专题八 三角恒等变换拓展题

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο 3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3， 令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2021浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质★★★2021浙江,10,6分三角恒等变换分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.答案 √3考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6-α)=-√23,那么cos 2α+√3sin 2α=( )A.109B.-109C.-59D.59答案 A3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6)-sin α=4√35,那么sin (α+11π6)= .答案 -454.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2)+a 的最大值为√22.(1)求实数a 的值;(2)假设f (α+π4)+f (α-π4)=√23,求√2sin (2α-π4)+11+tanα的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sin x 2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4)=1, f(x)取得最大值为√22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)√2sin (2α-π4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα=2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2αcosα+sinαcosα=2sin αcos α①,由(1)知f(x)=√22sin (x -π4),那么f (α+π4)=√22sin α, f (α-π4)=-√22cos α,结合条件,可知sin α-cos α=23, 又因为sin 2α+cos 2α=1,所以2sin αcos α=59②,由①②得√2sin (2α-π4)+11+tanα=59.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.tan α=2 018tan π2 018,那么sin (α+2 017π2 018)sin (α+π2 018)=( )A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案 C2.化简(sin θ2-cos θ2)√2+2cosθ(0<θ<π)= .答案 -cos θ3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4)=1.(1)求m 的值;(2)假设x ∈[0,π4],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f (π4)=cos π4(msin π4+cos π4)=√22(√22m +√22)=1⇒m=1.(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4],所以2x+π4∈[π4,3π4],因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4.当2x+π4=π2时, f(x)max =√2+12,此时x=π8.方法2 三角函数式的求值方法1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .答案 -725;-2112.(2021安徽江南十校联考改编,14)sinα·cosα1+3cos 2α=14,且tan(α+β)=13,其中β∈(0,π),那么β的值为 .答案3π43.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,π2)且tan 2α=43,那么tan (α+π4)tan (α-π4)的值等于 .答案 -9方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域;(2)设α∈(0,π),f (α2)=12-√3,求cos α的值.解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2x2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3)-√3,∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3], ∴sin (2x +π3)∈[-√32,1],∴f(x)∈[-2√3,2-√3].(2)∵f(α2)=2sin(α+π3)-√3=12-√3,∴sin(α+π3)=14.又∵α∈(0,π),∴α+π3∈(π3,4π3),∴α+π3必在第二象限,∴cos(α+π3)=-√154,∴cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-√154×12+14×√32=√3-√158.2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1.(1)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,即2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z,∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)∵x∈[-π4,π4],∴2x+π3∈[-π6,5π6],∴sin(2x+π3)∈[-12,1],∴f(x)∈[0,3].3.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(√32sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).(1)求函数f(x)图象的对称轴;(2)当x∈(0,π2)时,求f(x)的值域.解析此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π6)+4(x∈R).由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.(2)因为x∈(0,π2),所以2x+π6∈(π6,7π6),所以sin(2x+π6)∈(-12,1],可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A=,b=.答案√2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sinα=13,那么cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(π4-α)=35,那么sin2α=()A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2021江苏,13,5分)tanαtan (α+π4)=-23,那么sin (2α+π4)的值是 .答案√2104.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,π2),tan α=2,那么cos (α-π4)= .答案3√1010考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=43,那么sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79答案 A2.(2021四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√22C 组 教师专用题组考点一 两角和与差的三角函数1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12 D.12答案 D2.(2021重庆,9,5分)假设tanα=2tanπ5,那么cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2021江苏,5,5分)假设tan(α-π4)=16,那么tanα=.答案754.(2021江苏,8,5分)tanα=-2,tan(α+β)=17,那么tanβ的值为. 答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2021山东文,4,5分)cos x=34,那么cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案√623.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共12分)1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π6-α)=23,那么cos(5π3+2α)的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,那么△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,sinAsinB +cos C=0,tan A=√24,那么tan B=()A.√2B.2√2C.√23D.√22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,那么f(5π6)=,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是.答案0;[2kπ-7π6,2kπ+π6](k∈Z)5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R,那么f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案π;[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)三、解答题(共90分)6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.所以最小正周期T=2π2=π.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-12,所以g(t)=t(1−t2-12)=t·3−t22=3t-t32,g'(t)=3−3t22,即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;(2)假设f(x0)=6√35,且x0∈(23,143),求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3).由题意得T=8,所以ω=2π8=π4 ,所以f(x)=2√3sin(πx4+π3).令-π2+2kπ≤πx4+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-103+8k≤x≤23+8k,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[-103+8k,23+8k],k∈Z.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx04+π3)=6√35,即sin(πx04+π3)=35,因为x0∈(23,14 3),所以πx04+π3∈(π2,3π2),所以cos(πx04+π3)=-45.所以f(x0+1)=2√3sin(πx04+π4+π3)=2√3[sin(πx04+π3)cosπ4+cos(πx04+π3)sinπ4]=2√3×(35×√22-45×√22)=-√65.8.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π2).(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)假设f(x0)=-110,x0∈(π12,π3),求cos2x0的值.解析(1)f(x)=-sin(2x-π6)+12.易知当sin(2x-π6)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π6=-π2+2kπ,k∈Z,故x=-π6+kπ,k∈Z,所以当x=-π6+kπ,k∈Z时,f(x)max=32.(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π6)+12=-110,所以sin(2x0-π6)=35.因为x0∈(π12,π3 ),所以2x0-π6∈(0,π2),故cos(2x0-π6)=45.所以cos2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=4√3-310.9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,假设f(C)=12,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x=-2sin(2x+π6),∴f(x)的振幅为2.令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),那么π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)∵sin 2C+2sin 2A=1,∴sin 2C=1-2sin 2A=cos 2A=sin (π2+2A),∴2C=π2+2A 或2C+2A+π2=π,所以C-A=π4或C+A=π4.∵C 为锐角,∴2C+π6∈(π6,7π6),∵f(C)=12, ∴-2sin (2C +π6)=12,∴sin (2C +π6)=-14,∴2C+π6∈(π,7π6), ∴C ∈(5π12,π2), ∴C-A=π4,此时cos (2C +π6)=-√154,∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2)=sin 2C=sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6=-14×√32-(-√154)×12=√15-√38.10.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π2)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3]上的值域;(2)假设f(α)=2√55,且α∈[π6,π2],求cos 2α的值.解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6),∵T=2π2ω=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6),∵x ∈[0,π3],∴2x+π6∈[π6,5π6],∴sin(2x+π6)∈[12,1],∴f(x)∈[1,2].(2)易知f(α)=2sin(2α+π6)=2√55⇒sin(2α+π6)=√55,∵α∈[π6,π2],∴2α+π6∈[π2,7π6],∴cos(2α+π6)=-2√55,∴cos2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=√5-2√1510.11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x.(1)求f(π3)的值;(2)假设f(α2)=1310,α∈(0,π3),求cosα的值.解析此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=1+cos2x2+√32sin2x=12+sin(2x+π6),所以f(π3)=12+sin(2π3+π6)=12+sin5π6=12+12=1.(2)由f(α2)=1310,α∈(0,π3),得sin(α+π6)=45,cos(α+π6)=35,所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)·sinπ6=3√3+410.。

