初等代数研究( 第3章 函数 )2011.9

初等代数研究课后习题答案初等代数是数学的一门重要分支，它研究的是代数方程、代数式以及它们之间的关系。

在学习初等代数的过程中，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固知识、提高技能。

然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。

因此，本文将为大家提供一些初等代数课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。

1. 解方程：求解方程2x + 5 = 13。

解答：将方程中的13减去5得到8，所以2x = 8。

再将8除以2得到x = 4。

因此，方程的解为x = 4。

2. 简化代数式：将代数式3x + 2x - 5x + 4x简化。

解答：将代数式中的同类项合并，得到4x - 5x + 4x。

再将同类项相加，得到3x。

因此，代数式简化后为3x。

3. 因式分解：将代数式x^2 + 5x + 6进行因式分解。

解答：首先，我们需要找到两个数，它们的和为5，乘积为6。

很明显，这两个数分别是2和3。

因此，代数式可以因式分解为(x + 2)(x + 3)。

4. 求解不等式：求解不等式2x - 3 < 7。

解答：将不等式中的7加上3得到10，所以2x < 10。

再将10除以2得到x < 5。

因此，不等式的解集为x < 5。

5. 求解方程组：求解方程组2x + y = 5x - y = 1。

解答：可以通过消元法求解这个方程组。

首先，将第二个方程的两边都加上y，得到x = y + 1。

然后，将这个结果代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。

将这个方程化简，得到3y + 2 = 5。

再将2从等式两边减去，得到3y = 3。

最后，将等式两边都除以3，得到y = 1。

将y的值代入x = y + 1，得到x = 2。

因此，方程组的解为x = 2，y = 1。

通过以上几个例子，我们可以看到，初等代数的习题解答需要我们熟练掌握各种解题方法和技巧。

在解方程时，我们可以通过加减、乘除等运算来求解未知数的值。

绪言一、“代数学”的起源及几种历史观点⒈“代数学”的起源公元820年前后时，花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。

到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。

其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。

代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术的学说。

代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方法。

所以，代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。

算术→初等代数→高等代数→近世代数。

⒉历史观点⑴Ⅰ16世纪后期，视为普遍化的算术；Ⅱ17世纪60年代，各种量的计算理论；⑵18世纪末至19世纪初，代数方程的解法；⑶19世纪至今，研究各种代数结构。

二、“代数学”的定义“代数学”的定义——初等代数学（或称古典代数学）是更古来的算术的推广和发展；抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上发生、发展，而于20世纪形成的。

“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。

三、为什么数应专业学生要学习本门课程中学数学教师的历史使命第一章自然数一、数系的历史发展⑴数学思维对象与实体的分离数的概念的产生和发展人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。

在人类开始数数之前，人类是根据物体样子的差别来判断物体是多还是少。

从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。

原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别，逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。

数：一定物群所共有的抽象性质。

初等代数研究.下册
《初等代数研究》(Elementary algebra)是一本普及性的教科书，是一套完整的初等代数学习系统，也是学习更高程度的数学知识的基础课程。

本书由斯坦福大学教授爱德华·穆斯
特尔 (Edward Moody)编写，是一本着重于工具和技能是自我解决理论之外的数学书籍。

本书主要涵盖了代数学科的基础知识，包括定义、表达式、方程、不等式、有理数等概念。

它还介绍了对不同概念的特定的应用，其中包括例如分数、根式、绝对值等。

本书讲解了
其他诸如曲线和多项式概念的应用，还提供了一些具体的解决问题的实例，以让学生更好
地理解这些概念。

同时，书中还涵盖了大学里介绍过的一些知识，比如方程求解和多项式
因式分解。

本书提供了包括条件、拓扑、微分学和线性代数等更高程度的数学概念，为孩子们打下计算、推理、命题论证和解决多项式方程等等问题的基础。

本书的习题十分充足，有助于学
生提高计算和思考能力，促进他们更好地掌握数学知识，为高等数学打下坚实的基础。

《初等代数研究》不仅是学习初等代数必备的参考书，也是帮助大家学好高等数学的关键读物。

《初等数学研究》------本学期课程内容要点学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。

学习永远是自己的大事，任何人无法代替。

但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！绪论 初等数学研究概况1. 国内外初等数学研究的发展状况；2. 数学发展的各个历史时期。

