2015届高考数学大一轮复习 课时训练66 离散型随机变量及其分布列 理 苏教版

高考数学一轮复习学案：12.4 离散型随机变量及其分布列（含答案）12.4离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列最新考纲考情考向分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单的应用.以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量.离散型随机变量分布列的求法在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.1离散型随机变量的分布列1随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量2一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，，xi，，xn，X取每一个值xii1,2，，n的概率PXxipi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质pi0，i1,2，，n；p1p2pipn1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布其中pPX1称为成功概率3超几何分布一般地，设有N件产品，其中有MMN 件次品从中任取nnN件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么PXkCkMCnkNMCnNk0,1,2，，m即X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量2离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象3某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布4从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布5离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.6离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的题组二教材改编2P77T1设随机变量X的分布列如下X12345P112161316p则p为A.16B.13C.14D.112答案C解析由分布列的性质知，112161316p1，p13414.3P49T1有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________答案0,1,2,3解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.4P49A组T5设随机变量X的分布列为X1234P13m1416则P|X3|1________.答案512解析由13m14161，解得m14，P|X3|1PX2PX41416512.题组三易错自纠5袋中有3个白球.5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6随机变量X等可能取值1,2,3，，n，如果PX40.3，则n________.答案10解析由PX4PX1PX2PX31n1n1n3n0.3，得n10.7一盒中有12个乒乓球，其中9个新的.3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则PX4的值为______答案27220解析由题意知取出的3个球必为2个旧球.1个新球，故PX4C23C19C31227220.题型一题型一离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质1离散型随机变量X的概率分布规律为PXnann1n1,2,3,4，其中a是常数，则P12X52的值为A.23B.34C.45D.56答案D解析PXnann1n1,2,3,4，a2a6a12a201，a54，P12X52PX1PX25412541656.2设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m 求2X1的分布列解由分布列的性质知，020.10.10.3m1，得m0.3.列表为X012342X113579从而2X1的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3引申探究1若题2中条件不变，求随机变量|X1|的分布列解由题2知m0.3，列表为X01234|X1|10123P1PX0PX20.20.10.3，P0PX10.1，P2PX30.3，P3PX40.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.32.若题2中条件不变，求随机变量X2的分布列解依题意知的值为0,1,4,9,16.列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3思维升华1利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数2求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式题型二题型二离散型随机变量的分布列的求法离散型随机变量的分布列的求法命题点1与排列.组合有关的分布列的求法典例xx山东改编在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示1求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；2用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列解1记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则PMC48C510518.2由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4，则PX0C56C510142，PX1C46C14C510521，PX2C36C24C5101021，PX3C26C34C510521，PX4C16C44C510142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142命题点2与互斥事件有关的分布列的求法典例已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束1求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；2已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用单位元，求X的分布列解1记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则PAA12A13A25310.2X的可能取值为200,300,400.PX200A22A25110，PX300A33C12C13A22A35310，PX4001PX200PX300111031035.故X的分布列为X200300400P11031035命题点3与独立事件或独立重复试验有关的分布列的求法典例设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完1求他前两发子弹只命中一发的概率；2求他所耗用的子弹数X的分布列解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且PAk23，PAk13，k1,2,3,4,5.1方法一他前两发子弹只命中一发的概率为PA1A2PA1A2PA1PA2PA1PA22313132349.方法二由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为PC12231349.2X的所有可能值为2,3,4,5.PX2PA1A2PA1A22323131359，PX3PA1A2A3PA1A2A3231321323229，PX4PA1A2A3A4PA1A2A3A423313133231081，PX5PA1A2A3A4PA1A2A3A4232132132232881.故X的分布列为X2345P59291081881思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤1理解X的意义，写出X可能取的全部值；2求X取每个值的概率；3写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理.古典概型等知识跟踪训练xx湖北部分重点中学联考连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为你的幸运数字1求你的幸运数字为3的概率；2若k1，则你的得分为6分；若k2，则你的得分为4分；若k3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分的分布列解1设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1三次恰好均为2；A2三次中恰好为1,2,3各一次；A3三次中有两次均为1，一次为4.A1，A2，A3为互斥事件，则PAPA1PA2PA3C33163C1316C1216C1116C23162165108.2由已知得的可能取值为6,4,2,0，P616，P41622C121616536，P25108，P011653651083554.故的分布列为6420P1653651083554题型三题型三超几何分布超几何分布典例xx济南模拟某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问求1在选派的3人中恰有2人会法语的概率；2在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列解1设事件A选派的3人中恰有2人会法语，则PAC25C12C3747.2依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，PX0C34C37435，PX1C24C13C371835，PX2C14C23C371235，PX3C33C37135，X的分布列为X0123P43518351235135思维升华1超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题；随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的应用条件两类不同的物品或人.事；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体跟踪训练PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GB3095xx，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区xx年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示PM2.5日均值微克/立方米25,3535,4545,5555,6565,7575,85频数3111131从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；2从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列解1记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则PAC13C27C3102140.2依据条件知，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.PkCk3C3k7C310k0,1,2,3P0C03C37C310724，P1C13C27C3102140，P2C23C17C310740，P3C33C07C3101120.故的分布列为0123P72421407401120离散型随机变量的分布列典例某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列错解展示现场纠错解由题意知的取值为1,2,3,4,5，P10.9，P20.10.90.09，P30.10.10.90.009，P40.130.90.0009，P50.140.0001.的分布列为12345P0.90.090.0090.00090.0001纠错心得1随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率2验证随机变量的概率和是否为1.。