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两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）C(α－β）：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2）C（α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β; (3）S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β;(4)S（α－β）：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T（α＋β）：tan（α＋β)＝错误!；(6）T（α－β)：tan（α－β）＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α;（2）C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α;（3）T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等（1)tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan_αtan_β）；（2)cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；（3)1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

4．函数f(α)＝a cos α＋b sin α（a,b为常数），可以化为f（α)＝a2＋b2sin （α＋φ)或f（α）＝a2＋b2cos(α－φ）,其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1）拆角、拼角技巧:2α＝（α＋β)＋(α－β）；α＝(α＋β)－β；β＝错误!－错误!；错误!＝错误!－错误!.（2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”．(2）变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．（3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分"、“分解与组合"、“配方与平方”等．双基自测1．（人教A 版教材习题改编）下列各式的值为14的是( ）． A ．2cos 2 错误!－1B ．1－2sin 275°C 。

三角函数恒等变形的根本策略。

〔1〕常值代换：特别是用“1〞的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

〔2〕项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β，β=2βα+－2βα-等。

〔3〕降次与升次。

〔4〕化弦〔切〕法。

〔4〕引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

三角函数恒等变形的基本策略。

2（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sin （2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+2cos2x=(sin 2θ=tanx·cotx=tan45°等。

2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

22（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=2b2a sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确b定，角的值由tan=确定。

a1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．sin x2x＋cos2x=1，解：因为2tan x，又sincos xsin x2cos x 联立得，sin cos12x2x252 5sin x sin x55解这个方程组得,.5 5cos x cos x552．求t an(tan(120690))c os(210sin(150)sin(480)cos(330))的值．解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120) tan(720o30)sin(150)cos(36030)tan60( tan30(c os30)(sin150sin120)cos30)3 3.sin x cos x3．若2,sin x cos x，求sinxcosx的值．sin x cos x解：法一：因为2,sin x cos x所以sinx－cosx=2(sin x＋cosx)，2x＋cos2x=1，联立方程组，解得得到sinx=－3cosx，又sinsin x 31010sin，x31010，cos x1010cos x1010所以sin xcos x3 10sin x cos x法二：因为2,sin x cos x所以sinx－cosx=2(sin x＋cosx)，2=4(sin x＋cosx)2，所以(sinx－cosx )所以1－2sinx cosx=4＋8sinxcosx，3所以有sin xcos x104．求证：tan2x·s in2x=tan2x－sin2x．2x－sin2x=tan2x－(tan2x·c os2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·s in2x，问题得证．证明：法一：右边＝tan2x·s in2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．法二：左边=tanxπ5．求函数y 2 s in( ) 在区间[0，2 ]上的值域．2 6由正弦函数的图象，x x 7πππ解：因为0≤x≤2π，所以,0 ,π2 6 2 6 6x 1π得到sin( ) [ ,1] ,2 6 2所以y∈[ －1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2) y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx )．解：(1) y=sin 2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx )＋3，1 13 1 132 t t 2 t 2令t=cosx，则,t [ 1,1] , y (t ) 3 ( ) ( )2 4 2 413利用二次函数的图象得到].y [1,4π2－1－(sin x＋cosx)，令t =sin x＋cosx 2 ，)(2)y＝2sin x c osx－(sinx＋cosx)=(sin x＋cosx) sin( x ，则452 tt [ 2, 2] 则，y t 1, 利用二次函数的图象得到,1 2].y [47．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2, 2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为(2, 2) ，得到 A 2 ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是14T个周期，这样求得 44 ，T=16，所以π8πππ π又由 2 2 ) ，得到可以取).2sin( . y 2 sin( x8 8 44 4 48．已知函数f(x)=cos x－2sinxcosx－sin x．π(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x [0, ], 求f (x)的最大值、最小值．2数y1sin x3 cos x的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4 x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2 xπ2 x x x x x x x2(cos sin ) sin 2 cos 2 sin 2 2 sin( 2 ) 2 sin( 24π)4所以最小正周期为π．πππ3ππ(Ⅱ)若x [0, ] ，则(2x ) [ , ] ，所以当x=0 时，f(x)取最大值为2 sin( ) 1;当2 4 4 4 43πx 时，8f(x)取最小值为 2.1．已知tan 2，求（1）c oscossinsin；（2） 2 sin . c os 2 cos2sin 的值.sin1cos sin 1 tan 1 2cos解：（1） 3 2 2sincos sin 1 tan 1 21cos；(2) 2sin sin cos22 c os2sin sin cos 22 2sin cos2cos2sin sin2cos cos2sin12cos 22 2 2 42 1 32.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

