专题07 平面解析几何(选择题、填空题) (解析版)

平面解析几何式卷七一、选择题1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1引切线, 则一条切线长的最小值为A ．B ．5C ．D ．2、若曲线x 2－y 2 = a 2与(x －1)2 + y 2 = 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．不存在3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为A ．B ．C ．D ．4、参数方程 所表示的曲线是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分, 且过点D ．抛物线的一部分, 且过点5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线恰有一个公共点, 这样的直线l 共有A ．一条B ．二条C ．三条D ．四条 6、定义离心率为的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是它的短轴的一个端点, 则D ABF 为 A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7、在圆x 2 + y 2 = 5x 内, 过点有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的取值集合为 A ． B ． C ． D ．8、直线与圆x 2 + y 2 = 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是A ．1 < m < 2B ．C ．D ． 二、填空题1若直线过点（1,2），（3,24 ），则此直线的倾斜角是2、已知直线l 的斜率[]3,1-∈k ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。

3、设直线过点()a ,0，其斜率为1，且与圆222=+y x 相切，则a 的值为 。

4、若过点A （4,0）的直线l 与曲线()1222=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 。

5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。

直线测试题一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。

【答案】 B解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 abx =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（ ） A.k 1<k 2<k 3 B. k 3< k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1< k 3<k 2【答案】 D 图1解析】直线 l 1的倾斜角 α1是钝角 .故k 1<0.直线 l 2与 l 3的倾斜角 α2、 α3 均为锐角 . 且α2>α3. 所以 k 2> k 3> 0. 因此 k 2> k 3> k 1.故应选 D. 3. 两条直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0. A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0 垂直的充要条件是（ ）A. A 1A 2＋ B 1B 2＝0B. A 1A 2－ B 1B 2＝ 0C. A 1A2 B 1B2 1D. B1B2 =1 A 1A2答案】A解析】法一：当两直线的斜率都存在时A 1B 1 （ A 2 ）＝－ 1. A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.当一直线的斜率不存在. 一直线的斜率为时. B 2 A 1 0或 A 2 0 B 2 0 B 1 0同样适合A1A2＋B1B2＝ 0. 故选 A.法二：取特例验证排除 .如直线x+y=0 与x－y=0 垂直 . A1A2＝ 1. B1B2＝－ 1. 可排除B、D. 直线x=1 与y=1 垂直 . A1A2＝ 0. B1B2＝ 0. 可排除 C.故选 A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点维能力 .4. 若直线l ：y＝kx 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限 .则直线l 的倾斜角的取值范围是（）答案】 B解析】法 1：求出交点坐标 . 再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：解得k∈( 3. ＋∞3∴倾斜角范围为（, ）623.0 ） . B（0.2 ）.直线l 必过点（ 0.－3 ）. 当直线过A点时 . 两直线的交点在x 轴. 当直线l 绕C 点逆时针旋转时. 交点进入第一象限 . 从而得出结果 .5. 设a、b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C所对边的边长 . 则直线 sin A·x+ay+c=0 与bx－sin B· y+sin C=0 的位置关系是（）3,2D.[6,2]. 重点考查分类讨论的思想及逻辑思y kx 32x 3y 6 03(2 3) x2 3k6k 2 3 y2 3k∵交点在第一象限x03(2 3) 02 3k y0 6k 2 32 3k法 2：如图 . 直线 2x+3y－6=0 过点A.平行B. 重合C. 垂直D.相交但不垂直答案】 CsinA b 解析】由题意知 a ≠ 0.s i n B ≠ 0. 两直线的斜率分别是 k 1=－ . k 2=asinBsinA b由正弦定理知 k 1·k 2=－·=－ 1. 故两直线垂直 .a sinB评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理 .6. 已知两条直线 l 1：y =x . l 2： ax － y =0. 其中 a 为实数 . 当这两条直线的夹角在(答案】 C解析】直线 l 1的倾斜角为 . 依题意 l 2的倾斜角的取值范围为4∪( . ), 从而 l 2的斜率 k 2的取值范围为43评述：本题考查直线的斜率和倾斜角 . 两直线的夹角的概念 . 以及分析问题、解决问题的能力 7. 若直线xy1 通过点M (cos ，sin) . 则()ab22221 11 1A ． a 2b2≤1 B ． a 2b 2≥1C ． 22≤ 1 D ． 22≥1 a 2 b 2a 2b 2答案】 D 本题是训练思路的极好素材 . 看能否找到 10 种解法？8．已知点 A( 1,0),B(1,0),C(0,1), 直线 y ax b(a 0) 将△ ABC 分割为 面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是－. ) ∪( .+ )即 : ()4 12 44 4 126 4A. (0.1 )B. 33, 3 ) C.33.1 ∪( 1. 3 ) D. (1. 3 )0. )内变动时 . a 的取值范围是3.1 3∪( 1, 3 ) ) A ． (0,21B ． (1 22 ,12)( C) 21 (1 22 ,13]答案】 B二．填空题(每小题 5分.共30分)9. 过点P(2,3).且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是解析】错解：设所求直线方程为xa y 1.过点P(2,3). 则有a231a1aa∴直线的方程为x y 1 0.错因：少了直线经过原点的情况. 故还有y 3x. 即3x 2y 0也适合题意 .210. 与直线2x 3y 5 0平行 .且距离等于13的直线方程是m5 解析】设所求直线方程为2x 3y m 0. 则1322 32 解得m 18 或m∴直线方程为2x 3y 18 0或2x 3y 8 0.11. 直 线 l 经 过 点 P(2,3) . 且 与 两 坐 标 轴 围 成 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 . 则 直 线l 的 方 程 为 .【解析】 依题意 . 直线 l 的斜率为± 1. ∴直线 l 的方程为 y 3 x 2 或 y 3 (x 2) . 即 x y 1 0 或 x y 5 0.12. 在△ ABC 中.BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0. ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为 (1.2 ). 则点 A 和点 C 的坐标分别为 。

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2021·北京高考真题】双曲线2222:1x y C a b-=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C．21x =D21y =【答案】A【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a -==，解得1a=，故b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.2．【2021·北京高考真题】已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（ ） A ．2±B ．C ．D．【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k=时，弦长取得最小值为2=，解得m = 故选：C.3．【2021·全国高考真题】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.4．【2021·浙江高考真题】已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线 D ．直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0t =，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0t =为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.5．【2021·全国高考真题（理）】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =. 故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6．【2021·全国高考真题（理）】设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7．【2021·全国高考真题】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误. 【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB的距离的最小值为425-<410+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.9．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．10.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.11．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A BC D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==； 所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩， 故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．15．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4 B ． 5C ． 6D ． 7【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.16．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.17．【2020年高考浙江】已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P为函数y =图象上的点，则|OP |= A．2B．5CD【答案】D【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.19．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．20．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．22．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．23．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.24．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.25．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 26．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a== 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.27．【2021·全国高考真题】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=,0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为：32x =-. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.28．【2021·全国高考真题（理）】已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解0my +=化简得y =，即b a =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键29．【2021·北京高考真题】已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMNS=_______．【答案】5【分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24y x =，故2p =且()1,0F .因为6MF =，62M px +=，解得5M x =，故M y =±，所以()1512FMNS=⨯-⨯=故答案为：5，30．【2021·浙江高考真题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率． 【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以k =由21212,24PF k F F c F F ===，所以2PF =，2PF =，于是122PF a PF +==a =c e a ===．．31．【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．32．【2020年高考天津】已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．33．【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】()3,0【解析】在双曲线C中，a =b =则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=， 所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.34．【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．【答案】3；3-【解析】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.35．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.36．【2020年新高考全国Ⅰ卷】C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________． 【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F ，∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.37．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+= 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.38．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.39．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.ⅠⅠ利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.40．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.41．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=.42．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.43．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.。

