第1课时 一次函数的定义

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x ，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4： 国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x =≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0<x<10},y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y=f(x)的定义域为{x|−3≤x≤8,x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，则y=f(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B练习2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

19.2.2 一次函数青海一中李清第1课时一次函数的概念【知识与技能】1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系.2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题.【过程与方法】在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系.【情感态度】经历利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.【教学重点】1.一次函数的概念.2.根据已知信息写出一次函数的表达式.【教学难点】理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.一、情境导入，初步认识引导学生一起回忆函数、正比例函数的概念和两者间的关系.问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系.【分析】 y随x的变化规律是，从大本营向上海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃，因此y与x的函数关系为y=5-6x，变形可写成y=-6x+5.【教学说明】找出y与x的关系式后，引导学生观察这个函数式是不是正比例函数，它的形式与正比例函数解析式有什么异同？由学生共同讨论.二、思考探究，获取新知学生思考下列问题，写出对应的函数解析式：（1）有人发现，在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（单位：℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差.（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，h再减常数105，所得的差是G的值.（3）把一个长10cm，宽5cm的长方形的长减小xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化.【答案】（1）C=7t-35；（2）G=h-105；（3）y=-5x+50.【教学说明】让学生观察所写解析式的特点，并让学生认识到：各小题表示变量的字母虽然不同，但结构相同.变量间对应关系反映出了一种函数形式，与所取符号无关，找出这些式子的共同点，才能概括出一般规律.【归纳总结】（1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数.（2）当b=0时，得y=kx，故正比例函数是一次函数的特例.三、典例精析，掌握新知例1 下列函数中哪些是一次函数？哪些正比例函数？①y=-2x；②2yx=-；③y=2x2-3；④y=13x+2.【答案】①④是一次函数，①是正比例函数.【教学说明】一次函数包括正比例函数.例2 某校校办工厂的现有年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，由此可知，年产值发生了变化.（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果年数用x（年）表示，年产值用y（万）元表示，那么y与x之间有什么样的关系？（3）当年由1年增加到5年时，年产值是怎样变化的？【分析】由题意可知，现有年产值是15万元，以后每年增加2万元，可见，年数乘以2万元即为增加的产值.【答案】（1）在这个变化过程中，自变量是年数，因变量是年产值.（2）y=2x+15.（3）当年数由1年增加到5年时，年产值由17万元增加到25万元.例3托运行李P千克（P为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克须付2元，以后每增加1千克（不足1克的按1千克计）须增加费用5角，写出c与P的关系式，并计算出托运5千克行李的托运费.【分析】因为P千克可写成（P1）+1，其中1千克付费2元，P-1千克增加费用0.5（P-1），所以c=2+0.5（P-1）=0.5P+1.5.【答案】c=2+0.5（P-1）=0.5P+1.5.当P=5时，c=0.5×5+1.5=4（元）.即5千克行李的托运费是4元.【教学说明】在写系式时，应注意（P-）千克是增加的重量.类似的问题还有用水、用电、话费结算等，它们都是以分段形式收费的.四、运用新知，深化理解1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒.（1）求小球速度v随时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗？（2）求第2.5秒时小球的速度.2.汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（单位：升随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，y是x 的一次函数吗？3.气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃.高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃.（1）当0≤x≤11时，求y与x的关系式.（2）求当x=2，5，8，11时y的值.（3）求在离地面13km的高空处，气温是多少度？（4）当气温是-16℃时，问在离地面多高的地方？【教学说明】上述问题由学生思考并得出结果.【答案】1.（1）v=2t，是一次函数；（2）第2.5秒时小球的速度是5米/秒.2.y=50-5x，0≤x≤10，y是x的一次函数.3.（1）0≤x≤11时，y与x之间的关系式为y=38-6x.（2）分别为26，8，-10，-28.（3）气温是-28℃.（4）离地面9km高的地方.五、师生互动，课堂小结问题1 反思函数、正比例函数、一次函数的概念及它们间的关系.问题2 就本节课所学、所想、所思、所获，交流体会.【教学说明】引导学生用语言表述个人见解，指导获取正确清晰的知识点和知识间联系.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时重点是引领学生从整体的高度把握一次函数与正比例函数的概念间的关系，教师应选取适当的材料帮助学生从不同的角度认识这个知识点，并通过一定的练习指导学生巩固认识.教学中可重点指导学生表述、交流个人体会，再互相分析，在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质，再鼓励学生主动地应用于解决问题中，获得实际应用能力. 【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。

12.2 一次函数（第1课时）-教案一、教材分析 本节课是沪科版八年级(上)12.2一次函数的第一课时，主要内容是一次函数与正比例函数的概念，以及正比例函数的图象与性质，它是在前面函数的学习基础上作进一步的学习。

一次函数是初中阶段函数部分的重要内容，正比例函数图象与性质的学习是后面一次函数图象与性质学习的基础。

二、学情分析本节课之前，学生已初步掌握了函数的相关知识，在此基础上学习一次函数与正比例函数的概念、以及正比例函数的图象与性质，对学生来说并不陌生；但学生已有知识水平与认知水平具有层次性，从而在教学中引导学生动手操作、小组合作，让每位学生都参与进来、得到一定的收获，培养学生的合作意识。

三、教学目标1.理解一次函数与正比例函数的概念。

2.会画正比例函数的图象，掌握正比例函数的性质。

四、教学重点与难点重点:一次函数与正比例函数的概念及正比例函数的图象与性质。

难点:正比例函数的图象与性质。

五、教学过程(一)预习导学1.阅读教材第35页内容。

2.完成下列题目。

(1)某弹簧的自然长度为12厘米，在弹性限度内，每挂1千克就伸长0.5厘米，写出挂物后的弹簧长度y (cm)与物体的质量x (kg)之间的关系式是__________。

(2)一辆汽车的速度是60 km/h ，写出行驶路程y (cm)与时间x (kg)之间的关系式_____________。

(3)指出下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数，并说出b k ,的值。

①12-=x y ； ②x y 21=； ③x y 1=； ④n m 8100-=；⑤12-=x y 。

活动：由学生独立完成，教师检查，了解学生对本节知识的理解情况。

设计意图：培养学生自主学习与阅读理解的能力。

第2题的设置意在让学生了解一次函数的实际背景，检测学生对教材的理解情况，也是学生对自己阅读理解能力的自我检测。

(二)合作探究1.观察下列各式：(1)180030+=t h ；(2)30025+-=t Q ；(3)x y 2=；(4)x y 2-=； (5)t s 80=。