近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa=-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
证 设ε是是变换群G 的单位元G ∈τ ，G 是变换群，故τ是一一变换，因此对集合 A 的任意元a ，有A 的元b ， :τ )(b a b τ=→))(()(a a τεε==a b b ==)()(τετ a a =)(ε 另证 )()(1x x ττε-= 根据.7.1习题3知x x =-)(1ττ x x =∴)(ε5. 证明实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵乘法来说，作成一个群。
证 G ={实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵}G B A ∈, 则11--A B 是AB 的逆从而 G B A ∈,对矩阵乘法来说，G 当然适合结合律且E （n 阶的单位阵） 是G 的单位元。
故 G 作成群。
6 置换群1. 找出所有3S 的不能和)(123231交换的元.证 3S 不能和)(123231交换的元有 )(),(),(123321123213123132 这是难验证的.2. 把3S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解: 3S 的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:(1) 两个不相连的循环置换可以交换(2) )()(11121i i i i i i k k k --=证(1) ))((121m k k i i i i i +=)(11211132nm m k k nm m k i i i i i i i i i i i i i ++++)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +=++++++=()(121211132132nii i i i i i i ii i i i i i i nm m k k k m k k k +++++++ 又 m k k i i i 21(++))(21k i i i =)(12121113221n m m k k k n m k k k k iiii i i i i i i i i i i i i +++++++)(112111132nm m k k nm m k i i i i i i i i i i i i i i ++++ =)(121211132132n m m k k k nm k k k ii i i i i i i i i i i i i i i +++++++,故))(())((211121k m k m k k i i i i i i i i i i ++= (2) )())((11121i i i i i i i k k k =- ,故)()(11121i i i i i i k k k --=.3. 证明一个K 一循环置换的阶是K.证 设)()(2113221kii i i i i k i i i ==π)(1232k ii i i =π…………)(1111k k i i i i k -=-π)()(111i k ki i i i k == π设k h 〈, 那么 )()(111i k hh ii i i h ≠=+ π５． 证明n S 的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n 这1-n 个２－循环置换 中的若干个乘积。
证 根据.6.2定理２。
n S 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明)())(()(1312121k k i i i i i i i i i =同时有)1)(1)(1()(111i i i i i l l =, 这样就得到所要证明的结论。
则)(1132nii i i =π )(1111k k ii i i -=-π7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。
证)(a G ∈ m a ，G a n∈ 则m n m n nm nma a a a a a ===++2． 假设群的元a 的阶是n ，证明ra 的阶是dn这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子证 因为d n r =),( 所以,,11dn n dr r ==而 1),(11=n r3.假设a 生成一个阶n 是的循环群G 。
证明ra 也生成G ，假如1),(=n r (这就是说r 和n 互素)证 a 生成一个阶n 是的循环群G ，可得生成元a 的阶是n ，这样利用上题即得所证， 或者，由于1),(=n r 有1=+tn srn r tn sr tn sr a a a a a )(===+ 即)(r a a ∈故ra a )()(=4 假定G 是循环群，并且G 与-G 同态，证明-G 也是循环群。
证 有2。
4。
定理1知G 也是群， 设 G 且-=a a )(φ(φ是同态满射)--∈G b 则存在G b ∈使-=b b )(φ ka b = 因而G ∽-G故k ka a -=)(φ 即ka b -=)(φ 因而ka b --= 即Ã=（ã）5．假设G 是无限阶的循环群，-G 是任何循环群，证明G 与-G 同态。
证 ⅰ）设-G 是无限阶的循环群，)(a G = )(--=a G 令ττφ-=a a )(且)()()(ττττφφφa a a a aa a s s s s===⋅--+-所以G ∽-Gⅱ）设)(--=a G 而-a 的阶是n 。
