由①,得1+2sin θcos θ=k2.将②代入上式,整理,得k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1.当k=3时,sin θcos θ=4,且Δ<0,不符合题意,舍去.-当k=-1时或又θ∈(0,2π),∴θ=π或θ综上可知,k=-1,θ=π或θ11.某次上必修4第三章第1节有关“同角三角函数的基本关系”课时,大家对某一个问题展开了激烈的讨论,对于“sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α”有以下几种说法:甲同学:已知sin α+cos α,可求解sin α-cos α,sin αcos α,且结果都唯一;乙同学:已知sin α+cos α,可求解sin α-cos α,sin αcos α,且sin αcos α的结果唯一,sin α-cos α的结果不唯一;丙同学:已知sin αcos α,可求解sin α-cos α,sin α+cos α,且结果都唯一;丁同学:已知sin αcos α,可求解sin α-cos α,sin α+cos α,且结果都不唯一.你认为谁的说法正确?说明理由.解乙、丁同学说法正确,理由如下:由1+2sin αcos α=(sin α+cos α)2,得sin αcos α-故当已知sin α+cos α时,sin αcos α的结果唯一.由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,得sin α-cos α=-故当已知sin α+cos α时,sin α-cos α的结果不唯一,故甲同学说法错误,乙同学说法正确.同理,由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,得sin α-cos α=-α+cos α=故当已知sin αcos α时,sin α-cos α,sin α+cos α的结果都不唯一,所以丙同学说法错误,丁同学说法正确.★12.是否存在一个实数k,使关于x的方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解假设存在.设直角三角形的两个锐角分别为α,β,则α+ββ=cos α.∵在方程8x2+6kx+2k+1=0中,Δ=(6k)2-4×8×(2k+1 ≥0∴当k≤-或k≥时,方程有两个实数根.又sin α+sin β=sin α+cos α=sin αsin β=sin αcos α且sin2α+cos2α=1, ③联立①②③,得1+2·-解得k1=2,k2=当k1=2时,不满足Δ≥0 故舍去;当k2=时,满足Δ≥0 但sin αsin β=这与α,β都是锐角相矛盾,故舍去.综上所述,不存在实数k满足条件.。

§2　两角和与差的三角函数2.1　两角差的余弦函数　2.2　两角和与差的正弦、余弦函数课时过关·能力提升1.在△ABC 中,sin A sin B<cos A cos B ,则其形状是( )A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰三角形解析:∵sin A sin B<cos A cos B ,∴cos A cos B-sin A sin B>0,即cos(A+B )>0,∴cos C<0.故这个三角形为钝角三角形.答案:B2.在△ABC 中,已知cos A =35,cos B =1517,则cos C 等于( )A .‒1385B .1385C .‒7785D .7785解析:因为cos A B =35,cos =1517,所以sin A B =45,sin =817,所以cos C=-cos(A+B )=‒35×1517+45×817=‒1385.答案:A3.函数f (x )=sin x ∈[-π,0])的递增区间是( )‒3cos x (x A .[-π,-5π6]B.[-5π6,-π6]C .[-π3,0]D.[-π6,0]解析:f (x )=2(12sinx -32cosx )=2(sinxcos π3-cosxsin π3)=2sin (x -π3).∵-π≤x ≤0,∴≤x ‒4π3‒π3≤‒π3,∴≤x当‒π2‒π3≤‒π3,即x ∈,f (x )是增加的.[-π6,0]时答案:D4.已知α,β均为锐角,且cos α=1010,cos β=55,则α+β的值是( )A .2π3B .3π4C .π4D .π3解析:∵α,β均为锐角,∴sin α=31010,sin β=255.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1010×55‒31010×255=‒22.又α,β均为锐角,∴0<α+β<π.∴α+β=3π4.答案:B5.已知8sin α+5cos β=6,sin(α+β)=4780,则8cos α+5sin β=( )A .±10B .10C .-10D .±20解析:设8cos α+5sin β=x ,则(8sin α+5cos β)2+(8cos α+5sin β)2=62+x 2,从而有64+25+80(sin α·cos β+cos αsin β)=36+x 2,∴89+80×4780=36+x 2,∴x 2=100,∴x =±10.答案:A6.已知函数f (x )=3sin 2x +cos 2x ,则下面结论中错误的是( )A .函数f (x )的最小正周期为πB .函数f (x )的图像可由g (x )=2sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度得到C .函数f (x )的图像关于直线x =π6对称D .函数f (x )在区间[0,π6]上是增加的解析:∵函数f (x )2x+cos 2x=g (x )=2sin 2x 的图像向=3sin 2(32sin2x +12cos2x )=2sin (2x +π6),∴把左平y=2si ,∴B 选项是错误的.移π6个单位长度得到函数n [2(x +π6)]=2sin (2x +π3)的图像答案:B7.在△ABC 中,A=120°,则sin B+sin C 的最大值为 .解析:由A=120°,A+B+C=180°,得sin B+sin C=sin B+sin(60°-B )B B=sin(60°+B ).显然,=32cos +12sin 当B=30°时,sin B+sin C 取得最大值1.答案:1★8.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=‒35,sin (β-π4)=1213,则cos (α+π4)= .解析:由条件,得3π2<α+β<2π,π2<β‒π4<3π4,∴cos(α+β)=45,cos (β-π4)=‒513.∴co s (α+π4)=cos [(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)co s (β-π4)+sin(α+β)sin (β-π4)=45×(-513)+(-35)×1213=‒5665.答案:‒56659.