2020-2021学年度人教版七年级数学下册新考向多视角同步训练第七章平面直角坐标系[能力提优测试卷]时间:90分钟满分:120分一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,24分在每小题的4个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(2020辽宁抚顺期末,6)若点P(m,2－m)的横坐标与纵坐标相同,则点P的坐标是( )A.(1,1)B.(2,2)C.(－1,－1)D.(－2,－2)2.(2020浙江宁波外国语学校期中,6)在平面直角坐标系xOy中,A(2,4),B(－2,3),C(4,－1,将线段AB平移得到线段CD,其中点A的对应点是C,则点B的对应点D的坐标为( )A.(－4,8)B.(4,－8)C.(0,2)D.(0,－2)3.(2020山东枣庄二中月考,7)如图是某战役缴获敌人防御工事的地图碎片,依稀可见,一号暗堡的坐标为(4,2),四号暗堡的坐标为(－2,4),原有情报得知:敌军指挥部的坐标为(0,0),你认为敌军指挥部的大概位置在( ) A.点A B.点B C.点C D.点D4.(2020北京丰台期末,5)如图是老北京城一些地点的分布示意图在图中,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,当表示地安门的点的坐标为(0,4),表示广安门的点的坐标为(－6,－3)时,表示左安门的点的坐标为( )A.(－5,－6)B.(5,－6)C.(6,－5)D.(－5,6)5.(2020独家原创试题)下列语句正确的是( )A.平行于x轴的直线上所有点的横坐标都相同B.在平面直角坐标系中,(－3,5)与(5,－3)表示两个不同的点C.若点P(a,b)在y轴上,则b＝0D.若P(－3,4),则点P到x轴的距离为36.(2019河南师大附中期中,7)如图所示,在5×5的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,点O,A,B在方格线的交点(格点)上在第四象限内的格点上找一点C使△ABC的面积为3,则这样的点C共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个7.(2019河北石家庄辛集四校联考,6)如图所示,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是(－3,1)、(－2,0)、(－1,3),将三角形ABC平移得到三角形A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,－2),则点A1、C1的坐标分别是( ) A.(0,1)、(2,2) B.(0,－1)、(2,1) C.(0,－1)、(2,－1) D.(－1,0)、(3,1)8.(2020独家原创试题)如图,动点P在平面直角坐标系xOy中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,2),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(,1),第4次接着运动到点(4,0),…按这样的运动规律,经过第2021次运动后,动点P的坐标是( )A.(2020,0)B.(2020,1)C.(2021,1)D.(2021,2)二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)9.(2020独家原创试题)如图是电脑中 Excel(子表格)的一部分,中间工作区被分成若干个单元格如果“一班”在单元格A2内,那么“67”在单元格________内,单元格C1的内容是________10.(2020河南郑州五十七中期中,12)如图是标准围棋盘的一部分,棋盘上有三枚黑子A,B,.若棋子A所在位置的坐标为(－1,8),棋子B所在位置的坐标为(－4,3),则棋子C所在位置的坐标为________。

平面解析几何（经典）练习题一、选择题1．方程 x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0 表示的图形是（）A ． 2 条重合的直线B ． 2 条互相平行的直线C ．2 条相交的直线D ． 2 条互相垂直的直线2．直线 l 1 与 l 2 关于直线 x +y = 0 对称， l 1 的方程为 y = ax + b ，那么 l 2 的方程为（ ）A ． yx bx b C ． y x 1 xbaB ． yaaa bD ． yaa3．过点 A(1,－ 1)与 B(－ 1， 1)且圆心在直线 x+y －2=0 上的圆的方程为（）A ． (x － 3)2+(y ＋ 1)2=4B ． (x ＋ 3)2+( y － 1)2=4C ．4(x ＋ 1)2+( y ＋ 1)2=4D ． (x － 1)2+(y － 1)2=4．若 A(1 ， 2)， B( － 2， 3)， C(4， y)在同一条直线上，则 y 的值是（）1B ．3C ． 1D ．－ 1A ．225．圆 x 2y 2 2x 3与直线 yax1 的交点的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ．2 个D ．随 a 值变化而变化6．已知半径为1 的动圆与定圆 ( x5) 2 ( y7) 2 16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A ． (x 5)2 ( y 7) 2 25B ． (x 5)2 ( y 7) 2 3 或 ( x 5)2( y 7) 2 15C ． (x 5)2( y 7) 29D ． (x 5)2 ( y 7) 2 25 或 (x 5)2 ( y 7) 297．直线 kx －y ＋ 1＝ 3k ，当 k 变动时，所有直线都通过定点（）A ． (0， 0)B ．(0， 1)C ． (3， 1)D ． (2， 1)8．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点 P 0 x 0 ， y 0 的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0 表示B ．经过定点 A 0，b 的直线都可以用方程 ykx b 表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x y 1 表示a bD ．经过任意两个不同的点P 1 x 1， y 1 、 P 2 x 2， y 2 的直线都可以用方程y y 1 x 2 x 1x x 1y 2 y 1 表示9．已知两定点 A(－ 3， 5)， B(2， 15)，动点 P 在直线 3x － 4y ＋ 4＝0 上，当 PA ＋ PB取最小值时，这个最小值为（）A ． 5 13B ． 362C ． 155 D ． 5＋10 210．方程 x y1 x 2y 24 0 所表示的图形是（）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆11．如果实数 x, y 满足等式 ( x2)2y23 ，那么 y的最大值是（ ）x1B ．33D ．3A ．3C ．2212．设 A （ 3， 3， 1）， B （1， 0， 5）， C （0， 1， 0）， AB 的中点 M ，则 |CM |（）535353D ．13A ．B ．2C ．242二、填空题13．已知△ ABC 中 A ( 4, 1) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，则△ ABC 的垂心是．141 时，两条直线 kx y k 1 、 ky x 2k 的交点在 象限 ．当 0 k215．求圆 x 2y 21上的点到直线 x y 8 的距离的最小值． 16．过点 M （ 0，4）、被圆 (x 1) 2 y 24 截得的线段长为 23 的直线方程为__17．若点 N （ a,b ）满足方程关系式b 3a 2＋b 2－4a － 14b ＋ 45=0 ，则 u的最大值a2为．三、解答题18．△ ABC 中， A(0， 1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y － 4＝ 0，AC 边上的中线方程为 2x ＋y － 3＝ 0,求 AB ， BC ， AC 边所在的直线方程．19．求经过点 A(2 ，－ 1)，和直线 xy 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上的圆的方程．20．已知两直线l1: ax by40, l2: (a1)x y b0 ,求分别满足下列条件的a 、b的值．（ 1）直线l1过点(3,1) ，并且直线l1与直线l 2垂直；（ 2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、 l 2的距离相等．21．已知圆x2＋y2＋ x－ 6y＋ 3=0 与直线 x＋ 2y－ 3=0 的两个交点为 P、Q，求以 PQ 为直径的圆的方程．．求圆心在直线x y0上，且过两圆 x2y 22x 10 y 24 0 ，22x2y22x 2 y8 0 交点的圆的方程．23．已知点P（ 2，0），及○· C： x2＋ y2－ 6x＋4y＋ 4=0.（1）当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时，求直线 l 的方程；（2）设过点 P 的直线与○· C 交于 A、 B 两点，当 |AB|=4，求以线段 AB 为直径的圆的方程.24．已知动点M 到点 A（ 2， 0）的距离是它到点B（ 8，0）的距离的一半，求：（ 1）动点 M 的轨迹方程；（ 2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．．已知圆C:x 1 2y 2 225及直线l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 .m R25（ 1）证明 : 不论m取什么实数 ,直线 l 与圆 C 恒相交；（ 2）求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．。

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》测试卷及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫116，0答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得 p ＝2，则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析 设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7.可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是() A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不能确定答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b24，∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 5．已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( )A.2或2B. 5C.52D.5或52 答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选D.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A.4x 225＋y 26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12， 椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，。

【最新】数学《平面解析几何》试卷含答案一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．33⎛- ⎝⎭B ．,44⎛- ⎝⎭C ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．44⎛- ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ）A ．BC ．2D ．【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） 又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．22- B ．22-C ．22+D ．22+【答案】D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得22,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=， 解得222e =+，因此，双曲线C 的离心率为22+. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.6．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.8．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14) B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A．B ．3C ．2D【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F B λ=u u u v u u u v，∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】C 【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A．y = B．y x = C ．y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.13．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =±C．y x = D．y x = 【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±，故选B.14．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4, 设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±, 所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=123132⨯⨯=. 故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.15．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2BC ．3 D．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AFAF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722a c AF -=， 直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -= 【答案】D【解析】【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a b ，进而可得出结果.【详解】 由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，可知1222F F F A c ==， 又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.17．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD 2a 【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.18．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA 的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．22D ．32【答案】C【解析】 由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PFPMPAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA最小． 设切点(2,)P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ⋅==.∴1a =，则(2,1)P . ∴2PM =，22PA = ∴2sin 2PM PAM PA ∠== 故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ．12C ．22D ．6 【答案】D【解析】【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为c e a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.20．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．10【答案】C【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．。

