(完整版)七年级下册6.1平方根知识点习题(可编辑修改word版)
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《平方根》同步练习1 课堂作业1.9的算术平方根是()A.-3B.±3C.3D2.一个数的算术平方根不可能是()A.正数B.负数C.分数D.非负数3的值在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间4.144的算术平方根是________;(-5)2的算术平方根是________;181的算术平方根是________.5.求下列各数的算术平方根:(1)0.64;(2)9116;(3)2.56;(4)0.6.求下列各式的值:(2).课后作业7() A.-3B.3C.-9D.98() A.-2B.±2CD.29.下列说法正确的是() A.7是49的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.-6是(-6)2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根10.下列运算正确的是()A.(5)5=--=B1 12 =C33 2244 =+=D0.5=±11.一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是() A.a+1B.a2+1CD112.用“>”或“<”连接下列各式:(2)(3)4-.13.若172.≈,22.84≈,则217________≈,________≈0.02284≈,则x =________.14.邻居张大爷家有一块正方形的花圃,面积为289m 2,张大爷要在花圃的四周围上栅栏,则至少需要栅栏的长度为________.15.求下列各式的值:16.小玉想用一张面积为900cm 2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为560cm 2的长方形纸片,使它的长、宽之比为2︰1,但不知是否能裁出来.小芳看见了说:“很明显,一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片.”你同意小芳的观点吗?小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗?答案[课堂作业]1.C2.B 3.C4.12 5 195.(1)0.8 (2)54 (3)1.6 (4)0 6.(1)147 (2)-3(3)9(4)45[课后作业]7.B8.C9.A10.B11.B12.(1)>(2)>(3)>13.0.2284228.40.000521714.68m15.(1)17(2)0.8(3)216.设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm.由题意,得2x·x=560,解得x=280>256,16>.∴2x>32,即裁出的长方形纸片的长大于32cm.而已知正方形纸片的面积为900cm2,则边长只有30cm,因此,我不同意小芳的观点小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片《平方根》同步练习2课堂作业1.下列各数中,没有平方根的是()A.(-3)2B.0C.1 8D.-632.求449的平方根,下列运算过程正确的是()A4 49 =B.27 =±C2 7 =D.2 7 =3.若x的一个平方根,则另一个平方根是________,x是________.4.2.25的平方根是________;19的平方根是________;1625的平方根是________.5.求下列各数的平方根:(1)196;(2)0.16;(3)25 169;(4)729.6.有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形,要做一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,则该正方形的边长应为多少?课后作业7.下列各式正确的是()A3=-B.3=-C3=±D3=±8.下列说法正确的是()A.14是0.5的一个平方根B.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0C.72的平方根是7D.负数有一个平方根9()A.±3B.3C.±9D.910.若a是(-3)2的平方根,b的一个平方根是2,则a+b的值为________.11.若一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是________.12.求下列各式的值:(1);(2);(4)13.求下列各式中x的值:(1)3x2=75;(2)292(1)8x-=;(3)2(x2+1)=5.38.14.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的值.15.为了促进全民健身活动的开展,改善居民的生活质量,某居民小区决定在一块面积为905m2的正方形空地上建一个篮球场.已知篮球场的面积是420m2,长是宽的2815倍,篮球场的四周必须留出1m宽的空地.请你计算一下,能否按规定在这块空地上建一个篮球场.答案[课堂作业]1.D2.B3 54.±1.513±45±5.(1)±14(2)±0.4(3)513±(4)53±6.设该正方形的边长为xcm.由题意,得x2=11×11+15×5=196.∵x>0,∴14x==.∴该正方形的边长应为14cm[课后作业]7.B8.B9.A10.1或711.212.(1)±30(2)-1.7(3)7 4(4)±1113.(1)x =±5 (2)14x =或74x = (3)x =±1.314.由题意,得2a -1=(±3)2,3a +b -1=42,解得a =5,b =2.∴a +2b =5+2×2=915.设篮球场的宽为xm ,那么长为28m 15x .由题意,得2842015x x = .∴x 2=225.∵x >0,∴15x ==.又∵228(2)90090515x +=<,∴能按规定在这块空地上建一个篮球场 《平方根》同步练习3同步练习:一、基础训练1.若一个偶数的立方根比2大,算术平方根比4小,则这个数是_______.2.下列计算不正确的是( )A ±2B 9C =0.4D 63.下列说法中不正确的是( )A .9的算术平方根是3B 2C .27的立方根是±3D .立方根等于-1的实数是-14 )A .±8B .±4C .±2 D5.-18的平方的立方根是( ) A .4 B .18 C .-14 D .146_______;9的立方根是_______.7______________(保留4个有效数字)8.求下列各数的平方根.(1)100;(2)0;(3)925;(4)1;(5)11549;(6)0.09.9.计算:(1)(2(3(4二、能力训练10.一个自然数的算术平方根是x,则它后面一个数的算术平方根是()A.x+1B.x2+1C1D11.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m的值是()A.-3B.1C.-3或1D.-112.已知x,y(y-3)2=0,则xy的值是()A.4B.-4C.94D.-94参考答案1.13.10,12,14 点拨:23<这个数<42,即8<这个数<16.2.A 2.3.C4.C =4,故4的平方根为±2.5.D 点拨:(-18)2=164,故164的立方根为14.6.±237.6.403,12.61 8.(1)±10 (2)0 (3)±35 (4)±1 (5)±87 (6)±0.3 9.(1)-3 (2)-2 (3)14(4)±0.510.D 点拨:这个自然数是x 2,所以它后面的一个数是x 2+1,则x 2+1.12.B 点拨:3x +4=0且y -3=0.。
6.1 平方根、立方根1.了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根.2.能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题. 3.知道开方是乘方的逆运算,会用开方求某些非负数的平方根. 4.能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.1.平方根(1)平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做二次方根.换句话说,如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根,例如22=4,(-2)2=4,则4的平方根是+2和-2(也可合写为±2),+2和-2都是4的平方根.(2)平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.(3)平方根的表示:正数a 有两个平方根,一个是a 的正的平方根,记作“a ”,读作“根号a ”,另一个是a 的负的平方根,记作“-a ”,读作“负根号a ”,这两个平方根合起来可记作“±a ”,读作“正、负根号a ”,其中a 叫做被开方数.【例1-1】求下列各数的平方根:(1)0.64;(2)3625;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-322.分析:要求一个数的平方根,我们可以根据平方根的概念,首先找到一个数,使它的平方等于已知的数,然后就可以求出这个数的平方根.解:(1)∵(±0.8)2=0.64,∴0.64的平方根是±0.8.