2017届高考数学复习任意角和蝗制及任意角的三角函数课后作业

考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当,可以得到,反过来若，则或，所以为充分不必要条件，故选A.2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】∵为的中点，∴.又∵三点共线，∴，得.∴扇形的面积为.故选A.3．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正方形的边长为，则扇形的半径为，，在直角三角形中，，所以，所以，，又由，所以，，所以，扇形的面积为该点落在扇形内部的概率为所以,答案选A．4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中，）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.5．已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，6．已知点()3,a 和()2,4a 分别在角β和角45β-︒的终边上，则实数a 的值是（ ） A ．-1 B ．6 C ．6或-1D ．6或1【答案】B 【解析】由题得01tan 143tan ,tan(45)31tan 213a a a aββββ--=-===++，所以2560,6a a a --=∴=或-1.当a=-1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，所以舍去. 故选:B.7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2α=( )A ．23-B ．23C ．13-D ．13【答案】D 【解析】∵M 为角α终边上一点，∴cos α===，∴221cos 22cos 1213αα=-=⨯-=． 故选D ．8．设函数54,(0)()2,(0)x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过(4,3)P -，则[(sin )]f f α的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】因为角α的终边经过()4,3P -，所以3sin 5y r α-==，所以33(sin )()5()4155f f α=-=⨯-+=，则1[(sin )](1)22f f f α===，故选C ．9．若复数cos isin z θθ=+,当4π3θ=时,则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由题，当4π3θ=时,1sin 22θθ=-=-所以复数12z =-在复平面所对应的点为1(,2-在第三象限 故选C ．10．已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）AB． CD． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π）， 联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα5=． 故选：A ．11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由三角函数定义得tan ，即,得3cos解得或（舍去） 故选：A ．12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，∴．则.故选：D．13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（）A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】由已知得，，，因为，所以，所以，，所以，当且仅当，时，取等号.14．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，可得，则．故选：B．15．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。

高考数学复习 课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B．－53πC ．－76π D．－74π解析：－300×π180＝－53π.2．tan 8π3的值为( D )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1，故选C.4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( C )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π6. 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( D )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.6．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.7．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，即点P (cos α，tan α)在第二象限，故选项C 正确．8．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( C )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为518.解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518. 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝13.解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13. 解法3：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝s in(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( D )A.5π6B.2π3 C.5π3 D.11π6解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.14．(2019·武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin2α＝32. 解析：由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1， 故m 2＝14.由任意角三角函数定义知cos α＝m ，sin α＝3m ， 由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝32. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( B )A.15B.55C.255D ．1 解析：解法1：由正切定义tan α＝yx， 则tan α＝a 1＝b2，即a ＝tan α，b ＝2tan α.又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23，得tan 2α＝15，tan α＝±55.∴|b－a|＝|2tanα－tanα|＝|tanα|＝55. 解法2：由两点斜率公式，得：tanα＝b－a2－1＝b－a.又cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝23，解得tan2α＝15，∴|b－a|＝|tanα|＝55.。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。

