第一讲 集合的概念(例题)

第1课 集合的概念及运算◇考纲解读理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.◇知识梳理1.集合的基本概念：(1)一般地，我们把研究对象统称为_________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中的元素具有的三个特性是:____________、____________、___________.(3)集合有三种表示方法: 、 、 .还可以用区间来表示集合.(4)集合中元素与集合的关系分为______与______两种，分别用_____和_______来表示.(5)表示实数集的符号是_____;表示正实数集的符号是______;表示有理数集的符号是____; 表示整数集的符号是_____;表示自然数集的符号是_____;表示正整数集的符号是_____.2.集合间的关系:（1）若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的__ _,记作_ _.（2）对于两个集合A,B,若___________且___________,则称集合A=B.（3）如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的__________,记作___________.（4）___________________叫空集,记作______,并规定:空集是任何集合的_______.3.集合的基本运算:（1）A B =_______________________.（2）A B =_______________________.（3）若已知全集U,集合A U ⊆,则U C A =________________.4.有限集的元素个数若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有_____个，真子集有_____，非空子集有_____个， 非空真子集有_____ 个．◇基础训练1. (2008韶关一模)设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则AB =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A BCD ----2. (2007韶关二模)设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ）A .φB .{}7C .{}654321，，，，， D .{}7654321，，，，，， 3.（2007广州一模）如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B. )A C (B UC. A BD. )B C (A U4.(2008深圳一模)设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}◇典型例题例1． (2007佛山一模) 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )． A ．}01|{>x x B .｛x | x ＞0｝ C .｛x | x 0≥｝ D . }01|{≥xx变式：集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.例2．已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈， 如果A ∩B=B ，求实数a 的取值范围。

精心整理高一数学必修 1第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义:一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。

Venn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）注意：BA与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A?A②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合BC≠Φ，A∩C=Φ，求m的值1．已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是() A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A2．下列四个集合中，不同于另外三个的是() A．{y|y＝2}B．{x＝2}C．{2}D．{x|x2－4x＋4＝0}3．下列关系中，正确的个数为________．①∈R；②?Q；③|－3|?N*；④|－|∈Q.4．已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值．5．下列命题中正确的()①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对2(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于()A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x≥4}2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝() A．{3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项的个数是()A．1B．2 C．3D．4二、填空题5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．三、解答题7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，。

集合的概念与运算例题及答案1 集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点：1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法何时用描述法},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗 }1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈，⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。

第一讲 集合的概念及其运算1、子集的个数例1、（1）若{ 1,2 }A ⊆{ 1,2,3,4 },求满足这个关系式的集合A 的个数（2）已知集合A ={0、2、4}，},|{A b a b a x x B ∈⋅==、，则集合B 的子集的个数为 。

（3）从自然数1～20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M 的元素，则M 的真子集共有 个。

☆规律方法总结：(1)子集的个数：一个有n 个元素的集合，其①子集有 个；②真子集有 个；③非空子集有 个；④非空真子集有 个； (2)已知集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则满足M N P ⊆的集合P 的个数为12--m n2、集合中元素的个数例2、(1)已知集合M,N 分别含有8个、13个元素,若N M 中有6个元素, ①求N M 中的元素个数. ②当N M 含多少个元素时,φ=N M .(2)50名学生参加跳远和铅球两样测试，跳远和铅球测验成绩分别及格40人和31人，两次测验成绩均不及格的有4人，则两项成绩都及格的人数是（ ）A 、35B 、25C 、28D 、15(3) 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 3、集合间的关系例3、判断下列两集合之间的关系⑴ },14|{},,12|{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== (2)},2|{},,12|{22R b b b x x B R a a a x x A ∈-==∈++== (3) },24|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==ππππ 4、方程、不等式与集合例4、(1) 已知方程0)(,0)(==x g x f 的解集分别为B A ,。

① 写出方程0)()(=⋅x g x f 的解集② 写出方程0)()(22=+x g x f 的解集③ 写出方程0)()(=x g x f 的解集 (2)已知不等式0)()0(>>x g x f ，的解集分别为B A 、, 0)()0(<<x g x f ，的解集分别为N M 、。

