毕业论文题目三角形的相似与全等分解学院数统学院姓名金晓梅专业数学与应用数学学号20101010211指导教师唐保祥提交日期2014-3-11原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
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论文作者签名：金晓梅2014年3月1日论文指导教师签名：目录摘要（内容按小四号宋体输入，1.5倍行距。
包括中文摘要，摘要组合几何是组合数学的一个分支，主要研究的三个方面之一即是离散对象间的某种组态的存在性，如果要说明一个图形不存在的理由，一般要用到反证法；如果要说明一个图形存在，一般要用到从极端考虑，局部调整，有序化等数学思想，有时还需要用构造法将这样的图形构造出来；当满足某些条件的几何图形存在时，需要研究此类几何图形的个数，或者此类几何图形的性质，如距离最小，面积最大，或可以进行怎样的拆分与拼补。
本文基于三角形在平面几何中的重要地位，讨论分析了三角形的相似分解与全等分解的一些基本情况，，中文关键词关键字：三角形，相似，全等英文摘要，英文关键词；引言：给定若干具有某种性质的小图形，我们总能把他们拼成形形色色的图形，我国古代数学家很早就用这一方法证明了勾股定理，相反，给定一个具有某种特性的图形，也可以分解成若干个具有某种特性的小图形。
平面几何学中最常见也是最基本的图形即为三角形，本文将讨论分析三角形的相似分解和全等分解的一些基本情况。
一：相似分解1：如下图（1）将∆ABC的每一边k等分(k>1,k是正整数)并且过每一分点分别做其他两边的平行线，那么可以得2k个全等三角形（因而也是相似三角形）。
B CAB C（1）（2）2：如上图（2）中，DE与BC之间有2k-()21-k=2k-1个相似三角形，因此在图（2）中2个相似三角形。
3: 在图（2）的基础上连接∆ADE的三条中纬线，∆ADE分为4个相似的三角形，从而∆ABC被分解成22k+3个相似三角形。
根据以上分析可知：任意三角形均可以分解成n个相似三角形（即n个，n ≠2，3，5）。
下面分别对n=2,3,5分类进行分析，1：n=2时（即一个三角形被分解成2个相似的三角形）。
设∆ABC被分解为2个相似三角形，此时必有一个角被分成2个角，不妨设∠BAC被AD分开，D在BC边上，由下图（3）可知：∠BDA大于∠DAC和∠DCA，而∆BA D与∆CAD相似，所以一定有∠BDA=∠CDA=︒90，（1）如果∠BAD=∠CAD，则∆ABC为等腰三角形，如图（4）（2）如果∠BAD=∠ACD，则∆ABC为直角三角形，如图（5）BDB C CDB（3）（4）（5）综上得：只有等腰三角形或直角三角形可以分解成两个相似的三角形。
（并且这两个相似的三角形必须是直角三角形）2：n=3时（即一个三角形被分解成3个相似三角形）（1）如下图（6）中∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，当分解成的三个三角形相似时，必有∠BDC=∠BDA=∠ADC=︒120，且AD=DB=DC，所以三角形为正三角形。
（2）在其他三角形中，AD 将∆ABC 首先分成2个三角形，即∆ ABD 和∆ADC ，∆ADC 将再分为2个三角形，他们均与∆ABD 相似，根据以上对n=2的讨论知3个三角形均是直角三角形，1）：若∠ABD=︒90，则∆ABC 为直角三角形，如图(7）；2）：若∠ADB=︒90，则∆ABC 为等腰三角形或直角三角形，如图（8)或（9）；3）：若∠BAD=︒90，则∆ABC 为等腰三角形且∠BAC=︒120，如图（10）所示CD B（6） （7） (8)AB CA B（9） （10） 综上所述：三角形为等腰三角形或直角三角形的时才可以分解为三个相似的三角形。