任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四 解析：因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限． 答案：C3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案 C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析 由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3.答案 D5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A.45-B.35-C.35D.45解析 设(,2)P a a 是角θ终边上任意一点,则由三角函数定义知:cos θ=,所以223cos 22cos 12(15θθ=-=⨯-=-,故选B. 答案 B6．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案 二10.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .解析 由扇形面积公式得：12lR =6π.答案 4；6π11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形． 答案 钝角三角形 12．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 解析由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z)三、解答题13． (1)确定tan －3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.14．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解析：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 15．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 16．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·c os β＋tan α·tan β的值．解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a2＋a2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第299页[A 组 根底保分练]1．假设角α与β的终边关于x 轴对称，那么有〔 〕 A ．α＋β＝90° B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈Z C ．α＋β＝2k ·180°，k ∈Z D ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z ．所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z ． 答案：C2．扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，那么扇形的圆心角α的弧度数是〔 〕 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4解析：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，那么l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r＝1，l ＝4，故α＝lr＝1或4．答案：C3．角α的终边经过点〔－4，3〕，那么cos α＝〔 〕A ．45B ．35C ．－35D ．－45解析：根据题，cos α＝－4〔－4〕2＋32＝－45．答案：D4．〔2021·芜湖一中月考〕设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，那么α2的终边所在的象限是〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵α是第三象限角，∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2〔k ∈Z 〕，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4〔k ∈Z 〕，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴2k π＋π2＜α2＜2k π＋3π4〔k ∈Z 〕，∴α2是第二象限角．答案：B5．角α终边上一点P 的坐标是〔2sin 2，－2cos 2〕，那么sin α等于〔 〕 A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2 D ．－cos 2解析：因为r ＝〔2sin 2〕2＋〔－2cos 2〕2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2．答案：D6．假设一个扇形的面积是2π，半径是23，那么这个扇形的圆心角为〔 〕A ．π6B ．π4C ．π2D ．π3解析：设扇形的半径为r ，圆心角为θ，那么扇形的面积S ＝12lr ，其中弧长l ＝θr ，那么S ＝12θr 2，所以θ＝2S r 2＝4π〔23〕2＝π3．答案：D7．以下结论中错误的选项是〔 〕A ．假设0＜α＜π2，那么sin α＜tan αB ．假设α是第二象限角，那么α2为第一象限或第三象限角C ．假设角α的终边过点P 〔3k ，4k 〕〔k ≠0〕，那么sin α＝45D ．假设扇形的周长为6，半径为2，那么其圆心角的大小为1弧度解析：选项A ，假设0＜α＜π2，那么sin α＜tan α＝sin αcos α，A 项正确；选项B ，假设α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，那么α2∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 项正确；选项C ，假设角α的终边过点P 〔3k ，4k 〕〔k ≠0〕，那么sin α＝4k9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 项错误；选项D ，假设扇形的周长为6，半径为2，那么弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 项正确．答案：C8．角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M 〔－3，4〕，那么cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为〔 〕A ．－12175B ．12175C ．－7975D ．7975解析：设O 为坐标原点，那么由得|OM |＝5，因而cos θ＝－35，sin θ＝45，tan θ＝－43，那么cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝925－1625－43＝－12175．答案：A9．〔2021·淮海阶段测试〕在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，那么点P 的坐标为_________．解析：设点P 的坐标为〔x ，y 〕，由三角函数定义得⎩⎨⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，∴点P 的坐标为〔－1，3〕．答案：〔－1，3〕 10．假设α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，那么θ＝_________． 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，令k ＝－1或k ＝0可得θ＝－240°或θ＝120°． 答案：120°或－240°[B 组 能力提升练]1．〔2021·青岛模拟〕角α〔0°≤α＜360°〕终边上一点的坐标为〔sin 215°，cos 215°〕，那么α＝〔 〕 A ．215° B ．225° C ．235° D ．245°。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。