函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 解析:∵f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f (x )max =1.答案:110.求证:sin (2α+β)sinα‒2cos(α+β)=sinβsinα.证明左边=sin [α+(α+β)]-2sinαcos (α+β)sinα=sinαcos (α+β)+cosαsin (α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=-sinαc,∴原等式成立.=sin [(α+β)-α]sinα=sinβsinα=右边11.已知si n (α+π3)+sin α=‒435,‒π2<α<0,求cos α的值.解由已知,得sin αco αsiα=s π3+cosn π3+sin‒43,α=∴32sin α+32cos ‒435,α=∴32sin α+12cos ‒45,即si n (α+π6)=‒45.∵‒π2<α<0,∴‒π3<α+π6<π6,∴cos (α+π6)=35,∴cos α=cos [(α+π6)-π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=35×32+(-45)×12=33-410.★12.已知a =b =(sin x ,cos x ),x ∈R ,f (x )=a ·b .(3,‒1),(1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )的周期、值域及单调区间.解(1)f (x )=a ·b =·(sin x ,cos x )(3,‒1)x-cos x =3sin =∈R ).2(32sinx -12cosx )=2sin (x -π6)(x (2)∵f (x )=2si n (x -π6),∴f (x )的周期[-2,2].为2π1=2π,值域为≤x∈Z ),得f (x )的递增区间∈Z );由‒π2+2kπ‒π6≤π2+2kπ(k为[-π3+2kπ,2π3+2kπ](k≤x∈Z ),得f (x )的递减区间∈Z ).由π2+2kπ‒π6≤3π2+2kπ(k 为[2π3+2kπ,5π3+2kπ](k。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系（一）课时目标1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式及常见变形．2．能运用平方关系和商的关系进行求值．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：________________________．(2)商数关系：________________________(α≠k π＋π2，k ∈Z )2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝____________；cos 2α＝____________； (sin α＋cos α)2＝_________________________________________________________；(sin α－cos α)2＝_________________________________________________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝__________________________＝______________________________．(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝__________________；cos α＝_______________________________________．一、选择题1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )A ．15B ．－15C ．513D ．－513 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15 D ．353．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A ．1－k 2kB ．－1－k 2k C ．k1－k2D ．－k1－k24．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( ) A ．12 B ．2 C ．－12 D ．－2 二、填空题7．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α＝________．8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝_____________________________．9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____________________________．10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题11．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ．12．已知α是第三象限角，f (α)＝sin(α－π2)cos(32π＋α)tan(π－α)(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．能力提升13．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．14．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)．求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ．1．对基本关系的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1；sinα2cosα2＝tan α2；而sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．熟悉sin θ＋cos θ，sin θ·cos θ，sin θ－cos θ这三个式子之间的关系，已知其中一个式子的值，可求出另外两式子的值，但应注意符号选取．第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系(一)答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2(sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．D [∵α是第四象限角，且tan α＝－512，∴sin α＝－5122＋52＝－513．] 2．B [sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35．]