3：n=5时（即一个三角形被分解成5个不重叠的相似三角形）设三角形既不是等腰三角形也不是直角三角形，如果他能分解成 5个相似的 三角形，我们分析以有几种可能，（1） :如图（11）所示，将∆ABC 首先分解为4个三角形，再将∆ DEF 或∆BDF分解为2个三角形即得5个相似的三角形，根据以上对n=2的讨论，易知这5个相似三角形均为直角三角形,则不妨设∠AFE=∠EDC=︒90，根据相似的性质有∠FAE 与 ∠DCE 相等或互余。
BC （11）)1: 若∠FAE与∠DCE相等，则∆ABC为等腰三角形；（AB=BC)。
2) : 若∠FAE与∠DCE互余，则∆ABC为直角三角形；（∠B=︒90）。
与题设中∆ABC的假设矛盾，所以此种情况不可能。
（2）:将∆ABC分为3个三角形，若要得到5个相似三角形，则有以下两种分解方法：1): 如图（12）任选3个三角形中的一个，再分解为3个三角形，既得5个三角形,CB（12）此时不妨假定将∆BCD分解为3个三角形，且与其他2个三角形相似。
则根据n=3的讨论分析知1>: 当∆BCD为正三角形时，所分的3个三角形是有一角为的︒120的等腰三角形，此时∠ADB与∠ADC的和为︒300，则必有一角大于︒150，与他们彼此相似矛盾。
2>: 对于其他情况，∆BDC所分解成的3个三角形均为直角三角形，此时∠ADB与∠ADC的和必大于︒180，则必有一角为钝角，与他们彼此相似矛盾。
（其他情况类似）2): 如图（13）任选3个三角形中的2个，各分为2个三角形，既得5个三角形,CB（13）不妨假设将∆ADC与∆BDC各分解为2个三角形，根据以上对n=2的论知：所得的5个三角形均为直角三角形，因此∠ADC与∠BDC的和大于︒270，从而两个角均为钝角，所以根据n=2的讨论知：AD=DC,DC=BD, 所以AD=BD，所以∆BDA为等腰直角三角形，所以有∠DAB=∠DBA=∠DAC=∠DBC=︒45，显然不可能，所以此分法不行。
（3）:如图（14）所示中，首先将∆ABC分解为2个三角形，然后各分为2个和3个三角形，既得5个三角形。
C BDB C（14）（15）AD将∆ABC分为两个三角形的情况有三种情况：1）：当∠ADC=︒90时，如图（15）∆ADB 与∆ADC均为直角三角形,根据n=2的讨论知：∆ADB分解成的2个三角形均与三角形ADB相似，根据n=3的讨论分析知∆ADC分解成的个三角形均与ADC相似，要使5个三角形彼此相似，则必有∆ABD与∆ ACD相似，易知∆ABC为等腰或直角三角形，与题设中三角形的假设矛盾，所以此方法不可能。
2): 当∠ADC 为钝角时，如图（16）根据n=3的讨论知AD=DC且∆ADC分解成的3个三角形均为有一角为α的直角三角形，从而∠ADB=2αB(16)1>: 当∠ADB被一条高分解成的2个直角三角形有一个含∠ADB 时要使分解成的5个三角形相似，则必有∠DAE=α,所以α=︒30当∠BAE=α时如图（17）有∠BAC=︒90(为直角三角形）;当∠BAE=2α时如图（18）有∠BAC=︒120且AB=AC（为等腰三角形）;C BDEB C（17）（18），与题设中∆ABC的假设矛盾，所以此分解法也不行。
2>:当∠ADB被一条高分成的两个三角形均不含∠ADB时，(如图(19)所示)显然当∠ADB被一分为二时，才可得∆AED与∆BED相似，否则，假定∠ADE>α则∠BDE<α，因为∆ADC分成的三个三角形均为有一个角为α的三角形，要使5个三角形相似，则必须有∠DBE=∠DAE=α进而则∠ADE与∠BDE相等，与∠ADE与∠BDE的假设矛盾，此时α=︒30，所以∠BAC=︒90，与题设中三角形的假设矛盾，所以此分法不行。