高考数学一轮复习学案：4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数（含答案）4.1任意角任意角..弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数正弦.余弦.正切的定义.以理解任意角三角函数的概念.能进行弧度与角度的互化和扇形弧长.面积的计算为主，常与向量.三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主，低档难度.1角的概念1任意角定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类角按旋转方向分为正角.负角和零角2所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ3象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制1定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2角度制和弧度制的互化180rad,1180rad，1rad180.3扇形的弧长公式l||r，扇形的面积公式S12lr12||r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点Px，y 时，则siny，cosx，tanyxx0三个三角函数的性质如下表三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinRcosRtan|k2，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A1,0作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线知识拓展1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号一全正.二正弦.三正切.四余弦2任意角的三角函数的定义推广设Px，y是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinyr，cosxr，tanyxx0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角2角的三角函数值与其终边上点P的位置无关3不相等的角终边一定不相同4若为第一象限角，则sincos1.题组二教材改编2P10A组T7角225________弧度，这个角在第________象限答案54二3P15T2设角的终边经过点P4，3，那么2cossin________.答案115解析由已知并结合三角函数的定义，得sin35，cos45，所以2cossin24535115.4P10A组T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度答案3题组三易错自纠5xx秦皇岛模拟下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是A2k45kZBk36094kZCk360315kZDk54kZ答案C解析与94的终边相同的角可以写成2k94kZ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确6集合k4k2，kZ中的角所表示的范围阴影部分是答案C解析当k2nnZ时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围一样；当k2n1nZ时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围一样，故选C.7已知角12，cosx12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2k3，2k56kZ思维升华1利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标2利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围跟踪训练1xx济南模拟已知点Ptan，cos在第三象限，则角的终边在A第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限答案B解析tan0，cos0，在第二象限2xx石家庄模拟若342，从单位圆中的三角函数线观察sin，cos，tan的大小是AsintancosBcossintanCsincostanDtansincos答案C解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sincostan.数形结合思想在三角函数中的应用典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C2,1时，OP的坐标为________2xx合肥调研函数ylg34sin2x的定义域为________思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集解析1如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA2，即圆心角PCA2，则PCB22，所以PBsin22cos2，CBcos22sin2，设点PxP，yP，所以xP2CB2sin2，yP1PB1cos2，所以OP2sin2,1cos22因为34sin2x0，所以sin2x34，所以32sinx32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围如图阴影部分所示，所以xk3，k3kZ答案12sin2,1cos22k3，k3kZ。