集合的概念习题答案集合是数学中的一个基本概念，它表示一组具有某种特定性质的对象的全体。

以下是一些集合概念的习题及其答案：1. 定义集合习题：定义一个集合A，包含所有小于10的正整数。

答案：集合A可以表示为A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

2. 集合的表示习题：用描述法和列举法表示集合B，B包含所有偶数。

答案：描述法：B = {x | x是偶数}；列举法：B = {2, 4, 6,8, ...}。

3. 子集习题：判断集合C = {1, 3, 5, 7}是否是集合D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}的子集。

答案：C不是D的子集，因为C中的元素1, 3, 5, 7并不完全包含在D中。

4. 并集习题：求集合E = {1, 2, 3}和集合F = {3, 4, 5}的并集。

答案：E和F的并集是E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5}。

5. 交集习题：求集合G = {1, 2, 3, 4}和集合H = {3, 4, 5, 6}的交集。

答案：G和H的交集是G ∩ H = {3, 4}。

6. 差集习题：求集合I = {1, 2, 3, 4, 5}和集合J = {4, 5, 6, 7}的差集。

答案：I和J的差集是I - J = {1, 2, 3}。

7. 幂集习题：求集合K = {a, b}的幂集。

答案：K的幂集是P(K) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}。

8. 集合的运算习题：求集合L = {1, 2}和集合M = {2, 3}的差集、交集和并集。

答案：L和M的差集是L - M = {1}，交集是L ∩ M = {2}，并集是L ∪ M = {1, 2, 3}。

9. 无限集合习题：描述自然数集合N。

答案：自然数集合N可以表示为N = {1, 2, 3, ...}。

10. 集合的相等习题：判断集合O = {1, 2, 3}和集合P = {3, 2, 1}是否相等。

1.集合与元素 一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。

2．集合的特征(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A ；不属于()，a∈A ．(3)自然数集：N ；正整数集：N *或N ＋；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R.(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn 图图示法．3．集合的基本关系集合与集合：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：∈含有n 个元素的集合有2n 个子集；∈含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；∈含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：用适当的方法表示下列集合．(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；(2)绝对值等于6的数组成的集合；(3)所有三角形组成的集合；(4)直线y ＝x 上去掉原点的点组成的集合；(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；(6)24的所有正因数组成的集合；1.1集合的概念知识讲解典型例题(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用列举法表示为{B ，R ，I ，C ，S}．(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．(3)用描述法表示为{x |x 是三角形}或{三角形}．(4)用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．(5)用描述法表示为{x |2＜x ＜5，且x ∈Q }．(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(7)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |到y 轴的距离为|x |所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．例2：下列各组集合中表示同一集合的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合；对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合；对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，，集合的元素是点，集合不表示同一集合．一、选择题1．下列各组对象中能构成集合的是（ C ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2. 下列命题中正确的是( C ){(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N ={(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 同步练习∈0与{0}表示同一个集合；∈由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．∈和∈B ．∈和∈C ．∈D ．∈和∈解析：选C ∈中的0不是集合，故∈错；由集合中元素的无序性知∈正确；由集合中元素的互异性知∈错；因为集合{x |4<x <5}表示无限集，它不可以用列举法表示，故∈错．3．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( C )∈M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} ∈M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)} ∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{t |t ＝x 2－1}∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}A ．∈B ．∈C ．∈D ．∈解析：选C 在∈中，M ＝{3，－1}是数集，P ＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故∈错误；在∈中，M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故∈错误；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，P ＝{t |t ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故∈正确；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}表示数集，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故∈错误，故选C.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋12n ，n ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n －1n ，n ∈N *D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N * 解析：选D 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N *. 5．集合{x |x 2－6x ＋9＝0}中的所有元素之和为( )A ．0B ．3C ．6D ．9解析：选B ∈{x |x 2－6x ＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.6．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为（ B ）A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或37．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．8．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．9．集合中的不能取的值的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】由题意可知，且且，故集合中的不能取的值的个数是个．二、填空题1．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【答案】{4,9,16} [由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．]2. 以下五个写法中：∈{0}∈{0，1，2}；∈∈∈{1，2}；∈{0，1，2}={2，0，1}；∈0∈∈；∈A∩∈=A ，正确的个数有 2 个。