课时作业(六十二) 第62讲 离散型随机变量及其分布列时间：45分钟 分值：100分基础热身1．10件产品中有3件次品，从中任取两件，可作为随机变量的是( ) A ．取到产品的件数 B ．取到正品的概率 C ．取到次品的件数 D ．取到次品的概率2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )A ．第一枚6点，第二枚2点B ．第一枚5点，第二枚1点C ．第一枚1点，第二枚6点D ．第一枚6点，第二枚1点3．已知随机变量的分布列如下表：则m 的值为( A.115 B.215 C.15 D.4154．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 15的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) 能力提升5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个6．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝⎛⎭⎫23i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.27197．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a，(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 B.16 C.13 D.148．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是( )A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350 D.C 15C 245C 3509．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)(k ＝1,2,3,4)，其中c 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝( )A.23B.34C.45D.5610．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．11．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，公司要求投保人交x 元，则公司收益X 的分布列是________．13．已知随机变量X若η＝2X －3，则η14．(10分)一批产品共100件，其中20件为二等品，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．15．(13分)袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列；(2)求得分大于6分的概率．难点突破16．(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列．课时作业(六十二)【基础热身】1．C 解析 A 中件数是2，是定值；B 、D 中的概率也是定值；C 中件数为0,1,2，次品件数可作为随机变量．2．D 解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D .3．C 解析 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15.4．C 解析 此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P(X ＝4)＝C 47C 68C 1015.【能力提升】5．A 解析 1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个，共有17个． 6．B 解析 根据题意及随机变量分布列的性质得：a·23＋a·⎝⎛⎭⎫232＋a·⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738.7．C 解析 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P(X ＝2)＝22×3＝13.8．C 解析 出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是都是合格品，都是合格品的概率是C 345C 350，故有次品的概率是1－C 345C 350.9．D 解析 ∵c ⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1，∴c ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，解得c ＝54，将其代入P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝P(1)＋P(2)＝c ⎝⎛⎭⎫1－13，得P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝56.10．{0,1,2,3} 解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}．11．0.3 解析 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是P ＝C 22C 13C 35＝310＝0.3.12.解析 P(X ＝x －a)＝p ，P(X ＝x)＝1－所以X 的分布列为13.解析 由η＝2X －314．解答 X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 280C 2100＝316495；P(X ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495；P(X ＝2)＝C 220C 2100＝19495.所以X 的分布列为15.解答 (1)5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 7＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求得分X 的分布列为(2)P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335.【难点突破】16．解答 (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A.基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31，事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以P(A)＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，又P(X ＝1)＝C 1531＝531，P(X ＝2)＝C 2531＝1031P(X ＝3)＝C 3531＝1031P(X ＝4)＝C 4531＝531P(X ＝5)＝C 5531＝131故X 的分布列为。

第十一章 计数原理、随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)1. 已知随机变量X 的分布列如下表，那么a ＝________，E(X)＝________．X 1 2 3 P 0.1 0.6 a答案：0.3 2.2解析：由0.1＋0.6＋a ＝1，得a ＝0.3，E(X)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.2. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后尚余子弹的数目X 的期望值为________．答案：2.376解析：X 的取值有X 3 2 1 0 P 0.6 0.24 0.096 0.064∴ E(X)＝3×0.6＋23. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的期望E(ξ)＝________．答案：310解析：P(ξ＝0)＝A 19A 112＝34，P(ξ＝1)＝A 13A 19A 212＝944，P(ξ＝2)＝A 23A 19A 312＝9220，P(ξ＝3)＝A 33A 19A 412＝1220.∴ E(ξ)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.4. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．ξ －20 2 P 14 12m答案：2解析：根据离散型随机变量ξ的分布列知m ＝14.∴ E(ξ)＝－2×14＋0×12＋2×14＝0，V(ξ)＝(－2－0)2×14＋(0－0)2×12＋(2－0)2×14＝2.5. 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望是________．答案：509解析：抛掷两个骰子至少有一个4点或5点的概率为P ＝1－4×46×6＝59(或用列举法求概率)，根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，∴ E(X)＝10×59＝509. 6. (改编)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则E(ξ)＝________．答案：43解析：随机变量ξ可能取的值为1、2.事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则P(ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝23.则ξ的分布列为E(ξ)＝1×23＋2×13＝43.7. 如果随机变量ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，且V(ξ)＝2，则p ＝________．答案：12解析：∵ ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，∴ np ＝4.∵ V(ξ)＝2，∴ np(1－p)＝2，∴ p ＝12.8. 两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数Y 的数学期望E(Y)＝________．答案：23解析：当Y ＝0时，P(Y ＝0)＝2×23×3＝49；当Y ＝1时，P(Y ＝1)＝C 12C 1232＝49；当Y ＝2时，P(Y ＝2)＝132＝19，∴ E(Y)＝0×49＋1×49＋2×19＝23.9. 甲、乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次． (1) 求甲至少击中1个气球的概率；(2) 求甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率； (3) 求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．解：(1) 甲至少击中1个气球的概率P 1＝1－(1－0.7)2＝0.91.(2) 设甲击中1个气球且乙击中2个气球为事件A ，事件A 1为甲在2次射击中恰好击中1个气球，事件A 2为乙在2次射击中恰好击中2个气球．则P(A)＝P(A 1·A 2)＝P(A 1)·P(A 2)＝(C 12·0.31×0.71)·(C 22·0.42)＝0.067 2.(3) 甲、乙两人击中气球个数相等为事件B ，事件B 1为甲、乙两人都击中2个气球，事件B 2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，事件B 3为甲、乙两人都未击中气球．则P(B)＝P(B 1＋B 2＋B 3)＝P(B 1)＋P(B 2)＋P(B 3)＝(C 22·0.72·C 22·0.42)＋(C 12·0.7×0.3)(C 12·0.4×0.6)＋(C 02·0.32·C 02·0.62)＝0.312 4.答：甲至少击中1个气球的概率是0.91；甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率是0.067 2，甲、乙两人击中气球个数相等的概率是0.312 4.10. 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13. (1) 如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？(2) 求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．解：(1) (解法1)设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，910，故E(X)＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，故E(Y)＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵ 3.6＞3，∴ 选手甲应该选择A 区投篮．(解法2)设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、2、4，P(ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－9102＝1100；P(ξ＝2)＝C 12·910·⎝⎛⎭⎫1－910＝18100； P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫9102＝81100.∴ ξ的分布列为∴ E(ξ)＝3.6.同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，P(η＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－133＝827；P(η＝3)＝C 1313⎝⎛⎭⎫1－132＝49； P(η＝6)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－13＝29；P(η＝9)＝⎝⎛⎭⎫133＝127.∴ η的分布列为∴ E(η)＝3.∵ E(ξ(2) 设“选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分”为事件C 1，“甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分”为事件C 2，“甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分”为事件C 3，则C ＝C 1＋C 2＋C 3，其中C 1、C 2、C 3为互斥事件．则P(C)＝P(C 1＋C 2＋C 3)＝P(C 1)＋P(C 2)＋P(C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975.故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.11. 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(1) 求理科组恰好记4分的概率？(2) 设文科男生被选出的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X)．解：(1) 记“理科组恰好记4分”的事件为A ，则A 为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”共有C 25·C 14·C 15＋C 24·C 25＝260种选法，基本事件数为C 39·C 15＋C 29·C 25＋C 19·C 35＝870，所以P(A)＝260870＝2687. (2) 由题意得X ＝0，1，2，3，∴ P(X ＝0)＝204870，P(X ＝1)＝495870，P(X ＝2)＝162870，P(X＝3)＝9870，于是X 的分布列为∴ X 的数学期望为E(X)＝0×204870＋1×495870＋2×162870＋3×9870＝141145.。