第三章三角函数、解三角形第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数1. 任意角(1) 角的概念的推广①按旋转方向不同分为 ________ 、 ________ 、________ .②按终边位置不同分为 ________ 和 ________ .(2) 终边相同的角终边与角a相同的角可写成_2. 弧度与角度的互化(1) 1弧度的角长度等于 ________ 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.⑵角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是I a |=.(3) 角度与弧度的换算①1° = _______ rad;② 1rad = .(4) 扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l ,圆心角大小为a (rad),半径为r,则l=r a ,扇形的面积为S=3. 任意角的三角函数(1) 定义：设角a的终边与单位圆交于____________ P(x, y),则sin a= ,COS a= ___________________________ ,tan a =1. ( 教材改编) 下列与系式中正确的是( ) .的终边相同的角的关2. (教材改编)若sin a<0且tan a>0,则a是().A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知角 a 的终边上一点A(2,2), 则 a 的大小为( ).4. (教材改编)已知角a 的终边经过点P(-X,-6), 且,则X的值为 ________ .5. _____________________________________________ 弧长为3 n ,圆心角为135°的扇形半径为,面积为______________________________________________ .♦一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.♦两个技巧(1) 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r - -定是正值.(2) 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧•♦三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角•(2) 角度制与弧度制可利用180°=n rad进行互化,在同一个式子中致,不可混用,不可写a=2k n +60°, k € Z.(3) 注意熟记0° ~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.♦四个公式(1) 与a终边相同的角度公式(2) 角的弧度数(弧长公式)(3) 扇形面积公式(4) 三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1 (1)如果a是第三象限的角,那么-a ,2 a的终边落在何处？(2)写出终边在直线【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角【课堂记录】,采用的度量制度必须一上的角的集合【方法总结】⑴利用终边相同的角的集合S=｛卩| B=k n +a, k€ Z｝判断一个角卩所在的象限时,只需把这个角写成[0,2 n )范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角•1.若角e的终边与角的终边相同，求在[0,2 n )内终边与角的终边相同的角考向二三角函数的定义例 2 已知角0 的终边经过点P( -, m)( m工0) 且sin 0= ,试判断角0所在的象限，并求cos 0和tan 0 的值.【审题视点】根据三角函数定义求m，再求cos0 和tan 0.方法总结】1. 三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角 a 终边上任意一点,且|PO|=r ,则2. 定义法求三角函数值的两种情况⑴已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解•(2) 已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题•若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值•2.角 a 终边上一点F(4n)-3n)( 0),贝U 2sin a+cos a 的值为___________ .考向三弧度制的应用例3 已知半径为10的圆0中，弦AB的长为10.(1) 求弦AB所对的圆心角a的大小；(2) 求a所在的扇形弧长I及弧所在的弓形的面积S.【审题视点】△ AOB是等边三角形，/ AOB60°, S弓=S扇-S△ AOB【方法总结】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r| a|,扇形面积公式：S=lr=r 2| a|,求弧长和扇形的面积•⑵应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示•利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.3. 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大考向四三角函数线及应用例4在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围.并由此写出角a的集合：【审题视点】作出满足的角的终边，然后根据已知条件确定角a终边的范围【方法总结】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是(1) 用边界值写出角的终边位置；(2) 根据不等式(组)定出角的范围；(3) 求交集,找单位圆中公共的部分；(4) 写出角的关系式.4. 求函数y=lg(3 -4sin x)的定义域.1. （2014 •全国大纲）已知角a的终边经过点（-4,3）,则COS a等于（）.2.（2014 •全国新课标I ）若tan a>0,则（）.A. sin a>0B. cos a>0C. sin2 a >0D. cos2 a >0参考答案与解析1. (1)①正角负角零角②象限角轴线角(2) a +k • 360°( k€ Z)或 a +k • 2n ( k € Z)2. (1) 半径MP OM AT3. (1) y x (2)1. C2. C3. C4.5.4 6 n所以角-a的终边在第二象限所以角2a的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴上的角是⑵在（0, n）内终边在直线所以终边在直线上的角的集合为【例4】⑴作直线交单位圆于A B两点,连接OA 0B则OA与0B围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a 的集合为⑵作直线交单位圆于C D 两点琏接oc OD 则OC 与OD 围成的区域（图⑵中阴影部分）即为角a 终边的范围，故满足条件的角 a 的集合为变式训练224. (1) 因为3- 4sin 2x>0, 所以sin 2x<以利用三角函数线画出X满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,(k € Z).经典考题真题体验（第4题）所以1. D 解析:根据题意,2. C 解析: 因为, 所以选C.。