平面解析几何测试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为 （ ） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是 （ ）A.一条直线B.两条直线C.半个圆D.一个圆3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是 （ ）A.-1B.2C.1D.-24.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是 （ ）A.8,6B.8,-6C.-8,-6D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是 （ ）A.-13B.9C.-9D.136.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2+y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A.2B.1C.-21D.21 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为 （ ） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±34，则离心率等于 （ ）A.53B.45C.34D.359.若椭圆22a x +22by =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为 ） A.22 B.21 C.41D.3-1 10.已知双曲线22x -22by =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1PF •2PF 等于 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（ ）A.812x +722y =1B.812x +92y =1 C.812x +452y =1 D.812x +162y12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于 （ ） A.330B.6C.12D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（ ）A.6π B.3π C.2π D.3π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为 （ ）A.92x +y 2=1 B.121822=+x y .121822=+y x D.92y +x 2=1 15.关于x ，y 的方程x 2+my 2=1，给出下列命题： ①当m<0时，方程表示双曲线； ②当m=0时，方程表示抛物线； ③当0<m<1时，方程表示椭圆； ④当m=1时，方程表示等轴双曲线； ⑤当m>1时，方程表示椭圆. 其中真命题的个数是 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个x-y-1≦016.已知变量x ，y 满足的约束条件是 x+y ≦1，目标函数z=10x+y 的最优解是 （ ） x ≧0 A. （0，1），（1，0） B.（0，1），（0，-1） C.（0，-1），（1，0） D.（0，-1），（0，0） 17.已知双曲线17922=-y x ，直线AB 过焦点F 1，且|AB|=4，则▲ABF 2的周长是 （ ）A.12B.20C.24D.48 18.已知椭圆的焦点F 1（0，-1），F 2（0，1），P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，构成等差数列，则椭圆的方程为 （ ）A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+x y D.13422=+y x 19. 已知点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，A 1，A 2是双曲线的顶点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积是（ ）A.1B.-1C.2D.-2 20.圆（x+1）2+（y+2）2=8上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离为 . 22.已知点(2，-1)与点(a ，-2)在直线3x+y-4=0的两侧，则a 的取值范围是 .23.物线的顶点在原点，焦点是双曲线3x 2-y 2=12的左顶点，则其标准方程为 .24.若方程142222=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是 . 25.设点F 1，F 2为双曲线1422=-y x 的两焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则▲F 1F 2P 的面积等于 . 三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.（本小题6分）已知抛物线y=241x ，点P （0，2）作直线l 交抛物线A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）求证：OA •OB 为定值；（2）直线l 与向量n=（1，2）平行，求▲AOB 的面积.27.（本小题8分）已知点P 是椭圆16410022=+y x 上一点，点F 1，F 2是左、右焦点，若∠F 1PF 2=60°，求▲PF 1F 2的面积.28.（本小题8分）在抛物线y=2x 2上求一点P ，使P 到直线l ：y=2x-3的距离最短，求P 点的坐标.29.（本小题8分）已知椭圆22a x +22by =1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为21.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l ：y=2x+m 与椭圆相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点，求直线l 的方程.30.（本小题10分）已知双曲线22a x -22by =1（a>0，b>0）的离心率为2，两顶点的距离为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线l 过圆x 2+y 2-6x+2y+6=0的圆心并与双曲线交于A ，B 两点，且点A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程.第八章 平面解析几何测试题答案一、选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.A7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.C 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.C 二、填空题 21. 6 22. （2,∞-） 23. y 2=-8x24. （2,3）U （3,4） 25. 1三、解答题 26.（1）-4 （2）4627.3364 28.（21，21） 29.（1）13422=+y x （2）y=2x+219或y=2x -21930.（1）112422=-y x （2）0269=-+y x。

平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则， 由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得， 又互补，，两式消去，得121,01,0F F -()，()22||2||AF F B =1||||AB BF =2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,，解得．所求椭圆方程为，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点．若，则C 的离心率为ABC．2D 【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径，∴，， 223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2231x y pp+=22(0)y px p =>(,0)2p 2231x y p p +=23()2p p p -=8p =p p 2p =22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =PQ x A PQ x ⊥||PQ OF c ==||,2cPA PA ∴=∴OF ||2c OA =,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭又点在圆上，，即．A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A ． P 222x y a +=22244c c a ∴+=22222,22cc a e a =∴==e ∴=2242x y -=PO PF 422,,a b c ====,P PO PF x =∴=b y x a =222P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由得，，， 2222 1x y a b+=122221,2c e c a b a ===-2234a b =,,a b c 221||x y x y +=+221x y x y +=+221y x y x -=-2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离结论②正确.如图所示，易知， 四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．Dx 22:1C x y x y +=+221x y x y +=+222212x y x y +++222x y +≤C ()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -ABCD 13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形2ABCD S 四边形24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||AB OF =O 2【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 则有，∴，，， ∴.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】P 为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d 的最24y x =l 1x =-by x a=±(1,),(1,)b b A B a a ---2b AB a =24ba=2b a =c e a a===4AB OF =,,a b c 0x y ±=a b =c ==ce a==a b =20x my --=22cos sin 1θθ+=∴，20x my --=大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国故卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则. 点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离故点P 到直线的距离的范围为，则. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆的离心率是A ．B ．C ．D．【答案】B【解析】椭圆的离心率，故选B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．20x y ++=x y A B P 22(2)2x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣20x y ++=x y A B ()()2,0,0,2A B ∴--AB =22(2)2x y -+=∴1d ==20x y ++=2d []2212,62ABP S AB d ==∈△AB ，22194x y +=33235922194x y +=e =,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以，由的斜率为可得，所以，， 由正弦定理得， 所以， 所以，，故选D ． 【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于a,b,c 的方程或不等式，再根据a,b,c 的关系消掉b 得到a,c 的关系式，而建立关于a,b,c 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为 ABCD ．1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒212||2||PF F F c ==AP 62tan 6PAF ∠=2sin PAF ∠=2cos PAF ∠=2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠2225sin()3c a c PAF ==+-∠4a c =14e =22220)1(x y a ba b +=>>20bx ay ab -+=13【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是A ．0)，0) B．(−2，0)，(2，0) C ．(0，)，(0) D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，，所以焦点坐标为，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线的左焦点为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．B ．12A A (0,0)r a =222x y a +=20bx ay ab -+=d a ==223a b =2223()a a c =-2223a c =22223c e a ==c e a ===ca2213x y -=2213x y -=(,0)c ±222314c a b =+=+=2c =(2,0)±22221(0,0)x y a b a b-=>>F F (0,4)P 22144x y -=22188x y -=C ．D ．【答案】B【解析】由题意得， 故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为． 16．【2018年高考全国故理数】双曲线A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】因为，所以因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A ． 17．【2017年高考全国故理数】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 A ．2 BCD【答案】A22148x y -=22184x y -=2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--,,a b c ,a b 221(0)mx ny mn -=>22221x y a b-=2222x y a b-(0)λλ=≠22(0)x y λλ-=≠22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =2y x =±y x =c e a ==2222221312b c a e a a-==-=-=b a =by x a=±y =:C 22221x y a b-=0a >0b >()2224x y -+=C【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，则点到直线的距离为， 整理可得，则双曲线的离心率． 