B(19)3): 当∆ADC为锐角时，如图（20）所示，要是∆ABD分成的两个三角形相似则必有AD=BD,这是∆ABD被分解为2个含锐角α的直角三角形，∆ADC 分解为3 个三角形，根据 n=3的讨论分析知，所分解成的3个三角形中必有一个含∠ADC 或∠ACD ，因为∠ADC=2α， 要使5个直角三角形相似，则知α=︒30，∠ADC=︒60，分解方法如图(20)若∠D AC=︒90，则∠BAC=︒120且AB=AC ，与∆ABC 的假设矛盾，若∠ACD=2α，则∠BAC=︒90，∆ABC 为直角三角形，与题设假设矛盾,所以此分解方法也不行。
（4）：首先将三角形分解成2个三角形，再将其中一个分解为4个三角形，既 得5 个三角形，如图（21.1 ） 如果将∆ADC 按下图（21.2）分解成4个相似三角形，每一个均与∆ADC 相似，要使5个三角形相似，则必定有∆ABD 与∆ADC 相似根据n=2的讨论分析知∆ABC 必为等腰或直角三角形，BED（21.1） （21.2）因此在∆ABC 不是等腰或直角三角形时，要使∆ADC 分解成的4个三角形与∆ABD 彼此相似，则∆ADC 一定是特殊的三角形，且只有以下八种方法可以分为4个相似三角形：C (22.1) (22.2) (22.3)B CDDD(22.4) (22.5) (22.6)DD(22.7) (22.8)上图中仅有（22.1）中，所分解成的相似三角形不是直角三角形，这时∆ABD非直角三角形，只能如图（23）所示则∠ABD=3︒0，∠ACB=︒30，AB=AC.其他情况，∆ABD 均应为直角三角形；若∠BAD=︒90，则如图（24）所示，要是分解成的5个三角形相似，则钝角三角形分解成四个直角三角形必有一个含∠C，显然有∠C=∠B，则AC=AB，（否则∠C与∠B互补时有∠BAC=︒90，出现矛盾）从而AB=AC，则DAC只能为︒30（否则DAC=︒60时，BDA=︒90，与题矛盾）B CC（23）（24）（25）若∠ADB=︒90，如图（25）所示，则∆ADC所分解成的4个三角形都是直角三角形且必有一个含有∠ACD ,要使它们彼此相似，则∠ACD与∠B相等或互余，即∆ABC为等腰或只直角三角形，综上所述，当且仅当∆ABC是等腰或是直角三角形时才可以分解成5个相似三角形，根据以上对n=2,3,5的讨论：1：除等腰和直角三角形外，任意一个三角形都不能分解成2（或者3或者5）个相似的三角形，进而得出以下推论：推论1： 任意三角形均能分解成n （n ≠2,3,5）个不重叠的相似三角形；推论2：等腰三角形和直角三角形均可以分解为n 个相似的三角形；二：三角形的全等分解三角形的相似分解只涉及角的关系，而全等分解的条件却极为苛刻，因此， 我们不妨从特殊的角度出发，讨论分析一下有哪些三角形可以分解成一些不重叠的全等三角形。
通过对以上相似分解的各种情况的讨论，显然有下面一些结论: 1： 任意三角形均可以由图（1)的方法分解成n 个全等的三角形，但n 必须是平方数，证明 ：利用图（1）的方法每个小三角形的边长为对应边的n1因此，不妨设AB=a ，则小三角形对应AB 边的边长为na ， 因为大三角形和小三角形相似，所以根据相似比，边长比， 面积比的关系，有下列关系式成立：大S :小S =22)(na a∴ 大S :小S = 2n因为小三角形彼此全等，所以∆ABC 多分解成的小三角形的个数就为2n . 2： 由以上对三角形的相似分解的个数n=2,3,5的分析讨论易知：（1）：只有等腰三角形可以分解为2个全等的三角形，进而可以 分解为22n 个全等三角形。
