人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF 与△ABC 按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC 保持不动，△DEF 运动，且满足点E 在边BC 上运动（不与B ，C 重合），边DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．在△DEF 运动过程中，若△AEM 能构成等腰三角形，则BE 的长为______．

【答案】363【解析】

【分析】

分若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；

【详解】

解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°

∵∠C ＝45°

∴∠AME ＝∠C

又∵∠AME ＞∠C

∴这种情况不成立；

②若AE ＝EM

∵∠B ＝∠AEM ＝45°

∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°

∴∠BAE ＝∠MEC

在△ABE 和△ECM 中，

B BAE CEN

AE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ABE ≌△ECM （AAS ），

∴CE ＝AB 6，

∵AC ＝BC 2AB ＝3

∴BE ＝23﹣6；

③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°

∵∠BAC ＝90°，

∴∠BAE ＝45°

∴AE 平分∠BAC

∵AB ＝AC ，

∴BE ＝12

BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．

2．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则

∠C=12

∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

【详解】

∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，

故①正确；

若∠EBC=∠C ，则∠C=

12

∠ABC ， ∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，

故②错误；

∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，

∴∠ABF=∠EBD ，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，

又∵∠BAD=∠C ，

∴∠AFE=∠AEF ，

∴AF=AE ，

故③正确；

∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，

∴AN ⊥BE ，FN=EN ，

在△ABN 与△GBN 中， ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩

，

∴△ABN ≌△GBN （ASA ），

∴AN=GN ，

又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，

∴△ANE ≌△GNF （SAS ），

∴∠NAE=∠NGF ，

∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，

故④正确；

∵AE=AF ，AE=FG ，

而△AEF 不一定是等边三角形，

∴EF 不一定等于AE ，

∴EF 不一定等于FG ，

故⑤错误．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

3．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．

【答案】10

【解析】

利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.

故答案为10.

4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】

如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，

∠AOB=1

2

∠P'O P''=30°.