第二章线性系统理论

y1 c11x1 L c1n xn d11u1 L d1pup
M
yq cq1x1 L
cqn xn dq1u1 L
d
qpu
p
(2-7)
其向量－矩阵形式为
y Cx Du
(2-8)
式中
y1
y
y2
M
c11 c12 L C c21 c22 L
M M
c11
c2
n
二 状态向量
把描述系统状态的n个状态变量 x1 t，L ，xn t 看作向量X(t) 的分量，则X(t)称为状态向量，记以xt [x1 t，L ,，xn t]T上
标T为矩阵转置记号。
若状态向量由n个分量组成，则称n维状态向量。一旦给
定 t t0 时的初始状态向量 x t0 及 t t0 的输入向量 ut ，则 t t0 的状态由状态向量 xt 唯一确定。
复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需 要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
本章主要内容
§ 2.1 状态空间描述的基本概念 § 2.2 线性定常连续系统动态方程的建立 § 2.3 线性定常连续系统状态方程的解 § 2.4 动态方程与传递函数矩阵 § 2.5 线性离散系统的动态方程及其解
(2-3)
方程(2-3)的向量－矩阵形式为
x&t Axt bu
(2-4)
式中u为p维列向量，B为 n p 输入矩阵，或称控制系数矩阵，
有
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2
M M L M
an1 an2 L
ann
b11 b12 L b1p
B b21 b22 L
b2
y2 x2
y3
1 m
f
x2
v
kx1
F
其向量-矩阵形式为
x& Ax Bu，y Cx Du
式中
x
x1 x2
u
F
v
0 0
A
k
f
m m
0 0
B
1
f
m m
y1
y
y2
y3
1 0
C
0
1
k m
f m
0 0
D
0
0
1 f
m m
例2-2 设空间飞行器如图 2-3所示。利用本体坐标系 和飞行器本地垂线参考坐 标系，试求空间飞行器的 动态方程。
§2.1 状态空间描述的基本概念
一 状态变量
状态变量指描述系统运动 的一组独立（数目最少的）变 量。当系统能用最少的n个变
量 x1 t, x2 t,L , xn t 完全
确定系统状态时，则称这个变 量为系统的状态变量。
状态变量选取的特点： ➢状态变量的选取具有非唯一性：即可用某一组，
也可用另一组数目最少的变量。 ➢状态变量个数的选取具有唯一性：
13
0 1
I1
n
h1
1
0 h3 0
0 1
I3
u1 u2
0
1
g
h3
其中
1
I2 I3 I1
2
I3 I1 I2
3
I1 I2 I3
状态变量图
将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个 一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积 分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成 封闭的图形，便是状态变量图。
yn an1 yn1 an2 y(n2) L a1 y& a0 y
u(n1) n1
u(n2) n2
L
1u& 0u
(2-11)
式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为
N s G s
D s
y(s) u(s)
sn
s s L n1 n1
n2 n2
1s 0
an1sn1 an2sn2 L a1s
M
yq
cq1 cq2 L
cqn
d11 d12 L D d21 d22 L
M M dq1 dq11 L
d1p
d
2
p
M
d
qp
u1
u
u2
M
up
C为 (q n) 输出矩阵，D为 (q p) 前馈矩阵。
六 状态空间表达式
状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态 方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关 系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。
多输入（含p个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表 达式为：
x&1 t a11x1 t L a1n xn t b11u1 L b1pup
x&2 t a21x1 t L
a2n xn t b21u1 L
b2
pu
p
M
x&n t an1x1 t L ann xn t bn1u1 L bnpup
二 由微分非常或传递函数建立动态方程
1 实现： 对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态 方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一 个状态空间实现。
由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一， 最小实现也不唯一。
2 典型实现： 设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：
倒
航
立
天
摆
器
控
控
制
制
系
系
统
统
导 弹 控 制 系 统
机 器 人 控 制 系 统
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§2.2 线性定常连续系统动态方程的建立
线性定常连续系统的动态方程的形式： ➢ 一般形式
x& Ax Bu，y Cx Du
➢ 典型形式
一 物理系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立的原则： ➢根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； ➢选择可以量测的物理量作为状态变量。
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
电机内部工作原理 点击观看
线性系统理论的主要内容： ➢状态空间分析法 ➢线性系统内部特性 ➢线性系统状态空间 的综合设计
第二章 状态空间分析法
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
阵，B为n p 矩阵，C为q n矩阵，D为q p矩阵。由于
A、B、C、D 完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定
的系统简称为系统 A、B、C、D 。