第一章 数的扩张1. 自然数的序数理论：Peano(皮亚诺)公理化定义；四则运算；2. 自然数的重要性质：三分律；良序性-最小数原理；离散性；阿基米德性；3. 数学归纳法：第一数学归纳法；第二数学归纳法；反向归纳法；4. 整数的公理化体系：整数概念；四则运算；5. 有理数的公理化体系：有理数概念；四则运算；6. 实数概念：戴德金分割法；7. 复数的公理化体系：复数概念及其代数形式、几何表示、三角形式；欧拉公式及其应用；复数的开方运算；复数的模及其应用。

第二章 重要不等式1. 平均值不等式：几何平均、算术平均、调和平均与平方平均； 几何平均:na a a A nn +++=21算术平均:n n n a a a G 21=调和平均:nna a a n H 11121+++=平方平均:2122221)(na a a Q n n+++= n n n n Q A G H ≤≤≤2. 柯西(Cauchy)不等式与琴森(Jonson)不等式：加权几何幂平均不等式；加权幂平均不等式；Yong不等式；H Ölder 不等式；Minkowski 不等式；柯西(Cauchy)不等式:设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 为实数，则22222122222122211)()()(n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立。

琴森(Jonson)不等式：若函数在区间I 内上凸，对于任意的I x x x x n ∈,,,,321 ，以及任意的121=+++n λλλ 的正数n λλλ,,,21 都有()()()()n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ ++≥+++22112211加权几何幂平均不等式:设0),1(0,>≤≤>βλn i x ii 则ββββλλλλλλλλλλλλ1212211121)()(2121nn n n x x x x x x nn++++++≤+++++加权幂平均不等式：设αβλ>≤≤>),1(0,n i x ii 则ββββααααλλλλλλλλλλλλ12122111212211)()(nnn n n n x x x x x x ++++++≤++++++Yong 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则q p b qa p ab 11+≤ H Ölder 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则)0,(11111>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===i i qn i q i n i p i n i i i b a b a b a pMinkowski 不等式：设0,0,>>p b a ii 则()()()()101111111111111<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑∑∑∑======p b a b a p b a b a pni p i pni p i pni p i i pni p i pni p i pni p i i 3. 伯努利(Bernoulli)不等式与约当(Jordan)不等式；伯努利(Bernoulli)不等式：设1->x ，则()())1,0(,11)2()11(,11)1(><+≥+<<+≤+αααααααx x x x当且仅当x=0等号成了。

《初等代数研究》教学大纲课程名称：初等代数研究课程编码：0702032100适用专业及层次：数学教育专业（三年制专科）课程总学时：72学时课程总学分：一、课程的性质、目的与任务1、本课程的性质：本课程是数学教育专业一门重要的专业基础课。

它是在学生掌握了一定的数学专业理论知识的基础上开设的。

本课程根据中学数学的教学目的及现行的中学代数教材，以传统内容为主，适当渗透近代数学的思想，课程内容具有广泛性和多样性，除固定意义的代数基本内容外，还安排一些其他数学分支的知识。

2、课程目的与任务：通过《初等代数研究》课程的教学使学生掌握初中数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初中数学打下较坚实的基础。

