函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略含解析

压轴题10导数压轴大题的处理策略目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是:切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。

掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得。

为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考数学中多拿分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。

○热○点○题○型1分类讨论与极值点偏移问题○热○点○题○型2恒成立问题的处理策略○热○点○题○型3凹凸反转问题的处理策略1．已知函数()e 3xf x a x =--有两个零点．(1)求实数a 的取值范围．(2)函数()()()ln 1g x f x x x =+-+，证明：函数()g x 有唯一的极小值点．【答案】(1)2(0,e )(2)证明过程见解析【分析】(1)对函数()f x 求导，求出函数()f x 的单调区间，再利用函数图像，从而得出()f x 的最小值小于零，进而求出结果.(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数()g x 求导，得出导函数()g x '严格单调，进而再利用零点存在性原求出()0g x '=的零点，从而得到证明.2．已知2()e 2xf x x x =--.(1)若()f x 在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的极值点12,x x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭（()f x ''为()f x 的二阶导数）.【答案】(1)(),1-∞3．已知函数()2e a f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.(1)当12a =时，讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；(2)当a<0时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【答案】(1)在R 上单调递增.(2)21y x =+【分析】（1）先求函数()F x 的导函数()F x '，再利用导数证明()0F x '≥，由此判断函数()F x 的单调性；()()0,,0x x ∞ϕ∈+>，又e 0x >得，所以()(),0,0x m x ∞∈-'<，()()0,,0x m x ∞∈+'>，所以()m x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00m x m ≥=，因此函数()y m x =只有一个零点，即()11121e4e 42e 410x x x ax a a -+--+=只有一个解10x =，此时切线方程为21y x =+，所以曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程为21y x =+.【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.5．已知()()222ln 2a f x x a x x =-++.(1)讨论()f x 的单调性；(2)确定方程()22a f x x =的实根个数.(]0,e x ∈时，()g x 取值范围是⎛-∞ ⎝()e,x ∈+∞时，()g x 取值范围是0,⎛ ⎝所以当112e a +>，即22ea >-时，方程当112e a +=或102a +≤，即22e a =-当1012e a <+<，即222e a -<<-时，方程【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．6．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．7．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.是自然对数的底数，函数e ln ．(1)若2m =，求函数()()2e 422xx F x x f x =+-+-的极值；(2)是否存在实数m ，1x ∀>，都有()0f x ≥若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．∴()F x 的极大值为()22ln 26F =-；()F x 的极小值为()34ln22F =-．（2）因为0m >，由0mx m ->得1x >，即()f x 的定义域为()1,+∞．当0,1m x >>时，由()()e ln 0xf x m m mx m =+--≥可得，()()e ln ln ln 1x m m mx m m m m x +≥-=+-，不等式两边同时除以m 可得，()1e 1ln ln 1x m x m +≥+-，即()1e ln ln 11x m x m-≥--可得()ln e ln ln 11x mm x --≥--所以()()()()()ln 1ln eln ln 11eln 1x x mx m x x x --+-≥-+-=+-．设()e xh x x =+，则ln ln(1)e (ln )e ln(1)x m x x m x --+-≥+-即()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦．易得()e 10xh x '=+>，所以()h x 为单调递增函数．由()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦，可得()ln ln 1x m x -≥-，所以()ln ln 1m x x ≤--设()()ln 1H x x x =--，则()12111x H x x x -=-=--'．∴当()1,2x ∈时，()201x H x x '-=<-，即()H x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()201x H x x '-=>-，即()H x 单调递增．即()1,x ∈+∞时，()()min 22H x H ==；由题意可得()min ln 2m H x ≤=，即2e m ≤．∴存在实数m ，且m 的取值范围为(20,e ⎤⎦．【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.9．已知函数()()ln ,e e x x f x x g x -=-=-.(1)若[]()()0,1,x g x f a ∃∈>成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()πcos 2e x h x f x =+有且只有一个零点0x，且20π1e cos e 2e x g -⎛⎫<< ⎝⎭，f x 的导函数为f x 3πππ,π22n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内的零点为n x ，n *∈N .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：1πn n x x +-<.11．已知函数()ln f x m x x x=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，证明：()23e x x f x x <+．12．已知函数()()()211R 2f x x m x m =+--∈.(1)求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值；(2)若m为整数，且关于x的不等式()ln≥恒成立，求整数m的最小值.f x x(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，讨论10a -->和10a --≤时，()f x '的正负即可得出答案；（2）假设存在，求出()f x 在()()00,x f x 和()()11,x f x 处的切线方程，建立等式，将等式化简，减少变量，从而构造新的函数，研究新函数的单调性，即可证明.【详解】（1）()()1e x f x x a '=++，故1x a >--时，()0f x ¢>；1x a <--时，()0f x '<，当10a -->，即1a <-时，()f x 在()0,1a --单调递减，在()1,a --+∞单调递增；14．已知函数23()ln f x x x x =+-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()121234f x f x x x a-<-．轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．16．已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈【答案】(1)证明见解析(2)1m ≥-(3)证明见解析17．设函数1e 2,R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当[2,)x ∈-+∞时，不等式()()213e f x m x x -≥+-恒成立，求m 的取值范围．18．已知函数.(1)当12a =-时，讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)当0x >时，()1f x <，求实数a 的取值范围．19．讨论函数()()212ln f x ax x a x =+-+的单调性.么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代.(1)若()()1,14f x x g x x ==-，试判断在区间13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()f x 能否可被()g x 替代？(2)若()()()2sin ,ln cos f x x g x a x ==+，且函数()f x 在x ∈R 上可被函数()g x 替代，求实数a 的取值范围.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[]1,e 1-【点睛】思路点睛：常规函数求导问题中，涉及到三角函数的思路一般为两种：一、正常利用求导公式进行计算；二、利用换元法将三角函数换元进行计算。