故选A ．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为，在椭圆中：，，故双曲线C 的焦点坐标为，据此可得双曲线中的方程组：，解得， ()222210,0x y a b a b-=>>0bx ay ±=()2,0d ==()2,00bx ay +=2bd c===2224()3c a c -=224c a =2e ===c e a=22221x y a b-=y x =221123x y +=221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=22221x y a b -=by x a=±2212,3a b ==2229,3c a b c ∴=-==(3,0)±2223,b c c a b a ===+224,5a b ==则双曲线的方程为．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 AB ． CD【答案】C【解析】由题可知，，， 在中，， 在中，， ，即，C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， C 2145x y 2-=()2220x y a bλλ2-=≠1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O 2F C P 1|||PF OP =C 22PF b =2OF c =PO a ∴=2Rt POF △222cos PF bPF O OF c∠==12Rt PF F △22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==b c=223c a =e ∴=23FM FN ⋅23()223y x =+与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴， 同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号． 故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ()1,0F ()()0,2,3,4FM FN ==03248FM FN ⋅=⨯+⨯=()()1,2,4,4M N ()1,0F 24y x =11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=2l 22342224k x x k ++=2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816=121k k =-=1-α，则，所以 ． 22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则 A ．B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B ． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：， 22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p pDE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=22:13x C y -=O F C F C M N OMN △||MN =32C (2,0)F 30FON ∠=︒MN 60︒120︒60︒MN 2)y x =-3y x =3y x =-M 3(,22N -||3MN ==22221(0,0)x y a b a b-=>>1d 2d 126d d +=221412x y -=221124x y -=22139x y -=22193x y -=(),0F c A B x x c ==22221c y a b -=2b y a=±不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，， 则，则， 双曲线的离心率：， 据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C 相切于点，则=___________，=___________． 【答案】【解析】由题意可知，把代入直线AC 的方程得，此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0bx ay -=21bc b d c -==22bc b d c +==12226bcd d b c+===23,9b b ==2c e a ====23a =22139x y -=()22220x y a bλλ-=≠C (0,)m r 230x y -+=(2,1)A --m r 2-11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+(0,)m 2m =-||r AC ===AC (0,)m m 22195x y +=F P x PF的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍）， 又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即， 从而可求得，所以【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.故故利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C :的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象O OF PF ||=|2OF OM |=c =12||4PF OM ==(,)P x y 22(2)16x y -+=22195x y +=321,22x x =-=P x 3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭212PFk ==|2OF |=|OM |=c =12||4PF OM ==342p p a ex x -=⇒=-3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭212PFk ==12F F ，22+13620x y=限.若为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则， 又， ，解得（舍去）， 的坐标为．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即 由，得∴，， 12MFF △(2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△1201442MF F S y =⨯=∴=△0y 22013620x ∴+=03x =03x =-M (12MF MF 、M M 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22,2.BF OA BF OA =∥120F B F B ⋅=121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠又OA 与OB 都是渐近线，∴又，∴又渐近线OB 的斜率为∴该双曲线的离心率为． 【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 【答案】【解析】由已知得，解得，因为，所以因为，所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由，得，， 21,BOF AOF ∠=∠21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=tan 60b a =︒=2c e a ====1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠21,BOF AOF ∠=∠2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=tan 60ba=︒=xOy 2221(0)y x b b-=>y =222431b-=b =b =0b >b =1a =y =,a b xOy 4(0)y x x x=+>4y x x=+2411y x '=-=-)x x ==y =Q则切点Q 到直线x +y =0，故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得 易得，与联立解得点的横坐标所以.所以， 由得或， 因为，所以【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】【解析】设，，由得，， 所以，因为，在椭圆上，所以，，所以，4=4xOy :2l y x =(5,0)B 0AB CD ⋅=(),2(0)A a a a >C AB 5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭()()():520C x x a y y a --+-=2y x =D 1,D x =()1,2D ()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭0AB CD ⋅=()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭1a =-0a > 3.a =24x AP PB 511(,)A x y 22(,)B x y 2AP PB =122x x -=1212(1)y y -=-1223y y -=-A B 22114x y m +=22224x y m +=22224(23)4x y m +-=所以，与对应相减得，， 当且仅当时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线，则实数m =_______________．【答案】2【解析】，所以． 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点，则其离心率的值是________________． 【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即，所以，因此，，．34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．224x +22324()m y -=22224x y m +=234m y +=2221(109)44x m m =--+≤5m =221y x m-=221,a b m ==1c a ==2m =a b c 222c a b =+x 22,a b xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(,0)F c 2(,0)F c by x a =±0bx ay ±=bc b c ==b =2222223144a c b c c c =-=-=12a c =2e =2222:1(0)x y M a b a b+=>>2222:1x y N m n -=NM M M N 12【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________． 【答案】 【解析】由抛物线定义可得：, 因为,所以渐近线方程为. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________． 【答案】c 2c a =M 1c a ==N ny x m=±N π3222πtan 33n m ==222222234m n m m e m m ++===2e =xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=2y x =±||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩222A B pb y y p a a +==⇒=⇒2y x =±122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB xOy 2213x y -=P Q 12,F F 12F PF Q【解析】右准线方程为， 设，则，，， 所以四边形的面积【名师点睛】（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I 理数】已知双曲线C ：的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若故MAN =60°，则C 的离心率为_______________．【解析】如图所示，作，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则为双曲线的渐近线上的点，且，， 而，所以， 点到直线的距离，x ==y =±(,)1010P (,1010Q 1(F 2F 12F PF Q S ==22221(0,0)x y a b a b -=>>22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222(0)m x y λλ-=≠b 22221(0,0)x y a b a b-=>>AP MN ⊥MN by x a=(,0)A a ||||AM AN b ==AP MN ⊥30PAN ∠=(,0)A a by x a=||AP =在中，，代入计算得，即， 由得，所以． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是. 38．【2017年高考全国II 理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________． 【答案】【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有， 故．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国故理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．Rt PAN △||cos ||PA PAN NA ∠=223a b=a =222c a b =+2c b=3c e a ===b abcF :C 28y x =M C FM yN M FN FN =6x F'MB l ⊥B NA l ⊥A 2x =-||2,||4AN FF'==ANFF'||||||32AN FF'BM +==||||3MF MB ==||||3MN MF ==336FN FM NM =+=+=()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB ∠=︒k =【答案】2【解析】设，则，所以，所以. 取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F 为的焦点. 因为,所以. 因为为AB 中点，所以平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以，则，即. 故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率. ()()1122,,,A x y B x y 21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩22121244y y x x -=-1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''C 90AMB ︒∠=()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=M 'MM '01y =122y y +=2k =()()1122,,,A x y B x y 1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''()12MM AA BB '=''+。