集合知识点总结带例题一、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象构成的整体。

集合是一个无序的整体，它只关心集合中包含的元素，与元素的排列顺序无关。

2. 元素集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物或对象，例如数字、字母、集合等。

3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅ 或 {} 表示。

4. 包含关系若集合 A 中的所有元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 包含在集合 B 中，通常用符号A⊆B 表示。

5. 相等关系若集合 A 包含在集合 B 中，并且集合 B 包含在集合 A 中，则称集合 A 和集合 B 相等，通常用符号 A=B 表示。

6. 子集若集合 A 包含在集合 B 中，且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，通常用符号A⊂B 表示。

7. 并集若集合 A 和集合 B 的元素都包含在一个新的集合中，则称该集合为 A 和 B 的并集，通常用符号A∪B 表示。

8. 交集若集合 A 和集合 B 的公共元素构成一个新的集合，则称该集合为 A 和 B 的交集，通常用符号A∩B 表示。

9. 完全集一个包含所有可能元素的集合称为完全集。

10. 互斥集若集合 A 和集合 B 没有共同的元素，则称集合 A 和集合 B 互斥。

二、运算1. 并集对于两个集合 A 和 B，它们的并集是一个包含 A 和 B 所有元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集对于两个集合 A 和 B，它们的交集是一个包含 A 和 B 共同元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∩B={3}。

3. 补集对于一个集合 A，它在另一个集合 U 中的补集是指 U 中不属于 A 的元素所组成的集合，通常用符号 A' 或 A^c 表示。

4. 差集对于两个集合 A 和 B，它们的差集是包含在 A 中但不包含在 B 中的元素所组成的集合，通常用符号 A-B 表示。

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么{}0123456789A ,,,,,,,,,=.（2）设方程2x x =的所有实数根组成的集合为B ，那么{}0,1B =.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成{}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0A =等.例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程220x -=的所有实数根组成的集合A ；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B .解：（1）设x A ∈，则x 是一个实数，且220x -=.因此，用描述法表示为{}2|20A x x =∈-=R .方程220x -=，，因此，用列举法表示为A =.（2）设x B ∈，则x 是一个整数，即x ∈Z ，且1020x <<.因此，用描述法表示为{}|1020B x x =∈<<Z .大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为{}11,12,13,14,15,16,17,18,19B =.练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）与定点A ，B 等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.【详解】（1）与定点A ，B 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.2.用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R .【答案】①.∈②.∉③.∉④.∉⑤.∈⑥.∈【解析】【分析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.【详解】0是自然数，则0N ∈；3-不是自然数，则3N -∉；不是整数，则0.5Z Z ∉；13是有理数，则13Q ∈；π是无理数，则R π∈故答案为：(1)∈；(2)∉；(3)∉；(4)∉；(5)∈；(6)∈【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）一次函数3y x =+与26y x =-+图象的交点组成的集合；（3）不等式453x -<的解集.【答案】（1）{3,3}-；（2）{(1,4)}；（3）{|2}x x <.【解析】【分析】（1）求出方程的根，用列举法表示即可；（2）求出交点，用列举法表示即可；（3）化简不等式，用描述法表示即可.【详解】（1）2903x x -=⇒=±，则该方程所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）由326y x y x ìïïí=+ï=-+ïî解得：14x y ==⎧⎨⎩，则图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（3）不等式453x -<可化为2x <，则该集合为{|2}x x <【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.习题1.1复习巩固4.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ；（2）若{}2|A x x x ==，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N ，则8_______________C ，9.1____________C .【答案】（1）,,,∈∉∈∉（2）∉（3）∉（4）,∈∉【解析】【分析】（1）根据国家的地理位置直接得到答案.（2）计算得到{}{}2|0,1A x x x ===，再判断关系.（3）计算得到{}{}2|602,3B x x x =+-==-，再判断关系.（4）计算得到{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，再判断关系.【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国A ∈，美国A ∉，印度A ∈，英国A ∉；（2）{}{}2|0,1A x x x ===，故1A -∉；（3）{}{}2|602,3B x x x =+-==-，故3A ∉；（4）{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，故8,9.1A A ∈∉；故答案为：（1）,,,∈∉∈∉；（2）∉；（3）∉；（4）,∈∉【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.5.用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{}(1)(2)0A x x x =-+=；（3）{}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】（1）{}2,3,4,5（2）{}1,2A =-（3）{}0,1B =【解析】【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.【小问1详解】大于1且小于6的整数组成的集合为{}2,3,4,5；【小问2详解】{}{}(1)(2)01,2A x x x =-+==-【小问3详解】{}{}{}3213120,1B x Z x x Z x =∈-<-<=∈-<<=综合运用6.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）{|37}x N x ∈<<；（4）中国古代四大发明【答案】（1）{|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}（3）{4,5,6}（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}【解析】【分析】（1）用描述法写出集合得到答案.（2）用列举法写出集合得到答案.（3）用列举法写出集合得到答案.（4）用列举法写出集合得到答案.【详解】（1）{2,4,6,8,10}={|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}.（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.（3）{|37}{4,5,6}x N x ∈<<=.（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.7.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集【答案】（1）{|4}y y ≥-（2）{|0}x x ≠（3）4|5x x ⎧⎫≥⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）求二次函数的值域得到答案.（2）求反比例函数的定义域得到答案.（3）解不等式得到答案.【详解】（1）二次函数24y x =-的函数值为y ，∴二次函数24y x =-的函数值y 组成的集合为{}2|4,{|4}y y x x R y y =-∈=≥-.（2）反比例函数2y x =的自变量为x ∴反比例函数2y x=的自变量组成的集合为{|0}x x ≠.（3）由342x x ≥-，得45x ≥，∴不等式342x x ≥-的解集为4|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.拓广探索8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．康托尔（Georg Cantor ，1845—1918）。