第十二章§6：离散型随机变量及其分布列、期望与方差(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某射击手击中目标的概率是0.9，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X ，则EX 等于A ．109B ．910C ．19D ．10812．给出下列A 、B 、C 、D 四个表，其中能成为随机变量X 的分布列的是3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧的个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X ＝4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ．27220 D ．21554．有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件，若X 表示取到次品的个数,则EX 等于A ．35B ．815C ．1415D ．15．已知X 的分布列X ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2X ＋1，则η的期望是A ．－16B ．23C ．2936D ．1二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．设随机变量X 的概率分布为P(X ＝k)＝c2k ，k ＝1,2,3.其中c 为常数，则EX ＝________.7．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则 a ＝_____，b ＝_______.8．甲、乙二人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出该题的概率是________；若X表示解出该题的人数，则EX＝________.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设X＝m2，求X的分布列及其数学期望EX.10．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)写出X的可能值集合．(2)假设a1，a2，a3，a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列．(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由题意知X 服从几何分布，其中P ＝0.9，所以EX ＝10.9＝109.答案：A2．解析：对于A 项，由于0.6＋0.3＝0.9<1，故不能成为随机变量X 的分布列；仿上可知，对于C 项，有12＋14＋18＋…＋12n ＝1－12n <1；对于D 项，知13＋13·23＋13·(23)2＋…＋13(23)n ＝13[1＋23＋(23)2＋…＋(23)n ]＝1－(23)n ＋1<1，故C 、D 两项均不能成为随机变量X 的分布列；对于B 项，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B 可以成为随机变量X 的分布列． 答案：B3．解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C4．解析：X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；X ＝2时，P ＝C 23C 210，∴EX ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35，故选A 项． 答案：A5．解析：EX ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2X ＋1，∴Eη＝2EX ＋1＝2×(－16)＋1＝23.答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝c 2＋c 4＋c 8＝1得c ＝87，故EX ＝1×P(X ＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＝117.答案：1177．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512b ＝14c ＝14.答案：512 148．解析：(1)设甲、乙二人独立解出该题的概率为x ，则该题不能被甲或乙解出的概率为(1－x)2，由题意可知1－(1－x)2＝0.36， 解方程得x ＝0.2，或x ＝1.8(舍)． (2)解出该题的人数X 的分布列为EX ＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. 答案：0.2 0.4三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P(X ＝0)＝16，P(X ＝1)＝26＝13，P(X ＝4)＝26＝13，P(X ＝9)＝16. 故X 的分布列为所以EX ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.10.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}．在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，从而X＝(|1－a1|＋|3－a3|)＋(|2－a2|＋|4－a4|)必为偶数．X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子．(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到(3)①首先P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝424＝16，将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设，得P＝163＝1216.②由于P＝1216<51 000是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．。

