/ 15 第五章 相交线与平行线 一、相交线 相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。 邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。 邻补角与补角的区别与联系 ? 1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180° ? 2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。 领补角与对顶角的比较
/ 15 二、垂线 垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线， b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a； 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O. 垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。 书写形式： ∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. 工具：直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 b a O D A O C B B A l
/ 15 三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形） 同位角：一边都在截线上而且同向，另一边 在截线同侧的两个角。 如∠1和∠5，∠4和∠8。 内错角：一边都在截线上而且反向， 另一边在截线两侧的两个角。 （两个角在两条截线内） 如∠3和∠5，∠4和∠6。 同旁内角
：一边都在截线上而且反向， 另一边在截线同旁的两个角。 （两个角在两条截线内） 如∠3和∠6，∠4和∠5。 同位角、内错角、同旁内角的比较 四、平行线 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。 1 2 4 3 5 7 6 C B D A 8 E F
/ 15 任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。 平行线的画法： 已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。 一、帖(线） 二、靠(尺） a 三、移(点) 四、画(线） 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a b 平行线具有传递性。 c ● P
/ 15 五、平行线的判定 判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等, 两直线平行 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 六、平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说:两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说:两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说:两直线平行，同旁内角互补. 七、命题、定理、证明 命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后的部分是题设，“那么”后的部分是结论。 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称真命题。命题成立，而结论不一定成立，这样的命题称假命题。 定理：有些真命题是基本事实，它们的正确性是经过推理证实的，无需再次进行证明的，这样的真命题叫定理。 证明：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。 1 2 a b c 3 2 a b c 3 4 a b c
/ 15 九、平移 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行
且相等，对应角相等。 平移作图： 将线段AB平移，使点A与点D对应。 1、连结AD 2、过点B作AD的平行线 3、在平行线上作线段BC，使BC=AD 4、连结CD 第六章 实数 一、平方根 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。 平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根). 开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。 平方根的表示方法: 如果x2=a (a≥0), 那么x = a，a读作“正负根号a”。a表示a的正的平方根。a-表示 a的负的平方根。
/ 15 规定：正数a的正的平方根 a 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0. 归纳： 1、正数有两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根。 例题1：0225812x 方法: 1、把x2当作一个整体,求出x2=a; 2、再根据平方根的定义求x. 例题2： (1) 81的平方根是 ________ 。 (2) 81的平方根是 ________ 。 二、立方根 立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方根） 若x 是 a 的立方根，则说明x 3 = a。a 的立方根记为： ,读作“三次根号a”。 根指数 开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。 （1） 8 的立方根：283 （2）- 64 的立方根：4-64-3 归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 平方根和立方根的异同点 3a
3a被开方数
/ 15 三、实数 无理数：无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如2，3等 实数：有理数和无理数统称实数。 实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 归纳：1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。）
/ 15 第七章 平面直角坐标系 一、有序数对 有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做（a，b）。 利用有序数对，能准确表示一个位置，这里两个数的顺序不能改变。 二、平面直角坐标系 平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平方向的数轴
称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 . ① 条数轴 ②互相垂直 ③公共原点 满足这三个条件才叫平面直角坐标系 注意:坐标轴上的点不属于任何象限。 平面直角坐标系中两条数轴特征： （1）互相垂直 （2）原点重合 （3）通常取向上、向右为正方向 （4）单位长度一般取相同的 平面上点的表示：平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标， 则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b） 注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开. 直角坐标系中点的坐标的特点:
/ 15 三、用坐标表示平移 平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。平移后图形的位置改变，形状、大小不变。 我们先试一试： 在坐标中描出点A（-2，-3）并进行如下平移： （1）将点A向右平移5个单位长度得到点A1，则 点A1的坐标是________ （2）将点A向左平移3个单位长度得到点A2，则 点A2的坐标是________ （3）将点A向右平移a(a>o)个单位长度得到点An，则 点An的坐标是________ （4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点An′，则 点An 的坐标是_______ 总结规律1:图形平移与点的坐标变化的关系 (1)左、右平移： 原图形上的点(x,y) ，向右平移a个单位，(x+a,y) 原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位，(x-a,y) (2)上、下平移： 原图形上的点(x,y) ，向上平移b个单位，(x,y+b) 原图形上的点(x,y) ，向下平移b个单位，(x,y-b) 总结规律2：图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 (1)横坐标变化,纵坐标不变： 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a个单位。 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a个单位。 (2)横坐标不变,纵坐标变化： 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b个单位。 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b个单位。 (3)横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b个单位； 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b个单位； 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a个单位,向上平移b个单位； 原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a个单位,向下平移b个单位；
/ 15 第八章 二元一次方程组 一、二元一次方程组 二元一次方程：含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次方程。 判断
下例方程是不是二元一次方程： (1) 3 - 2xy =1 （2）3y-2x =z+5 (3) 2x=1-3y 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐标。 二元一次方程组：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程中的未知数相同） 二元一次方程组的特点： 1.有两个未知数.(二元) 2.含未知数的指数都为1.(一次) 3.两个一次方程组成.(方程组) 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。 二、解二元一次方程组 代入消元法：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 思路：“消元”，即把“二元”变为“一元”。 例： 用代入法解方程组 x－y=3 ① 3x－8y=14 ② 解:由①得,y=x－3 ③ 把③代入②得 3x－8(x－3)=14 ,解这个方程得:x=2 把x=2代入③得:y=－1 所以这个方程组的解为: y=－1 x=2
/ 15 加减消元法: 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 基本思路: 加减消元: 二元 一元 主要步骤： 变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数 加减——消去一个元 求解——分别求出两个未知数的值 写解——写出方程组的解 三、实际问题与二元一次方程组 例题：探究2（p99） 综合运用6（p102） 分析：题中的量很多，并且相互关联，这时，我们可画一张示意图，把题中的条件在图中标出来，这样比较直，能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系。 四、三元一次方程组的解法 三元一次方程：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。 例：解下面两个三元一次方程组：
/ 15 第九章 不等式与不等式组 一、不等式及其解集 不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式 不等
号包括： ≥、 ≤、>、< 、≠ 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 不等式解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x
/ 15 例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3） 解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所以2a＜a ∵ 2a-a=a, 又∵ a＜0, ∴ 2a-a＜0, ∴2a
、明确调查问 2、确定调查对象 3、选择调查方法 4、展开调查,收集数据 5、整理数据 6、描述数据 7、得出结论 抽样调查: 采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查. 总体: 所要考察对象的全体叫做总体. 个体: 总体中每一个考察对象叫做个体。 样本: 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本. 样本容量: 样本中个体的数目。 例：要调查下面几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查? （1）检测某城市的空气质量 （2）调查一个村子所有家庭的收入 （3）调查一批重型导弹的杀伤半径 全面调查与抽样调查的比较 二、直方图 组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。 组数：组数=（最大值—最小值）/组距 频数：对落在各小组内的数据进行累计，得到各小组内的数据的个数，叫做频数。 画一组数据的频率分布直方图，可以按以下的步骤进行： （1）求极差，即数据中最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数 ：组距=极差/组数. （3）分组，通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间 ， 最后一组取闭区间. （4）登记频数，计算频率，列出频率分布表. （5）画出频率分布直方图.（纵轴表示频率／组距） 作频率分布直方图的方法： （1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距； （2）然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距； 这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．