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652=3625,∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322=⎝ ⎛⎭⎪⎫-322,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-322的平方根是±32.求一个数的平方根,必须牢记正数有两个平方根,它们互为相反数,不会因为表达形式的改变而改变,如⎝ ⎛⎭⎪⎫-322是个正数,那么它有两个平方根,不要错误地认为它的平方根仅有-32.【例1-2】下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;若没有,请说明理由. (1)2516;(2)0;(3)-4;(4)-0.49;(5)(-3)2. 分析:数的序号 存在情况 原因 (1) 有2个因为是正数,所以有两个平方根(5) 有2个 (3) 无因为是负数,所以没有平方根(4) 无 (2) 有1个 0的平方根是它本身 解:(1)因为2516是正数,所以2516有两个平方根.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542=2516,所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根,是它本身.(3)因为-4是负数,所以-4没有平方根.(4)因为-0.49是负数,所以-0.49没有平方根.(5)因为(-3)2=9,所以(-3)2为正数,有两个平方根.由于9的平方根是±3,所以(-3)2的平方根是±3.2.算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别:①表示方法不同:正数a 的平方根表示为±a ;正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;一个正数的算术平方根只有一个.③性质不同:一个正数的平方根有两个,可以是负数;一个非负数的算术平方根一定是非负数.平方根等于本身的数只有一个数,这个数是0;算术平方根等于本身的数有两个:0和1.(2)联系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一个;平方根和算术平方根都只有非负数才有.负数没有平方根和算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根:(1)196;(2)179;(3)16.分析:根据算术平方根的定义,求正数a 的算术平方根,也就是求一个非负数x ,使x 2=a ,则x 就是a 的算术平方根.(1)因为142=196,所以196的算术平方根是14.(2)因为179=169,⎝ ⎛⎭⎪⎫432=169,所以169的算术平方根是43,即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根,所以要先算出16,再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根,所以16=4.由于22=4,所以4的算术平方根是2,即16的算术平方根是2.解:(1)196=14.(2)179=169=43.(3)因为16=4,4的算术平方根是2,所以16的算术平方根是2.求正数a 的算术平方根,只需找出平方等于a 的正数.求一个分数的算术平方根或平方根,当这个分数是带分数时,要先化成假分数,再求这个数的算术平方根或平方根,不要出现11649=147的错误.3.开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方.(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值.用计算器求一个非负数的算术平方根,只需直接按书写顺序按键即可.例如,用计算器求529与44.81的算术平方根:①在计算器上依次键入529=,显示结果为23,因此529的算术平方根为529=23.②在计算器上依次键入44.81=,显示结果为6.940 271 88,如果要求精确到0.01,那么44.81≈6.94.(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算,是求平方根的过程.(2)开平方是平方的逆运算.我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. (3)平方和开平方之间的关系,我们可以这样来理解:已知底数m 和指数2,求幂,是平方运算,即m 2=(?);已知幂a 和指数2,求底数,是开平方,即(?)2=a .(4)选用的计算器不同,按键的顺序也不同,因此应该仔细阅读计算器的说明书,按照要求操作.【例3】求下列各式中未知数的值:(1)x 2=25;(2)(2a +3)2=16.分析:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,它有一正一负两个值.(1)因为x 2=25,所以x 就是25的平方根,有两个,是±5;(2)将2a +3看成一个整体,根据平方根的定义易知2a +3就是16的平方根,是±4,即2a +3=±4,在此基础上,分两种情况分别求出a 的值即可.解:(1)因为(±5)2=25, 所以x =±5.(2)因为(±4)2=16, 所以2a +3=±4.当2a +3=4时,解得a =12.当2a +3=-4时,解得a =-72.故所求a 的值是12或-72.利用开平方解方程的方法是:先把方程化为x 2=m (m ≥0)的形式,然后根据开平方得到x =±m .特别地,要注意整体思想的应用.4.立方根(1)立方根的概念:一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根).也就是说,如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.(2)立方根的表示方法:数a 的立方根记为“3a ”,读作“三次根号a ”,其中a 是被开方数,3是根指数,这里的根指数“3”不能省略.【例4】求下列各数的立方根:(1)27;(2)-27;(3)338;(4)-0.064;(5)0;(6)-5.分析:求一个数a 的立方根,关键是求出满足等式x 3=a 中x 的值,同时在学习了立方根的表示方法后,应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁.解:(1)因为33=27,所以327=3. (2)因为(-3)3=-27,所以3-27=-3.(3)因为338=278,而⎝ ⎛⎭⎪⎫323=278,所以3338=32.(4)因为(-0.4)3=-0.064, 所以3-0.064=-0.4. (5)因为03=0,所以30=0. (6)-5的立方根是3-5.开方开不尽的数,保留根号,如本题(6),-5的立方根是3-5.5.开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方. ①开立方与立方互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根.②被开立方的数可以是正数、负数和0;③求一个带分数的立方根时,必须把带分数化成假分数,再求它的立方根. (2)用计算器求一个数的立方根及近似值.用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同,主要差别是先按2ndf 键,再按书写顺序按键即可.例如用计算器求31 845,在计算器上依次键入2ndf 31845=,显示结果为12.264 940 82,若计算结果要求精确到0.01,则1 845的立方根为12.26,即31 845≈12.26.【例5】解方程:(1)125x 3-27=0;(2)(5x -3)3=343.分析:(1)把原方程变形为x 3=27125后,可知x 是27125的立方根.(2)把5x -3看做整体,则易知它是343的立方根,其值可求,在此基础上可求x .解:因为125x 3-27=0,所以x 3=27125.故x =35.(2)因为(5x -3)3=343,所以5x -3=3343=7, 即5x =10.故x =2.利用开立方解方程的方法:先把方程化为x 3=m 的形式,然后根据开立方得到x =3m .特别地,要注意整体思想的应用.6.立方根的性质正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致; (2)一个数的立方根是唯一的; (3)3-a =-3a ,3a 3=a ,(3a )3=a . 【例6】下列语句正确的是( ). A .64的立方根是2 B .-3是27的立方根C .125216的立方根是±56D .(-1)2的立方根是-1解析:因为64=8,而2的立方等于8,所以64的立方根是2,即A 正确,解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”;因为-3的立方是-27,所以-3是27的立方根是错误的;因为56的立方是125216,所以125216的立方根是56,因此C 是错误的;因为(-1)2=1,它的立方根是1,而不是-1,所以D 是错误的.故本题选A .答案:A(1)任何数都有立方根,而负数没有平方根;(2)任何数的立方根只有一个,而正数有两个平方根.7.用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型.