课时规范练64离散型随机变量的分布列、均值与方差基础巩固组1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为()A.5B.2C.3D.42.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-2|=1)=()A.712B.12C.512D.163.设随机变量X的分布列如下表,则方差D(X)=()A.0B.1C.2D.34.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=()A.110B.0 C.-110D.155.已知随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1,则D(X)=()A.0.1B.0.2C.0.4D.0.66.(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),则()A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P (ξ=1)=0.37.已知随机变量ξ的分布列如下表,则x= .8.已知X 的分布列如下表,设Y=2X+1,则Y 的均值E (Y )的值是 .综合提升组9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p (0<p<1),发球次数为X ,若X 的均值E (X )>1.75,则p 的取值范围为( ) A.(0,12) B.(0,712) C.(12,1)D.(712,1)10.(多选)(2022山东第二次学业质量检测)已知m ,n 均为正数,随机变量X 的分布列如下表,则下列结论一定成立的是( ) A.P (X=1)<P (X ≠1) B.E (X )=1 C.mn ≤18D.D (X+1)<111.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是( ) A.抽取2次后停止取球的概率为35B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为910 C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为92012.(多选)已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η)B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大D.D(η)先增大后减小13.已知随机变量X的分布列为已知a>0,b>0,当D(X)最大时,E(X)=.14.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2,则检测2次停止的概率为;设检测次数为X,则X的均值为.15.(2022浙江,15)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.16.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).创新应用组17.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差1.D 解析:由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D .2.C 解析:由16+14+m+13=1,得m=14,所以P (|X-2|=1)=P (X=1)+P (X=3)=16+14=512. 3.B 解析:由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,则E (X )=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E (X 2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=5-4=1,故选B . 4.A 解析:依题意可得X 的分布列为依题意得,{a +b +2a +b +3a +b +4a +b =1,(a +b )+2(2a +b )+3(3a +b )+4(4a +b )=3,解得a=110,b=0,故a+b=110.故选A .5.C 解析:由分布列的性质,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8. ① ∵E (X )=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1, ②联立①②,解得a=0.6,b=0.2.D (X )=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4. 故选C .6.ABC 解析:随机变量ξ的分布列为P (ξ=k5)=ak (k=1,2,3,4,5),P ξ=15+P ξ=25+P ξ=35+P ξ=45+P (ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A 正确;P (0.5<ξ<0.8)=P (ξ=35)=3×115=0.2,故B 正确;P (0.1<ξ<0.5)=P (ξ=15)+P (ξ=25)=115+2×115=0.2,故C 正确;P (ξ=1)=5×115=13≠0.3,故D 错误.故选ABC .7.12 解析:由题得,x 2+x+14=1,化简得x+32x-12=0,解得x=12或x=-32.因为0≤x ≤1,所以x=12.8.23解析:由题得12+16+a=1,解得a=13. E (X )=-12+13=-16.∵Y=2X+1,∴E (Y )=2E (X )+1,∴E (Y )=23.9.A 解析:由题可知P (X=1)=p ,P (X=2)=(1-p )p ,P (X=3)=(1-p )2p+(1-p )3=(1-p )2,则E (X )=P (X=1)+2P (X=2)+3P (X=3)=p+2(1-p )p+3(1-p )2>1.75,解得p>52或p<12,由p ∈(0,1),可得p ∈(0,12).故选A .10.BCD 解析:由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P (X=1)=n ,P (X ≠1)=2m.当m=14,n=12时,P (X=1)=P (X ≠1),故选项A 错误;因为E (X )=n+2m=1,故选项B 正确;因为m ,n 均为正数,所以1=n+2m ≥2√2mn ,即mn ≤18,当且仅当n=2m=12时,等号成立,故选项C 正确;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E (X )=1,所以D (X+1)=D (X )=2m<1,故选项D 正确.故选BCD .11.BD 解析:由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P (ξ=1)=35,P (ξ=2)=25×34=310,P (ξ=3)=25×14=110.对于A 选项,抽取2次后停止取球的概率为P (ξ=2)=310,A 选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P (ξ=1)+P (ξ=2)=35+310=910,B 选项正确;对于C 选项,取球次数ξ的均值为E (ξ)=1×35+2×310+3×110=32,C 选项错误;对于D 选项,取球次数ξ的方差为D (ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×110=920,D 选项正确.故选BD .12.BC 解析:对于A,∵η=ξ+2,∴E (η)=E (ξ)+2,故A 错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D (ξ)=D (η),故B 正确;对于C,∵E (ξ)=-12+12p ,∴当p 在(0,1)内增大时,E (ξ)增大,故C 正确;对于D,∵E (η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D (η)=-12−p22×12+12−p 22×1-p 2+32−p 22×p 2=-14(p-2)2+54,故当p在(0,1)内增大时,D (η)单调递增,故D 错误.故选BC .13.54 解析:由题知b=1-3a ,E (X )=2a+2(1-3a )=2-4a ,则D (X )=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a )2·(1-3a )=-16a 2+6a.故当a=316时,D (X )最大,此时E (X )=54.14.0.16 2.44 解析:检测2次停止的概率为(1-0.2)×0.2=0.16.检测次数X 可取1,2,3,P (X=1)=0.2,P (X=2)=0.8×0.2=0.16,P (X=3)=0.8×0.8×0.8+0.8×0.8×0.2=0.64,则E (X )=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.15.1635 127解析:P (ξ=2)=C 21C 42+C 41C 73=1635,ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P (ξ=1)=C 62C 73=1535,P (ξ=2)=1635, P (ξ=3)=C 32C 73=335,P (ξ=4)=C 22C 73=135, 故E (ξ)=1×1535+2×1635+3×335+4×135=127. 16.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A ,则事件A 包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”, 由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P (A )=C 32C 31+C 22C 41C 63=1320.故取出的2个球颜色相同的概率为1320.(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事件B ,则P (B )=C 43×(13)3×(1-13)=881.故取4次恰有3次黄球的概率为881. (3)X 的可能取值为2,3,4,5,6, 则P (X=2)=A 22A 62=115,P (X=3)=C 21C 41A 22A 63=215, P (X=4)=C 21C 42A 33A 64=15,P (X=5)=C 21C 43A 44A 65=415,P (X=6)=C 21A 55A 66=13,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的均值为E (X )=2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143. 17.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ,则P (M )=C 253C 503=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.所以X 的可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E (X )=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4×39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元. 因为238.8<241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.。