平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则， 由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得， 又互补，，两式消去，得121,01,0F F -()，()22||2||AF F B =1||||AB BF =2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,，解得．所求椭圆方程为，故选B ．解析：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D ．解析：本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点．若，则C 的离心率为ABC．2D 【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径，∴，， 223611n n +=n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2231x y pp+=22(0)y px p =>(,0)2p 2231x y p p +=23()2p p p -=8p =p p 2p =22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =PQ x A PQ x ⊥||PQ OF c ==||,2cPA PA ∴=∴OF ||2c OA =,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭又点在圆上，，即．A ．解析：本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，又P 在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A ． P 222x y a +=22244c c a ∴+=22222,22cc a e a =∴==e ∴=2242x y -=PO PF 422,,a b c ====,P PO PF x =∴=b y x a =222P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△解析：本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得， 故选B.解析：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由得，，， 2222 1x y a b+=122221,2c e c a b a ===-2234a b =,,a b c 221||x y x y +=+221x y x y +=+221y x y x -=-2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离结论②正确.如图所示，易知， 四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.解析：本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．Dx 22:1C x y x y +=+221x y x y +=+222212x y x y +++…222x y +≤C ()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -ABCD 13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形2ABCD S 四边形24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||AB OF =O 2【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有，∴，，， ∴.故选D.解析：本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率故选C. 解析：本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】P 为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d 的最24y x =l 1x =-by x a=±(1,),(1,)b b A B a a ---2b AB a =24ba=2b a =c e a a===4AB OF =,,a b c 0x y ±=a b =c ==ce a==a b =20x my --=22cos sin 1θθ+=∴，20x my --=大值为OA +1=2+1=3,故选C.解析：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则. 点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离故点P 到直线的距离的范围为，则. 故答案为A.解析：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆的离心率是ABC ．D ．【答案】B【解析】椭圆的离心率，故选B ． 解析：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左20x y ++=x y A B P 22(2)2x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣20x y ++=x y A B ()()2,0,0,2A B ∴--AB =22(2)2x y -+=∴1d ==20x y ++=2d []2212,62ABP S AB d ==∈△AB ，22194x y +=235922194x y +=e =,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c 1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以，由所以，， 由正弦定理得， 所以，所以，，故选D ． 解析：解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据的关系消掉得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为 ABC ． D．【答案】AP A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒212||2||PF F F c ==AP 2tan PAF ∠=2sin PAF ∠=2cos PAF ∠=2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠2225sin()3c a c PAF ==+-∠4a c =14e =22220)1(x y a ba b +=>>20bx ay ab -+=313【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A ． 解析：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0) D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，，所以焦点坐标为，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线的左焦点为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．12A A (0,0)r a =222x y a +=20bx ay ab -+=d a ==223a b =2223()a a c =-2223a c =22223c e a ==c e a ===ca2213x y -=2213x y -=(,0)c ±222314c a b =+=+=2c =(2,0)±22221(0,0)x y a b a b-=>>F F (0,4)P 22144x y -=22188x y -=22148x y -=22184x y -=【答案】B【解析】由题意得， 故选B ．解析：利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为．16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，所以因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A ． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，2240,14,10()88xy a b c ab c -==⇒===⇒-=--,,a b c ,a b 221(0)mx ny mn -=>22221x y a b-=2222x y a b -(0)λλ=≠22(0)x y λλ-=≠22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =y x =y x =c e a ==2222221312b c a e a a-==-=-=b a =by x a=±y =:C 22221x y a b-=0a >0b >()2224x y -+=C ()222210,0x y a b a b-=>>0bx ay ±=()2,0d ==则点到直线的距离为， 整理可得，则双曲线的离心率． 故选A ．解析：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C：(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为，在椭圆中：，，故双曲线C 的焦点坐标为，据此可得双曲线中的方程组：，解得， 则双曲线的方程为．故选B ． 解析：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方()2,00bx ay +=2bd c===2224()3c a c -=224c a =2e ===c e a=22221x y a b-=2y x =221123x y +=221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=22221x y a b -=by x a=±2212,3a b ==2229,3c a b c ∴=-==(3,0)±2223,b c c a b a ===+224,5a b ==C 2145x y 2-=程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 AB ． CD【答案】C【解析】由题可知，，， 在中，， 在中，， ，即，C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，所以，()2220x y a bλλ2-=≠1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O 2F C P 1|||PF OP =C 22PF b =2OF c =PO a ∴=2Rt POF △222cos PF bPF O OF c∠==12Rt PF F △22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==b c=223c a =e ∴=23FM FN ⋅23()223y x =+()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ()1,0F ()()0,2,3,4FM FN ==从而可以求得，故选D.解析：该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴， 同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号． 故选A ．解析：对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ． 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=()()1,2,4,4M N ()1,0F 24y x =11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=2l 22342224k x x k ++=2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816=121k k =-=1-α22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p pDE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则 A ．B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A ．B．C ．D ． 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：， 不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，22:13x C y -=O F C F C M N OMN △||MN =32C (2,0)F 30FON ∠=︒MN 60︒120︒60︒MN 2)y x =-3y x =3y x =-M 3(,22N -||3MN ==22221(0,0)x y a b a b-=>>1d 2d 126d d +=221412x y -=221124x y -=22139x y -=22193x y -=(),0F c A B x x c ==22221c y a b -=2b y a=±22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0bx ay -=据此可得：，， 则，则， 双曲线的离心率：， 据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C 选项.解析：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C 相切于点，则=___________，=___________． 【答案】【解析】由题意可知，把代入直线AC 的方程得，此时解析：本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知， 21bc b d c -==22bc b d c +==12226bcd d b c+===23,9b b ==2c e a ====23a =22139x y -=()22220x y a bλλ-=≠C (0,)m r 230x y -+=(2,1)A --m r 2-11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+(0,)m 2m =-||r AC ===AC (0,)m m 22195x y +=F P x PF O OF PF ||=|2OF OM |=c =由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍）， 又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：（焦半径公式应用）由题意可知， 由中位线定理可得，即， 从而可求得，所以解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C :的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，12||4PF OM ==(,)P x y 22(2)16x y -+=22195x y +=321,22x x =-=P x 3,22P ⎛- ⎝⎭212PFk ==|2OF |=|OM |=c =12||4PF OM ==342p p a ex x -=⇒=-3,22P ⎛- ⎝⎭212PF k ==12F F ，22+13620x y=12MF F △(2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，∴．设点的坐标为，则， 又， ，解得（舍去）， 的坐标为．解析：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即 由，得∴，， 又OA 与OB 都是渐近线，∴又，∴11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△1201442MF F S y =⨯=∴=△0y 22013620x ∴+=03x =03x =-M \(12MF MF 、M M 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22,2.BF OA BF OA =∥120F B F B ⋅=121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠21,BOF AOF ∠=∠21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为∴该双曲线的离心率为． 解析：本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 【答案】【解析】由已知得，解得，因为，所以因为，所以双曲线的渐近线方程为.解析：双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由，得，， 则切点Q 到直线x +y =0，故答案为．解析：本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法tan 60b a =︒=2c e a ====1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠21,BOF AOF ∠=∠2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=tan 60ba=︒=xOy 2221(0)y x b b-=>y =222431b-=b =b =0b >b =1a =y =,a b xOy 4(0)y x x x=+>4y x x=+2411y x '=-=-)x x ==y =Q 4=4和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得 易得，与联立解得点的横坐标所以.所以， 由得或， 因为，所以解析：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】【解析】设，，由得，， 所以，因为，在椭圆上，所以，，所以，所以， 与对应相减得，， xOy :2l y x =(5,0)B 0AB CD ⋅=(),2(0)A a a a >C AB 5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭()()():520C x x a y y a --+-=2y x =D 1,D x =()1,2D ()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭0AB CD ⋅=()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭1a =-0a > 3.a =24x AP PB 511(,)A x y 22(,)B x y 2AP PB =122x x -=1212(1)y y -=-1223y y -=-A B 22114x y m +=22224x y m +=22224(23)4x y m +-=224x +22324()m y -=22224x y m +=234m y +=2221(109)44x m m =--+≤当且仅当时取最大值．解析：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线，则实数m =_______________．【答案】2【解析】，所以． 解析：本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点，则其离心率的值是________________． 【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即，所以，因此，，． 34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线5m=221y x m-=221,ab m ==c a ==2m =a b c 222c a b =+x 22,a b xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(,0)F c 2(,0)F c by x a =±0bx ay ±=bc b c ==b =2222223144a c b c c c =-=-=12a c =2e =2222:1(0)x y M a b a b +=>>2222:1x y N m n-=NM M M N 12c 2c a =M 1c a ==N ny x m=±的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________． 【答案】 【解析】由抛物线定义可得：, 因为,所以渐近线方程为. 解析：1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________． 【答案】【解析】右准线方程为， N π3222πtan 33n m ==222222234m n m m e m m ++===2e =xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=2y x =±||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩222A B pb y y p a a +==⇒=⇒y x =122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB xOy 2213x y -=P Q 12,F F 12F PF Q x ==y =±设，则，，， 所以四边形的面积解析：（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I 理数】已知双曲线C ：的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．【解析】如图所示，作，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则为双曲线的渐近线上的点，且，， 而，所以， 点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，P Q 1(F2F 12F PF Q 10S ==22221(0,0)x y a b a b -=>>22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222(0)m x y λλ-=≠b 22221(0,0)x y a b a b-=>>AP MN ⊥MN by x a=(,0)A a ||||AM AN b ==AP MN ⊥30PAN ∠=(,0)A a by x a=||AP =Rt PAN △||cos ||PA PAN NA ∠=223a b =a =由得，所以． 解析：双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是. 38．【2017年高考全国II 理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________． 【答案】【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有， 故．解析：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________． 【答案】2222c a b =+2c b=c e a ===b ab cF :C 28y x =M C FM yN M FN FN =6x F'MB l ⊥B NA l ⊥A 2x =-||2,||4AN FF'==ANFF'||||||32AN FF'BM +==||||3MF MB ==||||3MN MF ==336FN FM NM =+=+=()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB ∠=︒k =【解析】设，则，所以，所以. 取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F 为的焦点. 因为,所以. 因为为AB 中点，所以平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以，则，即. 故答案为2.解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.()()1122,,,A x y B x y 21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩22121244y y x x -=-1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''C 90AMB ︒∠=()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=M 'MM '01y =122y y +=2k =()()1122,,,A x y B x y 1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''()12MM AA BB '=''+。