动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规 定为:
输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量）
注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微
分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 x 和 x&作为状
态变量。设 x1 x，x2 x&，三个输出量为 y1 x，y2 x&，y3 &x&，
可由微分方程导出下列动态方程：
x&1 x2
x&2
&x&
1 m
f
x2
v
kx1
F
y1 x1
式中常系数 c1，L ，cn；d 与系统特性有关。可写成向量矩阵形
式：
y t cxt du(t)
(2-6)
式中 c c1，c2，L ，cn 为输出矩阵（在此为行矩阵），d为直接
联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的输出方 程一般表达形式为：
三 状态空间
以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。 系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如
➢二阶系统的状态可由 x1 轴、x2轴组成的状态平面（即相平面）
中一点表示； ➢三阶系统的状态可由 x1轴、x2轴、x3轴组成的三维状态空间中 一点来表示；
➢n阶系统的状态则由轴 x1 ，…，xn 轴组成的n维状态空间中
a0
(2-12)
1. 能观测标准形实现
设
xn y
xi x&i1 ai y iu
i 1，L ,n 1
其展开式为
(2-13)
xn1 x&n an1y n1u y& an1y n1u xn2 x&n1 an2 y n2u y& an1y& n1u& an2 y n2u M
图2－3 空间飞行器 点击观看
解：空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋 转Euler角即俯仰角、偏航角和滚动角可以唯一的确定飞 行器的定向。
利用动力矩定理和动量定理，同时考虑姿态偏移小、速度 低、动量小及忽略惯量直积的情况下，可得俯仰轴方向的 线性化方程为 ：
g2
01
g2
3n22
0 0
方程（2－1）可写成向量矩阵形式：x&t Axt but (2-2)
式中
x1 x&1
a11 a12 L
x
x2
x&
x&2
M M
A
a21
L
a22 L
L L
xn
x&n
an1
an 2
L
a1n
a2n
b1
b
b2
L
M
ann
bn
称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵（在此为列矩 阵）。
它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。
例1-1的状态变量图见图1-3，图中 s 为拉普拉斯算子。
图2-4 例2-1状态变量图
第一部分 线性系统理论
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
例2-1 设机械位移系统如图2-2 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x&、
加速度 &x& 。图中m、k、f分别
为质量、弹簧刚度、阻尼系数。 试求该双输入-三输出系统的动
态方程。
图2－2 双输入-三输出机 械位移系统
点击观看
解 据牛顿力学，故有
m&x& f x& v kx F
x2
x&3 a2 y 2u
yn2
an1 yn3
un3
n2
an2
yn4
n2un4
L
a2 y 2u
x1 x&2 a1 y 1u yn1 an1yn2 n1un2 an2 yn3 n2un3 L a1 y 1u
2 0
0
2
1
I
2
u2
g
h2
0
0
0
h2
1
而滚动轴和偏航轴方向的线性化方程为 ：
g
1
g3
g
0 n
n 0
1 0
0 0 0 1 0
1
0
0
3
0
0
0
1
g
g3
h1
3n2
0
1
0
0
0 0 0 0
0 n1
0 0
n1 0 0 0
0 0 0 n
0 0
一般形式的状态方程：
x&1 t a11x1 t a12x2 t L a1nxn t b1u
x&2 t a21x1 t a22x2 t L
M
a2n
xn
t
b2u
(2-1)
x&n t an1x1 t an12x2 t L ann xn t bnu
式中常系数 a11，L ，ann；b1，L ,bn 与系统特性有关。
图2－1 动态方程的结构图表示
七 状态空间分析法
以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。 它具有下列优越之处： ➢便于在数字计算机上求解； ➢容易考虑初始条件； ➢能了解并利用处于系统内部的状态信息； ➢数学描述简化；
➢适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
一点来表示。 初始时刻 t0 的状态 xt0在状态空间中为一初始点；随着时
间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹， 称状态轨迹。
四 状态方程
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学 表达式称为状态方程。 ➢状态方程一阶微分方程或差分方程。 ➢状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。 ➢故系统的状态方程具有非唯一性。
p
M M M M
bn1 bn2 L
bnp
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
u1
u
u2
M
u
p
五 输出方程
系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出 方程，它是一个代数方程。
单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：
y t c1x1 t c2x2 t L cnxn t du t (2-5)
单输入－单输出系统动态方程一般形式为
x& Ax bu，y cx du
（2-9）
式中 x 为 n 维状态向量，u与y为标量，A为n阶方阵，b为
n p 向量，c为 (1 n) 向量，d为标量。
多输入－多输出系统动态方程一般形式为
x& Ax Bu，y Cx Du
（2-10）
式中x为 n 1 向量，u为 ( p 1) 向量，y为 q 1向量，A为n阶方