学案68 离散型随机变量的均值与方差导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．自主梳理1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i … p n(1)均值称E (X )＝____________________________________为随机变量X 的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)方差称D (X )＝__________________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝____________.(2)D (aX ＋b )＝____________.(a ，b 为实数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝_____________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝______，D (X )＝____________. 自我检测1．若随机变量X X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x xA.118B.19C.209D.9202．(2011·菏泽调研)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.13．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4004．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.5．(2011·杭州月考)ξ －1 0 1 P a b c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝3，则D (ξ)＝________.探究点一 离散型随机变量的期望与方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．变式迁移1 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .(1)求随机变量X 的分布列；(2)求随机变量X 的数学期望和方差．探究点二 二项分布的期望与方差例 2 (2011·黄山模拟)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．变式迁移2 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．探究点三离散型随机变量期望与方差的应用例3 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 0000.999.元的概率为1－410(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．变式迁移3 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？1．若η＝a ξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，D (η)＝a 2D (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )． 3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝a ξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A.5 B ．6 2．设ξ～B (n ，p )，若有E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 、p 的值分别为( )A ．18，23B ．16，12C ．20，16D ．15，143．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则( )A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝35165．(2011·成都调研)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89B.35C.25D.13 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝____________.7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.8．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)； (2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围．学案68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望 平均水平 (2)∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 平均偏离程度 算术平方根D X 2.(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3．(1)p p (1－p ) (2)np np (1－p ) 自我检测1．C 2.B 3.B 4.53解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量XE (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3.5.59课堂活动区例1 解题导引 要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第(2)小题注意性质E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)的应用．解 (1)ξ∴E (ξ)＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4变式迁移1 解 (1)P (X ＝0)＝2A 33＝13；P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16.∴随机变量X 的分布列为(2)E (X )＝0×13＋1×12＋3×6＝1.D (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.例 2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2)第(2)小题首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其分布列和均值．解 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. 依题意有P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49.P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12.所求的概率为P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49. (2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，49. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593＝125729，P (ξ＝1)＝C 13×49×⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝100243， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫492×59＝80243，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝64729.ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×729＋1×243＋2×243＋3×729＝3.变式迁移2 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在上学路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，所以P (ξ＝2k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0,1,2,3,4)．即ξ的分布列是所以ξ的期望是E (ξ)＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.例3 解题导引 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，投保人中出险人数ξ～B (104，p )，进而利用二项分布的有关性质求解．解 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001. (2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000. 盈利η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000，由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10 000×10－3， E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104＝104a －104×104×10－3－5×104. E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0 ⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．变式迁移3 解 (1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2(2)令A 、B P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i所以E (η1)＝14.75，E (2可见，方案一的预计利润更大． 课后练习区1．C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1， ∴b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7.]2．A [E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝4.∴1－p ＝412＝13，∴p ＝23，∴n ＝18.]3．A [∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.]4．B [E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5，D (ξ)＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝3512.] 5．A [对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，ξ的可取值有0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.]6．2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 7.110解析 离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，所以(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a ＋b ＝110.8.23解析 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝2×13＝23. 9．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分)P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．(4分)即(6分)(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500.(8分)则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280.(10分)所以此员工月工资的期望为2 280元．(12分)10．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(2分)红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分) 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分) (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分)又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(9分)因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.(11分) 所以ξ因此E (ξ)分) 11．解 (1)ξ1E (ξ1)＝1.2×16＋1.18×2＋1.17×3＝1.18.(3分)由题设得ξ～B (2(5分)故ξ2所以ξ22＋0.2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(8分)(2)由E(ξ1)<E(ξ2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以，当E(ξ1)<E(ξ2)时，p的取值范围是0<p<0.3.(14分)。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