第一章第一节集合的含义与表示1.1典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合（1）班级里学习好的同学（2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数（4）绝对值小于0.1的数答：否能否能例2：判断以下对象能否构成一个集合（1）a ，-a（2），0.5 答：否否例3：判断下列对象是否为同一个集合｛1，2，3｝｛3，2，1｝答：是同一个集合 例4：42=x 解的集合答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合（1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师答：｛整数｝｛考王教育的英语老师｝例6：用符号表示法表示下列集合（1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合（4）所有绝对值小于6的实数的集合答：（1）},5z k k x x ∈=｛（2）｛三角形｝ （3）(){}12,-=x y y x （4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4}答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集 （1）一百万以内的自然数；（2）0.1和0.2之间的小数 答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。

(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅}答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。

1.1随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x. 3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）young 中的字母；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）门前的大树（4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集； （2）平方不超过50的非负整数；（3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B 的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。

1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C， 表示，元素用小写字母a，b，c， 表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D【答案】D【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.【详解】A ，B ，C 中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D 中的对象不具备确定性．故选：D ．变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形【答案】B【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A 正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B 错误；方程210x -=的实数解是1x ，可以构成一个集合，故C 正确；周长为10的所有三角形可以构成一个集合，故D 正确；故选：B.变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A ．我校所有体质好的同学B ．我校所有800米达标的女生C ．全国所有优秀的运动员D ．全国所有环境优美的城市【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．【详解】A 中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；B 中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；C 中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；D 中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，故选：B ．变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.【详解】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1 NB ．*0N C QD ．2R5【答案】B【分析】根据常用数集的范围判断即可.【详解】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；Q C 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14R B QC ．3 ND Z【答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14R ，故A 正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3 N ，故C 错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z ，π______Q ．【答案】【详解】 =3,2,1,0,1,2,30 Z Z∵ Q ∵为有理数集合，π Q故答案为：,变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N ．【答案】【分析】根据元素和集合的关系求解即可.【详解】因为集合N 代表自然数集（非负整数集），N 4N ，故答案为： ， 5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。

集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础且重要的概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。

如果一个元素 x 属于集合 A，我们记作 x ∈ A；如果 x 不属于集合 A，记作 x ∉ A。

集合有多种表示方法，常见的有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，例如集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是用元素所满足的条件来描述集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