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。

下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。

）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。

当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。

当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。

当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。

因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

破解高考导数压轴题的常见策略纵观近十年高考数学课标全国卷，容易发现导数压轴题有如下特点：主要考查导数的几何意义，利用导 数研究函数的单调性、极值、最值，研究方程和不等式. 试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合， 对函数与方程的思想，分类与整合的思想等都进行深入的考查.下面介绍破解高考导数压轴题的六种策略.1. 分类讨论分类讨论是高考数学解答题压轴题的常用方法，纵观 2007-2018 年高考数学课标全国卷解答题压轴题， 几乎每一道都有用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类，如何分类.例 1已知函数31()4f x x ax =++，()lng x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.2. 分离参数讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过 变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数， 通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况，则往往显得非常简捷、有效．例 2已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

3. 构造函数利用导数解决不等式问题是导数的一个非常重要的应用，其关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的 辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题.运用构造函数法来解题是培养学生创新意识的 手段之一.例3设函数1(0ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.4.合理放缩高考数学压轴题往往涉及函数不等式问题，由于高考命题基本上涉及超越函数，研究其单调区间时一般 涉及解超越不等式，难度非常高，往往陷入绝境.放缩法是解决函数不等式问题的一把利器，关键是如何合理 放缩.常见的一种放缩法是切线放缩法，曲线的切线为一次函数，高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧， 即除切点外，函数的图像在切线的上方或下方，利用这一特性，可以将参与函数放缩成一次函数.例 4设函数1(0ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.5.虚设零点导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点——导函 数的零点，因为导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点.可以说， 抓住了导函数的零点，就抓住了原函数的要点.在高考导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解相对 比较复杂甚至无法求解的问题.此时，不必正面强求，只需要设出零点，充分利用其满足的关系式，谋求一种 整体的代换和过渡，再结合其他统计解决问题，这种方法即是“虚设零点”.例 5(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．6. 多次求导高中函数压轴题一般需要求导，利用导函数的正负来判断原函数的增减.有些试题，当你一次求导后发现 得出的结果还存在未知的东西，导函数的正负没有清晰得表现出来时，就可以考虑二次求导甚至三次求导， 这个时候要非常细心，观察全局，不然做到后边很容易出错.例 6设函数()1xf x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围． x x 2f (x)x 2-=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x-->（）()g x ()h a ()h a教师版1. 分类讨论分类讨论是高考数学解答题压轴题的常用方法，纵观 2007-2017 年高考数学课标全国卷解答题压轴题， 几乎每一道都有用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类，如何分类.例 1（2015 年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理 21） 已知函数31()4f x x ax =++，()lng x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么 （i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<()0f x '>1x <<），所以x =14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a -<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点.综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点. 3. 分离参数讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过 变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数， 通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况，则往往显得非常简捷、有效．例 2（2013 年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理 21）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