第四节离散型随机变量及其分布列董iQi备考基础-查清忆知识明误区悟方法I必备知识总动员=＞必记昌©知识点］整忆二忆填二填1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变龜常用字母X, y, e，“，…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及其性质⑴一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X!,兀)的概兀2，…，Xi，…，x n9 X取每一个值Xi(i=l,29…,率P(X=Xi)=pi9则表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=£)=p” =1，2,…，兀表示X的分布列.⑵离散型随机变量的分布列的性质①“20（,=1，2,…，n）.n②i" _____________ •3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为P1-p P其中p = P(X=l)称为成功概率.(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X 件次品，贝!1事件｛X=卄发生的概率为P(X=r)=^^,0，1，2,…，叫其中加=min｛M，〃｝,且MWN,弘*昭NUN,称分布列为超几何分布列.X01• • •m自〉必明②◎易误点」想一想…试一试1•对于分布列易忽视其性质P1+P2 ---------- p“ = l及p&O(i“)其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.2.确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.［试一试］1.已知离散型随机变量X的分布列为X 123• • •n则k的值为__________ .解析：由需+・・・+£=1，.\k=l.答案：12.(2014•苏州棋拟)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=£(i=l,2,3),则P(X=2)= _____________ .12 3解析：由分布列的性质知茲+石+茲=1，答案：I1-由统计数据得到离散型随机变量的分布列;2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列;3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有反次发生的概率求离散型随机变量的分布列.［练一练］1.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为「2解析：当2球全为白球时苕=0.1,当1红、1白时呈导=磊=0.6,「2当2球全为红球时岂=0.3・答案:0.1 0.6 0352.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为____________ .解析：X的所有可能值为0,1,2.考点一离散型随机变量的分布列的性质»自主练透型1.离散型随机变量X 的概率分布规律为p(x=n)=n(f ^(n = 1,2,3,4),其中«是常数，则P(|<X<|)的值为 _____________________解析：由(!X2+2X3+3X4+4X5)><a = 1,知壬= l ・・：a=£故 pgvX V |)=P(1)+P(2)=£X》+£X^=£.答案:|2.随机变量X 的分布列如下:考什么 怎么考 怎么办 命题角度全扫描热点命题-悟通其中"，久c成等差数列，则P(IXI = 1)= __________解析:Va, b, c成等差数列，.•・2b=a+c・1 2 又a+方+c = l, .\b=y /.P(\X\ = 1)=a^rc=y 答案：I［类题通法］利用分布列中各概率之和为1可求参数的值, 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.考点二离散型随机变量的分布列求法»师生共研型［典例］(2013-江西髙考改编)小波以游戏方式决Array定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O为起点，再从Ai，A29 A39 A49 A59 A^92<8（如图）这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X•若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率；⑵求X的分布列.［解］⑴从8个点中任取两点为向量终点 的不同取法共有C|=28种，X=0时，两向量 夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学 校合唱团的概率为P(X=O)=^=|.⑵两向量数量积X 的所有可能取值为一2, 一 X=-2时，有2种情形；时，有7［类题通法］求离散型随机变量分布列的步骤⑴找出随机变量X的所有可能取值皿=1，23…，«)；(2)求出各取值的概率P(X=Xi)=Pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.［针对训练］(2014•温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束.(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;(2)记试验次数为X,求X的分布列.解：⑴记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)=^^=|.(2)由题知X的可能取值为1，2,3,4•则cl cjcl+cl 9 P(X=2)=&—5^=药HXX的分布列为X1234P 1328928528128C；C：+C；13考点三超几何分布»师生共研型［典例］(2014•南昌棋拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动・(1)求所选3人中恰有一名男生的概率;(2)求所选3人中男生人数X的分布列.［解］(1)所选3人中恰有一名男生的概率(2)X的可能取值为04,2,3.•••X的分布列为［类题通法］对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数•在本例条件下，求所选3人中女生人数X 的分布列.解：由题意知X可取3,2,1,0.即当X=3 时，（=0, X=2时，g=l,X=1 时，g=2, X=0 时，g=3.・・・X的分布列为X3210p 54210215i4121［针对训练］（2014•哈师大附中模拟）PM2・5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米〜75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测 数据超标的天数，求X 的分布列.解：⑴记“从10天的PM2.5 H 均值监测数据中，随机抽出3天，恰 有一天空气质量达到一级”为事件A,则(2)根据条件，X 服从超几何分布，其中N=10, M=3, n=3, X 的C 「c3—"可自匡取值为P(X=r) =-^(r=0,1,23)，其分布列为P(A)= Cj-C Cjo21 40*0.3,贝!| n= _________111解析：P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=-+-+-f w f11=〃=0・3,故 n =10. 答案：10|@|迁移应用•练透对点练I综合练［课堂练通考点］设随机变量X 等可能取值123,…创新练 全能演练大冲关n,若P(XV4) =1.2. (2014•借阳一棋)如图所示，A, B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X,则P(XN8) =解析：法一：由已知得，・・・怒=7)=呀4， w 如C；c： + c；cg P(X_8)_ C3 _诃BX的取值为7,8,940,3• 2C2C2C1 2 P(X=9)= 2J x=P(X=10)=^=-f・P(XM8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X= 10)=春+|+令=£・ 法二：5'•••X 的概率分布列为P(XM8)=1—P(X=7) = 1—彎諾.答案：|• 2 3+2—3q+『 = l,3.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为:X -1 0 1p1 32-3q则q 等于 __________ • 解析：由分布列的性质知2—4. （2014-湖北八校联考）某射手射击一次所得环数X的分布列如下：现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为：⑴求e>7的概率;⑵求e的分布列・解：(1)P(^>7) = 1 -P(g= 7) = l-0.1X0.1=0.99.(2)f的可能取值为7,8,940.P(^=7)=0.12=0.01,P(g= 8)=2 X 0.1 X 0.4+0.42=0.24,P(g= 9)=2X0.1X03+2X0.4 X0.3+0.32=0.39,P(f = 10)=2 X 0.1 X 0.2+2 X 0.4 X 0.2+2 X 0.3 X 0.2+0.22=0.36.••疋的分布列Array为每节配有"2009 ~ 2013高考真题备选题库"试題務考』份类，省去您收集整理之苦，供您补題加題之需。

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。

2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。

为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。

按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。

1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。

4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。

第九节 离散型随机变量的分布列、均值与方差1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．两颗都是2点B ．一颗是3点，一颗是1点C ．两颗都是4点D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A ，B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．故选D.答案：D2．(2013·九江模考)E (ξ)＝6.3，则a 值为( )A.5 B ．解析：由概率分布列性质知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4.所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝7，故选C. 答案：C3．(2013·山西质检)从1,2,3,4,5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E (ξ)＝( )A ．3B ．4.5C ．5D ．6解析：由题意知，ξ只能取3,4,5.则P (ξ＝3)＝110，P (ξ＝4)＝310，P (ξ＝5)＝610.故E (ξ)＝110×3＋310×4＋610×5＝4.5.故选B.答案：B4．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A ．60.82元B ．68.02元C ．58.82元D ．60.28元解析：E (ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.故选A.答案：A5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c [a ，b ，c ∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16解析：E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立．故选D.答案：D6．装有某种产品的盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至抽到正品为止，已知抽取次数ξ为随机变量，则抽取次数ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析：则E (ξ)＝1×710＋2×30＋3×120＋4×120＝8.答案：118(次)7. (2013·上海卷)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…x 19，则方差D (ξ)＝________.解析：因为x 1，x 2，x 3，…x 19是公差为d 的等差数列，所以E (ξ)＝x 10，于是D (ξ)＝d 219（92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92）＝30|d |. 答案：30|d |8．设随机变量ξ的分布列P (ξ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则a 的值为________．解析：所以a ＋2a ＋3a ＋4a 解得a ＝115.答案：1159．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解析：(1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018. (2)由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0, 1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12(人)．10．(2013·汕头二模)高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为12.(1)根据比赛规则，高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ (2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少？(3)设高三(1)班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．解析：(1)由题意知参加单打的队员有A 23种方法，参加双打的队员有C 12种方法．所以根据分步计数原理得到高三(1)班出场阵容共有A 23·C 12＝12(种)．(2)高三(1)班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．所以连胜两盘的概率为12×12＋12×12×12＝38.(3)ξ的取值可能为0,1,2.P (ξ＝0)＝12×12＝14.P (ξ＝1)＝12×12×12＋12×12×12＝14.P (ξ＝2)＝12×12＋12×12×12＋12×12×12＝12.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋1×14＋2×2＝4(盘)．11．2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示：(1 )交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(3 )在上述抽出的驾驶人员中任取 2名，求抽取的 2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．解析：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：5＋20＋25＋20＋30＝100人，四川籍的有：15＋10＋5＋5＋5＝40人，设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名.(3)ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.所以ξ的分布列为均值E (ξ)＝1×1021＋2×121＝7(人)．。