配餐作业(十九) 任意角和弧度制及任意角的三角函数(时间：40分钟)一、选择题1．tan 8π3的值为( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3解析 tan 8π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－3。

故选D 。

答案 D2．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样。

当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样。

故选C 。

答案 C3．已知sin α＝45，cos α＝35，则角2α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由sin α＝45，cos α＝35，知2k π＋π4<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π＋π2<2α<4k π＋π，k ∈Z ，∴角2α的终边所在的象限是第二象限。

故选B 。

答案 B 4．已知tan α＝33，且α∈[0,3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵tan α＝33，且α∈[0,3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3。

故选B 。

答案 B5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析 由点P (－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m－8m 2＋9＝－45，所以m ＝12。

故选C 。

答案 C6．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3D. 2解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R 。

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．(3)因为4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，所以2α是第一或第二象限角或y 轴非负半轴上的角．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3， 故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z .[B 级 综合练]11．(多选)已知角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是( )A ．1B ．25C ．－25D ．－1解析：选BC.因为角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，所以r ＝（－4m ）2＋（3m ）2＝5|m |，所以sin α＝y r ＝3m 5|m |，cos α＝x r ＝－4m5|m |. ①当m >0时，sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，2sin α＋cos α＝2×35－45＝25； ②当m <0时，sin α＝3m －5m ＝－35，cos α＝－4m －5m＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.综上知，2sin α＋cos α的值可能是25或－25.故答案为BC.12．(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋213．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.14．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[C 级 创新练]15．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝( )A ．－1B ．－79C ．429D ．79解析：选B.因为角α与角β均以Ox 为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79，所以cos(α－β)＝－79，故选B.16．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， 所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ， 所以S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 2第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．。