直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形．4. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.5.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．椭圆1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 用集合语言表示为：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。

专题07 平面直角坐标系知识点1：认识平面直角坐标系1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

知识点2：坐标方法的简单应用1.用坐标表示地理位置；2.用坐标表示平移。

1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。

2.平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。

3．平面直角坐标系中对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

4．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

如果点P(a，b) 在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点P(a，b) 在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a = －b 。

高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。

－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。

专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．【答案】2220x -=【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k⨯=--，解得22k =或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=；故答案为：2220x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为3MN =3OE =联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k =-+-∵0k <，0m >，∴22k 又22+322O m m k E -=（）（），解得m=2所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．【答案】22(1)(1)5x y -++=【解析】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，点M 到两点的距离相等且为半径，2222(3)(12)(2)-+-+-a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()2224913,413a a a r a +=+-⇒=+=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a ，则22244(2)1,45a a a r a +=+-⇒==+=的方程为22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得4765,333x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．【答案】12（或12-，答案不唯一）【解析】联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12（或12-，答案不唯一）.5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．33【解析】双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =．336．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．【答案】2【解析】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,13圆心到直线()00x y m m -+=>1122m-+由勾股定理可得22322m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2.7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为()22222PC =+-223PA PC r =-可得51036sin ,cos 442222APC APC ∠=∠==，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎫∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得()22222PC =+-223PA PB PC r ==-=，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以215sin 1cos 4αα=-=；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r 若切线斜率不存在，则切线方程为0x =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，22251k k -=+2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得()21212124215k k k k k k -+-=所以1212tan 151k k k k -==+αsin 15cos αα=，可得cos 15=α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且()0,πα∈，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.9．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32【答案】D【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=()()221323211--+=+-故选：D.考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，2||11c b =+24.1b=+故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+24311k k -=+，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离19116d ==+，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意22113441p k k p k ⎧=⎪+⎪⎨++⎪=⎪+⎩，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为．【答案】22122x y -=【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C 22ca=2a =222b c a =-=所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=【答案】D【解析】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，所以222bc bcPF b ca b ==+，所以2b =.设2POF θ∠=,则2tan PF b bOP OP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =.因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P aby b c x x a θ===，所以2P a x c =，所以2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()1,0F c -，所以122222222424PF ab ab a a ck a a c a a a c c=====+++++，)2224a a +=，解得2a =所以双曲线的方程为22124x y -=故选：D13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【解析】抛物线245y =的准线方程为5x =-5c =，则()15,0F 、)25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【解析】因为离心率22113c b e a a ==-，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）【答案】A【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为333直线DE 的方程：3x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：22136390y cy c --=，判别式()2222634139616c c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴()212Δ13226461313cDE y =+-==⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．352【答案】B【解析】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =++故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =++⋅+=+⨯⨯= ．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F=302OP =．故选：B ．18．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B【解析】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又1225PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =．【答案】3-【解析】对于双曲线221x y m+=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m -=-，则1a =，b m =-221x y m +=的渐近线方程为33y =±，所以33a b =33m =-，解得3m =-；故答案为：3-20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．【答案】()4,0【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4523．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】由题意可得：2521p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．【答案】6【解析】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，2231k k =+3k =232y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或23233p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2222348333p p p OP ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：6p =．当3k =-故答案为：6．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【解析】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又2221111||OP x y y y =+=+，2222222||OQ x y y y =+=+所以2121212||||(1)(1)||2||OP OQ y y y y kx kx k OA ⋅=++=⨯=>=，故C 正确；因为21||1||BP k x =+，22||1|BQ k x =+，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形【答案】AC【解析】A 选项：直线)31y x =-过点()1,0，所以抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，所以1,2,242pp p ===，则A 选项正确，且抛物线C 的方程为24y x =.B 选项：设()()1122,,,M x y N x y ，由)2314y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--=，解得1213,3x x ==，所以121163233MN x x p =++=++=，B 选项错误.C 选项：设MN 的中点为A ，,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d ，因为()()12111222d d d MF NF MN =+=+=，即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 选项正确.D 选项：直线)31y x =-330x y +=，O 330y +的距离为3d =所以三角形OMN 的面积为1163432323⨯=由上述分析可知)1212333123,3133y y ⎫=--=-=--=⎪⎭所以()22221231332321,333OM ON ⎛⎫⎛⎫=+-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.故选：AC.考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】B【解析】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线=1x -的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以()()22310222AB =-+-=.故选：B29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．55B ．255C ．355D ．455【答案】D【解析】由5e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+，所以弦长22145||22155AB r d =-=-=.故选：D考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．【答案】32【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3231．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．【答案】2（满足15e <皆可）【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以221145=++c b e a a又因为1e >，所以15e <≤故答案为：2（满足15e <皆可）32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为．355/355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a =方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =-，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b-=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169c c a a c a c a --=-，整理得4224255090c a c a -+=，则()()22225950c a c a --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以355e =或55e =（舍去），故355e =故答案为：355.33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．【答案】364【解析】过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a=+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=.36434．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C 132D ．172【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，52b e 2a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=选C[方法二]：答案回代法5A e 2=选项特值双曲线())22121,F 5,0,F 5,04x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x 5=+，两交点都在左支,62N 5,555⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF 5∴===，则123cos 5F NF ∠=，13C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F 13,0,F 13,049-=∴-，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 133=+， 两交点在左右两支，N 在右支，1418N 13,131313∴，2112NF 5,NF 9,FF 213∴===，则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=若,M N 均在左支上，同理有()212sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2512b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：AC.35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 2【答案】C【解析】由题意，设()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，()22164410PF =++=，()2226446PF +-=，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.36．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 6【答案】A【解析】由213e e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A37．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A ．32B ．22C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故()14AP AQ PA PB k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA PBb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD【解析】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224ppp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则36()42p A ，则直线AB 的斜率为6226342p p =-，A 正确；对于B ，由斜率为26可得直线AB 的方程为226p x y =+，联立抛物线方程得2206y py p -=，设11(,)B x y ，则16626p y p +=，则163y =-，代入抛物线得2162p p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则6(,)33p pB ，则22673332p p p p OB OF ⎛⎫⎛⎫=+-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D ，23663663()(,)0423343234p p p p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又26262665()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：ACD.39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，点M 在C 上，所以M 到准线2x =-的距离为MF ，又M 到直线3x =-的距离为5，所以15MF +=，故4MF =.故选：D.考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离()()223342132a ad a ----=≤-+，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】因为直线20ax y a ++-=，即()120a x y -++=，令10x -=，则x 1,y 2==-，所以直线过定点()1,2-，设()1,2P -，将圆2241=0C x y y ++-：化为标准式为()2225x y ++=，所以圆心()0,2C -，半径5r =，1PC =当PC AB ⊥时，AB 的最小，此时222514AB r PC =-⨯-.故选：C42．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212B ．4C ．132+D ．7【答案】C【解析】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得132132k -≤≤+故x y -的最大值是321，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 132cos 14x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值321，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离|21|32k d =≤，解得132132k -≤≤+故选：C.考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=【答案】C【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：1222PF PF a -==222,8a b c a ==-所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（112,2,,22--中任意一个皆可以）【解析】设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得224AB d =-，。

【最新】数学高考《平面解析几何》专题解析一、选择题1．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==，Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+， 因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =， 由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．4．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, 233AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n , ∵233AF BF +=, 2323AB mn ≥∴213mn AB ≤,在△AFB中,由余弦定理得22222()2cos22m n AB m n mn ABAFBmn mn+-+--∠==212213222AB mn mn mnmn mn--=≥=-∴∠AFB的最大值为23π.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.5．如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N.则22||ME NE-=（）A．2p B．2p C．22p D．24p【答案】C【解析】【分析】过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点，不妨设直线AB为x＝p，分别求出M，N的坐标，即可求出答案．【详解】过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B，两点为任意的，不妨设直线AB为x＝p，由2y2pxx p⎧=⎨=⎩，解得y＝2p，则A（p2p），B（p2p），∵直线BM的方程为y2x，直线AM的方程为y＝2x，解得M（﹣p2p），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y2p＝k（x+p），由()2y 2y+2=k px p x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣22p +2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣22p +2p 2k ）＝0， 解得k ＝2+22， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y +2p ＝2+22（x +p ）， 由()2+2y+2=2x p p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．6．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q∴弦心距222(1)1CD k k ==+-+，又2||23||33MN DN DN 厖?，∴由勾股定理可得222222231DN CN CD k ⎛⎫=-=-+…，222231|31|1(31)1(43)0041k k k k k k k k ⇒++⇒++⇒+⇒-+剟剟剟答案选A 【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

数学高考《平面解析几何》复习资料一、选择题1．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.2．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，E 为2OF 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 2C 3D ．33【答案】B【分析】由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得212d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】由已知可设()0A a -，，()0B a ，，AC bk a=， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()by x a a=+， 令0x =，可得()0C b ，， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC的距离为abd r c===， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴2122ab cOF r c ===, ∴22ab c =， ∴()22244aca c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，∴()2220e -=，∴22e =，∴e =(舍)，∴e =故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.3．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.4．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线6．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．7．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C8．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B，两点，OAB ∆13bc，则双曲线的离心率为（ ） A 13B 13 C ．222D 22 【答案】D 【解析】 【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2221c b y b a a=±-=± OAB V 的面积为2121323b c a ⋅⋅= 133b a ⇒=可得3c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．9．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）ABCD．【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则1232242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩，即抛物线的焦点到其准线的距离是2，选B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】C 【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.12．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点在椭圆上，代入得，即，得，解得，故选B ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.13．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．15．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线by x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 5C ．3D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722a cAF -=， 直线1AF 与by x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =，所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.17．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）AB ．2C ．4D ．【答案】B【解析】【分析】 由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.【详解】∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，∴||PQ ====∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈.故选B .【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257B ．4C ．5D ．57 【答案】C【解析】【分析】在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．【详解】在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c e a==，故选C. 【点睛】 本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．19．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.20．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或6【答案】B【解析】4AF BF +=1212442422p p x x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，所以121132p x p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．。