三角恒等变换类函数问题1. 函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2. 若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数．3. 已知f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)的值是( )A ．1B ．－1C ．12D ．0[答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1.4. 函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈[0，π2]的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1[答案] C[解析] y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin(x ＋π4)＋2，∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴sin(x ＋π4)∈[22，1]，∴y min ＝2×22＋2＝3. 5. 若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]6. 函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]7.若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( )A ．3－cos 2xB ．3－sin 2xC ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]8.若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1B ． 3C ．2D ．3B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2. 解得a ＝ 3.]9.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]．] 10.使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－π3B ．－π6C ．5π6D ．2π3D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]11.函数f (x )＝sin xsin x ＋2sinx2是( )A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x2＋1)≠0，得x ≠2k π，k ∈Z ．∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称．∵f (x )＝sin xsin x ＋2sin x 2＝cosx 21＋cosx2．∴f (－x )＝cos (－x 2)1＋cos (－x 2)＝cosx 21＋cosx2＝f (x )．∴函数f (x )为偶函数．又f (x ＋2π)＝cos x ＋2π21＋cos x ＋2π2＝cos (π＋x 2)1＋cos (π＋x 2)＝－cosx 21－cosx2≠f (x )．f (x ＋4π)＝cos x ＋4π21＋cos x ＋4π2＝cos (2π＋x 2)1＋cos (2π＋x 2)＝cosx 21＋cosx2＝f (x )，∴函数f (x )以4π为周期．]12.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2C13. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D.⎣⎡⎦⎤π3，5π6B14.已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD ．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [f(x)＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6． 因为函数y ＝f(x)的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f(x)的周期为π．所以2πω＝π，即ω＝2．所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．]15.函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为 ( )．A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2.答案 B16.当函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1解析 y ＝⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x . 当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24， 此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A17.函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )．A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (x )， 则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＝f ⎝⎛⎭⎫x －π2，答案 C18.函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是____________．π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.19.函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． 1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.20.函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为______． 2＋121.函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x ．∴T ＝π．22.函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－2．23.关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 答案 ①②③24.已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．(1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，即A ·cos π4＝2，∴A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85得⎩⎨⎧2cos (α＋π3＋π6)＝－3017，2cos (β－π6＋π6)＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.25.设函数f (x )＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ，x ∈⎣⎡⎤0，π2.求f (x )的最大值． f (x )＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.26.已知函数f (x )＝2sin 2(π4－x )－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )＜m ＋2在x ∈[0，π6]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)∵f (x )＝1－cos(π2－2x )－3cos 2x＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1 ＝－2sin(2x ＋π3)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π6]，∴π3≤2x ＋π3≤23π，∴32≤sin(2x ＋π3)≤1， ∴当sin(2x ＋π3)＝32时，f (x )取得最大值为1－3，即f (x )max ＝1－ 3.要使f (x )＜m ＋2恒成立，需f (x )max ＜m ＋2， ∴1－3＜m ＋2，解得m ＞－1－3， ∴m 的取值范围是(－1－3，＋∞)．27.已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1．(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310，f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为5．28.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8．(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32． 29.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.30.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos 2α，得tan(α＋π4)＝2cos 2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)， 所以2α＝π6，即α＝π12. 31.已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 最小正周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．32.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x ．(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73. 33.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值． 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)， 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)． 因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]， 从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45. 所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6] ＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 34.已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x －3．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x ) ＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)． ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2. 当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2. (3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． ∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 35.已知函数f (x )＝cos 2x －2cos x ，且x ∈[－π3，π4]．求f (x )的最大值和最小值． 解 f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32. ∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 36. 已知f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )，其中ω>0，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2． (1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值． 解 (1)f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2) ＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. 因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214. 37. 已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)， 所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)， 所以12＝12cos(2×π6－φ)， 即cos(π3－φ)＝1， 又0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)， 因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈[－π3，2π3]， 故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14. 38.已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin(2x －π3)－32.因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知，g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为[12，1]，那么sin(x －π3)－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 39. 已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)． (1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域． [解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)， ∴最小正周期T ＝2π2＝π. ∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ， ∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z . (2)∵x ∈[－π12，π2]， ∴2x －π6∈[－π3，5π6]．∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增， 在区间[π3，π2]上单调递减． 当x ＝π3时，f (x )取最大值1. 又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12， ∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32. 所以函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]． 40. 已知函数f (x )＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x 的最大值为6. (1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．求g (x )在[0，5π24]上的值域． [解析] (1)f (x )＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x ) ＝A sin(2x ＋π6)． ∵A >0，由题意知A ＝6.(2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)． 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到 y ＝6sin(4x ＋π3)的图象． 因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)． ∵x ∈[0，5π24]， ∴4x ＋π3∈[π3，7π6]． 故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。