(1)一个正数的两个平方根互为相反数,而互为相反数的两个数的和为零. (2)对于立方根来说,任何数的立方根只有一个,根据立方根的定义可知,3-a =-3a ,也就是说,求一个负数的立方根时,只要先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再取它的相反数即可.(3)当两个数相等时,这两个数的立方根相等.反之,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等.这与平方根不同,在平方根的计算中,若两数的平方根相等或互为相反数时,这两个数相等;若这两个数相等时,则两数的平方根相等或互为相反数.【例7-1】已知2x -1和x -11是一个数的平方根,求这个数.分析:因为2x -1和x -11是一个数的平方根,根据平方根的定义,可知2x -1和x -11相等或互为相反数.当2x -1和x -11相等时,可列出方程2x -1=x -11,当2x -1和x -11互为相反数时,可列出方程2x -1+x -11=0,从而求出x 的值,进一步可求出这个数.解:根据平方根的定义,可知2x -1和x -11相等或互为相反数.当2x -1=x -11时,x =-10,所以2x -1=-21,这时所求的数为(-21)2=441;当2x -1+x -11=0时,x =4,所以2x -1=7,这时所求的数为72=49. 综上可知,所求的数为49或441.【例7-2】若32a -1=-35a +8,求a 2 012的值.分析:根据立方根的唯一性和3-a =-3a ,可知2a -1与5a +8互为相反数,从而可构造出关于a 的一元一次方程2a -1=-(5a +8).进一步可求出a 2 012的值.解:因为32a -1=-35a +8,所以32a -1=3-5a +8,即2a -1=-(5a +8).解得a =-1.故a 2 012=(-1)2 012=1. 8.非负性的应用非负数指的是正数和零,常用的非负数主要有: (1)绝对值|a |≥0;(2)平方a 2≥0;(3)算术平方根a 具有双重非负性: ①a 本身具有非负性,即a ≥0;②算术平方根a 的被开方数具有非负性,即a ≥0. 非负数有如下性质:若两个或多个非负数的和为0,则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时,若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件,并挖掘出题目中隐含的非负性,就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解,从而收到事半功倍的效果.与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题,一般情况下都是它们的和等于0的形式.此类问题可以分成以下几种形式:一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |+( )2=0,| |+ =0,( )2+ =0〕,甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |+( )2+ =0〕;二是题目中没有直接给出平方数,而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形,然后再利用非负数的性质进行计算.【例8-1】如果y =2x -1+1-2x +2,则4x +y 的平方根是__________.解析:因为2x -1≥0且1-2x ≥0,所以2x -1=1-2x =0,即x =12.于是y =2x -1+1-2x +2=2.因此4x +y =4×12+2=4.故4x +y 的平方根为±2.答案:±2【例8-2】如果y =x 2-4+4-x 2x +2+2 012成立,求x 2+y -3的值.分析:由算术平方根被开方数的非负性知x 2-4≥0,4-x 2≥0,因此,只有x 2-4=0,即x =±2;又x +2≠0,即x ≠-2,所以x =2,y =2 012,于是得解.解:由题意可知x 2-4≥0且4-x 2≥0,因此x 2-4=0,即x =±2. 又∵x +2≠0,即x ≠-2, ∴x =2,y =2 012.故x 2+y -3=22+2 012-3=2 013.【例8-3】已知a -1+(b +2)2=0,求(a +b )2 012的值.分析:a -1表示a -1的算术平方根,所以a -1为非负数.因为(b +2)2为偶次幂,所以(b +2)2为非负数.由于两个正数相加不能为0,所以这两项都为0,因此解方程求值即可.解:因为a -1≥0,(b +2)2≥0,且a -1+(b +2)2=0,所以a -1=0,(b +2)2=0, 解得a =1,b =-2.故(a +b )2 012=(1-2)2 012=1.9.利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律.规律:如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位,则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位.即当被开方数扩大(或缩小)100倍时,其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍;当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时,其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律. 规律:如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位,则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位.即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时,其立方根相应地扩大(或缩小)10倍;当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时,其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索. 【例9】(1)观察下列各式:1+13=213,2+14=314,3+15=415,…,请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________.(2)借助计算器可以求出42+32,442+332,4442+3332,…,观察上述各式特点,猜想:22444333n n +L L 14243123个个=__________. 解析:(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1,被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1;第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1,被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1,…,故有n +1n +2=(n +1)1n +2(n ≥1). (2)借助计算器,可以分别求得42+32=5,442+332=55,4442+3332=555,…,由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的,且5的个数为相应式子的左边4或3的个数决定,故猜想22444333=5555n n n +L L L 1424312314243个个个.答案:(1)n +1n +2=(n +1)1n +2(n ≥1) (2)5555n L 14243个10.平方根与立方根的实际应用解实际问题时,首先要读懂题意,善于构造数学模型,将它转化为数学问题.与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题,解答时,常常根据题意列出方程,然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可.注意求出的结果要符合实际问题的实际意义.【例10-1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅,求需要的正方形地板砖的边长.解:设地板砖的边长为x m ,根据题意,得100x 2=16,即x 2=0.16,所以x =±0.16=±0.4.由于长度不能为负数,所以x =0.4(m). 故地板砖的边长为0.4 m.【例10-2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”,(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3,求组成它的每个小正方体的棱长.解:设小正方体的棱长为a cm ,则玩具的棱长为3a cm ,由题意得(3a )3=216.于是27a3=216,a 3=8,a =2(cm).故每个小正方体的棱长为2 cm.。