高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形必修4必修5第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数习题理含解析第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数【选题明细表】知识点、方法题号象限角与终边相同的角、1,2,5弧度制、扇形弧长及面积三角函数的定义3,4,6,7,8,13综合应用9,10,11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.给出下列四个命题:①-75°是第四象限角,②225°是第三象限角,③475°是第二象限角,④-315°是第一象限角,其中正确的命题有( D )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:由象限角易知①,②正确;因475°=360°+115°,所以③正确;因-315°=-360°+45°,所以④正确.2.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:设扇形所在圆的半径为R,则2=×4×R2,所以R2=1,所以R=1,扇形的弧长为4×1=4,扇形的周长为2+4=6.3.若角α终边上一点的坐标为(1,-1),则cos α等于( C )(A)1 (B)-1 (C)(D)-解析:由题意知,x=1,y=-1,r==,所以cos α===.4.sin 2·cos 3·tan 4的值( A )(A)小于0 (B)大于0(C)等于0 (D)不存在解析:因为<2<3<π<4<,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2·cos 3·tan 4<0,所以选A.5.(2018·太原一中周测)集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( C )解析:当k=2n时,2nπ+≤α≤2nπ+;当k=2n+1时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+.6.(2018·舟山中学月考)已知α的终边过点P(-a,-3a),a≠0,则sin α等于( D )(A)或(B)(C)或-(D)或-解析:当a>0时,r==a,利用三角函数的定义可得sin α=-;当a<0时,r==-a,利用三角函数的定义可得sin α=.7.(2018·衡水周测)若<θ<,则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是.解析:如图所示,在单位圆中,MP=sin θ,OM=cos θ,AT=tan θ,显然有tan θ>sin θ>cos θ.答案:tan θ>sin θ>cos θ8.若420°角的终边所在直线上有一点(-4,a),则a的值为.解析:由三角函数的定义有tan 420°=.又tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°=,故=,得a=-4.答案:-4能力提升(时间:15分钟)9.(2017·云南昆明二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,是“算经十书”中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弦)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弦长AB等于6米,其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:如图,由题意可得AB=6,弧田面积S=(弦×矢+矢2)=×(6×矢+矢2)=平方米.解得矢=1,或矢=-7(舍去).设半径为r,圆心到弧田弦的距离为d,则解得d=4,r=5.所以cos∠AOD==,所以cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=-1=.故选D.10.(2018·郑州一中月考)已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则角的终边落在( D )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限(C)第一、三象限或x轴上 (D)第二、四象限或x轴上解析:因为|cos θ|=cos θ,所以cos θ≥0.因为|tan θ|=-tan θ,所以tan θ≤0.所以2kπ+<θ≤2kπ+2π,k∈Z.所以kπ+<≤kπ+π,k∈Z.故选D.11.(2018·蚌埠周测)函数y=++的值域是( D )(A){1} (B){1,3}(C){-1} (D){-1,3}解析:由题意知角x的终边不在坐标轴上.当x为第一象限角时,y=++=1+1+1=3,当x为第二象限角时,y=++=1-1-1=-1,当x为第三象限角时,y=++=-1-1+1=-1,当x为第四象限角时,y=++=-1+1-1=-1.所以y=-1或y=3.12.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧,在上,tan α>sin α,不满足;在上,tan α>sin α,不满足;在上,sin α>0,cos α<0,tan α<0,且cos α>tan α,满足;在上,tan α>0,sin α<0,cos α<0,不满足.故选C.13.(2018·秦皇岛月考)若角α的终边经过点P(-3,b),且cos α=-,则b= ,sin α= .解析:因为P(-3,b),所以|OP|=,由cos α==-,得|OP|=5,即=5,所以b2=16,所以b=±4.若b=4时,sin α=;若b=-4时,sin α=-.答案:±4 ±14.函数y=的定义域为.解析:因为--cos x≥0,所以cos x≤-,作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,如图,阴影部分为角x终边的范围,故满足条件的x的集合为{x|π+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}.答案:{x|π+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}。