3．B [∵cos (－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2．∴tan 80°＝1－k2k．∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k．]4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13．] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α．∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8．]6．B [方法一 由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1．化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255．∴cos α＝－5－2sin α＝－55． ∴tan α＝sin αcos α＝2． 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2．]7．－438．45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45．9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α．∴cos α－sin α＝－32． 10．34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0， ∴k 1＝1或k 2＝－7．当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34．11．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611． 解得：tan θ＝2．(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1．(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ ＝－15．12．解 (1)f(α)＝sin (α－π2)cos (32π＋α)tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－π－α)＝－sin (π2－α)·sin α(－tan α)(－tan α)·sin α＝cos α·sin α·tan α－tan α·sin α＝sin 2α－tan α·sin α＝－sin αtan α＝－cos α． (2)∵cos (α－32π)＝cos (32π－α)＝－sin α＝15∴sin α＝－15，∵α是第三象限角，∴cos α＝－265∴f(α)＝－cos α＝256．13．23解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x ．整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23．14．解 (1)由sin θ＋cos θ＝15两边平方得，sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925．又∵sin θcos θ<0，θ∈(0，π)，∴cos θ<0，θ∈(π2，π)，∴sin θ－cos θ＝75．(2)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝15×(1＋1225)＝37125．。

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=3sin x-3√3cos x的最大值是()A.3+3√3B.4√3C.6D.3解析:∵函数y=3sin x-3√3cos x=6si n(x-π3),∴所求的最大值是6.答案:C2.函数y=2si n(π3-x)−cos(π6+x)(x∈R)的最小值等于()A.-3B.-2C.-1D.−√5解析:y=2si n(π3-x)−cos(π6+x)=2cos(π6+x)−cos(π6+x)=cos(π6+x),故最小值为-1.答案:C3.计算34cos215°−38等于()A.−3√316B.3√316C.316D.−316解析:34cos215°−38=38(2cos215°−1)=38cos 30°=38×√32=3√316.答案:B4.函数g(x)的图像是函数f(x)=sin 2x−√3cos 2x的图像向右平移π12个单位长度得到的,则函数g(x)的图像的对称轴为()A.直线x=π4B.直线x=π3C.直线x=π2D.直线x=π6解析:f(x)=sin 2x−√3cos 2x=2si n(2x-π3),其图像向右平移π12个单位长度得到g(x)=2si n[2(x-π12)-π3]=2sin(2x-π2)=−2cos 2x.由cos 2x=±1,得2x=kπ(k∈Z),即x=kπ2(k∈Z),所以函数g(x)的图像的对称轴为直线x=kπ2(k∈Z).只有选项C符合条件.答案:C5.在△ABC中,C=90°,则函数y=sin2A+2sin B的最值情况是()A.有最大值,无最小值B.无最大值,有最小值C.有最大值,也有最小值D.无最大值,也无最小值解析:y=sin2A+2sin B=sin2A+2cos A=1-cos2A+2cos A=-(cos A-1)2+2,而0<cos A<1,故函数无最大值也无最小值.答案:D6.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(cos 80°,sin 80°),B(cos 20°,sin 20°),则AB的长为()A.12B.√22C.√32D.1解析:由两点间的距离公式,得AB=√(cos80°-cos20°)2+(sin80°-sin20°)2=√2-2(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=√2-2cos(80°-20°)=√2-2cos60°=√2-2×12=1.答案:D7.已知向量a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a·b=25,则tan(α+π4)=()A.13B.27C.17D.23解析:由a·b=25,得cos 2α+sin α(2sin α-1)=25,解得sin α=35.又α∈(π2,π),所以cos α=−45,tan α=−34,则ta n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.答案:C8.已知sin θ=35,5π2<θ<3π,则tanθ2+cosθ2的值为()A.√1010−3B.3−√1010C.