6.1 平方根第1课时算术平方根一、选择题(共10小题)1.9的算术平方根为()A.3 B.C.D.±32.的值等于()A.4 B.﹣4 C.±4 D.±23.如果=5,那么y的值是()A.5 B.﹣5 C.10 D.254.某数的算术平方根等于它本身,那么这个数一定是()A.0 B.1 C.1或0 D.﹣15.一个自然数的算术平方根为a,则下一个自然数的算术平方根是()A.B.C.﹣a+1 D.a2+16.的值等于()A.B.﹣C.±D.7.的算术平方根是()A.±B.C.±D.58.一个矩形的围栏,长是宽的2倍,面积是30m2,则它的宽为()A.m B.2m C.m D.2m 9.若|x|=3,y是4的算术平方根,且|y﹣x|=x﹣y,则x+y的值是()A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣110.若a、b为实数,且满足,则b﹣a的值为()A.1 B.0 C.﹣1 D.以上都不对二、填空题(共8小题)11.(﹣9)2算术平方根是.12.的算术平方根是.13.计算:(﹣2)3+=;1﹣=.14.若=2,则x的值为.15.的算术平方根是3,则a=.16.若与互为相反数,则x=,y=.三、解答题(共6小题)17.求下列各式的值:(1);(2);(3);(4);(5).18.求下列各数的算术平方根:121,,1.96,(-10)6.19.已知2a﹣1的算术平方根是3,18﹣b的算术平方根是4,求a+2b的算术平方根.20.小华的书房面积为10.8m2,她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块,请问每块地砖的边长是多少?21.探究发散:(1)填空:①=;②=;③=;④=;⑤=;⑥=.(2)根据计算结果回答:一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.22.根据如表回答下列问题:x16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)275.56的平方根是;(2)=;(3)在哪两个相邻数之间?为什么?参考答案与试题解析一、选择题(共10小题)1.实数9的算术平方根为()A.3 B.C.D.±3【解答】解:∵32=9,∴9的算术平方根是3.故选:A.2.的值等于()A.4 B.﹣4 C.±4 D.±2【解答】解:=4.故选:A.3.如果=5,那么y的值是()A.5 B.﹣5 C.10 D.25【解答】解:因为=5,所以y=25,故选:D.4.某数的算术平方根等于它本身,那么这个数一定是()A.0 B.1 C.1或0 D.﹣1【解答】解:某数的算术平方根等于它本身,那么这个数一定是1或0.故选:C.5.一个自然数的算术平方根为a,则下一个自然数的算术平方根是()A.B.C.﹣a+1 D.a2+1【解答】解:一个自然数的算术平方根为a,则下一个自然数的算术平方根是,故选:B.6.的值等于()A.B.﹣C.±D.【解答】解:原式==,故选:A.7.的算术平方根是()A.±B.C.±D.5【解答】解:因为=5,所以的算术平方根是,故选:B.8.一个矩形的围栏,长是宽的2倍,面积是30m2,则它的宽为()A.m B.2m C.m D.2m【解答】解:∵一个矩形的围栏,长是宽的2倍,面积是30m2,∴它的宽为:=(m).故选:A.9.若|x|=3,y是4的算术平方根,且|y﹣x|=x﹣y,则x+y的值是()A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1【解答】解:因为|y﹣x|≥0,所以x﹣y≥0,即x≥y.由|x|=3,y是4的算术平方根可知x=3、y=2.则x+y=5,故选:A.10.若a、b为实数,且满足,则b﹣a的值为()A.1 B.0 C.﹣1 D.以上都不对【解答】解:由题意得,a﹣2=0,3﹣b=0,解得,a=2,b=3,则b﹣a=1,故选:A.二、填空题(共8小题)11.(﹣9)2的算术平方根是9 .【解答】解:∵(﹣9)2=81,∴(﹣9)2的算术平方根是9,故答案为:912.的算术平方根是.【解答】解:∵=,∴的算术平方根为,故答案为:.13.计算:(﹣2)3+=﹣5 .计算:1﹣=.【解答】解;原式=﹣8+3=﹣5;原式=1﹣=,故答案为:﹣5,14.若=2,则x的值为 5 .【解答】解:由=2,得到x﹣1=4,解得:x=5.故答案为:5.15.的算术平方根是3,则a=80 .【解答】解:∵的算术平方根是3,∴=9,a+1=81a=80,故答案为80.16.若与互为相反数,则x=8 ,y= 2 .【解答】解:∵与互为相反数,∴+=0,所以,x﹣8=0,y﹣2=0,解得x=8,y=2.故答案为:8,2.三、解答题(共6小题)17.求下列各式的值:(1);(2);(3);(4);(5)【解答】解:(1)=7;(2)=;(3)=0.3;(4)=1.2;(5)=0.1.18.求下列各数的算术平方根:121,,1.96,(-10)6.【解答】解:=11、=、=1.4、()6-=1000.1019.已知2a﹣1的算术平方根是3,18﹣b的算术平方根是4,求a+2b的算术平方根.【解答】解:由题意可知:2a﹣1=9,18﹣b=16.解得:a=5,b=2.∴a+2b=5+2×2=9.∴a+2b的算术平方根是3.20.小华的书房面积为10.8 m2,她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块,请问每块地砖的边长是多少?【解答】解:设每块地砖的边长是x m,则有120x2=10.8,即x2=0.09.∵x>0,∴x=0.3.答:每块地砖的边长为0.3 m.21.探究发散:(1)填空:①= 3 ;②=0.5 ;③= 6 ;④=0 ;⑤=;⑥=.(2)根据计算结果回答:一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.【解答】解:(1)①==3;=0.5;==6;④=0;⑤=;⑥=故答案为:3;0.5;6;0;;;(2)不一定等于a,当a<0时,=﹣a;当a≥0时,=a;故不一定等于a;从中可以得到规律:正数和零的平方的算术平方根为其本身,负数的平方的算术平方根为其相反数.22.根据如表回答下列问题:x16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)275.56的平方根是±16.6 ;(2)= 1.68 ;(3)在哪两个相邻数之间?为什么?【解答】解:(1)±=±16.6,(2)=1.68,(3)由表得在16.4与16.5之间;故答案为±16.6,1.68.。
平方根、立方根【基础巩固】1.64的平方根是( ). A .±8 B .±4C .±2D .2.9的算术平方根是( ).A .±3B .3C .-3D 3.下列语句正确的是( ). A .一个数的平方根一定有两个B .一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根C .一个正数的平方根一定是它的算术平方根D .一个非零数的负的平方根是它的算术平方根4.一个自然数的算术平方根是x ,则它后面一个自然数的算术平方根是( ).A .x +1B .x 2+1C 1 D5.如果某数的一个平方根是-6,那么这个数为__________. 6.用计算器计算:,,,…,请你猜测999999+1999n n n ⨯个个个的结果为__________.【能力提升】7.若2m -4与3m -1是同一个数的平方根,则m 为( ). A .-3 B .1 C .-3或1 D .-181πx -的值是( ). A .11π- B .11π+C .11π- D .无法确定9.一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的__________倍;体积变为原来的27倍,它的棱长变为原来的__________倍;体积变为原来的 1 000倍,它的棱长变为原来的__________倍;体积变为原来的n 倍,它的棱长变为原来的__________倍.10.若|a -2|0,则a 2-b =__________. 11.求下列各式的值:;;12.已知一个正数的平方根是3x -2和5x -14,请你求出这个正数.13.一个长方体容器长20 cm ,宽15 cm ,在这个容器内放一立方体铁块,盛满水取出铁块后,水面下降了5 cm ,求这个立方体铁块的棱长.(精确到0.01 cm)参考答案1.答案:A2.答案:B 解析:∵32=9,∴9的算术平方根是3. 3.答案:B4.答案:D 解析:这个自然数是x 2,于是它后面的一个数是x 2+1,则x 2+1的算术平方根是.5.答案:36 解析:因为(-6)2=36,所以这个数为36.6.答案:10n解析:由计算器易算出:,=100=102,1 000=103999999+1999n n n ⨯个个个=10n .7. 答案:C 解析:本题分为两种情况:(1)可能这两个平方根相等,即2m -4=3m -1,解得m =-3;(2)可能两个平方根互为相反数,即(2m -4)+(3m -1)=0,解得m =1.故选C.8.答案:A 解析:0≥0,所以x =π,所以原式=π11=1ππ--.9.答案:2 3 10解析:设原来的正方体的体积是1,则其棱长为1,变化后的正方体的体积为8,所以棱长为原来的2倍,同样的方法可得体积变为27倍,1 000倍,n 倍时,它们的棱长变为原来的3倍,1010.答案:1 解析:由|a -2|0,得a -2=0,b -3=0,解得a =2,b =3.因此a 2-b =1.11.答案:解:=12+13=25.455=343⨯.=5÷0.2=25.171244-+=-1. 12. 答案:解:根据平方根的性质可知,正数的两个平方根互为相反数,于是(3x -2)+(5x -14)=0,解得x =2, 即这个正数的两个平方根为4和-4. 故这个正数为16.13. 答案:解:设立方体的棱长为x cm ,根据题意,可得x 3=20×15×5,即x 3=1 500,所以x .利用计算器,可算得x ≈11.45(cm). 故这个立方体铁块的棱长约为11.45cm.。