数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。

三角恒等变换练习题题目1：已知三角形ABC，其中∠A=60°，AD是边BC上的高线。

请证明，当且仅当AC^2=AB×AD时，三角形ABC为等腰三角形。

解法：设∠B=α，∠C=β，根据三角形内角和定理，有α+β+60°=180°，即α+β=120°。

由于∠A=60°，所以∠CBA=180°-60°-α=120°-α。

因为AD是边BC上的高线，所以∠ADB=90°，所以∠BDA=180°-90°-β=90°-β。

根据余弦定理，在△ABC中，有AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosα。

根据余弦定理，在△ABD中，有AD^2=AB^2+BD^2-2AB×BD×cos(90°-β)。

因为∠CBA=120°-α，所以∠BAC=α，所以cosα=cos(180°-α)=-cos(120°-α)。

因为∠BDA=90°-β，所以cos(90°-β)=sinβ。

代入上面两个式子，得到AC^2=AB^2+BC^2+2AB×BC×cos(120°-α)。

由于α+β=120°，所以cos(120°-α)=cos(α+β)=cosβ。

所以AC^2=AB^2+BC^2+2AB×BC×cosβ。

当且仅当AC^2=AB×AD时，即AB^2+BC^2+2AB×BC×cosβ=AB×(AB+BD)，则有AB×BD=BC^2，即∠B=∠C。

所以当AC^2=AB×AD时，三角形ABC为等腰三角形。

题目2：已知三角形ABC，其中∠A=45°，BD是边AC的平分线，DM是边BC的中线，E是边AC上的点，且ME ⊥ AC。

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。

三角恒等变换常考题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角恒等变换常考题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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20170924阶测卷：三角恒等变换基础题型姓名：________________ 分数：________________一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=,则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．若，则cos（π﹣2α）=( ）A．B．C．D．6．已知sin(α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+)等于（）A．﹣B．﹣C．D．7．若,则=（）A．B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β)=，且0＜β＜α＜，那么β=（) A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α）,则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(α+β）=，则sinβ的值为( ）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+)=（)A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π)，则tan（α+)等于( ）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为( )A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（)A．﹣B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（)A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣)=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣226．已知，则tanα=（)A．﹣1 B．0 C．D．129．若3sinα+cosα=0,则的值为( ）A．B．C．D．﹣230．已知函数f(x）=cos（x+）sinx,则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣)对称C．在区间（0,)上为减函数D．关于直线x=对称三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．(2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（)=（)A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：==，由于：,所以:=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos(π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．(2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（α+)+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣)=，∴cos（α+）=cos［π+（α﹣）］=﹣cos(α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模)若，则=（)A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+)，∴=cos［2（α+）]=2cos2(α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．(2017•德州二模)已知cosα=，cos（α﹣β）=,且0＜β＜α＜,那么β=（）A．B．C．D．【解答】解:由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β)=cos （β﹣α)=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin(α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos［（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选:C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解:∵α∈(,π），∴sinα＞0,cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α)，∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα）,∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=,∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α,β为锐角，且满足cosα=，cos(α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α,β为锐角,且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α］=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选:C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=,则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解:∵sin(﹣α)﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos(2α+）=1﹣2sin2(α+）=，故选:C．13．（2017•榆林一模)已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．(2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（) A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（) A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=,则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°)=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．(2017春•荔城区校级期中)已知sinα+cosα=,则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sina+cosa=,∴(sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选:A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0,即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1,故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣)==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=(）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选:A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为( ）A．B．C．D．﹣2【解答】解:∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．(2017•成都模拟)已知函数f（x)=cos(x+）sinx，则函数f(x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣)对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f(x)=cos（x+)sinx=(cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=(sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=,求得f(x）=+=，为函数f（x)的最大值,故函数f(x）的图象关于三角恒等变换常考题(含答案)(word版可编辑修改)直线x=对称,且f(x）的图象不关于点(，）对称,故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（,）,f（x）=sin(2x+）+为增函数,故C 不正确，故选:D．第11页（共11页）。