高考函数与导数类压轴题的6大模型与23种考法总结！压轴
题不只学霸才能解~
只有学霸才会解'压轴题'嘛？
在高考数学里，这个问题的答案一定是否定的，数学压轴题十之有九是对函数与导数问题的考查，此类题型确实不简单，但极具规律性，属于难，但是容易备考的题型。

今天车车帮你整理好了压轴题的所有题型和命题角度，无论你的数学成绩如何，请务必试试攻克它。

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本文目录
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
2.求过某点的切线方程
3.已知切线方程求参数
题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型
2.主导函数为“一次函数”型
3.主导函数为“二次函数”型
4.已知函数单调性，求参数范围
题型三极值最值型
1.求函数的极值
2.求函数的最值
3.已知极值求参数
4.已知最值求参数
题型四零点型
1.零点(交点，根)的个数问题
2.零点存在性定理的应用
3.极值点偏移问题
题型五恒成立与存在性问题
1.单变量型恒成立问题
2.单变量型存在性问题
3.双变量型的恒成立与存在性问题
4.等式型恒成立与存在性问题
题型六与不等式有关的证明问题
1.单变量型不等式证明
2.含有e x与lnx的不等式证明技巧
3.多元函数不等式的证明
4.数列型不等式证明的构造方法。

导数压轴大题方法总结一、零点问题（隐零点压轴）【压轴1】已知函数f(x)=e x ln(x+m)（Ι）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.【压轴2】已知函数ln ()x f x x=．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21[,e ]e上的零点个数．【压轴3】已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =.(Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间；(Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：124ln x x e->.二、零点问题（放缩法压轴）【压轴1】设函数2)(--=ax e x f x.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值.【压轴2】已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.【压轴3】已知函数221ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e2ln 时，)(x g ＞a 2.【压轴4】已知函数121ln )(2+++=x ax x x f .（Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立.【压轴5】已知对任意的x ＞0，不等式1ln 2---x kx xe x ≥0恒成立，求实数k 的取值范围.【压轴6】已知函数x x x x f ln +=)(，当x ＞１时，不等式)∈(),()1(Z k x f x k ＜－恒成立，则的最大值为多少？三、対数平均【压轴1】【压轴2】已知函数2ln )(-+=xa x x f .（I）讨论)(x f 的单调性；（II）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.【压轴3】已知函数()()ln f x x ax b a b =-+∈R ，有两个不同的零点12x x ，．（I）求()f x 的最值；（II）证明：1221x x a < 【压轴4】已知函数()()ln ,x a f x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．（I）求实数m 的取值范围；（II）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．四、极值点偏移【压轴1】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.（I）求a 的取值范围（II）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x 【压轴2】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =-++-.（Ⅰ）若1a >-，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若01x <<，求证：()()11f x f x +<-；（Ⅲ）若0a >，设1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，记1202x x x +=，()'f x 为函数()f x 的导函数，求证：()0'0f x >.【压轴3】已知函数(),x f x x e x R -=⋅∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）已知()g x 与()f x 关于1x =对称，求证：1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：122x x +>.【压轴4】已知函数()()2ln +2f x x ax a x =--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设0a >，求证：当10x a <<时，11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅲ）若函数()y f x =的图像与x 轴交与A ，B 两点，线段AB 重点的横坐标为0x ，求证：()0'0f x <.【压轴5】已知函数()xf x e ax =+.（Ⅰ）若()f x 在0x =处切线过点()2,1-，求a 的值；（Ⅱ）讨论()f x 在()1,+∞内的单调性；（Ⅲ）令1a =，()()2F x xf x x =-，且12x x ≠求证：122x x +<-.【压轴6】已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e=++，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．【压轴7】已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-)0(<a ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”．试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由．【压轴8】已知函数()()11ln 0f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的极值点；（Ⅱ）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在,P Q 两点处的切线互相平行，证明：122x x +>五、二次求导【压轴1】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间.【压轴2】设a 为实数，函数()22,xf x e x a x R =-+∈。

