文章编号:1000-0887(2005)06-0659-06一类多维非齐次G BBM 方程初边值问题解的长时间行为Ξ房少梅1,2, 郭柏灵3(1.韶关学院数学系,广东韶关512005;2.华南农业大学数学系,广州510642;3.应用物理与计算数学研究所,北京8009信箱,北京100088)(我刊编委郭柏灵来稿)摘要: 研究一类多维非齐次广义Benjamin-Bona-Mahony (G BBM )方程的初值边界问题,利用S obolev 插值不等式,做关于时间的一致性先验估计,证明该问题的整体吸引子的存在性・ 关 键 词: 多维G BBM 方程; 先验估计; 整体吸引子中图分类号: O175.25;O175.29 文献标识码: A引 言BBM 方程是Benjamin ,Bona 和Mahony 在研究非线性色散长波传播的情况时提出的,有着明确的物理背景・ 文献[1,2]提出并研究了一类广义高维BBM 方程———G BBM 方程的整体光滑解的存在性和唯一性・ 本文中,我们将研究如下 u t -Δu t + ・φ(u )=f (u )+γΔu +g (x ),(1) u |t =0=u 0(x ),(2) u |5Ω=0, t ≥0(3)具有初边值问题的多维非齐次G BBM 方程的整体吸引子的存在性,其中 Δ≡525x 21+525x 22+…+525x 2n, ≡55x 1,55x 2,…,55x n , φ(u )=(φ1(u ),φ2(u ),…,φn (u )), ・φ(u )=6ni =15φi (u )x i,γ>0,Ω<R n 是有界区域,5Ω是它的光滑边界・ 我们来建立问题(1)～(3)的光滑解关于t 的一致性先验估计,以此证明整体吸引子的存在性・ 956 应用数学和力学,第26卷第6期(2005年6月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版Ξ收稿日期: 2003-11-21;修订日期: 2005-01-18基金项目: 国家自然科学基金资助项目(10471050);广东省自然科学基金资助项目(031495)作者简介: 房少梅(1964—),女,新疆伊犁人,教授,博士;郭柏灵(联系人.T el :+86-10-62014411-3093;Fax :+86-10-62010108;E -mail :dz90@ ;E -mail :gbl @ )・ 设H m(Ω)为具有如下范数 ‖u‖H m(Ω)=6|α|≤m‖Dαu‖2L21/2定义的S obolev空间,H m0(Ω)表示定义在H m(Ω)中的闭包C∞0(Ω)・ 其中 ‖u‖L∞=ess supx∈Ω|u(x)|,等等(见文献[3])・ 为方便起见,本文用‖・‖表示‖・‖L2,用‖・‖∞表示‖・‖L∞,‖・‖m表示‖・‖Hm・ 1 一致性先验估计引理1 设(ⅰ)φ(u)∈C1,(f(u),u)≤b(u,u),b<0是常数;(ⅱ)u0(x)∈H10(Ω),g(x)∈L2(Ω)・ 则关于问题(1)～(3)的光滑解u(x,t)有如下估计 ‖u‖2+‖ u‖2≤e-δt(‖u0‖2+‖ u0‖2)+ 1|b|δ(1-e-δt)‖g(x)‖2・ (4)因此,我们有 limt→∞‖u‖2+‖ u‖2≤1|b|δ‖g(x)‖2=E0,(5)其中常数E0与t无关,δ=min2γ,-3b・ 证 令式(1)与u做内积,则有 (u t-Δu t+ ・φ(u),u)=(f(u)+γΔu+g(x),u)・ (6)由于 (u t,u)=12dd t‖u‖2,(-Δu t,u)=12dd t‖ u‖2, ( ・φ(u),u)=6n i=15φi(u)5x i,u=6ni=15Φi(u)5x i,1=0,其中 Φi(u)=∫u0φ′i(z)z d z,(f(u),u)≤b‖u‖2, (γΔu,u)=-γ‖ u‖2,|(g(x),u)|≤12|b|‖g(x)‖2+|b|2‖u‖2・ 从式(6)推出 dd t(‖u‖2+‖ u‖2)+2γ‖ u‖2-3b‖u‖2≤1|b|‖g(x)‖,dd t(‖u‖2+‖ u‖2)+δ(‖u‖2+‖ u‖2)≤1|b|‖g(x)‖,(7)其中 =min2γ,-3b・ 应用G ronwall不等式,得到不等式(4)、(5)・ 引理证明完成・ 引理2(S obolev不等式)(ⅰ)若u∈H10(Ω),则 ‖u‖Lq (Ω)≤C(Ω,n,q)‖u‖H1(Ω),其中当n>2时,1≤q≤2n/(n-2);当n=2时,1≤q<∞;066房 少 梅 郭 柏 灵(ⅱ)若k是非负整数,则 ‖D k u‖L∞≤C1(k,Ω)‖u‖H2+k(Ω), u∈H2+k(Ω),n≤3;(ⅲ)设D m u∈L q(Ω),u∈L q(Ω),Ω<R k,1≤q,r<∞,0≤j≤k,j/m≤a<1, 1≤p<∞・ C是常数,且 ‖D