6.1算术平方根一、选择题1. 9的算术平方根是()A.81B.3C.±3D.−32. 下列运算正确的是()A.√−22=−2B.√(−3)33=3C.√2.5=0.5D.√23=2√23. 14的算术平方根是()A.12B.±116C.±12D.1164. √16的平方根是()A.4B.±4C.±2D.25. 下列各式中正确的是()A.√9=±3B.√83=±2 C.√−4=−2 D.√(−5)2=56. 下列说法中正确的是()A.−2是4的平方根B.算术平方根等于它本身的数一定是1C.9的立方根是3D.近似数3.06×105精确到百分位7. √16的平方根是()A.±4B.4C.±2D.+28. 下列判断正确的是( ) A.√16=±4 B.−9的算术平方根是3 C.27的立方根是±3D.正数a 的算术平方根是√a9. 下列说法正确的是( ) A.9的平方根是3B.算术平方根等于它本身的数一定是1C.−2是4的平方根D.√16的算术平方根是410. 下列说法中,正确的是( ) A.(−2)3的立方根是−2 B.0.4的算术平方根是0.2 C.√64的立方根是4D.16的平方根是411. 下列说法:①64的立方根是8,②49的算数平方根是±7,③127的立方根是13,④116的平方根是14,其中正确说法的个数是( )A.1B.2C.3D.412. 已知实数a 的一个平方根是−2,则此实数的算术平方根是 ( ) A.±2 B.−2 C.2 D.4二、填空题13. 4是________的算术平方根. 14. √9的算术平方根是________.3=________.√(−2)2=________.15. 计算:√(−2)316. √81的平方根是________.17. 64的算术平方根是________,平方根是________,立方根是________.的算术平方根是________.18. √16的平方根________,338三、解答题19. 已知:3x+y+7的立方根是3,25的算术平方根是2x−y,求:(1)x,y的值;(2)x2+y2的平方根.20. 已知2b+1的平方根为±3,3a+2b−1的算术平方根为4,求a+6b的立方根.精品文档,可编辑,仅供下载一、选择题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】C二、填空题13.【答案】1614.【答案】√315.【答案】−2,216.【答案】±317.【答案】8,±8,418.【答案】±2,3√64三、解答题(本题共计 2 小题,每题10 分,共计20分)19.【答案】解:(1)由题易得,{√3x+y+73=3,√25=2x−y,化简得{2x−y=5,3x+y=20,解得{x=5,y=5,故x,y的值均为5.(2)由(1)知x,y的值均为5,则x2+y2的平方根为±√(x^2+y^2 )=±√52+52=±√25+25=±√50 =±5√2.20.【答案】解:∵ (±3)2=9,∵ 2b+1=9,∵ b=4.∵ 42=16,∵ 3a+2b−1=16,∵ 3a+7=16,解得a=3,∵ a+6b=3+4×6=3+24=27.∵ 33=27,∵ 27的立方根是3,即a+6b的立方根是3.。
6.1《平方根》重难点题型专项练习考查题型一求一个数的算术平方根典例1.4的算术平方根是()A.2B.C.D.16【答案】A【分析】根据算术平方根的定义,进行求解即可.【详解】解:4的算术平方根是;故选A.【点睛】本题考查算术平方根.熟练掌握算术平方根的定义:一个非负数的平方为,则叫做的算术平方根,是解题的关键.变式1-1.式子表示()A.的算术平方根B.的算术平方根C.的平方根D.的算术平方根【答案】D【分析】根据实数的运算顺序,先算平方,再开方,由此即可求解.【详解】解:,∴表示的是的算术平方根,故选:.【点睛】本题主要考查平方,开方的运算顺序.掌握平方,开方的运算顺序,二次根式被开方数的特点是解题的关键.变式1-2.计算的结果为()A.B.C.4D.8【答案】C【分析】根据算术平方根的定义求解即可.【详解】解:.故选C.【点睛】本题考查了算术平方根,熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键,正数有一个正的算术平方根,0的平方根是0,负数没有算术平方根.变式1-3.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习)的算术平方根是()A.5B.C.D.【答案】B【分析】根据算术平方根的性质,首先得,再通过计算,即可得到答案.【详解】∵∴的算术平方根是故选:B.【点睛】本题考查了算术平方根的知识;解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质,从而完成求解.考查题型二算术平方根双重非负性的应用典例2.(2022春·浙江宁波·七年级校考期中)若实数x、y、z满足,则的平方根是()A.36B.C.6D.【答案】B【分析】利用非负性求各未知数的值,进一步计算即可求解.【详解】解:∵,∴,,,∴,,,∴,∴的平方根是,故选:B.【点睛】本题主要考查非负性的运用,平方根,能够利用非负性求出数值是解题关键.变式2-1.(2022春·浙江·七年级期中)已知,则的值是()A.4B.-2C.-4D.2【答案】B【分析】先根据算术平方根的非负性、二次方的非负性和绝对值的非负性求出a、b、c的值,然后再代入代数式求值即可.【详解】解:∵,∴,解得:,∴,故B正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了求代数式的值,算术平方根的非负性,二次方的非负性和绝对值的非负性,根据题意求出a、b、c的值,是解题的关键.变式2-2.(2022秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习)已知,则代数式的值是()A.5B.3C.2D.-1【答案】A【分析】根据绝对值和算术平方根不可能为负数,得到,解得m、n的值,然后代入即可求解.【详解】解:∵∴,解得:.将代入,得:故选:A.【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性,代数式求值,解答此题的关键是根据绝对值和算术平方根不可能为负数,解得m、n的值.变式2-3.下列关于的说法错误的是()A.可以是负数B.可以是C.是的算术平方根D.不可能是负数【答案】A【分析】根据当时,,即可解答.【详解】解:A、是非负数,故A错误,符合题意;B、可以是,故B正确,不符合题意;C、是的算术平方根,故C正确,不符合题意;D、不可能是负数,故D正确,不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查了实数,熟练掌握的双重非负性是解题的关键.考查题型三估计算术平方根的取值范围典例3.(2021秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习)一个正方形的面积是19,它的边长a的值()A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间【答案】B【分析】根据算术平方根的意义,得到边长为,估算的大小即可求解.【详解】解:∵一个正方形的面积是19,它的边长为a,∴,∵,∴,故选B.【点睛】本题考查了算术平方根的应用,估算无理数的大小,估算的大小是解题的关键.变式3-1.(2022秋·安徽滁州·七年级校考期中)估计的值在( )A.7到8之间B.6到7之间C.5到6之间D.4到5之间【答案】B【分析】估算的大小即可.【详解】解:由于,而,即67,所以的值在6和7之间,故选:B.【点睛】本题考查估算无理数的大小,二次根式的乘除法,掌握算术平方根的定义,二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提.变式3-2.估算的值是在()之间A.5和6B.6和7C.7和8D.8和9【答案】C【分析】根据题意可知判断的值在5、6、7、8、9哪个数之间,即的值在2、3、4、5、6哪个数之间,2、3、4、5、6可表示为,显然,即,故.【详解】∵∴∴故选:C.【点睛】本题考查了算术平方根估计范围,将先看作进行比较,再加上3是解题的关键.变式3-3.(2021秋·天津·七年级统考期末)估计的值应在().A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间【答案】A【分析】根据算术平方根进行无理数的估算.【详解】解:∵49<58<64∴,即的值在7和8之间,故选:A.【点睛】本题考查无理数的估算,理解算术平方根的概念准确计算是解题关键.考查题型四求算术平方根的整数部分和小数部分典例4.若的整数部分为,小数部分为,则_________,_________.【答案】【分析】根据首先确定的值,则小数部分即可确定.【详解】解:,,则.故答案是:3,.【点睛】本题主要考查了无理数的估算,解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.变式4-1.的整数部分是______.小数部分是_______.【答案】 3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可.【详解】解:∵,∴,∴的整数部分为3,∴的小数部分为;故答案为3,.【点睛】本题主要考查算术平方根,熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键.变式4-2.的小数部分为a,的小数部分为b,则__________.