高考数学如何应对复杂的导数题目导数作为高中数学中的重要概念之一，在高考数学中占有较大的比重。

高考数学中的导数题目往往涉及到复杂的计算和推理，对考生的思维能力和数学功底提出了较高的要求。

因此，考生在备战高考时需要针对导数题目进行有针对性的复习和应对。

本文将介绍一些应对复杂导数题目的方法和技巧。

一、搞清楚导数的定义和性质在应对导数题目之前，考生首先需要搞清楚导数的定义和性质。

导数的定义是衡量函数变化率的一个工具，其定义公式为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]同时，导数具有诸多基本性质，如加减法规则、乘法规则、链式法则等。

考生应该牢固掌握这些定义和性质，这将有助于理解和解答复杂的导数题目。

二、灵活运用导数的计算方法在复杂导数题目中，往往需要对函数进行求导运算，考生需要熟练掌握导数的计算方法。

常见的导数计算方法包括：1. 基本函数的导数运算：线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

2. 复合函数的导数计算：根据链式法则，将复合函数分解成几个简单函数的组合，然后通过基本函数的导数运算来求解。

3. 参数方程的导数计算：将参数方程转化成普通函数形式，然后运用基本函数的导数运算来求解。

考生需要熟练掌握这些导数计算方法，并能够灵活运用于解答复杂的导数题目。

三、建立导数的几何意义和应用除了求导的计算技巧外，理解导数的几何意义和应用也是应对复杂导数题目的重要环节。

导数的几何意义是函数在某点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点处的斜率。

因此，通过关注导数的符号、零点和变化趋势，能够更好地理解和解答导数题目。

此外，导数在实际问题中的应用也十分广泛，如求最值、判定变化趋势、求曲线的拐点等。

考生需要通过大量练习和实例，加深对导数几何意义和应用的理解和应用能力。

四、注重问题解决思路和方法选择在应对复杂导数题目时，注重解题思路和方法选择是至关重要的。

导函数压轴题中常见“套路”解析数学在高中阶段是一门重要的课程，在高考中占据一席之地。

在每年的高考试卷中，导数有关的函数题是每年必出的题目，且常常作为压轴题出现在试卷里。

在老师的帮助通过我在日常考试、练习中中遇到的导函数习题，将常见的解题思路梳理出来，然后结高考试卷中的题目详细说明。

一、解析导函数压轴题，首先应熟练掌控各类导函数的题型众所周知，作为压轴题的导函数为了拉开得分值，一般根据难易程度至少有两问或三许多同学对于第一问往往处理较好，但是对于第二问、第三问匆忙求导，不知不觉就走了陷阱中无法出来，使大家不知道自己从解题伊始的方向就错误了，具体来说就是对哪函数求导不明确，或为什么要构造新函数F(x) 和如何构造函数 F(x) 不明确。

因此想要熟解答这些题目，就要对导函数压轴题的出题方向有所把控，通过以往的考试和练习我发与导数知识相关的题目主要是方程求根、不等式问题及函数求值这三种，详细题型为以五类 :1、一元参数或二元参数方程根的个数与范围；2、一元参数或二元参数不等式的明；3、求含参函数的最值或单调区间；4、一元参数或二元参数不等式恒成立时已知含函数的最值，或者单调区间求某参数的范围；5、一元参数或二元参数方程根的个数和范求某参数的范围。

因此，无论考试卷子中导函数压轴题以什么形式出现，它但本质上就一道题多种问法而已。

同学们只要明白了这个道理，无论题目怎么千变万化的出，都难不我们了。

二、导数知识解析方程、函数、不等式的套路（一）函数解题中运用导数的常规套路例如：2017 年高考题中，已知函数 f（x）=ae2x+（a － 2）e x － x，请分析 f（x）的单调性。

这是高中数学中常见的函数导数题型，在这类题目进行单调性分析时，相信大家会习性的采用常规的解题方法——画图法去分析单调区间，但由于函数等式中有未知数a 的存图像画着画着就落不下笔去了。