第八单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan(α-π4)=16,则tanα=.【解析】tanα=tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tanπ41−tan(α-π4)tanπ4=16+11−16×1=75.【答案】752.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=().A.725B.15C.-15D.-725【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2×925-1=-725.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-√32B.√32C.-12D.12【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)= .【解析】由题意知α+β=π+2k π(k ∈Z),∴β=π+2k π-α(k ∈Z),sin β=sin α,cos β=-cos α. 又sin α=13,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =-cos 2α+sin 2α=2sin 2α-1 =2×19-1=-79.【答案】-79考点二 解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A=( ).A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则由题意得S △ABC =12×a×13a=12ac sin B ,∴c=√23a.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+29a 2-2×a×√23a×√22=59a 2,∴b=√53a.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =59a 2+29a 2-a 22×√53a×√23a=-√1010.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .【解析】因为A ,C 为△ABC 的内角,且cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin(π-A-C )=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=35×513+45×1213=6365.又a=1,所以由正弦定理得b=asinB sinA =sinB sinA =6365×53=2113. 【答案】21137.(2017年山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C+cos A sin C ,则下列等式成立的是( ).A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C )=sin A cos C+sin(A+C )=sin A cos C+sin B , 等式左边=sin B+2sin B cos C ,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B. 由正弦定理得a=2b.故选A . 【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC ,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD ,则△BDC 的面积是 ,cos∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示, sin∠DBC=sin∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=√154,cos∠ABC=14.所以S △BDC =12BC ·BD ·sin∠DBC=12×2×2×√154=√152.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-14=BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC=8−CD 28,所以CD=√10.由余弦定理,得cos∠BDC=4+10−42×2×10=√104.【答案】√152√1049.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是 .【解析】在锐角三角形ABC 中,∵sin A=2sin B sin C ,∴sin(B+C )=2sin B sin C ,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C ,等号两边同时除以cos B cos C ,得tan B+tan C=2tan B tan C. ∴tan A=tan[π-(B+C )]=-tan(B+C )=tanB+tanCtanBtanC -1=2tanBtanCtanBtanC -1. ① ∵A ,B ,C 均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=tanAtanA -2. 又由tan B tan C>1,得tanAtanA -2>1,∴tan A>2. ∴tan A tan B tan C=tan 2A tanA -2=(tan A -2)2+4(tanA -2)+4tanA -2=(tan A-2)+4tanA -2+4≥2√4+4=8,当且仅当tan A-2=4tanA -2,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C 的最小值为8. 【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A+C )=8sin 2B2.(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.故cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故S △ABC =12ac sin B=417ac ,又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4c cos 2π3,即c 2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1. 又△ABC 的面积为S=12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12ac sin B=a 23sinA ,即12c sin B=a3sinA. 由正弦定理得12sin C sin B=sinA3sinA, 故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-12,即cos(B+C )=-12,所以B+C=2π3,故A=π3.由题意得12bc sin A=a 23sinA,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9. 由bc=8,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§8.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β: cos(α+β)= ;Sα-β: sin(α-β)= ;Sα+β: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;;Tα-β: tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβTα+β: tan(α+β)= .二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α== ;.tan2α=2tanα1−tan2α三辅助角公式函数f(α)=a cosα+b sinα(a,b为常数),可以化为f(α)=√a2+b2sin(α+φ)(其中tanφ=b)或f(α)=√a2+b2cos(α-φ)(其中tanφ=a b).a-cos105°sin75°的值为 .函数f (x )=2sin x (sin x+√3cos x )的最小值为 .若sinα+cosαsinα-cos α=12,则tan (α-π4)=( ).A .-2B .2C .-43D .43若α+β=3π4,求(1-tan α)(1-tan β)的值.知识清单一、cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin βtanα+tanβ1−tanαtanβ二、2cos 2α-1 1-2sin 2α 基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin 75°=cos60°=12.【答案】122.【解析】f (x )=2sin 2x+2√3sin x cos x=2×1−cos2x2+√3sin2x=√3sin2x-cos2x+1=2sin (2x -π6)+1≥-1.【答案】-1 3.【解析】由sinα+cosαsinα-cos α=12,等式左边分子、分母同时除以cos α得tanα+1tanα-1=12,解得tan α=-3,则tan (α-π4)=tanα-11+tanα=2. 【答案】B4.【解析】∵-1=tan 3π4=tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ,∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2.题型一 三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan π12cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,则实数m 的值为( ).A .2√3B .