【答案】1【分析】先分析介于哪两个整数之间,再分别求出和介于哪两个整数之间,即可求出和的整数部分,然后用它们分别减去它们的整数部分得到,代入即可.【详解】解:∵∴,∴∴的整数部分为10,的整数部分为2,∴a=b=代入得:=12018=1【点睛】此题考查的是实数(带根号)的整数部分和小数部分的求法.变式4-3.已知a,b分别是的整数部分和小数部分,则2a﹣b的值为______.【答案】.【分析】先求出介于哪两个整数之间,即可求出它的整数部分,再用减去它的整数部分求出它的小数部分,再代入即可.【详解】∵9<13<16,∴3<<4,∴a=3,b=﹣3,∴2a﹣b=2×3﹣(﹣3)=6﹣+3=.故答案为.【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法,利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.考查题型五与算术平方根有关的规律探究典例5.(2022秋·河北沧州·七年级校考期中)若则()A.0.01732B.0.1732C.0.05477D.0.5477【答案】B【分析】把0.03看成是3×结合题意即可求解.【详解】解:∵∴,故选B.【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质,如果被开方数扩大为原来的100倍,其算术平方根也在扩大,但只扩大为原来的10倍;同理,如果被开方数缩小为原来的,其算术平方根也在缩小,但只缩小为原来的.变式5-1.(2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中)若,则()A.B.C.D.【答案】B【分析】当被开方数的小数点每向右(或向左)移动2位,它的算术平方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位.【详解】∵,∴故选B.【点睛】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律,熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键.当被开方数的小数点每向右(或向左)移动2位,它的算术平方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位.变式5-2.(2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)若,,则的值约为( )A.B.C.D.【答案】C【分析】将转化为,进而得出即可.【详解】解:,故选:.【点睛】本题考查算术平方根,理解“一个数扩大或缩小倍,倍,其算术平方根就随着扩大或缩小倍,倍”是解决问题的关键.变式5-3.(2021秋·广西河池·七年级统考期末)若,则等于()A.1.01B.10.1C.101D.10.201【答案】B【分析】根据被开方数向左或向右移动2n位,则对应的算术平方根向左或向右移动n位解答即可.【详解】解:∵∴=10.1.故选B.【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律探索,掌握“被开方数向左或向右移动2n位,则对应的算术平方根向左或向右移动n位”是解答本题的关键.考查题型六平方根的概念的理解典例6.(2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中)的平方根为().A.B.C.D.【答案】B【分析】根据平方根的定义,即可.【详解】∵,∴的平方根是,故选:B.【点睛】本题考查平方根的知识,解题的关键是理解平方根的定义.变式6-1.(2022秋·天津宁河·七年级天津市宁河区芦台第一中学校考期中)一个正数的两个不同的平方根是与,则的值是()A.0B.C.1D.2【答案】B【分析】根据一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数解答即可.【详解】由题意得,,解得:,故选:B.【点睛】本题考查的是平方根的概念,掌握一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数是解题的关键,变式6-2.已知和是一个正数的平方根,则这个正数( )A.B.或C.D.或【答案】D【分析】根据平方根的定义求出a的值,进而可得出结论.【详解】解:∴和是一个正数的平方根,当时,解得,∴,∴;当和互为相反数时,,解得,∴,∴.故的值为或.故选:.【点睛】本题考查的是平方根的定义,熟知一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数是解题的关键.变式6-3.下列语句正确的是()A.10的平方根是100B.100的平方根是10C.是的平方根D.的平方根是【答案】D【分析】根据一个正数的平方根有两个,且互为相反数可对A、B、D进行判断;根据负数没有平方根可对C进行判断.【详解】解:A.10的平方根,所以A选项错误;B.100的平方根是,所以B选项错误;C.没有平方根,所以C选项错误;D.的平方根是,所以D选项正确;故选:D.【点睛】本题考查了平方根的定义:若一个数的平方等于,那么这个数叫的平方根,记作.考查题型七求一个数的平方根典例7.(2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中)的平方根为().A.B.C.D.【答案】B【分析】根据平方根的定义,即可.【详解】∵,∴的平方根是,故选:B.【点睛】本题考查平方根的知识,解题的关键是理解平方根的定义.变式7-1.64的平方根是()A.B.C.D.8【答案】A【分析】根据平方根的意义,即可解答.【详解】解:64的平方根是,故选:A.【点睛】本题考查了平方根,熟练掌握平方根的意义是解题的关键.变式7-2.的平方根是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方根的定义计算即可.【详解】∵∴,∴的平方根是.故选:C.【点睛】本题考查了平方根即(a≥0),则x叫做a的平方根,熟练掌握平方根的定义是解题的关键.变式7-3.的平方根是( )A.B.2C.D.【答案】C【分析】先计算,再计算4的平方根即可得到答案.【详解】解:∵,∴4的平方根为,即的平方根是,故选C.【点睛】本题考查了算术平方根和平方根,熟练掌握正数的平方根有两个,且互为相反数是解题关键.考查题型八求代数式的平方根典例8.关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项,则平方根为()A.3B.C.D.【答案】C【分析】将两个多项式相加,根据相加后不含x的二次和一次项,求得m、n的值,再进行计算.【详解】+=由题意知,,,∴,,∴,9的平方根是,∴平方根为,故选:C.【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键,同时考查了平方根的定义,熟练掌握正数有两个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.变式8-1.若,则的平方根为()A.±2B.4C.2D.±4【答案】D【分析】根据绝对值,平方,二次根式的非负性求出x,y,z,算出代数式的值计算即可;【详解】∵,∴,解得,∴,∴;故选:D.【点睛】本题主要考查了平方根的求解,结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键.变式8-2.若是169的算术平方根,是121的负的平方根,则(+)2的平方根为()A.2B.4C.±2D.±4【答案】C【分析】求出m、n的值,求出m+n的值,再根据平方根定义求出即可.【详解】解:∵m是169的算术平方根,n是121的负的平方根,∴m=13,n=-11,∴m+n=2,∴(m+n)2的平方根是±=±2,故答案为C.【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质,以及根据平方根求被开方数;注意:一个正数有两个平方根,它们互为相反数.变式8-3.已知与互为相反数,则的平方根是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程,解方程求出a、b的值后再代入所求式子即可求出a-b,然后根据平方根的定义解答即可.【详解】解:由题意,得+=0,∴4-a=0,b+1=0,解得:a=4,b=﹣1,∴a-b=5,∴a-b的平方根.故选:C.【点睛】本题考查了非负数的性质和平方根的定义,属于基础题型,熟练掌握基本知识是解题关键.考查题型九平方根的应用典例9.(2022秋·云南昭通·七年级校考阶段练习)一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a,求x的值.【答案】16【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程,进而平方根的定义即可求解.【详解】解:由题意得,2a﹣3+1﹣6a=0,解得,a=﹣,所以2a﹣3=﹣4,1﹣6a=4,所以x=(±4)2=16,答:x=16.【点睛】本题考查平方根,理解平方根的定义是正确解答的关键.变式9-1.(2022秋·江西南昌·七年级南昌二中校考期中)如果一个正数a的平方根是和,求a的值.【答案】【分析】根据一个数的平方根互为相反数得到关于的方程,然后求出的值即可得到的值.【详解】解:根据题意得:,解得:,则这个数a是.故答案是:.【点睛】本题考查平方根的性质:正实数有两个互为相反的数的平方实数根,零的平方根是零,负实数没有平方实数根,掌握平方根的性质是解题的关键.变式9-2.