图示法包括韦恩图等，能够直观地展示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

下面通过一个例题来加深对集合概念的理解。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛x ｜ x² 6x ＋ 8 ＝ 0}，判断 A 和 B 的关系。

首先求解集合 B 中的方程 x² 6x ＋ 8 ＝ 0，即（x 2)（x 4) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 4，所以集合 B ＝｛2, 4}。

因为集合 A 中的元素 1、3 不属于集合 B，集合 B 中的元素 2、4 不属于集合 A，所以 A 和 B 没有包含关系。

二、函数的基本概念函数是数学中另一个重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 与之对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。

第一讲 集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1） （2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3） （4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。

高一数学必修一集合知识点及例题讲解高一是数学学习的关键阶段，而集合作为数学基础中的基础，对于后续数学知识的学习具有重大意义。

本文将针对高一数学必修一中的集合知识点进行梳理，并通过例题讲解，帮助大家更好地理解和掌握这部分内容。

一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

2.集合的表示方法：列举法、描述法、图形法等。

3.集合的元素：集合中的每一个对象称为元素，用小写字母表示。

4.集合的基数：集合中元素的个数称为集合的基数。

5.集合间的关系：包含、相等、不相交。

6.集合的运算：并集、交集、补集。

二、集合的表示方法及例题1.列举法：将集合中的元素全部列举出来。

例题：用列举法表示集合A={x|x是小于10的自然数，且是3的倍数}。

解答：A={3, 6, 9}。

2.描述法：用性质、规律等描述集合。

例题：用描述法表示集合B={x|x是正整数，且x的平方根是整数}。

解答：B={x|x=n^2，n为正整数}。

3.图形法：用图形表示集合。

例题：用图形法表示集合C={（x，y）|x^2+y^2=1}。

解答：C表示单位圆上的所有点。

三、集合的运算及例题1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，表示A和B中所有元素组成的集合。

例题：设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，求A∪B。

解答：A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，表示A和B中共有的元素组成的集合。

例题：设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，求A∩B。

解答：A∩B={3}。

3.补集：在全集U中，集合A的补集，记作A，表示不属于A的所有元素组成的集合。

例题：设U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，求A。

解答：A={4, 5}。

通过以上集合知识点及例题讲解，相信大家对集合的概念、表示方法和运算有了更深入的理解。

第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作aa∉∈A ，相反，a不属于集合A 记作A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}∈| x-3>2}或{x| x-3>2}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合X=－5｝3．空集不含任何元素的集合例：{X|2二、例题解析例1、判断下列说法是否正确？说明理由（1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合；（2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素；（3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合；（4）所有与2非常接近的数字；（5）所有与小明走的很近的朋友例2、用列举法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程0)43)(32)(1(22=+++--x x x x x 的所有实数根组成的集合（3）由小于15的所有质数组成的集合；例3、用描述法表示下列集合：（1）坐标平面内抛物线12-=x y 的点的集合；（2）所有偶数的和；（3）3和4的所有正的公倍数的集合例4、试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）七大洲组成的集合；（2）由大于10小于16的所有整数组成的集合。

集合典型例题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One121. 集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合（1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________ 变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为 ___ （2） },36|),{(*N x Z xy y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭变式2：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B（4）已知集合M=}56|{*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a∈∈-，则集合M 中的元素为32. 用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________ 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{}R x x y y x ∈=,),（（2）能被3整除的整数 _______________________ {}Z n n x x ∈=,3.3. 已知集合{}10，=A ，{}A x x B ⊆=，{}A x x C ∈= （1）用列举法写出集合C B ,；（2）研究集合C B A ,,之间的包含或属于关系4. 命题 (1) {}200x ∈=；(2)(){}00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈表述正确的是 .5. 使用∉和∈和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”（3）“是正有理数” （4）“-1是整数”（5）“x 不是实数”6. 用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数 （2）五边形ABCDE 的对角线（3）左右对称的大写英文字母 （4）60的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，E B E A ∈∈,（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________ {}5=∈PA E P（2）说明下列集合的几何意义：{}5<∈PA E P ；{}PB PA E P =∈8. 当b a ,满足什么条件时，集合{}0=+b ax x 是有限集无限集空集9. 元素0、空集∅、{}0、{}∅三者的区别10. 请用描述法写出一些集合A ，使它满足：4（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；（ii ）集合A 只含有两个元素；（iii ）集合A 为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。