第七节 离散型随机变量及其分布列(理)时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )A .B .C .D .解析 利用离散型随机变量分布列的性质检验即可． 答案 C2．随机变量X 的概率分布规律为P(X ＝n)＝a＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )A .23B .34C .45D .56解析 由题意得a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a4·5＝1，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋14－15＝4a 5＝1，a ＝54，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝a 1·2＋a 2·3＝2a 3＝56.答案 D3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51解析 P(X ＞7)＝P(X ＝8)＋P(X ＝9)＋P(X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)的值为( )A ．1B .12C .13D .15解析 设ξ的分布列为：即“ξ＝0”表示试验失败，“p ，成功的概率为2p ，由p ＋2p ＝1，则p ＝13.答案 C5．(2015·安溪月考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X ＝4)的值为( )A .1220B .2755C .27220D .2125解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案 C6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)解析 X 服从超几何分布P(X ＝k)＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.答案 C 二、填空题7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P(X<4)＝0.3，那么n ＝________. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n.所以取到每个数的概率均为1n .所以P(X<4)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝3n ＝0.3，所以n ＝10.答案 108．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d)＋a ＋(a ＋d)＝1，∴a＝13，由⎩⎨⎧13－13＋d≥0得－13≤d≤13.答案 [－13，13]9．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．解析 X 的取值为3,4,5.又P(X ＝3)＝1C 35＝110，P(X ＝4)＝C 23C 35＝310，P(X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为答案三、解答题10．为了参加2014年青奥会高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：(2)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三(7)班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解 (1)“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则，P(A)＝C 24＋C 22＋C 23＋C 23C 212＝1366. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C 04×C 28C 212＝1433，P(ξ＝1)＝C 14×C 18C 212＝1633，P(ξ＝2)＝C 24×C 08C 212＝111.∴ξ的分布列为11.0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设Y 表示客人离开福州市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求Y 的分布列．解 分别记“客人游览福州鼓山”，“客人游览福州永泰天门山”，“客人游览福州青云山”为事件A 1，A 2，A 3.因为事件A 1，A 2，A 3是相互独立的，P(A 1)＝0.4，P(A 2)＝0.5，P(A 3)＝0.6.由于客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以Y 的所有可能取值为1,3.所以P(Y ＝3)＝P(A 1·A 2·A 3)＋P(A 1·A 2·A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P(Y ＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以Y 的分布列为培 优 演 练1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x ( )A .13B .16C .12D .56解析 ∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.答案 D 2．为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________．解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P(X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P(X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为答案3.某班50其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X ，求X 的分布列与数学期望．解 (1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018. (2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此X 可能取0,1,2三个值．P(X ＝0)＝C 29C 212＝611，P(X ＝1)＝C 19·C 13C 212＝922，P(X ＝2)＝C 23C 212＝122.X 的分布列为故E(X)＝0×611＋1×922＋2×22＝2.4．(2015·温州模拟)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1，x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率． (2)求ξ的分布列．解 (1)掷出点数x 可能是1,2,3,4，则x －3分别得：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8， P(ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0， P(ξ＝0)＝14×14＝116.所以ξ取得最大值和最小值时的概率均为116.(2)由(1)知ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8. P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)，(4,3)，(3,2)，(3,4)． 即P(ξ＝1)＝416＝14；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)，(4,4)，(4,2)，(2,4)． 即P(ξ＝2)＝416＝14；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,3)，(3,1)． 即P(ξ＝4)＝216＝18；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,1)，(1,4)，(1,2)，(4,1)． 即P(ξ＝5)＝416＝14.所以ξ的分布列为：。

第十一章 计数原理、随机变量及分布列第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)1. 若随机变量X 的分布列为则m ＝________。

答案：38解析：根据随机变量概率的性质有13＋m ＋16＋18＝1、解得m ＝38.2. 从装有4只白球和6只红球的口袋中任取两个球、用X 表示“取到的白球数”、则X 的取值的集合为________。

答案：{0、1、2}解析：由于白球数大于所取的球数、则X 的取值的集合为{0、1、2}。

3. 在某次花样滑冰比赛中、发生裁判受贿事件、竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名、但只取其中7名裁判的评分作为有效分。

若14名裁判中有2人受贿、则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是________。

(结果用数值表示)答案：313解析：有效分应该是没有受贿裁判的评分、因此、7名裁判应从12中选出、有C 712种、则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是C 712C 714＝313.4. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛、若每人只选择一个项目、则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是________。

答案：23解析：三位同学每人从三个项目选其中1个项目有C 13C 13C 13＝27种、若有且仅有两人选择的项目完全相同、则有C 23C 13C 12＝18、所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率为1827＝23. 5. 若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：答案：0.88解析：P(X ≥7)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＋P(X ＝9)＋P(X ＝10)＝0.88.6. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球、采取不放回抽样方式、从中摸出两个小球、则摸得白球的个数的分布列为解：设摸得白球的个数为x 、则x 可能取0、1、2.P(x ＝0)＝C 24C 26＝615；P(x ＝1)＝C 12C 14C 26＝815；P(x ＝2)＝C 22C 26＝115.∴ 所求分布列为x 0 1 2 P 615 815 1157. 随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝ck （k ＋1）(k ＝1、2、3、4)、其中c 为常数、则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝________。