因此，考虑用导数的相关知识解决这一问题，问题将迎刃解：解：由 f（x）=ae2x+（a － 2）e x － x，求导 f′（x）=2ae2x+（a －2）e x － 1，当 a=0 时，f′（x）= － 2e x － 1 ＜ 0；∴当 x ∈ R，f（x）单调递减；当 a ＞ 0 时，f′（x）=（2e x+1）（ae x － 1）=2a（e x+1/2）（e x －1/a）；令 f′（x）=0，解得：x=ln(1/a)，当 f′（x）＞ 0，解得：x ＞ ln(1/a)，当 f′（x）＜0，解得：x ＜ ln(1/a)，∴ x ∈（－∞，ln(1/a)）时，f（x）单调递减，x ∈（ln(1/a)，+ ∞）单调递当 a ＜ 0 时，f′（x）=2a（e x+1/2）（e x － 1/a）＜ 0，恒成立，∴当 x ∈ R，f（x）单调递减，综上可知：当a ≤ 0 时，f（x）在R 单调减函数，当a ＞ 0 时，f（x）在（－∞，ln(1是减函数，在（ln(1/a)，+ ∞）是增函数。

导数的大题题型及解题技巧
导数的大题题型包括函数的基本求导、复合函数的求导、参数方程的求导、隐函数的求导等。

下面介绍一些解题技巧。

1. 函数的基本求导：首先找到函数的导数定义，然后应用求导公式，根据函数的具体形式进行求导。

常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 复合函数的求导：根据链式法则，将复合函数分解成内函数和外函数，然后分别求导并乘起来。