课时作业(二十一) 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．已知角α的终边过点P(－1，2)，则sin α＝( ) A ．55 B ．255C ．－55D ．－255B [因为|OP |＝（－1）2＋22 ＝ 5 (O 为坐标原点)，所以sin α＝25＝255 .]2．(多选)给出下列四个命题正确的是( ) A ．－3π4 是第二象限角B ．4π3 是第三象限角C ．－400°是第四象限角D ．－315°是第一象限角BCD [A 中－3π4 是第三象限角，故A 错．B 中4π3 ＝π＋π3 ，则4π3是第三象限角故B 正确．C 中－400°＝－360°－40°，则－400°为第四象限角，故C 正确．D 中－315°＝－360°＋45°，则－315°为第一象限角，故D 正确．] 3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41 ＝4或α＝l r ＝22 ＝1.]4．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3 >0 D ．sin 10<0D [300°＝360°－60°，则300°是第四角限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos (－305°)>0；－22π3 ＝－8π＋2π3 ，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3 <0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D.] 5．角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35 ，则tan θ＝( )A ．－43B ．43C ．－34D ．34C [因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－35 <0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝1－sin 2θ ＝45 ，所以tan θ＝sin θcos θ ＝－34，故选C.]6．已知一扇形的弧长为2π9 ，面积为2π9 ，则其半径r ＝________．圆心角θ＝________．解析： 因为扇形的弧长为2π9 ，所以面积2π9 ＝12 ×2π9 ×r ，解得r ＝2.由扇形的弧长为2π9 ＝r θ＝2θ，解得θ＝π9.答案： 2；π97．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A 在第二象限，则cos α＝____；tan α＝________． 解析： 因为点A 的纵坐标为y A ＝45 ，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以点A的横坐标x A ＝－35 ，由三角函数的定义可得cos α＝－35 ，则tan α＝54－35＝－43.答案： －35 ；－438.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．解析： 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π ， 所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2kπ＋π4<α<2kπ＋5π6（k ∈Z ）. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2kπ＋π4<α<2kπ＋5π6（k ∈Z ） 9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A ，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β集合． 解析： (1)设点B 的纵坐标为m ，则由题意知m 2＋⎝⎛⎭⎫－45 2＝1，且m >0，所以m ＝35，故B ⎝⎛⎭⎫－45，35 ， 根据三角函数的定义得tan α＝35－45＝－34 .(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3 ，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝π3＋2kπ，k ∈Z . 10．已知1|sin α| ＝－1sin α ，且lg (cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解析： (1)由1|sin α| ＝－1sin α，得sin α<0， 由lg (cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫35 2＋m 2＝1，解得m ＝±45 . 又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM| ＝－451 ＝－45.11．(多选)(2021·山东模拟)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O 处，以x 轴的正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A ．sin αtan αB ．cos α－sin αC ．sin α cos αD ．sin α＋cos αAB [由题意知，sin α<0，cos α>0，则tan α<0.故sin αtan α >0，cos α－sin α>0，sin αcos α<0，sin α＋cos α的符号不确定，因而值恒大于0是A ，B 项中的式子，故选AB 项．]12．(2020·河北衡水中学四调)设a ∈R ，b ∈[0，2π]，若对于任意实数x 都有sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝sin (ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [由题中sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝sin (ax ＋b )对任意实数x 恒成立，得a ＝3或a ＝－3，当a ＝3时，即sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝sin (3x ＋b )，则b ＝－π3 ＋2k π，k ∈Z .又b ∈[0，2π]，∴b ＝5π3 ，此时(a ，b )为⎝⎛⎭⎫3，5π3 .当a ＝－3时，即sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝sin (－3x ＋b )＝－sin (3x －b )，则b ＝π3 ＋(2k ＋1)π，k ∈Z .又b ∈[0，2π]，∴b ＝4π3，此时(a ，b )为⎝⎛⎭⎫－3，4π3 .综上，满足题意的(a ，b )有2对． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α＝13，则cos (α－β)＝( )A ．－1B ．－79C ．429D ．79B [因为角α和角β均以x 轴的非负半轴为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos (α－β)＝cos (α－π＋α－2k π)＝cos (π－2α)＝－cos 2α，k ∈Z ，又sin α＝13 ，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79 ，则cos(α－β)＝－79，故选B.]14．若角θ的终边对点P (－4a ，3a )(a ≠0) (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号．解析： (1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0) 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，则sin θ＋cos θ＝15 ；当a <0时，r ＝－5a ，则sin θ＋cos θ＝15.(2)当a >0时，sin θ＝35 ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，cos θ＝－45 ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos 53 ·sin 45<0；当a <0时，sin θ＝－35 ∈⎝⎛⎭⎫－π2 ，0 ，cos θ＝45 ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35 ·sin 45>0. 综上，当a >0时，cos (sin ) θ·sin (cos θ)的符号为负；当a <0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．15.《九章算术》是我国古代数学的代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12 (弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3 ，半径长为4的弧田，如图，按照上述公式计算出弧田的面积为( )A ．4 3 ＋2B ．4 3C ．6D ．6 3 ＋2A [由题意可得∠AOB ＝2π3 ，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3 ，∠DAO ＝π6 ，OD ＝12OA ＝12 ×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3 ＝4×32 ＝23 ，可得弦＝2AD ＝4 3 .所以弧田面积＝12 (弦×矢＋矢2)＝12×(4 3 ×2＋22)＝4 3 ＋2.]16．(开放型)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，方案________最优．解析： 因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长为2×π6 ＝π3 ；方案二中扇形的弧长为1×2π3 ＝2π3 ；方案一中扇形的面积为12 ×2×2×π6 ＝π3 ，方案二中扇形的面积为12 ×1×1×2π3 ＝π3 .由此可见：两种方案中利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优． 答案： 方案一。