另外，同过该课程的学习，可以加深学生对初中代数内容的理解，可以提高学生的初中数学解题能力及从事初中数学教学工作的能力。

二、教学内容、教学要求及教学重难点第一章数【教学内容】：本章主要讨论数的概念的形成与扩展，数的运算与性质，数的近似计算等内容。

【教学要求】：了解数系概念的发展简史；熟悉用代数结构的观点和用严格的公理体系来处理数的概念的扩展；能正确分析处理初中数学教材的有关内容。

【教学重难点】：第一节数系的扩展1.1 数的发展简史1.2 正整数理论1.3 有理数集及其性质1.4 实数集及其性质1.5 复数集及其性质第二节整数的整除性2.1 整除的意义及其性质2.2 素数与合数2.3 最大公约数与最小公倍数2.4 同余第三节近似计算初步3.1近似值的截取方法3.2绝对误差与相对误差3.3有效数字与可靠数字第四节初中数的教学4.1 内容分析4.2 教学目标4.3 教学建议本章重点：数及其运算性质、同余理论本章难点：利用同余理论研究整数的性质第二章式【教学内容】：式是数的概念的发展，也是研究函数、方程和不等式的基础。

本章着重讨论代数式和简单超越式的概念、性质和恒等变形。

代数的认识及初等代数的课程开设姓名：夏诗涵班级：2011级4班学号：201110440744摘要：在中学数学教学过程中，人们经常会思考:中学生为什么要学习代数?应该学习哪些代数?如何学好代数?应该从什么角度来衡量学生的代数学习情况？用什么方法来判断学生代数学习结果?等等。

针对这些问题，国家的课程标准、学者的研究成果、教师的经验积累、学生的个人体验、社会的实际需求都有不同侧重的回答和解释。

因此，评价中学生代数学习情况的方式可能是多样的。

本文主要从多个视角、多个维度、多个层面探讨了中学生代数素养的内涵和综合评价。

在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

《初等代数研究》是师范本专科院校数学教育类学生的专业必修课，对于开设这门课程，有不同的观念，本文就此作简要的探讨。

关键词：初等代数；代数；数学思想；学习帮助。

1.代数的重要性1.1.生活中的代数在现实生活中，数学可谓随处可见。

华罗庚1959年曾在《人民日报》发表《大哉数学之为用》清楚地指出，从宇宙到微粒、从地球到生物、从化工到生活，数学无处不在。

Lynn Arthur Steen (1999)也认为，信息时代就是数字时代，数据、图表、统计量既丰富了人们的生活也给人们带来很多困扰，从医疗报告、新闻报道、金融资讯到社会政策等方方面面，数、量、图、表充满其中，基于数量的决策支配着教育、健康和政府行为。

数学的广泛应用已成为数学的特点之一。

代数，作为数学的重要组成部分，在实际生活中是否也有广泛的应用呢？人为什么要学习代数?人们做什么工作需要代数?现摘录部分如下:Glenn Blaylock认为，代数是数学中的基础学科，任何一门需要数学的工作都会需要一些代数。

从事科学或工程技术的工作将需要更多的代数，代数是每一个人都需要的基础数学。

DA BEN DAN yanggui zi认为，代数有助于发展一个人的逻辑感。

初等数学研究教学大纲《中学数学研究》课程教学大纲课程名称：中学数学研究（代数分册）课程代码:ZB1051021-22 学分: 3 开课单位: 制订人：数学系英文名称：课程类别: 专业必修学时: 48 适用专业: 制订日期:数学与应用数学 2011.04审核人：（教研室主任签字）审定人: 审核日期：2011.05 审定日期: 2011.06一、课程性质与目的（一）课程的性质初等代数研究是高等师范本科数学与应用数学专业、专科数学教育专业的一门专业方向课。

本课程需要从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和知识结构，把初等代数的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。

对各个专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练。

要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

（二）课程的目的本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等代数的基础理论、基础知识和基本技能；了解初等代数的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。

二、与相关课程的联系与分工中学数学研究（代数分册）是高等师范院校数学专业的专业方向课。

它是在学生已经掌握了一定的数学专业知识的基础上，继“心理学”、“教育学”之后开设的，是研究初等数学系统理论的一门课程。

本课程的主要特点是高等数学与初等数学相联系，弥补学生学习初等数学与高等数学衔接的不足，为学生用高观点指导中学数学教学、进行教学研究打下基础。

三、教学内容及要求第一章数系【教学要求】了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。

掌握自然数的序数理论。

理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，掌握有理数（实数）大小比较的法则、有理数（实数）的运算法则和有理数（实数）集的性质。