注意求导的顺序和方法。

3. 参数方程的求导：对于参数方程，将每个变量用一个参数表示，然后对参数求导得到相应的导数。

常见的参数方程有直角坐标系和极坐标系。

4. 隐函数的求导：对于隐函数，首先根据给定的条件，利用导数的定义将自变量和因变量相互关联表示。

然后利用求导公式进行计算，最后求得导数。

5. 利用性质简化计算：对于一些特殊函数或特殊的情况，可以利用导数的性质来简化计算。

例如，奇偶性、周期性、对称性等。

6. 运用变速度思想：对于一些几何意义明确的问题，可以将导数理解为运动的速度，利用变速度思想进行求导。

例如，物体的位移、速度和加速度。

以上是导数的一些大题题型及解题技巧，希望对你有所帮助！。

考点透视故g ()x 在()0,x 0上为增函数，则g ()x >g ()0=0，故h ()x 在()0,x 0上为增函数，所以h ()x >h ()0=0，与题设相矛盾.若0<a ≤12，则h ′()x =()1+ax e ax-e x=eax +ln ()1+ax -e x，下证：对任意x >0，总有ln ()1+x <x 成立，设S ()x =ln ()1+x -x ，则S ′()x =11+x -1=-x 1+x<0，所以S ()x 在()0,+∞上为减函数，则S ()x <S ()0=0，即ln ()1+x <x 成立.所以e ax +ln ()1+ax -e x <e ax +ax -e x =e 2ax -e x ≤0，故h ′()x ≤0总成立，即h ()x 在()0,+∞上为减函数，所以h ()x <h ()0=0.当a ≤0时，h ′()x =e ax -e x +axe ax <1-1+0=0，所以h ()x 在()0,+∞上为减函数，所以h ()x <h ()0=0.所以xe ax -e x +1<0，xe ax -e x <-1，即f (x )<-1，综上可得，a ≤12.第一问比较简单，根据导函数与函数的单调性之间关系，即可判断出函数的单调性.对于第二问，要对参数a 的取值进行分类讨论，中间需要多次构造函数，进行多次求导，以根据导函数的正负判断出函数的单调性，进而求得原函数的值域.三、构造同构式有时通过等价变形，可将方程、不等式左右两端的式子变为结构一致的式子，即同构式，便可根据同构式的结构特征构造函数.然后对函数求导，运用函数的单调性来解题.同构法较为灵活，需仔细观察代数式的特点，对其进行合理的变形，从中发现，或通过类比、分析，找出同构式，以利用同构式，寻找新的解题途径.例3.已知函数f ()x =kx ()1-ln x ，其中k 为非零实数.（1）求f ()x 的极值；（2）当k =4时，在函数g ()x =f ()x +x 2+2x 的图象上任取两个不同的点M ()x 1,y 1、N ()x 2,y 2.当0<x 1<x 2<t 时，总有不等式g ()x 1-g ()x 2≥4()x 1-x 2成立，求正实数t 的取值范围.解：（1）f ()x =kx ()1-ln x ，其中k 为非零实数，则f ′()x =-k ln x ，x >0.①当k <0时，x ∈()0,1，f ′()x <0，则函数y =f ()x 单调递减；当x ∈()1,+∞时，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递增.所以，函数y =f ()x 有极小值f ()1=k ；②当k >0时，x ∈()0,1，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递增；当x ∈()1,+∞时，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递减.所以，函数y =f ()x 有极大值f ()1=k .综上所述，当k <0时，y =f ()x 有极小值f ()1=k ；当k >0时，y =f ()x 有极大值f ()1=k ；（2）当k =4时，f ′()x =-4ln x ，g ()x =x 2+2x -4ln x ，当0<x 1<x 2<t 时，总有不等式g ()x 1-g ()x 2≥4()x 1-x 2成立，即g ()x 1-4x 1≥g ()x 2-4x 2，构造函数F ()x =g ()x -4x =x 2-2x -4ln x ，由于0<x 1<x 2<t ，F ()x 1≥F ()x 2，则函数y =F ()x 在区间()0,t 上为减函数或常函数，而F ′()x =2x -2-4x =2()x -2()x +1x，因为x >0，解不等式F ′()x ≤0，得0<x ≤2.由题意可知()0,t ⊆(]0,2，可得0<t ≤2，因此，正实数t 的取值范围是(]0,2.在解答第二问时，要先将目标式变形为g ()x 1-4x 1≥g ()x 2-4x 2，即可发现该不等式左右两边的式子为同构式，于是构造函数F ()x =g ()x -4x =x 2-2x -4ln x ；再对其求导，讨论其单调性、最值，即可求得参数的取值范围.运用同构法解题的关键在于构造同构式和“母函数”.常用的“母函数”有：f (x )=xe x ，f (x )=e x ±x .除了上述三种技巧，解答导数问题的技巧还有数形结合、参变量分离、整体换元、放缩等，同学们需在练习时总结方法、技巧.由于导数问题较为复杂，有时解答一道题往往要用到多种方法.（作者单位：江苏省高邮市临泽高级中学）考点透视37。

巧妙导数压轴题
摘要：
1.导数压轴题的概念和特点
2.解决导数压轴题的常用方法
3.导数压轴题的实战演练
4.总结与展望
正文：
一、导数压轴题的概念和特点
导数压轴题是指在高考数学压轴题中，涉及到导数知识的问题。

它具有以下特点：题目难度较大，对学生的综合运用能力要求高，涉及知识点较多，考查学生的逻辑思维能力和创新能力。

二、解决导数压轴题的常用方法
1.导数与函数的性质相结合：导数是函数在某一点的变化率，因此可以利用导数研究函数的极值、最值、单调性等性质。

2.导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的切线斜率，因此可以利用导数解决一些几何问题。

3.利用导数的应用：如求解速度与加速度、变化率、切线方程等问题。

4.利用导数的性质：如求解函数的极值、最值、单调性等问题。

5.构造函数：通过构造函数，将问题转化为求解导数问题。

三、导数压轴题的实战演练
例题：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，求f"(x)。

解：由导数的定义可知，f"(x)=lim_(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。

将函数f(x) 代入得f"(x)=lim_(h->0) [((x+h)^3+a(x+h)^2+b(x+h)+c)-
(x^3+ax^2+bx+c))/h]。

经过化简，得f"(x)=3x^2+2ax+b。

四、总结与展望
导数压轴题是高考数学中的一个重要题型，解决这类问题需要学生具备扎实的导数知识，并能灵活运用导数的性质、几何意义及应用。

例说函数与导数压轴题解题秘籍摘要：导数题是高考数学难点，如果能利用函数的凹凸性、落比塔法则、“对数单身狗，指数找基友”、同构法、切线放缩等技巧。

则可以起化巧为拙，以拙胜巧之奇效！关键词：函数、导数、不等式导数题是高考数学压轴题中最常见的形式，其涉及函数的构造、不等式的解法、导数的运算、应用( 极值与单调性) 以及恒成立等诸多方面的内容，综合考查学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、运算能力、化归能力，以及函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想，对学生有极高的要求．而命题人由于教材内容的限制，给出的答案往往出人意料，显得太巧妙，太艰涩难懂，所以在高考有限的答题时间内，并不具有现实可操作性．如果利用函数的凹凸性、落比塔法则、“对数单身狗，指数找基友”、切线放缩等技巧。