课时作业(十七)第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数时间/ 30分钟分值/ 80分基础热身1.若765°角的终边上有一点(4,m),则m的值是()A.1B.±4C.4D.-42.若sin θ<0且cos θ>0,则θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.[2018·昆明质检]若角α的终边经过点(1,-则sin α= ()A.-B.-C.D.4.某扇形的圆心角为2弧度,周长为4,则该扇形的面积为()A.1B.2C.3D.π5.已知角α的终边在图K17-1中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为.图K17-1能力提升6.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x等于()A.B.±C.-D.-7.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.若α为第一象限角,则sin 2α,cos 2α,sin,cos中一定为正值的有()A.0个B.1个C.2个D.3个9.已知P-为角β的终边上的一点,且sin β=,则a的值为()A.1B.3C.D.10.角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上的一点,且|OP|=(O为坐标原点),则m-n=()A.2B.-2C.4D.-411.设a=sin 1,b=cos 1,c=tan 1,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a12.若△ABC的内角A,B满足sin A cos B<0,则△ABC的形状是.13.已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则2sin α+cos α的值为.14.[2018·苏州调研]现用一块半径为10 cm,面积为80π cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为cm3.难点突破15.(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,若a=f,b=f-,c=f,则()A.b<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a16.(5分)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,m,且sin α·cos β<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七)1.C[解析] 由76 °=7 °+ ° 得76 °角的终边和 °角的终边相同,故横坐标和纵坐标相等,所以m=4.2.D[解析] sin θ<0,即θ的终边位于x轴下方,又cos θ>0,即θ的终边位于y轴右侧,综上可知,θ是第四象限角,故选D.3.B[解析] ∵α的终边经过点(1,-),∴x=1,y=-,r=2,∴sin α==-,故选B.4.A[解析] 设该扇形的半径为r,根据题意,扇形的圆心角为2弧度,周长为4,则有4=2r+2r,所以r=1,则扇形的面积S=αr2=×2×12=1,故选A.5.{α|k· 6 °+ °<α<k· 6 °+ ° k∈Z}[解析] 在 °~ 6 °范围内 °<α< ° 所以角α用集合可表示为{α|k· 6 °+ °<α<k· 6 °+ ° k∈Z}.6.D[解析] 由三角函数的定义得cos α==,解得x=±.又点P(x,)在第二象限内,所以x=-.故选D.7.A[解析] ∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,∴-∴-2<a≤3.故选A.8.B[解析] 由于α为第一象限角,所以2α为第一或第二象限角,所以sin 2α>0,cos 2α的符号不确定;为第一或第三象限角,所以sin,cos的符号均不确定.故选B.9.A[解析] 由三角函数的定义得sin β==,解得a=1,故选A.10.A[解析] 因为角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,所以角α的终边在第三象限.又P(m,n)是角α终边上的一点,故m<0,n<0,又|OP|=所以所以--故m-n=2.故选A.11.C[解析] 如图所示,由于<1<,结合三角函数线的定义有cos 1=OC,sin 1=CB,tan 1=DA,结合几何关系可得cos 1<sin 1<tan 1,即b<a<c.故选C.12.钝角三角形[解析] ∵A,B均为三角形的内角,∴sin A>0,又∵sin A cos B<0,∴cos B<0,∴B为钝角,∴△ABC为钝角三角形.13.-2[解析] ∵角α的终边过点P(4a,3a)(a<0),∴x=4a,y=3a,r==-5a,∴sin α=-=-,cos α=-=-,∴2sinα+cos α=2×--=-2.14.128π[解析] 设扇形铁皮的半径和弧长分别为R,l,圆锥形容器的高和底面半径分别为h,r,则由题意得R=10.由Rl=80π,得l=16π.由l=2πr,得r=8.由R2=r2+h2,可得h=6,∴V=πr2h=π×64×6=128π,∴该容器的容积为128π cm3.15.C[解析] 由题设知a=f,b=f-=f,c=f.因为对任意锐角都有sin x<x<tan x(借助单位圆中的三角函数线可证),所以sin<<tan,而函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f<f<f,即a<b<c,故选C.16.±[解析] 由角β的终边与单位圆交于点,m,得cos β=,又由sin α·cos β<0知sin α<0.因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,又由y=x 得x=-,y=-,所以cos α=x=-.因为点,m在单位圆上,所以+m2=1,得m=±,所以sin β=±,所以cos α·sin β=±.。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( )A ．MP <OM <ATB ．OM <AT <MPC ．AT <OM <MPD ．OM <MP <AT解析：如图所示，MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，由于π4<θ<π2，所以OM <MP ，又由图可以看出MP <AT ，故可得OM <MP <AT ，故选D.答案：D2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cos α<0的角α的终边在第三象限，故选C.答案：C3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 答案：C4．若x ∈(0,2π)，则sin x >12的必要不充分条件是( )A.π6<x <5π6B.π6<x <π C.π6<x <π2D.π3<x <5π6解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x >12，x ∈(0,2π)得知π6<x <5π6，可以推得π6<x <π；反过来，由π6<x <π不能得知sin x >12，如取π6<x ＝5π6<π，此时sin x ＝12.因此，sin x >12的必要不充分条件是π6<x <π，故选B.答案：B5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：A6．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，那么tan θ的值是________． 解析：由定义知tan θ＝12－32＝－33. 答案：－337．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝________.解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sin 2π3>0，cos 2π3<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝cos2π3sin2π3＝－33(0≤α<2π)可得α＝11π6. 答案：11π68．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝12. 答案：129．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2.B 组 高考题型专练1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2.则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 答案：B2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ →，则点OQ →的坐标是( )A ．(8，－6)B ．(－8，－6)C ．(－6,8)D ．(－6，－8)解析：|OP |＝10，且设∠xOP ＝θ， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45.设OQ →＝(x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2＝10sin θ＝8，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2＝－10cos θ＝－6. 答案：A3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：cos α＝－4－2＋32＝－45.答案：D4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A．sin 2α>0 B．cos α>0 C．sin α>0 D．cos 2α>0解析：tan α>0，知sin α，cos α同号，∴sin 2α＝2sin αcos α>0.答案：A。