(2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习)已知一个正数的两个不相等的平方根是与.(1)求的值及这个正数;(2)求关于的方程的解.【答案】(1)a=1,这个正数是49;(2)【分析】(1)由正数的两个平方根互为相反数得到+=0,求解即可得到答案;(2)将a=1代入方程,根据平方根的意义得到答案即可.【详解】解:(1)由题意得+=0,解得a=1,∴这个正数是;(2)将a=1代入方程,得-64=0,解得.【点睛】此题考查正数平方根的性质,根据平方根的定义解方程,正确理解平方根的性质是解题的关键.变式9-3.(2022秋·广东湛江·七年级校考期末)已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9.(1)求a的值;(2)求这个正数m;(3)求关于x的方程ax2﹣16=0的解.【答案】(1)a=1;(2)49;(3)x=±4【分析】(1)根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值;(2)根据(1)的结论即可求得的值;(3)根据(1)的结论将代入方程,进而根据求一个数的平方根解方程即可【详解】解:(1)由题意得,a+6+2a﹣9=0,解得,a=1;(2)当a=1时,a+6=1+6=7,∴m=72=49;(3)x2﹣16=0,x2=16,x=±4.【点睛】本题考查了求一个数的平方根,平方根的性质,理解平方根的性质是解题的关键.。
七年级数学《平方根》典型例题及练习【知识要点】1、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根式),2、算术平方根:3、平方根的性质:(1)一个正数有 个平方根,它们 ;(2)0 平方根,它是 ;(3) 没有平方根.4、重要公式:(1)=2)(a (2){==a a 25、平方表:1.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________.2.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________.3.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________.4. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 5. 312726-=____________. 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为( )① -5是-25的算术平方根;② 6是()26-的算术平方根;③ 0的算术平方根是0;④ 0.01是0.1的算术平方根;⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根.A .0 个B .1个C .2个D .3个例2、36的平方根是( )A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±例3、下列各式中,哪些有意义?(1)5 (2)2- (3)4- (4)2)3(- (5)310-例4、一个自然数的算术平方根是a ,则下一个自然数的算术平方根是( )A .()1+aB .()1+±aC .12+aD .12+±a例5、求下列各式中的x :(1)0252=-x (2)4(x+1)2-169=0【巩固练习】一、选择题1. 9的算术平方根是( )A .-3B .3C .±3D .812.下列计算正确的是( )A±2 B636=± D.992-=-3.下列说法中正确的是( )A .9的平方根是3 B24. 64的平方根是( )A .±8B .±4C .±2D 5. 4的平方的倒数的算术平方根是( )A .4B .18C .-14D .146.下列结论正确的是( ) A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7.以下语句及写成式子正确的是( )A 、7是49的算术平方根,即749±=B 、7是2)7(-的平方根,即7)7(2=-C 、7±是49的平方根,即749=±D 、7±是49的平方根,即749±=8.下列语句中正确的是( )A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39.下列说法:(1)3±是9的平方根;(2)9的平方根是3±;(3)3是9的平方根;(4)9的平方根是3,其中正确的有( )A .3个B .2个C .1个D .4个10.下列语句中正确的是( )A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9,∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11.下列说法正确的是( )A .任何数的平方根都有两个B .只有正数才有平方根C .一个正数的平方根的平方仍是这个数D .2a 的平方根是a ±12.下列叙述中正确的是( )A .(-11)2的算术平方根是±11B .大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C .大于零而小于1的数的平方根比原数大D .任何一个非负数的平方根都是非负数13.25的平方根是( )A 、5B 、5-C 、5±D 、5±14.36的平方根是( )A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±15.当≥m 0时,m 表示( )A .m 的平方根B .一个有理数C .m 的算术平方根D .一个正数 16.用数学式子表示“169的平方根是43±”应是( )A .43169±=B .43169±=±C .43169=D .43169-=-17.算术平方根等于它本身的数是( )A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0.如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )A. 8B. 4C. 0D. 1618.0196.0的算术平方根是( )A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0±19.2)6(-的平方根是( )A 、-6B 、36C 、±6D 、±6 20.下列各数有平方根的个数是( )(1)5; (2)(-4)2; (3)-22; (4)0; (5)-a 2; (6)π; (7)-a 2-1A .3个B .4个C .5个D .6个 21.2)5(-的平方根是( )A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±22.下列说法错误的是( )A. 1的平方根是1B. –1的立方根是-1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根 23.下列命题正确的是( )A .49.0的平方根是0.7B .0.7是49.0的平方根C .0.7是49.0的算术平方根D .0.7是49.0的运算结果24.若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧,则下列各式中有意义的是( )A .aB .a -C .2a -D .3a26.下列各式中,正确的是( ) A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-27.下列各式中正确的是( )A .12)12(2-=-B .6218=⨯C .12)12(2±=-D .12)12(2=-±28.若a 、b 为实数,且471122++-+-=a a a b ,则b a +的值为( ) (A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ,且0<ab ,则b a -的值为 ( )(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30.已知一个正方形的边长为a ,面积为S ,则( ) A.a S = B.S 的平方根是a C.a 是S 的算术平方根 D.S a ±=31. 若a 和a -都有意义,则a 的值是( )A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a 32.22)4(+x 的算术平方根是( )A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x33.2)5(-的平方根是( )A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±34.下列各式中,正确的是( ) A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-35.下列各式中正确的是( )A .12)12(2-=-B .6218=⨯C .12)12(2±=-D .12)12(2=-±36.下列各组数中互为相反数的是( )A 、2)2(2--与B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与- 二、填空题:1.如果x 的平方等于a ,那么x 就是a 的 ,所以的平方根是2.非负数a 的平方根表示为3.因为没有什么数的平方会等于 ,所以负数没有平方根,因此被开方数一定是4_______;9的平方根是_______.5的平方根是 ,25的平方根记作 ,结果是6.非负的平方根叫 平方根7.2)8(-= , 2)8(= 。