第一讲 集合的概念与运算技巧【例题解析】题型1． 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x 2＋1,x ∈R},N={y|y=x ＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1} 思路启迪：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y ∈R}={y|y≥1},∴应选D ．点评：①本题求M∩N ，经常发生解方程组21,1.y x y x ⎧=+⎨=+⎩0,1,x y =⎧⎨=⎩得1,2.x y =⎧⎨=⎩或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x 2,x ∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x ∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道思路启迪：类似上题知P 集合是y=x 2（x ∈R ）的值域集合，同样Q 集合是y= x 2＋1（x ∈R ）的值域集合，这样P∩Q 意义就明确了．解：事实上，P 、Q 中的代表元素都是y ，它们分别表示函数y=x 2,y= x 2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q P ，即P∩Q=Q ．∴应选B ．例3. 若P={y|y=x 2,x ∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x ∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=∅B ．P QC ．P=QD ．P Q思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x 2,x ∈R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q 集合是y=x 2,x ∈R 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为： P 表示函数y=x 2的值域，Q 表示抛物线y=x 2上的点组成的点集，因此P∩Q=∅．∴应选A ．例4（2007年安徽卷文）若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ⋂= （ ）A．{3} B．{1} C．∅D．{－1}思路启迪：{}==-===-=∴⋂=-，A x x xB x x x A B{|1,1}{|1,3},1.解：应选D．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．(a2－3a－8), a3＋a2＋例5.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－123a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．例6.已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,a c, a c2}．若A=B，则c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，．∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．思路启迪：由A ∪B=A B A ⇒⊆而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．解： ∵ A ∪B=A ， ,B A ∴⊆∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=∅，则令△<0得a ∈∅；若B={1}，则令△=0得a =2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a =2，此时2不是方程的根，∴a ∈∅；若B={1，2}则令△>0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a =3． 综上a 的值为2或3．点评：本题不能直接写出B={1，a －1}，因为a －1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去． 例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．解：任设a ∈A ，则a =3n ＋2=3(n ＋1)－1(n ∈Z)，∴ n ∈Z,∴n ＋1∈Z.∴ a ∈B,故A B ⊆． ①又任设 b ∈B ，则 b=3k －1=3(k －1)＋2(k ∈Z),∵ k ∈Z,∴k －1∈Z.∴ b ∈A ，故B A ⊆ ②由①、②知A=B ．点评：这里说明a ∈B 或b ∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9（2006年江苏卷）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）A . C A ⊆B .AC ⊆ C .C A ≠D . A =∅[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆，故选A.（2007年福建卷文）已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则B C A U ⋂等于（ C ） A ．{2} B ．{5} C ．{3，4} D ．{2，3，4，5}例10．（2006年辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A . 1B .3C .4D . 8[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C.例11．（2007年北京卷文）记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合P 和Q ．解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以0a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12. 已知A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合C 是________．解：由x 2－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=∅时，仍满足A ∪B=A ，当a =0时，B=∅，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 例13．（2007年北京卷理）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ． 思路启迪：先确定已知集合A 和B ． 解：{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23)，． 例14. 已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋(m ＋2)x ＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R *=∅可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围．解：由A∩R *=∅又方程x 2＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，()()2240,20,m m ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩或△=(m ＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4． 点评：此题容易发生的错误是由A∩R *=∅只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=∅漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言． 例15.已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若BA ，则实数p 的取值范围是________．解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须213 3.215p p p -≤+⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩∴ p 的取值范围是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=∅时，符合题设．