则可以起化巧为拙，以拙胜巧之奇效！一、解题秘籍1：对数单身狗、指数找基友1、在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.2、在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”.由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.示例1.（2021年湖南省十五校联考）若不等式对所有都成立，求实数的取值范围．【解析】原问题等价于对所有都成立，令，，则．（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；（2）当时，令，则，在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．综上所述，实数的取值范围是．评析：1、上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．2、遇到f(x)e x＋g(x)的形式变形为e x·h(x)，其求导后的结果是[e x·h(x)]′＝e x·[h(x)＋h′(x)]，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.二、解题秘籍2：构建双函数，利用凹凸性示例2．（河北省“五个一名校联盟”2021届高三第二次诊断考试）已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．（2）当时，求证：．【解析】第（1）问略（2）要证，即证明．（利用“对数单身狗，指数找对友”原则进行等价转化）令，由得在上单调递增，在上单调递减，所以在的最小值，令，由，得，所以在上单调递增，在单调递减，最大值为，所以红，，原不等式成立．评析：利用”公切线”法证明函数型不等式，方法相当精妙!可实现精准放缩，证明方向也相当明确．但此方法只适用于一凸、一凹函数类型，若两函数同为凸函数或凹函数，可对不等式作适当变形，转化为一凸、一凹函数类型，再用”公切线”法证明．三、解题秘籍3：应用落比塔，锦上又添花不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。

函数与导数压轴题解法浅析（2017年课标卷文21题）f（x）=（1-x2）ex。

1.略。

2.x≥0时，f（x）≤ax+1求a的范围。

题目不难，可以选择洛必达法则，解法如下：①当x=0时，f（0）=（1-02）e0=a·0+1，此时a∈R。

②当x＞0时，f（x）=（1-x2）ex＜ax+1a＞，构造函数h（x）=，则h`（x）=，记p（x）=（-x3-x2+x-1）ex+1则p`（x）=-x（x2+4x+1）ex，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（0）=0∴p（x）＜0即h`（x）=＜0，limh(x)=lim=lim=1,故a的取值范围是[1，+∞）。