江苏省2022届高三数学上学期期中分类汇编专题07 平面解析几何一、单选题1．（2021·江苏连云港·高三期中）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为140°，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．sin50︒B ．cos50︒C ．1sin 50︒D ．1cos50︒2．（2021·江苏南通·高三期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，O 到直线1PF 3，则椭圆的离心率是（ ） A 21B 31C 51- D 61- 3．（2021·江苏·金陵中学高三期中）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．2y x =± C ．3y x =±D ．2y x =±4．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：20bx y +-=，且12l l ⊥，则111a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．23D ．455．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，若3PF FQ →→=，则点P 到准线l 的距离为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题6．（2021·江苏连云港·高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线2y x =的焦点，点()()1122,,,A x y B x y 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则（ ）A ．126x x =B ．直线AB 过点(2,0)C ．ABO 的面积最小值是D ．ABO 与AFO 面积之和的最小值是37．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线C ：22142x y mm+=-+，则（ ）A ．2m =时，则C 的焦点是(1F ，(20,FB ．当6m =时，则C 的渐近线方程为2y x =± C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆8．（2021·江苏南通·高三期中）已知曲线2212:1,,9x y C F F m+=分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若3m =-，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π B ．若曲线C 的离心率2e =，则27m =-C ．若3m =，则曲线C 上不存在点P ，使得122F PF π∠=D ．若3,m P =为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为9．（2021·江苏徐州·高三期中）已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（ ）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆MC ．3b a -的最大值为12D ．22a b +210．（2021·江苏·金陵中学高三期中）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）A ．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；B ．当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；C ．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +21；D ．若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12.三、填空题11．（2021·江苏连云港·高三期中）已知抛物线223y x x =+-与坐标轴交于A ，B ，C 三点，则ABC 外接圆的标准方程为___________.12．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O 5M 到该抛物线焦点的距离为______.13．（2021·江苏南通·高三期中）若双曲线()222103x y a a-=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.14．（2021·江苏徐州·高三期中）已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F P 为C 上一点，若(2,0)A -，则PA PF的最大值为________．15．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F ，点是双曲线右支上一点，且212 PF F F =，则三角形12PF F 的面积等于____四、解答题16．（2021·江苏连云港·高三期中）已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线x +2y -4=0有且只有一个公共点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点P （0，-2）的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当坐标原点O 位于以AB 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.17．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线C 1以椭圆C 2：2243x y +=1长轴的两个端点为焦点，以C 2的焦点为顶点．(1)求C 1的标准方程；(2)过（0，1）的直线l 与C 1的右支相切，且与C 2交于点M ，N ，求 OMN 的面积． 18．（2021·江苏南通·高三期中）已知过点P (－2，0)的直线l 与抛物线Γ：22(0)y px p =>相切于点T (x 0，2)． (1)求p ，x 0； (2)设直线m ：1(0)2y x t t =+≠与Γ相交于点A ，B ，射线P A ，PB 与Γ的另一个交点分别为C ，D ，问：直线CD 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．19．（2021·江苏南通·高三期中）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线C ：22x py =（p >0）的焦点为F ，抛物线C 上不同两点M ，N 同时满足下列三个条件中的两个：①|FM |+|FN |=|MN |；②|OM |=|ON |=|MN |=③直线MN 的方程为y =6p .请分析说明两点M ，N 满足的是哪两个条件？并求抛物线C 的标准方程.20．（2021·江苏南通·高三期中）如图，抛物线21:2C y px =（0p >）的焦点为椭圆222:143x y C +=的的右焦点，A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点.过A 的直线l 交抛物线1C 于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交椭圆2C 于E ，F 两点.(1)求抛物线1C 的方程，并证明O 点在以EF 为直径的圆的内部； (2)记OEF ，OCD 的面积分别为1S ，2S ，若21113S S =，求直线l 的方程. 21．（2021·江苏徐州·高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ．右焦点为F ；点(2,3)P 在双曲线C 上，直线l 与双曲线C 交于,M N 两点．且当直线MA 的斜率为1时，MF AF =． (1)求双曲线C 的方程；(2)若OM ON ⊥，求O 到直线l 的距离．22．（2021·江苏·金陵中学高三期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上，且122AF AF →→⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ，问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.23．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点. (1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为23l 的方程.参考答案：1．C【解析】由题意，tan140tan 40b a -=︒=-︒，tan 40ba∴=︒，所以11cos 40sin 50c a ====︒︒. 故选：C 2．B【解析】如图所示，连接2PF ，因为圆222x y c +=，可得21PF PF ⊥，过点O 作1OM PF ⊥，可得2//OM PF ，且222PF OM ===，由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，所以1222PF a PF a =-=在直角12PF F ∆中，可得2221212PF PF F F +=，即222(2))4a c +=，整理得2220c a -+=，两侧同除2a ，可得220e -+=，解得1e =或1e =，又因为01e <<，所以椭圆的离心率为1e =. 故选：B3．A【解析】不妨设点P 在C 的右支上，设12,PF m PF n ==，由双曲线的定义可知：2m n a -=， 因为||2OP a =，所以222221212121211()()4224OP PF PF OP PF PF OP PF PF PF PF =+⇒=+⇒⋅=++⋅，即222221162()342a m n mn m n mn mn a =++⋅=-+⇒=，由余弦定理可知：22222221212121212cos 4()2222F F PF PF PF PF F PF c m n mn mn c a =+-⋅⋅∠⇒=-+-⋅⇒=，而222c a b =+，所以22a b a b =⇒=，因此C 的渐近线方程为y x =±， 故选：A4．D【解析】因为12l l ⊥，所以40b a +-=，所以4a b +=，15a b ++=， 所以()11111111215151a a b a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11422515a a b b ⎛+≥+⋅= +⎝， 当且仅当114ba ab a b +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩即32a =，52b =时取等号，111a b ++的最小值为45， 故选：D 5．B【解析】解：如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，由题知()0,1F ，即1OF =因为3PF FQ →→=，所以14OF P FQ PQN→→==所以4PN =，所以点P 到准线l 的距离为15PN +=. 故选：B6．BCD【解析】设AB ：x my n =+，2x my ny x=+⎧⎨=⎩，消x 可得20y my n --=.12y y n =-，得2221212x x y y n ==，2OA OB ⋅=，∴22n n -=，则2n =或1-∵120y y <，∴0n >，∴2n =，124x x =，故A 错； AB ：2x my =+过()2,0，故B 对；设定点()2,0P ，12112222ABOAOPBOPSSSy y =+=⋅⋅+⋅⋅12112y y y y =-=+≥1y =C 对； 又121121111248ABO AFOSSy y y y y y +=-+⋅⋅=-+，不妨设10y>，又1(,0)4F ，1211219388ABO AFO S S y y y y y +=-+=-≥=△△，当且仅当1298y y =-时，取等号，故D 对. 故选：BCD. 7．ABD【解析】当2m =时，曲线C ：22124x y +=，是焦点在y 轴上的椭圆，且2422c =-=，所以交点坐标为(1F ，(20,F ，A 正确；当6m =时，曲线C ：22182-=y x ，是焦点在在y 轴上的双曲线，则C 的渐近线为2y x =±，B 正确；当C 表示双曲线时，要满足：()()420m m -+<，解得：4m >或2m <-，C 错误；当42m m -=+，即1m =时，223x y +=，表示圆，D 正确 故选：ABD 8．ABD【解析】对于A 选项，当3m =-时，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y =，故渐近线的倾斜角分别为5,66ππ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π，故A 选项正确； 对于B 选项，离心率2e =，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，3,2a e ==，故6c =，所以2236927m c a -=-=-=，所以27m =-，故B 选项正确；对于C 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为(M ，则222122461cos 02183a a c F MF a +--∠===-<，故12F MF ∠为钝角，所以线C 上存在点P ，使得122F PF π∠=，故C 选项错误；对于D 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，P为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为11222S c b =⨯⨯=⨯⨯=max 故D 选项正确. 故选：ABD9．AC【解析】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r = 易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确； 点M 到直线0x y +=的距离为22d ==222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错； 由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=， 22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-D 错误．故选：AC ． 10．ACD【解析】对于A ，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =， 所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故A 正确； 对于B ，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=22613232<+， 下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1， 圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为2211332d ==>+，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故B 错误；对于C ，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值， 且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z ，故C 正确；对于D ，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()A、)B ，所以()3,1AM =，()3BN =--，()23,0AB=，()2AM BN -=，所以()12AM BN AB -⋅=，故D 正确. 故选：ACD11．22(1)(1)5x y +++=【解析】令0y =，则2230x x +-=，解得121,3x x ==-，即(1,0)A ，(3,0)B -； 令0x =，得=3y -，即(0,3)C -，设圆：220x y Dx Ey F ++++=，所以1093093+0D F D F E F ++=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，∴223D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.所以圆的方程为222230x y x y +++-=. 故答案为：22(1)(1)5x y +++= 12．