应有：①当B≠∅时，即p ＋1≤2p －1p≥2． 由B A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.②当B=∅时，即p ＋1>2p －1p ＜2． 由①、②得：p≤3．点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=∅、A ∪B=∅，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例16.设全集U={x|0<x<10,x ∈N *}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．例18.设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋a x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a、b的值．思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋a x＋b=0的两根，∴a=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．【专题训练与高考预测】一.选择题:1．设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是（）A 、{a }=MB 、M ≠⊆{a }C 、{a }≠⊇MD 、M ⊇{a }2．已知全集U =R ，A={x|x-a |<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=∅，则a 的取值范围是（ ）A 、 [0，2]B 、（-2，2）C 、（0，2]D 、（0，2）3．已知集合M={x|x=a 2-3a +2，a ∈R}，N={x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是（ ）A 、 M ≠⊆NB 、M ≠⊇NC 、M=ND 、不确定4．设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是（ ）A 、11B 、10C 、16D 、155．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（ ）A 、15B 、16C 、31D 、32 6 集合M ={x |x =42π+kx,k ∈Z },N ={x |x =42k ππ+,k ∈Z },则( ) A M =N B M N C M N D M ∩N =∅7. 已知集合A={x|x 2－4mx ＋2m ＋6=0,x ∈R}，若A∩R －≠∅，求实数m 的取值范围．8． 命题甲：方程x 2＋mx ＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围． 9 已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( ) A －3≤m ≤4 B －3<m <4 C 2<m <4 D 2<m ≤410．集合M={}220,x x x a x R +-=∈，且M ∅⊂≠.则实数a 的取值范围是( )A. a ≤-1B. a ≤1C. a ≥-1D.a ≥111．满足｛a ，b ｝U M=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 412．若命题P ：x ∈A B ，则⌝P 是（ ）A. x ∉A BB. x ∉A 或x ∉BC. x ∉A 且x ∉BD. x ∈A B13．已知集合M=｛2a ,a ｝.P=｛-a ,2a -1｝；若card(M P)=3，则M P= ( )A.｛-1｝B.｛1｝C.｛0｝D.｛3｝14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=(){},,a b a p b Q ∈∈，则P*Q 中元素的个数是 () A. 3 B. 7 C. 10 D. 12二．填空题：15．已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M∩N=__________.16．非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠⊆{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________.17．设A=｛1，2｝，B=｛x ｜x ⊆A ｝若用列举法表示，则集合B 是 .18．含有三个实数的集合可表示为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20072008a b+= ． 三．解答题：19．设集合A={(x ，y)|y=a x+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A∩B 是单元素集合，求a 取值范围.20.设A={x|x 2+px+q=0}≠∅，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=∅，A∩N=A ，求p 、q 的值.21．已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M∩N ．22．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，且A∩B=B ，求实数m 范围．23．已知全集U =R ，且{}{}22120,450A x x x B x x x =--≤=-->，求()()U U C A C B . 24．已知集合{}{}22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤, 且{},34A B R A B x x =<≤，{},34A B R A B x x ==<≤，求a ,b 的值.【参考答案】1． C 2. A 3. C 4. C 5. D6. C 解析对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =nπ+4π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =nπ+2π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+43π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+45π,n ∈Z } 7．解：设全集U ={m|△=(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥32}． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6=0的二根为x 1、x 2均非负，1212340,226m U x x m m x x m ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+⎩则 因此，{m |m≥32}关于U 补集{m|m≤－1}即为所求．8．解：使命题甲成立的条件是：211240, 2.0m m x x m ⎧∆=->⇒>⎨+=-<⎩∴ 集合A={m|m>2}．使命题乙成立的条件是：△2=16(m －2)2－16<0，∴1＜m ＜3．∴ 集合B={m|1<m<3}． 若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：（1）m ∈A∩C R B ，（2）m ∈C R A∩B ．若为（1），则有：A∩C R B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；若为（2），则有：B∩C R A={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};综合（1）、（2）可知所求m 的取值范围是{m|1<m≤2，或m≥3}．9.D 解析 ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m ，即2＜m ≤410.C 11.D 12.B 13.D 14.B二.填空题:15. ∅； 16. 7 ； 17. {,{1},{2},{1,2}}∅； 18.-1.三.解答题:19. a ≥1或a ≤-1，提示：画图.20．8,16,p q =-⎧⎨=⎩或20,10,p q =-⎧⎨=⎩或14,40.p q =-⎧⎨=⎩ 21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。