j u‖Lp ≤C‖D m u‖a Lr‖u‖1-aLq,其中 1p =jk+a1p-mk+(1-a)1q・ 引理3 在引理1,如果(ⅰ)max|φ′i(u)|≤A|u|2/(n-2)+B;(ⅱ)|f′(u)|≤A|u|8/n+B,n=3,A、B是常数;(ⅲ)u0(x)∈H2∩H10・ 则关于问题(1)～(3)的光滑解u(x,t)有如下估计 ‖Δu‖2≤e-γt/2‖Δu0‖2+4γ2(1-e-γt/2)‖g(x)‖2+C5・ (8)因此,我们有 limt→∞‖Δu‖2≤4γ2‖g(x)‖2+C5=E1,(9)其中常数E1与t无关・ 证 令(1)与-Δu做内积,有 (u t-Δu t+ ・φ(u),-Δu)=(f(u)+γΔu+g(x),-Δu),(10)由于 (u t,-Δu)=12dd t‖ u‖2,(-Δu t,-Δu)=12dd t‖Δu‖2, |( ・φ(u),-Δu)|=6n i=15φi(u)5x i,-Δu=6n i=1φ′i(u)5u5x i,-Δu≤ γ4‖Δu‖2+1γ6n i=1φ′i(u)5u5x i2≤ γ4‖Δu‖2+C6n i=1‖φ′i(u)‖2p5u5x i2p′≤ γ4‖Δu‖2+C1(‖u‖2H2+B)≤γ4‖Δu‖2+C2, |(f(u),-Δu)|≤‖f′(u)‖∞‖ u‖2≤γ4‖Δu‖2+C3, (γΔu,-Δu)=-γ‖Δu‖2,|(g(x),-Δu)|≤γ4‖Δu‖2+1γ‖g(x)‖2,其中 1p +1p′=1,p=n2,p′=nn-2・ 利用不等式‖Δu‖2≥C‖u‖2H2(Ω),u∈H10∩H2(见文献[4]),由(10)推出 12dd t‖Δu‖2+12dd t‖ u‖2+γ4‖Δu‖2≤1γ‖g(x)‖2+C4,(11)对(11)关于t积分,应用G ronwall不等式,得到不等式(8)、(9)成立・ 引理证明完成・ 引理4 在引理3的条件下,关于问题(1)～(3)的光滑解u(x,t)有如下估计 ‖u t‖2+‖ u t‖2≤254‖g(x)‖2+C6=E2,(12)166一类多维非齐次G BBM方程初边值问题解的长时间行为其中常数E2与t无关・ 证 令(1)与u t做内积,则 (u t-Δu t+ ・φ(u),u t)=(f(u)+γΔu+g(x),u t)・ (13)由于 (u t,u t)=‖u t‖2,(-Δu t,u t)=‖ u t‖2, |( ・φ(u),u t)|≤546ni=1φ′i(u)5u5xi2+15‖u t‖2≤ 5n4maxi=1,2,…,n‖φ′i(u)‖2∞‖ u‖2+15‖u t‖2≤15‖u t‖2+C1, |(f(u),u t)|≤‖f(u)‖∞(C2+‖u t‖2)≤15‖u t‖2+C3, |(γΔu,u t)|≤15‖u t‖2+C4‖Δu‖2≤15‖u t‖2+C5, |(g(x),u t)|≤15‖u t‖2+54‖g(x)‖2,由(13)式可得下式 15‖u t‖2+15‖ u t‖2≤54‖g(x)‖2+C6・ (14)由不等式(14)可得(12)式成立・ 引理证明完成・ 引理5 在引理4的条件下,关于问题(1)～(3)的光滑解u(x,t)有如下估计 ‖Δu t‖2≤E3,(15)其中常数E3与t无关・ 证 令(1)与-Δu t做内积,则 (u t-Δu t+ ・φ(u),-Δu t)=(f(u)+γΔu+g(x),-Δu t)・ (16)由于 (u t,-Δu t)=‖ u t‖2,(-Δu t,-Δu t)=‖Δu t‖2, |( ・φ(u),-Δu t)|≤‖ ・φ(u)‖‖Δu t‖≤15‖Δu t‖2+C1, |(f(u),-Δu t)|≤‖f(u)‖‖Δu t‖≤15‖Δu t‖2+C2, |(γΔu,-Δu t)|≤15‖Δu t‖2+C3, |(g(x),-Δu t)|≤‖g(x)‖‖Δu t‖≤15‖Δu t‖2+54‖g(x)‖2,由(16)可得 ‖Δu t‖2≤254‖g(x)‖2+C=E3・ (17)由不等式(17)可得(15)式・ 引理证明完成・ 2 整体光滑解和整体吸引子的存在性我们使用G alerkin方法构造问题(1)～(3)的近似解,选择基ωj<H10∩H2,其中ωj(x)为特征函数: -Δωj=λjωj,ωj|5Ω=0, j=1,2,…显然,若区域Ω是适当光滑的,则存在有一个特殊的基・ 事实上,如果Ω∈C2,则基266房 少 梅 郭 柏 灵ωj (x )∈H 2(Ω)∩H 10(Ω)<H 10(Ω),且在H 10(Ω)中稠密・ 假设问题(1)～(3)的近似解u N (x ,t )能写成 u N (x ,t )=6Nj =1αjN(t )ωj (x )・ 根据G alerkin 方法,这些系数αjN (t )(N =1,2,…)(t ∈R +)要满足如下具有初值条件的常微分方程组 (u t -Δu t + ・φ(u )-f (u )-γΔu -g (x ),ωs )=0, s =1,2,…,N , u N |t =0=u 0N (x ),其中 u 0N (x )→H2u 0(x )・ 因此,根据上一节的引理和先验估计,我们能得到下面的定理:定理1[1] 设:(ⅰ)φ(u )∈C 2,|φ′(u )|≤A |u |2/(n -2)+B ;(ⅱ)f (u )∈C 1,(u ,f (u ))≤b (u ,u ),|f ′(u )|≤A |u |8/n +B ;(ⅲ)u 0(x )∈H 2(Ω)∩H 10(Ω),x =(x 1,x 2,…,x n ),n ≤3;其中A ,B 和b <0是常数且不依赖于u ・ 则问题(1)～(3)存在有整体广义解 u (x ,t )∈L ∞(0,T ;H 2∩H 10),u t (x ,t )∈L ∞(0,T ;H 2∩H 10)・ 为证明问题(1)～(3)整体吸引子的存在性,我们需要Babin-Vishik 的结果[5]・ 定理2 设E 是一个Banach 空间,S t ,t ≥0是半群算子,即S t :E →E 满足 S t S τ=S t +τ,S 0=I ,其中I 是恒等算子・ 我们又假设(ⅰ)S t 是有界算子,即对任意R >0,存在常数C (R ),使得‖u ‖E ≤R ,且 ‖S t u ‖E ≤C (R ), t ∈[0,∞);(ⅱ)存在有界吸引集B 0<E ,即对任何有界集B <E ,存在常数T ,使得 S t B <B 0, t ≥T ;(ⅲ)当t >0,S t 是一个完全连续算子,则半群算子S t 具有紧的整体吸引子・ 定理3 假设问题(1)～(3)具有整体光滑解,并具有定理1的条件,则初边值问题(1)～(3)存在整体吸引子A ,即存在集合A ,使得(ⅰ)S t A =A ,t ∈R +;(ⅱ)lim t →∞dist (S t B ,A )=0,对任意有界集合B <H 2(Ω),有 dist (S t B ,A )=sup x ∈B inf y ∈A‖x -y ‖E ,且S t 为问题(1)～(3)生成的半群算子・ 证明 我们证明本定理满足定理2的条件・ 由上面定理的假设,我们知道存在由问题(1)～(3)生成的半群算子・ 因此,设Banach 空间E =H 2(Ω),且S t :H 2(Ω)→H 2(Ω)・ 由引理1～5的结果,且设B <H 2(Ω)含于球‖u ‖H 2≤R ,则有 ‖S t u 0‖2E =‖u (・,t )‖2H 2≤‖u 0(x )‖2H 2+C 1‖g (x )‖2+C 2≤ R 2+C 3 (t ≥0,u 0∈B ),其中C 1、C 2、C 3为绝对常数・ 这意味着S t 在H 2中一致有界・ 其次,从上述引理的结果可推366一类多维非齐次G BBM 方程初边值问题解的长时间行为466房 少 梅 郭 柏 灵出 ‖S t u0‖2E=‖u(・,t)‖2H2≤2(E0+E1+E2+E3)・ Πt≥t0=T0(R,‖u0‖H2,‖g(x)‖H1),因此 A=u(・,t)∈H2(Ω),‖u(・,t)‖H2(Ω)≤2(E0+E1+E2+E3)为半群算子S t的有界吸收集,由此可得在H2中存在弱紧的整体吸引子・ 附注 如文献[3]中定理4所指出的,定理3所得到的整体吸引子A为吸收集 A的ω-极限集,即 A=ω( A)=∩τ≥0∪t≥τS t A・ [参 考 文 献][1] GUO Bo-ling.Initial boundary value problem for one class of system of multidimensional inhomoge2neous GBBM equations[J].Chi nese An n Math,Ser B,1987,8(2):226—238.[2] GUO Bo-ling.The global solutions of some problems for a system of equations of Schrodinger-K leinGordon field[J].Scientia Si nica,Ser A,1982,25(3):898—901.[3] Temam R.Infi nite Di mensional Dyna mical Systems i n Mecha nics a nd 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problem was proved by means of a uniform a priori estimate for time.Key wor ds:multidimensional GBBM equation;a apriori estimate;global attractor。