√3C .2D .3【解析】由tan π12cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,得sin π12cos 5π12=cos π12sin 5π12-m sin π12cos π12,则12m sin π6=sin (5π12-π12),解得m=2√3.【答案】A【变式训练1】√3tan12°−3(4cos 212°−2)sin12°= .【解析】原式=√3sin12°cos12°-32(2cos 212°−1)sin12°=2√3(12sin12°−√32cos12°)cos12°2cos24°sin12°=2√3sin(−48°)2cos24°sin12°cos12°=-2√3sin48°sin24°cos24°=-2√3sin48°12sin48°=-4√3.【答案】-4√3题型二 角的变换【例2】已知tan(α-β)=12,tan β=-17,则tan2α= .【解析】∵tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tan β1−tan(α-β)tan β=12-171+12×17=13, ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×131−(13)2=34.【答案】34【变式训练2】已知α,β为锐角,cos α=17,sin(α-β)=3√314,则β的大小为 .【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=3√314,∴0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1314.∵cos α=17,∴sin α=4√37,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+4√37×3√314=12,则β=π3.【答案】π3题型三 三角变换的简单应用【例3】已知函数f (x )=2sin 2(π4+x)+√3(sin 2x-cos 2x ),x ∈[π4,π2].(1)求f (5π12)的值;(2)求f (x )的单调区间;(3)若不等式|f (x )-m|<2恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】因为f (x )=2sin 2(π4+x)+√3(sin 2x-cos 2x ),所以化简得f (x )=1-cos (2x +π2)-√3cos2x=2sin (2x -π3)+1,x ∈[π4,π2].(1)f (5π12)=2sin (5π6-π3)+1=2sin π2+1=3. (2)当2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z)时,即k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z).因为x ∈[π4,π2],所以f (x )的单调递增区间为[π4,5π12],同理f (x )的单调递减区间为[5π12,π2].(3)若不等式|f (x )-m|<2恒成立,即m>f (x )-2或m<f (x )+2恒成立,则m>2sin (2x -π3)-1或m<2sin (2x -π3)+3恒成立.因为x ∈[π4,π2],所以2sin (2x -π3)∈[1,2].当m>2sin (2x -π3)-1时,只需满足m 大于2sin (2x -π3)-1的最大值1,即m>1;当m<2sin (2x -π3)+3时,只需满足m 小于2sin (2x -π3)+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m 的取值范围是1<m<4.【变式训练3】已知函数f (x )=[2sin (x +π3)+sinx]cos x-√3sin 2x ,x ∈R .(1)求f (x )在[0,π4]上的最大值和最小值;(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象,且g (α+β2)=12,g (α-β2)=-34,求tanαtanβ的值. 【解析】f (x )=[2(sinxcos π3+cosxsin π3)+sinx]cos x-√3sin 2x=2sin x cos x+√3cos 2x-√3sin 2x=sin2x+√3cos2x =2sin (2x +π3).(1)∵0≤x ≤π4,∴π3≤2x+π3≤5π6,∴12≤sin (2x +π3)≤1,则1≤f (x )≤2, ∴f (x )max =2,f (x )min =1.(2)由(1)得g (x )=2sin2x ,∴g (α+β2)=2sin(α+β)=12, g (α-β2)=2sin(α-β)=-34, 即{sinαcosβ+cosαsinβ=14,sinαcosβ-cos αsinβ=−38,解得{sinαcosβ=−116,cosαsinβ=516,两式相除得tanαtanβ=-15.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin50°cos10°+12sin20°(1+√3tan10°)=().A.1B.√2C.√3D.2【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·cos10°+√3sin10°cos10°=2sin50°cos10°+2sin10°(12cos10°+√32sin10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°=2sin60°=√3.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=√24,则sin2α的值为().A.18B.-18C.78D.-78【解析】∵cos α-sin α=√24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin (3π2+α)=13,则cos(π-2α)的值为( ).A .79 B .-79 C .29 D .-23【解析】因为sin (3π2+α)=-cos α,所以cos α=-13.所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos 2α+1=79.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin (π3-α)=14,则cosπ3+2α=( ).A .-58 B .58 C .-78 D .78【解析】sin (π3-α)=sin [π2-(π6+α)]=cos (π6+α)=14,则cos (π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos 2(π6+α)-1=-78.【答案】C4.(2017德阳二模)若α∈(0,π2),且sin 2α+cos2α=47,则tan (α+π3)的值为( ).A .-3B .√3C .-2√3D .-3√3【解析】∵α∈(0,π2),且sin 2α+cos2α=47,∴sin 2α+cos 2α-sin 2α=47,∴cos 2α=47,∴cos α=√7,∴tan α=√32,∴tan (α+π3)=-3√3.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tan αtan β=3,且sin αsin β=35,则cos(α-β)的值为( ).A .-25B .25C .45D .1【解析】由题意可知sin αsin β=3cos αcos β,因为sin α·sin β=35,所以cos αcos β=15,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=45,故选C .【答案】C6.(2017九江一模)cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值为 .【解析】cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°=sin 215°+cos 215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=54.【答案】547.(2017广西二模)若θ∈[π4,π2],sin2θ=3√78,则cos θ= .【解析】∵θ∈[π4,π2],∴2θ∈[π2,π].∴cos2θ=-√1−sin 22θ=-18,则2cos 2θ-1=-18,∴cos θ=√74.【答案】√748.(2017山东二模)已知cos (π4-α)=√73,α∈(0,π4),则cos2αsinα+cosα= .【解析】∵cos (π4-α)=√73,α∈(0,π4),∴sin (π4-α)=√23,即cos α-sin α=23,∴cos2αsinα+cosα=cos 2α-sin 2αsinα+cosα=cos α-sin α=23.【答案】239.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tan α=17,cos(α+β)=2√55,则cos2β=( ).A .35B .23C .45D .7√210【解析】∵α,β∈(0,π2),∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=2√55,∴sin(α+β)=√5. ∵tan α=17,∴sin α=15√2,cos α=75√2.∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=155√10=3√10.∴cos2β=2cos 2β-1=2×910-1=45,故选C .【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,且tan A ,tan B ,tan C ,2tan B 依次成等差数列,则sin2B=( ).A .1B .-45C .45D .