−30+√1010D.30+√1010解析:因为sin θ=35,5π2<θ<3π,所以cos θ=−45,又5π4<θ2<3π2,所以si nθ2=−√1-cosθ2=−3√1010,co sθ2=−√1+cosθ2=−√1010,tanθ2=3,故ta nθ2+cosθ2=3−√1010.答案:B9.若cos 5°=a,则sin 2 375°等于()A.−12a−√32√1-a2B.12a+√32√1-a2C.−√32a−12√1-a2D.√32a+12√1-a2解析:因为cos 5°=a,所以sin 5°=√1-a2,所以sin 2 375°=sin 215°=-sin 35°=-sin(30°+5°)=-sin 30°cos5°-cos 30°sin 5°=−12a−√32√1-a2.答案:A10.有下列四个函数:①y=sin x+cos x;②y=sin x-cos x;③y=sin x·cos x;④y=sinxcosx .其中在(0,π2)上为递增函数的是()A .①B .②C .①和③D .②和④解析:y=sin x+cos x =√2sin (x +π4)在(0,π2)上不是单调函数,所以①不是,排除A 和C;y =sinxcosx =tan x 在(0,π2)上是增加的,所以④是,排除B,故选D .答案:D11.已知(sin x-2cos x )(3+2sin x+2cos x )=0,则sin2x+2cos 2x1+tanx的值为( )A .85B.58C .25D.52解析:∵3+2sin x+2cos x=3+2√2sin (x +π4)>0,∴sin x-2cos x=0.∴tan x=2. ∴原式=2cosx (sinx+cosx )1+sinxcosx=2cos 2x (sinx +cosx )cosx +sinx=2cos 2x =2cos 2x22=2tan 2x +1=222+1=25.答案:C12.关于函数f (x )=2(sin x-cos x )cos x 有以下四个结论:P 1:最大值为√2;P2:把函数f(x)=√2sin 2x −1的图像向右平移π4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x −cos x)cos x 的图像;P3:递增区间为[kπ+7π8,kπ+11π8] (k ∈Z );P 4:图像的对称中心为(kπ+π,-1)(k ∈Z ).其中正确的结论有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个解析:因为f (x )=2sin x cos x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1=√2sin (2x -π4)−1,所以最大值为√2−1,所以P 1错误;将f (x )=√2sin 2x-1的图像向右平移π4个单位长度后得到f (x )=√2sin [2(x -π4)]−1=√2sin (2x -π)−1的图像,所以P 2错误;由−π+2kπ≤2x −π≤π+2kπ,解得−π+kπ≤x ≤3π+kπ(k ∈Z ),即递增区间为[-π8+kπ,3π8+kπ](k∈Z),所以P3正确;由2x−π4=kπ(k∈Z),得x=k2π+π8(k∈Z),所以对称中心为(k2π+π8,-1)(k∈Z),所以P4正确.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y=ta n x2−1sinx的最小正周期是.解析:y=1-cosxsinx −1sinx=−cosxsinx=−1tanx,T=π.答案:π14.函数f(x)=(sin x+cos x)2的递增区间是. 解析:f(x)=(sin x+cos x)2=1+sin 2x.令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),得−π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),所以f(x)的递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z).答案:[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)15.已知α∈(0,π2),且tan(α+π4)=3,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=.解析:ta n(α+π4)=tanα+11-tanα=3,∴tan α=12,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=log53sin 2α+7sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=log53tan 2α+7tanα+2tan2α+1=log55=1.答案:116.在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终边经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sos θ=y0+x0r,称“sos θ”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”y=sos x,有同学得到以下性质:①该函数的值域为[−√2,√2];②该函数的图像关于原点对称;③该函数的图像关于直线x=3π4对称;④该函数为周期函数,且最小正周期为2π;⑤该函数的递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4],k∈Z.其中正确的是.(填上所有正确性质的序号)解析:由“正余弦函数”的定义可知,y=sos x=sin x+cos x=√2sin(x+π4),由三角函数的性质可得①④⑤正确.答案:①④⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tan α=2.(1)求ta n(α+π4)的值;(2)求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解(1)ta n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=2+11-2=−3.(2)sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-(2cos2α-1)-1 =2sinαcosαsin2α+sinαcosα-2cos2α=2tanαtan2α+tanα-2=2×222+2-2=1.18.(12分)若函数f(x)=1+cos2x4sin(π2+x)−asin x2cos(π-x2)的最大值为2,求实数a的值.解f(x)=1+cos2x4sin(π2+x)−asin x cos(π-x)=2cos2x+asin x cos x=1cos x+a sin x=√1+a2sin(x+φ),其中φ满足sin φ=2则该函数的最大值为√1+a2,由已知,得14+a24=22,∴a2=15,∴a=±√15.19.(12分)已知函数f(x)=a(cos2x+sin x cos x)+b.