若不会使用洛必达法则，可选用常见的待定常数法，也是本文重点介绍的方法，解法如下：当x＞0时，对f（x）=（1-x2）ex＜ax+1构造含有待定常数的函数式。

比如：设g（x）=（1-x2）ex-1＜x-1（x＞0）其中k是待定的常数。

则g`（x）=（-x2-2x+1）ex-k[待定的常数是这样确定的，使构造的函数的导数值在定义域内不小于（不大于）0]。

如k=1则g`（x）=（-x2-2x+1）ex-k＜g`（0）= 0，在（0，+∞）上g`（x）＜0，∴g（x）单调递减。

g（x）＜g（0）=0，（1-x2）ex-x-1＜0，得到＜1（x＞0）。

①要f（x）=（1-x2）ex＜ax+1（x＞0）只需<a（x>0）②结合①与②得a≥1。

综上所述，a的取值范围是[1，+∞）。

该方法备选练习：2016年四川高考理科第21题；2015年山东理科第21题；2014年新课标理科第21题。

二、参变量分离法（完全分离或部分分离）（2016年新课标全国卷）已知函数f（x）=（x-2）ex+（x-1）2有两个零点。

（1）求a的取值范围。

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜2。

第（1）问，若选择参变量完全分离：令f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0显然x≠1。

“函数与导数”压轴大题的3大难点问题1．定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝ln x －ax ＋1，若f (x )有5个零点，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以要使f (x )在R 上有5个零点，只需f (x )在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a ＝ln x ＋1x 在(0，＋∞)上有2个根，等价于y ＝a 与g (x )＝ln x ＋1x(x >0)的图象有2个交点． g ′(x )＝－ln x x 2，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以g (x )的最大值为g (1)＝1.因为x →0时，g (x )→－∞；x →＋∞时，由洛必达法则可知：g (x )＝ (ln x ＋1)′(x )′＝ 1x＝0， 所以0<a <g (1)，所以0<a <1. 故实数a 的取值范围为(0,1)．2．已知函数f (x )＝ax e x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋x ＋1.若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：f (x )≥g (x )恒成立，即ax e x ≥ln x ＋x ＋1恒成立．因为x ＞0，所以a ≥ln x ＋x ＋1x e x. 令h (x )＝ln x ＋x ＋1x e x， 则h ′(x )＝(x ＋1)(－ln x －x )x 2e x. 令p (x )＝－ln x －x ，则p ′(x )＝－1x －1＜0，故p (x )在(0，＋∞)上单调递减，又p ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－1e＞0，p (1)＝－1＜0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得p (x 0)＝－ln x 0－x 0＝0，故ln x 0＋x 0＝0，即x 0＝e －x 0.当x ∈(0，x 0)时，p (x )＞0，h ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，p (x )＜0，h ′(x )＜0.所以h (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (x 0)＝ln x 0＋x 0＋1x 0e x 0＝1. 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝ax ＋b x＋c (a >0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1. (1)试用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a －b x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝1－1＝0，f ′(1)＝a －b ＝1， 得b ＝a －1，c ＝1－2a .(2)题设即“a ≥ln x ＋1x －1x ＋1x－2(x >1)，或a ≥x ln x －x ＋1(x －1)2(x >1)恒成立”． 设g (x )＝12(x －1)2＋(x －1)－x ln x (x ≥1)， 则g ′(x )＝x －ln x －1(x ≥1)，又g ″(x )＝1－1x恒大于0(x >1)， 所以g ′(x )单调递增(x >1)，所以g ′(x )>g ′(1)＝0，所以g (x )单调递增(x >1)，所以g (x )≥g (1)＝0(x ≥1)，当且仅当x ＝1时g (x )＝0，故x ln x －x ＋1(x －1)2<12(x >1)， x ln x －x ＋1(x －1)2＝12. 所以若a ≥x ln x －x ＋1(x －1)2(x >1)恒成立，则a ≥12， 即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4．已知函数f (x )＝ln x －a x－m (a ，m ∈R )在x ＝e(e 为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x 1，x 2.(1)求实数a 的值，以及实数m 的取值范围；(2)证明：ln x 1＋ln x 2>2.解：(1)f ′(x )＝1x ·x －(ln x －a )x 2＝a ＋1－ln x x 2(x >0)， 由f ′(x )＝0，得x ＝e a ＋1，且当0<x <e a ＋1时，f ′(x )>0，当x >e a ＋1时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝e a ＋1时取得极值，所以e a ＋1＝e ，解得a ＝0.所以f (x )＝ln x x －m (x >0)，f ′(x )＝1－ln x x 2， 函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e－m . 又x →0(x >0)时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→－m ，由f (x )有两个零点x 1，x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧1e －m >0，－m <0，解得0<m <1e .所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)证明：不妨设x 1<x 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2.则ln x 1x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 2x 1＝m (x 2－x 1)⇒m ＝ln x 2x 1x 2－x 1.欲证ln x 1＋ln x 2>2，只需证lnx 1x 2>2，只需证m (x 1＋x 2)>2，即证x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1>2. 即证1＋x 2x 1x 2x 1－1ln x 2x 1>2，设t ＝x 2x 1>1， 则只需证ln t >2(t －1)t ＋1，即证ln t －2(t －1)t ＋1>0. 记u (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则u ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0. 所以u (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以u (t )>u (1)＝0，所以原不等式成立，故ln x 1＋ln x 2>2.5．已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1. 解：(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x .令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0.即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x e x 有两个根． 设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x e x ， 当x ＜0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＜0； 当0＜x ＜1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0； 当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0. 作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e， 故实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，2e . 证明：由图可知函数f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝k e x 1－2x 1＝0得k ＝2x 1e x 1， 所以f (x 1)＝k e x 1－x 21＝2x 1e x 1e x 1－x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1. 由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1.所以0<f (x 1)<1.。