±45【解析】由题意得tan C=32tan B ,tan A=12tan B ,所以△ABC 为锐角三角形.又tan A=-tan(C+B )=-tanC+tanB 1−tanCtanB =-52tanB 1−32tan 2B =12tan B ,得tan B=2,所以sin2B=2sin B cos B=2sinBcosB sin 2B+cos 2B =2tanB tan 2B+1=45.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈(3π4,π),cos(α+β)=45,cos (β-π4)=-513,则sin (α+π4)=( ).A .3365B .-3365C .-1665D .1665【解析】因为α,β∈(3π4,π),则α+β∈(3π2,2π),β-π4∈(π2,3π4),所以sin(α+β)=-35,sin (β-π4)=1213,所以sin (α+π4)=sin [(α+β)-(β-π4)]=sin(α+β)cos (β-π4)-cos(α+β)sin (β-π4)=-35×(-513)-45×1213=-3365.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC 中,B>π6,sin (A +π6)=35,cos (B -π6)=45,则sin(A+B )= .【解析】∵sin (A +π6)=35,∴cos (A +π6)=±45,∵cos (A +π6)=-45<cos120°,∴A+π6>2π3⇒A>π2(舍去),∴cos (A +π6)=45.由cos (B -π6)=45得sin (B -π6)=35,∴sin(A+B )=sin [(A +π6)+(B -π6)]=sin (A +π6)cos (B -π6)+cos (A +π6)sin (B -π6)=35×45+45×35=2425.【答案】242513.(2016株洲三模) 已知tan α=12,m sin αcos α=45.(1)若cos (x -π5)=m 3,求cos (x +4π5)的值; (2)设函数f (x )=cos (mx +π3)+√3sin2x ,求函数f (x )的单调递减区间.【解析】∵m sin αcos α=msinαcosαsin 2α+cos 2α=mtanαtan 2α+1=45,tan α=12, ∴2m 5=45,得m=2.(1)∵cos (x -π5)=23,∴cos (x +4π5)=cos [π+(x -π5)] =-cos (x -π5)=-23.(2)∵f (x )=cos (2x +π3)+√3sin2x=12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6),由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).§8.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:asinA =bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)a∶b∶c= ;(2)a= ,b= ,c= ;(3)sin A=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R.2.余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定理可以变形为cos A=b2+c2-a22bc ,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.二面积公式S △ABC =12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B=abc 4R =12(a+b+c )r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r.在△ABC 中,∠A=π3,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则边AC 的长为( ).A .1B .√3C .2D .1在△ABC 中,a 2+b 2-c 2=3ab sin C ,则tan C 等于( ).A .13B .12C .23D .32在△ABC 中,sin A=23,a=8,b=6√3,则角B 等于( ).A .60°B .150°C .60°或120°D .60°或150°知识清单一、1.(1)sin A ∶sin B ∶sin C (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C2.b 2+c 2-2bc cos A a 2+c 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C 基础训练1.【解析】∵S △ABC =12AB ·AC sin A ,∴√32AC=√32,则AC=1.【答案】A2.【解析】a 2+b 2-c 2=3ab sin C ⇒a 2+b 2-c 22ab =cos C=32sin C ⇒tan C=23. 【答案】C3.【解析】由正弦定理得823=6√3sinB,则sin B=√32.∵a<b ,∴B=60°或B=120°.【答案】C题型一 利用正弦定理求解三角形【例1】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin A=a cos B ,b=√5,c=2,求sin C.【解析】∵2sin A=a cos B ,sinA a=sinBb ,b=√5, ∴2sin B=√5cos B ,即tan B=√52,∴sin B=√53.∵c=2,∴sin C=csinB b=23.【变式训练1】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若(2b-c )cos A=a cos C ,求sin A.【解析】由(2b-c )cos A=a cos C , 得2b cos A=c cos A+a cos C ,即2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C , 则2sin B cos A=sin(A+C )=sin B ,所以cos A=12,则sin A=√32.题型二 利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且a+csinB+sinC =b -csinA .(1)求角B 的大小;(2)若b=√13,a+c=4,求ac 的值.【解析】(1)由a+c sinB+sinC =b -c sinA 及正弦定理,得a+c b+c =b -ca,∴ac+a 2=b 2-c 2, ∴a 2+c 2-b 2=-ac.由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac=-ac 2ac =-12. 又B 为△ABC 的内角,∴B=2π3.(2)将b=√13,a+c=4,B=2π3代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a+c )2-2ac-2ac cos B ,∴13=16-2ac (1−12),∴ac=3.【变式训练2】在△ABC 中,D 是边AC 的中点,且AB=AD=1,BD=2√33. (1)求cos A 的值; (2)求BC 的长.【解析】(1)在△ABC 中,AB=AD=1,BD=2√33, ∴cos A=AB 2+AD 2-BD 22AB ·AD =1+1−(2√33)22=13.(2)由(1)知,cos A=13,且0<A<π,∴sin A=√1−cos 2A =2√23.∵D 是边AC 的中点,∴AC=2AD=2.在△ABC 中,cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=1+22-BC 22×1×2=13,解得BC=√333.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足2√3ac sin B=a 2+b 2-c 2.(1)求角C 的大小;(2)若b sin(π-A )=a cos B ,且b=√2,求△ABC 的面积. 【解析】(1)由2√3ac sin B=a 2+b 2-c 2,得2√3csinB 2b=a 2+b 2-c 22ab ,∴2√3sinCsinB 2sinB =cos C ,∴tan C=√33,∴C=π6.(2)由b sin(π-A )=a cos B ,∴sin B sin A=sin A cos B , ∴sin B=cos B , ∴B=π4.由正弦定理b sinB =c sinC ,可得√2sin π4=c sinπ6,解得c=1,∴S △ABC =12bc sin A=12×√2×1×sin A=√22sin(π-B-C )=√22sin (π4+π6)=√3+14.【变式训练3】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c. (1)若c=2,C=π3,且△ABC 的面积为√3,求a ,b 的值; (2)若sin C+sin(B-A )=sin2A ,试判断△ABC 的形状.【解析】(1)∵c=2,C=π3,∴由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得a 2+b 2-ab=4. ∵△ABC 的面积为√3,∴12ab sin C=√3,∴ab=4.联立方程组{a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得{a =2,b =2.(2)由sin C+sin(B-A )=sin2A , 得sin(A+B )+sin(B-A )=2sin A cos A ,即2sin B cos A=2sin A cos A ,∴cos A ·(sin A-sin B )=0,∴cos A=0或sin A-sin B=0.