(1)当a>0时,求f(x)的递增区间;(2)当a<0,且x∈[0,π2]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.解f(x)=a·1+cos2x2+a·12sin 2x+b=√2a2sin(2x+π4)+a2+b.(1)当2kπ−π≤2x+π≤2kπ+π(k∈Z)时,kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z),∴[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z)为f(x)的递增区间.(2)∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤5π4,∴−√22≤si n(2x+π4)≤1,∴f(x)min=1+√2a+b=3,f(x)max=b=4,∴a=2-2√2,b=4.20.(12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R.(1)当θ=0时,求f(x)的单调区间.(2)若θ∈(0,π),且sin x≠0,当θ为何值时,f(x)为偶函数?解(1)当θ=0时,f(x)=sin x+cos x=√2sin(x+π4),当2kπ−π≤x+π≤2kπ+π(k∈Z),即2kπ−3π≤x≤2kπ+π(k∈Z)时,f(x)是增加的;当2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),即2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)时,f(x)是减少的.∴f(x)的递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k∈Z);f(x)的递减区间为[2kπ+π,2kπ+5π](k∈Z).(2)f(x)=√2cos(x-π4+θ)为偶函数,则θ−π4=kπ(k∈Z),∴θ=kπ+π4(k∈Z).∵θ∈(0,π),∴θ=π4.21.(12分)已知函数f(x)=12sin 2x−√3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像.当x∈[π2,π]时,求g(x)的值域.解(1)f(x)=12sin 2x−√3cos2x=12sin 2x−√32(1+cos 2x)=12sin 2x−√32cos 2x−√32=sin(2x-π3)−√32,因此f(x)的最小正周期为π,最小值为−2+√3.(2)由条件可知:g(x)=si n(x-π3)−√32.当x∈[π2,π]时,有x−π3∈[π6,2π3],从而si n(x-π3)的值域为[12,1],那么si n(x-π3)−√32的值域为[1-√32,2-√32].故g(x)在区间[π2,π]上的值域是[1-√32,2-√32].22.(12分)已知函数f(x)=√3sin ωx·cos ωx+cos2ωx−12(ω>0),其最小正周期为π2.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图像向右平移π8个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,若关于x的方程g(x)+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=√3sin ωx·cos ωx+cos2ωx−12=√32sin 2ωx+cos2ωx+12−12=sin(2ωx+π6).由题意,知f(x)的最小正周期T=π,则2π=π=π,所以ω=2,所以f(x)=si n(4x+π6).(2)将f(x)的图像向右平移π8个单位长度后,得到y=si n(4x-π3)的图像,再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=si n(2x-π3)的图像,所以g(x)=si n(2x-π3).因为0≤x≤π2,所以−π3≤2x−π3≤2π3.g (x )+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,即函数y=g (x )与y=-k 的图像在区间[0,π2]上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知−√32≤-k <√32或-k=1,所以−√32<k ≤√32或k=-1.。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系第1课时利用同角三角函数的基本关系求值课时过关·能力提升1.在△ABC中,若则等于AC解析:将原式两边平方,得2sin2A=3cos A,即2(1-cos2A)=3cos A,整理得2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A或cos A=-2(不符合题意,舍去).因为A为△ABC的内角,所以0<A<π,所以A答案:B2.已知si-则的值为A.-C.解析:∵si又α∈-∴sin α=-∴tan α答案:A3.若-则的值为A.-2B.2 C解析:---解得tan α=答案:D4.在△ABC中,tan A=则的值是A解析:∵tan A=且A是△ABC的内角,∴A是钝角.A= A.又sin2A+cos2A=1,A=答案:B★5.已知且其中∈(0,1),则下面关于tan θ的值可能正确的是() A.-3 B.3或C.或解析:因为sin θ+cos θ=a,a∈(0,1),两边分别平方可得sin θcos θ-所以且cos θ>-sin θ,所以|cos θ|>|sin θ|,借助三角函数线可知则-1<tan θ<0,满足题意的值为答案:C6.若tan α=2,则-解析:原式-答案:7.若sin x+sin2x=1,则cos2x+cos4x=.解析:∵sin x+sin2x=1,∴sin x=1-sin2x=cos2x,∴cos2x+cos4x=sin x+sin2x=1.答案:18.已知α是第二象限角,tan α=则解析:∵α是第二象限角,∴cos α<0.又sin2α+cos2α=1,tan α∴cos α=答案:9.若角α的终边落在直线x+y=0上,--的值为解析:∵角α的终边落在直线x+y=0上, ∴sin α,cos α互为相反数,--∴原式值为0.答案:010.已知cos(π+α)=求的值分析由已知求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求co的值.解∵cos(π+α)=-cos α=∴α为第一或第四象限角.若α为第一象限角,则coα=-=-若α为第四象限角,则co--★11.已知角α的终边经过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈∈Z),求tan α,sin α,cos α的值.解由题意,知tan α-∵θ∈∈Z),∴θ为第二象限角,∴cos θ<0.从而点P的坐标在第四象限,∴cos α又α,∴sin α=即tan α=α=。