2【解析】解：设点2(4y M ，)y ，5MO =222(0)(0)54y y ∴-+-=，24y ∴=或216y =-（舍去），214y x ∴==，M ∴到抛物线24y x =的准线=1x -的距离1(1)2d =--=，点M 到该抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线24y x =的准线的距离，∴点M 到该抛物线焦点的距离为：2．故答案为：2.13．2【解析】22213x y a -=3＋ay ＝0，被圆(x －2)2＋y 2＝4所截弦长为2，322333a=+，a ＝1.所以双曲线的实轴长为2.故答案为：2 142【解析】由题可得(2,0)A -为准线2x =-与x 轴交点，过P 作PB 与准线垂直，垂足为B ，由抛物线定义可得PB PF =, 则11sin cos PA PA PF PB PAB PAF===∠∠， 则当cos PAF ∠最小时，即PAF ∠最大时，PA PF取得最大值，由图可知当直线AP 与抛物线相切时，PAF ∠最大，设直线AP 方程为2x my =-，代入抛物线得28160y my -+=，则由()284160m ∆=--⨯=，解得1m =±，由于抛物线的对称性，取1m =即可得， 此时45PAF ∠=︒，所以PA PF22.15．48 【解析】略16．(1)22143x y +=；(2)1122⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【解析】 (1) 根据题意，12c e a ==，而222a b c =+，则2a c =，b =， 所以椭圆方程为2222143x y c c+=，2223412x y c +=，()22222224034241203412x y y y c x y c+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩ 22164848120y y c ⇒-+-=，()22Δ4864481201c c =--=⇒=，所以2a =，b =C 方程为：22143x y +=. (2)设直线l 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()2222223444123412y kx x k x kx x y =-⎧⇒+-+=⎨+=⎩，即()2341640k x kx +-+=， ()221Δ256163402k k k =-+>⇒>或12k <-，且1221221634434k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,因为O 在以AB为直径的圆外，所以()()121212120220OA OB x x y y x x kx kx →→⋅>⇒+=+-->，则()()212121240k x xk x x +-++>，于是()22241612403434kk k kk+-⋅+>++，即223231216k k <⇒-<<综上：l 斜率k 的取值范围为23112322⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.17．(1)2213y x -=66【解析】（1）解：由题意得双曲线a ＝1，c ＝2， 则b ²＝c ²﹣a ²＝3，所以C 1的标准方程为：2213y x -=；（2）设过（0，1）的直线l 的方程为y ＝kx +1， 联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得（3﹣k ²）x ²﹣2kx ﹣4＝0，因为直线与双曲线相切， 所以Δ＝4k ²+16（3﹣k ²）＝0， 解得k ＝±2，因为直线l 与双曲线右支相切， 所以l 方程为：y ＝﹣2x +1，联立2221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得19x ²﹣16x ﹣8＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 21619=，x 1x 2819=-， 则|MN |21k +x 1﹣x 2|21k +21212126()45x x x x +-= 又原点O 到直线l 的距离d 5= 所以 OMN 的面积S 12=d •|MN |112666525==． 18．(1)1p =，02x = (2)直线CD 经过定点(0,1)【解析】(1)由题意可设切线l 的方程为：(2)y k x =+，联立22(2)y px y k x ⎧=⎨=+⎩，化为：2222(42)40k x k p x k +-+=，则∆224(42)160k p k =--=，化为：24p k =， 又022k x =+，042px =，解得：12k =，1p =，02x =．(2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2122y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为：2440y y t -+=，∆16160t =->，解得1t <． 124y y ∴+=，124y y t =，射线PB 的方程为：22(2)2y y x x =++，(2)x -，射线PA 的方程为：11(2)2y y x x =++，(2)x-，联立2112(2)2y x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩，化为：2111(24)40y y x y y -++=， 14C y y ∴⋅=，14C y y ∴=，218C x y ∴=，可得218(C y ，14)y ．同理可得228(D y ，24)y ，∴直线CD 的方程为：1221122124448()88y y y x y y y y --=--，化为：21148()2t y x y y -=-，211442t ty x y y ∴=-+，即21142y t y x y y =-+， 化为：12ty x =+，∴直线CD 经过定点(0,1)．19．可选条件：②③．此时抛物线方程是242x y =．【解析】若满足②，则OMN 是等边三角形，由抛物线的对称性，得,M N 关于y 轴（抛物线的对称轴）对称，设46M x =386122M y =代入抛物线方程得2(46)22p =⨯，22p =242x =， 此时，直线MN 方程为122y =6p =，焦点为(2F ，1222FM FN ==FM FN MN +>．满足③，不满足①．因此可以选条件②③，不可选①②，若选①③，则由直线MN 方程是6y p =得，6M y p =，222612x p p p =⨯=，3x =±， 设(23,6),(3,6)M p N p -，43MN =，13622p FM FN p p ==+=， 1343FM FN p +=>，不满足①．所以可选条件：②③．此时抛物线方程是242x y =． 20．(1)24y x =，证明见解析 (2)2x =【解析】(1)解：椭圆222:143x y C +=，可得1c =，右焦点()1,0，()2,0A ， 所以12p=，解得2p =，抛物线：24y x =， 设直线l 的方程为2x my =+，点()11,C x y ，()22,D x y ，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，得2480y my --=，124y y m ∴+=，128y y =-，()()22212121212124888440OC OD x x y y m y y m y y m m ⋅=+=++++=--++=-<，90COD ∴∠>︒，故90EOF COD ∠=∠>︒，所以O 点在以EF 为直径的圆的内部； (2)解：由（1）得直线OE 的方程为1114y y x x x y ==，直线OF 的方程为2224y y x x x y ==， 联立1224143y x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设10y >，20y <，解得E，同理可得F ⎛ ⎝， 又21113S S =，12121sin 32111sin 2E F OE OF EOF y y S S y y OC OD COD ⋅⋅∠===⋅⋅∠ 即12113E F y y y y =，故1138=⨯，88，88=， 解得0m =， 故直线方程为：2x =.21．(1)2213y x-= 【解析】(1)由MF AF =可得AF MF ⊥，则2b ac a=+，又点(2,3)P 在双曲线C 上，则22491ab-=，则可解得1,a b == 所以双曲线的方程为2213y x -=； (2)当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程2233y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得()2223230k x kmx m ----=， 则230k -≠且Δ0>，212122223,33km m x x x x k k--+==--， 因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 则()()22121210kx xkm x x m ++++=，即()22222321033m km kkm m k k --+⋅+⋅+=--， 整理可得22233m k =+，点O 到直线l 的距离22236121m d k k ====++ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线为x m =，则1m >， 直线代入双曲线可得233y m =±-， 若OM ON ⊥，则233m m =-，解得6m =，则点O 到直线l 的距离为62综上，点O 到直线l 622．（1）22122x y -=；（2）是定值，定值2. 【解析】解：（1）设双曲线C 的半焦距为c ， 由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上，得2a =由221(2,0)(2,0)2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2，得2c =， 所以2222b a c =-=，所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=.（2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y x =± 当直线l 的斜率在存在时，直线l 为2,||x OD =2,||22MN ==1||||2OMNSMN OD =⋅=2 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以210k -≠，且0m ≠，于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩,得()22210m k =->，得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得11my k =-, 同理得21my k=+, 所以121||2OMNSOD y y =-221 2.2111m m m m k k k k =-==-+- 综上，OMN 的面积恒为定值2. 23．(1)证明见解析(2)40x -=【解析】（1）证明：因为A ，B 在椭圆上，所以2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减可得，()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=， 所以()()()1221211233234424x x y y x x y y m m+⨯--=-=-=-+-⨯， 因为M 为AB 的中点，故点M 在椭圆C 的内部，所以21143m +<， 又0m >，所以302m <<，故212112y y x x ->-； （2）解：①当l 的斜率为0时，l 被圆224x y +=截得的弦长为4，不符合题意； ②当l 的斜率不为0时，设直线:l x ty n =+，联立方程组223412x ty n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2223463120t y tny n +++-=， 则()2248340t n =-+>△，即2234t n >-，且122634-+=+tn y y t ，212231234-=+n y y t ，又()1,0F -，则MF x ⊥轴，因为MF 平分AFB ∠， 所以0AF BF k k +=，即1212011y yx x +=++， 可得()()()()()21221122122312611112103434n tn y x y x y ty n y ty n t n t t --⎛⎫+++=+++++=⋅++= ⎪++⎝⎭解得n =-4，所以直线l 的方程为4x ty =-，由l 被圆224x y +=截得的弦长为23则圆心O 到直线l 的距离222232121d t ⎛⎫=-= ⎪ ⎪+⎝⎭， 解得15t =2234t n >-， 所以直线l 的方程为1540x -=.。

新数学《平面解析几何》期末复习知识要点一、选择题1．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点OAOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A．33⎛- ⎝⎭B．,44⎛- ⎝⎭ C．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D．44⎛- ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）ABCD．【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则1232242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.4．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A．BC ．2D．【答案】A 【解析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） 又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =，在POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.8．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．10．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆中，设P 点坐标为（x 0，y 0）则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0|∵P 点在椭圆上，∴|x 0|∈（0，a]，又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】C 【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a ⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.12．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =?B ．43y x =±C ．y x =D ．y x = 【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B.13．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=， 得51c =+. ∴2252c =+. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.15．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A 【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a，2(,)b B c a -∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b+=- ∴()(,)a c bA c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．16．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）A B ．2C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，∴||PQ ====∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.18．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.19．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C ．3D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.20．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.。