第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差[学生用书P203])1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)性质①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 2．离散型随机变量X 的均值与方差3.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．1．辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(3)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤5C [解析] 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X ＝6. 2.教材习题改编 设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12C.14D ．18D [解析] 由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16B [解析] 因为E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝________． [解析] P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. [答案] 155．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．[解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.[答案] 1离散型随机变量的分布列的性质[学生用书P204][典例引领]设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列． 【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. 首先列表为：从而2X ＋1的分布列为在本例的条件下，求P (1<X ≤4)． [解] 由例题解析知m ＝0.3，所以P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.[答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的均值(高频考点)[学生用书P204]离散型随机变量的均值是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题． 高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知离散型随机变量的均值，求参数值； (2)已知离散型随机变量符合的条件，求其均值．[典例引领](2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．求离散型随机变量X 的均值的方法(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值的定义求E (X )．[题点通关]角度一 已知离散型随机变量的均值，求参数值1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4C ．0.2D ．0.1C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2.角度二 已知离散型随机变量符合的条件，求其均值2．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)、[40，50)、[50，60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解] (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋0.015，（0.01＋0.015×2＋b ＋a ）×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从中抽取3人，并计算3人所获得代金券的总和X ，则X 的所有可能取值为：150，200，250，300，P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.故X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.离散型随机变量的均值与方差的应用[学生用书P205][典例引领]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】 (1)设顾客所获的奖励额为X 元．①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1元，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率．(3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值．(4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．(2017·郑州市第一次质量预测)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．[解] (1)设下周一无雨的概率为p，由题意，p2＝0.36，p＝0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列为基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，所以基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．[学生用书P206])——随机变量的均值与其他知识的交汇(2015·高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解】 (1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.(*)目标函数为z ＝1 000x ＋1 200y .将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为l ：y ＝－56x ＋z 1 200，设l 0：y ＝－56x .①②③当W＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0).平移直线l0知当直线l过点B，即当x＝2.4，y＝4.8时，z取最大值，故最大获利Z＝z max＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．当W＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)．平移直线l0知当直线l过点B，即当x＝3，y＝6时，z取得最大值，故最大获利Z＝z max＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)．当W＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0).平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，故最大获利Z＝z max＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p ＝1－(1－p 1)3＝1－0.33＝0.973.(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z 的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为[学生用书P311(独立成册)]1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1C [解析] 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.2．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.13 B ．16C.12D ．56D [解析] 由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X≤x )＝12＋13＝56.3．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1, 则D (ξ)＝________.[解析] 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝⎛⎭⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.[答案] 254．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．[解析] X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为[答案]5.若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． [解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解] (1)设A ＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57. (2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235， P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835， P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． [解] (1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4. 8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <1680，n ≥16，(n ∈N )．(2)①X 可能的取值为60，70，80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．9．(2017·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天，求这2天送餐单数都大于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．[解] (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a＝40时，X＝40×4＝160；当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172.故X 的分布列为所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．10．某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0＜p ＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)＜E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得：E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由E(ξ1)＜E(ξ2)，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习11-7离散型随机变量及其分布列课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是()A.B.C.D.[答案]C[解析]选项A，D三个概率之和为1.1>1，故A、D错误；选项B中P(X＝3)＝－0.1错误，故选C.2．(教材改编题)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个，任意抽取2个球，设2个球之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25 B．10C．7 D．6[答案]C[解析]X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9，共7种．3．设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C ．10D ．不确定 [答案]C[解析]“X <4”的含义为X ＝1,2,3. ∴P (X <4)＝3n＝0.3，∴n ＝10.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于( )A.15B.25C.35D.45 [答案]D[解析]P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34·C 02C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45.5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12C.13D.23 [答案]C[解析]设X 的分布列为则“X ＝0”表示试验失败，“p ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝13.应选C.6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47·C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) [答案]C[解析]X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015，事件数为C X 7C 10－X 8. ∴P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.二、填空题7．若X 的分布列为，则常数c ＝[答案]13[解析]由分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥03－8c ≥09c 2－c ＋3－8c ＝1.解得c ＝13.8．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ＋1(k ＝1,2，…)，则P (2≤X ≤4)等于________．[答案]732[解析]P (2≤X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＋125＝732.9．设随机变量X 的分布列为则p ＝________；P [答案]0.1 0.3[解析]∑i ＝15p i ＝1⇒0.4＋0.1＋0.2＋0.2＋p ＝1⇒p ＝0.1，P (3<X ≤5)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.2＋0.1＝0.3.三、解答题10．(2013·某某高考)一个盒子里装有7X 卡片，其中有红色卡片4X ，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3X ，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4X 卡片(假设取到任何一X 卡片的可能性相同)．(1)求取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4X 卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析](1)设“取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.所以，取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.能力强化训练一、选择题1．在100X 奖券中，有4X 有奖，从这100X 奖券中任意抽取2X ，则2X 都中奖的概率为( )A.150B.125 C.1825D.14950 [答案]C[解析]由题意知，中奖奖券的X 数服从超几何分布． ∴P (X ＝2)＝C 24C 2100＝1825.2．(2014·某某模拟)随机变量X 的概率分布列规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23B.34 C.45D.56 [答案]D[解析]因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)＝a (1n －1n ＋1)，所以 n ＝14P (X ＝n )＝a (1－12＋12－13＋13－14＋14－15)＝45a ＝1，解得a ＝54.因此P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×23＝56.二、填空题3．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．[答案]－1,0,1,2,3[解析]X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．4．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.[答案]45[解析]由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310，P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋＝310＋25＋110＝45. 三、解答题5．一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取到白球为止，求取球次数的分布列．[解析]设取球次数为X ，则X 的可能取值为1,2,3,4,5， P (X ＝1)＝1A 15＝15，P (X ＝2)＝A 14A 25＝15，P (X ＝3)＝A 24A 35＝15，P (X ＝4)＝A 34A 45＝15，P (X ＝5)＝A 44A 55＝15，∴随机变量X 的分布列为：6.袋中装着标有数字可能性都相等，则X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列．[解析](1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215；P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.所以随机变量X 的概率分布列为。