当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=π2,∴△ABC 为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A , 由正弦定理得a=b , 即△ABC 为等腰三角形.综上所述,△ABC 为等腰三角形或直角三角形.方法 数学建模——实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB 为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B 作BE ⊥CD 于点E ,则∠AEB=30°.在△BCD 中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得CD sin∠DBC =BDsin∠BCD,所以BD=40sin30°sin135°=20√2(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED 中,BE=BD sin15°=20√2×√6-√24=10(√3-1)(米).在Rt△ABE 中,∠AEB=30°, 所以AB=BE tan30°=103(3-√3)(米).故所求的塔高为103(3-√3)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a 2=b 2+c 2-bc ,bc=16,则△ABC 的面积为( ).A .2√3B .4√3C .6D .8√3【解析】由题意有b 2+c 2-a2=bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12,sin A=√1−cos 2A =√32,则△ABC 的面积为S=12bc sin A=4√3.【答案】B2.(2017广丰二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=2b sin B ,则sin A cos A+2cos 2B 等于( ).A .-1B .-12C .12D .2【解析】∵a cos A=2b sin B ,∴sin A cos A=2sin B sin B ,即sin A cos A-2sin 2B=0,∴sin A cos A-2(1-cos 2B )=0,∴sin A cos A+2cos 2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若√3cosB =asinA,则cos B=( ).A .-12B .12C .-√32D .√32【解析】由正弦定理,得√3cosB =a sinA ,∴√3cosB =sinAsinA,∴tan B=√3,又0<B<π,∴B=π3,∴cos B=12.【答案】B4.(2017龙泉二模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知3cosA cosC =ac,且a 2-c 2=2b ,则b 等于( ).A .1B .2C .3D .4【解析】由3cosA cosC =ac得a cos C=3c cos A ,则a ·a 2+b 2-c 22ab =3c ·b 2+c 2-a 22bc,整理得2(a 2-c 2)=b 2.又a 2-c 2=2b ,∴4b=b 2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列条件中,能使得△ABC 的形状唯一确定的是( ).①a=1,b=2,c ∈Z;②A=150°,a sin A+c sin C+√2a sin C=b sin B ; ③a=√5,b=2,A=30°;④C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C )cos B cos C=0.A .①③B .①②③C .①②D .②③④【解析】②中,由正弦定理可知a 2+c 2+√2ac=b 2,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac=-√22,此时A=150°,B=135°,三角形无解.④中,-cos(B+C )sin B cos C+cos(B+C )cos B cos C=0, ∴cos(B+C )cos C (cos B-sin B )=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°, 三角形的解不唯一.排除②④两种说法,只有选项A 符合题意. 【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距 m .【解析】如图,OA 为炮台,M ,N 为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM=AO tan45°=30m,ON=AO tan60°=√3=10√3m . ∴MN=√900+300−2×30×103×√32=10√3m .【答案】10√37.(2017重庆二诊)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若△ABC的面积为2224√3,则C= .【解析】由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,又12ab sin C=a 2+b 224√3,联立两式得,12ab sin C=2abcosC 4√3,∴tan C=√33,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知b=4√5,c=5,且B=2C ,点D 为边BC 上的一点,且CD=3,则△ADC 的面积为 .【解析】由正弦定理得5sinC =4√5sinB =4√52sinCcosC,可得cos C=2√5,∴S △ADC =12CD ·AC sin C=12×3×4√5×1√5=6.【答案】69.(2017山西二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b=c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A=( ).A .3π4B .π3C .π4D .π6【解析】由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=2b 2(1-cos A ),∴2b 2(1-sin A )=2b 2(1-cos A ),∴sin A=cos A ,即tan A=1,又0<A<π,∴A=π4.【答案】C10.(2017广安二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sinA a =sinB2b ,则cos B 的值为( ).A .√32B .12C .-12D .-√32【解析】由正弦定理可得a sinA =b sinB =c sinC ,结合已知sinA a =sin B2b,故有sin B=2sin B 2cos B 2=sin B 2,解得cos B 2=12.因为0<B<π,可得0<B 2<π2,所以B 2=π3,解得B=2π3,所以cos B=cos 2π3=-12,故选C .【答案】C11.(2017重庆月考)在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=1,AC=2,BD=2√3,∠ACD=60°,则AD=( ).A .2B .√7C .√19D .13-6√3【解析】由余弦定理得,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos60°,解得BC=√3,则AC 2=AB 2+BC 2,故BC ⊥AB ,又AB ∥CD ,所以BC ⊥CD.在Rt△BCD 中,CD=√BD 2-BC 2=√12−3=3.在△ACD 中,由余弦定理得AD 2=AC 2+CD 2-2AC ·CD cos60°=7,所以AD=√7.【答案】B12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(c+b )(sin C-sin B )=a (sin A-sin B ).若c=2√3,则a 2+b 2的取值范围是 .【解析】由正弦定理得(c+b )(c-b )=a (a-b )⇒c 2-b 2=a 2-ab ,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=12,解得C=π3,则a sinA =b sin (2π3-A )=c sinC=4, 所以a=4sin A ,b=4sin (2π3-A), 所以a 2+b 2=16sin 2A+16sin 2(2π3-A) =16×1−cos2A2+16×1−cos (4π3-2A )2=16-8(12cos2A -√32sin2A)=16-8cos (2A +π3).因为△ABC 是锐角三角形,所以A ∈(π6,π2),所以2A+π3∈(2π3,4π3),所以cos(2A+π3)∈[-1,-12),所以a2+b2=16-8cos(2A+π3)∈(20,24].【答案】(20,24]13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且b cos B=c cos C,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.(1)求证:∠BAC是直角.(2)求tan∠ADC的值.【解析】(1)因为b cos B=c cos C,由正弦定理,得sin B cos B=sin C cos C,所以sin2B=sin2C,又b≠c,所以2B=π-2C,所以B+C=π2,所以A=90°,即∠BAC是直角.(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,所以cos(30°+α)=ACBC,所以AC=4cos(30°+α).在△ADC中,ACsinα=CDsin∠CAD,即ACsinα=112=2,所以AC=2sinα,所以2cos(30°+α)=sinα,即2(√32cosα-12sinα)=sinα,整理得√3cosα=2sinα,所以tanα=√32,即tan∠ADC=√32.。