理解无理数、实数和复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。

【教学重点】序数理论、整数环、实数的运算、实数集的性质、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。

初等代数函数
初等代数函数是指由基本代数运算和有限次函数复合产生的函数。

它们主要包括以下几类：
1. 幂函数：以自变量x的幂次为基础的函数，如x^n（n为实数）。

2. 指数函数：以自变量x为底，指数为实数的函数，如e^x。

3. 对数函数：以自变量x为底，真数为实数的函数，如log_x(y)。

4. 三角函数：包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）和正切函数（tan(x)）等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）和反正切函数（arctan(x)）等。

6. 初等超越函数：如平方根函数（sqrt(x)）、立方根函数（cube root，即x^(1/3)）等。

7. 有理函数：包括有理整式和有理分式。

有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。

初等代数函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，它们是研究更复杂函数和微分方程的基础。

此外，初等代数函数的性质和求解方法也是高中数学和大学数学分析的重要内容。

初等代数研究课后习题完整版1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上 对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a bb a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有(),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈， 有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A∴⨯=⋅=⨯ p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)4++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅=313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+= 33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=-证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立 假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯-=-结论成立 假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=- 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+ [,][,]a b c d ∴= p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b --=证明：[,][,]a b b a -= ([,])[,][,a b b a a b --=-= p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a cb d αβ∴+=+-+ 而,a bcd αβ=-=-()()()()a c b d a b c d a b c d+-+=-+-≤-+- αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=-- αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++ p63—16、已知10p a b -，10p c d -，求证p ad bc -证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps -=，10c d pt -=10,10b a ps d c pt =-=-10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴-=---=-p ad bc ∴-p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<1r =，22441a q q ∴=++214(1)a q q -=+ 281a ∴-p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++- 1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。

初等代数研究学习计划导言初等代数是数学中的一个基础部分，也是数学学习的一个重要环节。

初等代数的学习涉及到一系列基础知识，如方程、不等式、函数、多项式等，是进一步学习高等数学和各种数学分支的基础。

因此，对初等代数的学习必须认真对待，建立扎实的基础知识。

一、学习目标1.1 掌握基本的代数运算法则，包括加减乘除、整式的基本运算、方程的基本处理等。

1.2 熟练掌握一元一次方程的解法，特别是通过应用题的形式来巩固。

1.3 理解一元一次不等式及其解法。

1.4 掌握一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和图象法。

1.5 了解多项式的基本概念、性质和基本运算。

1.6 掌握分式的基本概念、性质和基本运算。

1.7 了解函数的基本概念，特别是一次函数和二次函数。

1.8 通过学习初等代数，提高数学分析和数学应用能力。

二、学习内容2.1 代数基本法则代数基本法则是代数学习的基础，理解和熟练掌握代数基本法则对于整个初等代数学习至关重要。

代数基本法则包括加减乘除的运算法则，整式的基本运算等。

2.2 一元一次方程的解法一元一次方程是初等代数中的一个极为重要的内容，通过学习一元一次方程的解法，可以提高问题解决能力。

一元一次方程的解法不仅包括基本的解法，还包括通过应用题来理解和实践。

2.3 一元一次不等式及其解法一元一次不等式是初等代数的另一部分内容，学习一元一次不等式及其解法有助于提高逻辑思维和问题解决能力。

2.4 一元二次方程的解法一元二次方程是初等代数的又一个重要内容，通过学习一元二次方程的解法，可以加深对方程的理解，同时也可以提高数学分析能力。

2.5 多项式的基本概念、性质和基本运算多项式是初等代数的一个重要内容，学习多项式的基本概念、性质和基本运算是初等代数学习的关键步骤。

2.6 分式的基本概念、性质和基本运算分式是初等代数中的又一个重要内容，学习分式的基本概念、性质和基本运算有助于深化对代数的理解。

2.7 函数的基本概念函数是初等代数学习的一个重要内容，了解函数的基本概念对于进一步学习高等数学和数学分支有着非常重要的价值。