6.1《平方根》同步练习知识点:1.算术平方根:一般地,如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做a的算术平方根。
A叫做被开方数。
1.平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根2.平方根的性质:正数有两个平方根,互为相反数0的平方根是0负数没有平方根同步练习:一、选择题1.如果a是负数,那么a2的平方根是().A.a B.-a C.±a D.±a2.使得-a2有意义的a有().A.0个B.1个C.无数个D.以上都不对3.下列说法中正确的是().A.若a<0,则a2<0B.x是实数,且x2=a,则a>0C.-x有意义时,x≤0D.0.1的平方根是±0.014.若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是().A.2B.±2C.4D.±45.若a2=(-5)2,b3=(-5)3,则a+b的所有可能值为().A.0B.-10C.0或-10D.0或±106.若-1<m<0,且n=3m,则m、n的大小关系是().A.m>n B.m<n C.m=n D.不能确定7.设a=76,则下列关于a的取值范围正确的是().A.8.0<a<8.2B.8.2<a<8.5C.8.5<a<8.8D.8.8<a<9.18.-27的立方根与81的平方根之和是().A.0B.6C.-12或6D.0或-6A .2B . 1C . - 2D . -13. (-4)2 的平方根是, ± 是 的平方根.14.在下列各数中 0, ,a 2 + 1 ,-(- )3,-(-5)2,x 2 + 2 x + 2 ,| a - 1| ,| a | -1 ,17.若 3 x = - ,则 x =,若 3 | x | = 6 ,则 x =.9.若 a , b 满足 | 3 a + 1 | +(b - 2) 2 = 0 ,则 ab 等于().12210.若一个数的一个平方根是 8,则这个数的立方根是().A . ± 2B . ± 4C .2D .411.下列各式中无论 x 为任何数都没有意义的是( ).A . -7 xB . -1999x 3C . -0.1x 2 -1D .3 -6x 2 - 512.下列结论中,正确的是( ).A . 0.0027 的立方根是 0.03B . 0.009 的平方根是 ± 0.3C . 0.09 的平方根是 0.3D .一个数的立方根等于这个数的立方,那么这个数为 1、0、 - 1二、填空题3525 1 4 316 有平方根的个数是个.15.自由落体公式:S = 12g t 2 ( g 是重力加速度,它的值约为9.8m / s 2 ),若物体降落的高度 S = 300m ,用计算器算出降落的时间 T = s (精确到 0.1s ).16.代数式-3 - a +b 的最大值为,这是a, b 的关系是.3518.若 3 (4 - k )3 = k - 4 ,则 k 的值为.19.若 n < 10 < n + 1 ,m < - 8 < m + 1 ,其中 m 、n 为整数,则 m + n =.20.若 m 的平方根是 5a + 1和 a - 19 ,则 m =.三、解答题21.求下列各数的平方根 ⑴ ( 3) 2+ 1⑵ 3 1⑶0 ⑷ -1216⑵ ⑶0 ⑷ - ⑶ ( x - 1)3 + 8 = 0⑷125( x - 2)3 = -343⑶ 3 (-1)2 + 3 -8 - |1 - 3 |⑷ (- )2 - 3 (1- )( - 1) - 1 ÷ 2 - 1.75 ⑹ 3 - - + 3 -343 - 3 2722.求下列各数的立方根:⑴ -210 1 127 64 823.解下列方程:⑴ 64( x - 3)2 - 9 = 0⑵ (4 x - 1)2 = 2251224.计算:⑴ 252 - 72 ⑵ - ( 2 - 3) 2 - 2 | 2 - 3 | - | - 3 |1 5 1 3 9 3⑸ 37 1 5 18 8 2 12525.请你用 2 个边长为 1 的小正方形,裁剪出一个边长为 2 的较大的正方形.如果要裁剪出一个边长为 2 的较大的正方形,要几个边长为 1 的小正方形,如何进行裁剪?26.已知第一个正方形纸盒的棱长是6厘米,第二个正方形纸盒的体积比第一个正方形纸盒的体积大127立方厘米,试求第二个正方形纸盒的棱长.27.已知312x,33y2互为相反数,求代数式12xy的值.28.已知x a b M是M的立方根,y3b6是x的相反数,且M3a7,请你求出x的平方根.29.若y x244x2x2,求2x y的值.30.已知3x4,且(y2x1)2z30,求x y z的值.17. x = -, x = ±216 . 18. k 的值为 4. 19. m + n = 0.20. m =256. 21.⑴±2 ⑵ ± ⑶0 ⑷没有平方根22.⑴ - ⑵ ⑶0 ⑷ -23.⑴ x = 或 x = ⑵ x = 4 或 x = -28.由条件得, ⎨,所以 M = 8 ,,故 x 的平方根是 ± 2 .(b - 6) + (3a - 7) = 0参考答案一、选择题1.C ;2.B ;3.C ;4.C ;5.C ;6.A ;7.C ;8.D ;9.C ; 10.D ;11.C ;12.D二、填空题13.±2, 9 25. 14.7 个.15. 7.8 s . 16. -3 , a, b 的关系是互为相反数.27125三、解答题743 1 14 4 2 27 21 78 8 2⑶ x = 1 - 2 3 2 ⑷ x =24.⑴24 ⑵ 3 2 - 2 3⑶ - 3⑷1⑸ -1⑹ -925.3526.二个正方形纸盒的棱长是 7 厘米.27. 1 + 2 x=3.y⎧a + b = 3⎩29. 2 x + y =4. 30. x + y + z =194.。
人教版数学七年级下册6.1平方根同步训练一、单项选择题(下列选项中只有一个选项满足题意)1.下列说法错误的是( )A .4是16的算术平方根B .2是4的一个平方根C .平方根等于它本身的数是0D .114的算术平方根是1122.16的算术平方根是( )A .4B .-4C .4±D .83.4的平方根是( )A .2B .2-C .2±D .44.下列关于数的平方根说法正确的是( )A .3B .2的平方根是4±C .1的平方根是±1D .0没有平方根5.如果m 有算术平方根,那么m 一定是( )A .正数B .0C .非负数D .非正数6.一个正方形的面积为29,则它的边长应在( )A .3到4之间B .4到5之间C .5到6之间D .6到7之间7.若方程2(1)5x -=的解分别为,a b ,且a b >,下列说法正确的是( )A .a 是5的平方根B .b 是5的平方根C .1a -是5的算术平方根D .1b -是5的算术平方根8.若2(1)0m -+=,则m n -的值是( )A .-1B .1C .2D .39.一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+,则这个正数是( )A .1B .2C .9D .4101最接近的是( )A .1-B .0C .1D .211()230b +=,则a b 、的值分别为( )A .5、3B .5、-3C .-5、-3D .-5、312.下列化简结果正确的是( )A .8=-B 8=±C 64=-D .8=二、填空题13.若()220a -=,则+a b 的值是_________.14.a 的算术平方根为8,则a 的立方根是__________.15.一个边长为a 的正方形的面积为1649,一个棱长为b 的立方体的体积为3438=______.16______.17.25的算术平方根为x ,4是1y +的一个平方根,则x y -=______.18.0.64的算数平方根是__________;三、综合计算题(要求写出必要的计算过程)19.计算题:(1;(2)2112524⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 20.计算:(1)43-+(2)2(1)|4|-+-21.已知(25|50x y -++-=.(1)求x ,y 的值;(2)求xy 的算术平方根.22.已知1,25x a y a =-=-.(1)已知x 的算术平方根为3,求a 的值;(2)如果x y ,都是同一个数的平方根,求这个数参考答案1.D【分析】根据平方根,算术平方根的定义,逐一判断选项,即可.【解析】A. 4是16的算术平方根,原命题正确,不符合题意,B. 2是4的一个平方根,原命题正确,不符合题意,C. 平方根等于它本身的数是0,原命题正确,不符合题意,D. 114,原命题错误,符合题意, 故选D .【点睛】本题主要考查平方根,算术平方根的定义,熟练掌握平方根和算术平方根的定义和性质,是解题的关键.2.A【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.【解析】解:∵2416=,4=,故选:A .【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义熟悉相关性质是解题的关键.3.C【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案.【解析】4的平方根是:2=±.故选:C.【点睛】本题主要考查了平方根的定义,正确掌握相关定义是解题关键.4.C【分析】利用平方根的定义,分别进行判断即可.【解析】解:A、3的平方根是A错误;B、2的平方根是,故B错误;C、1的平方根是±1,故C正确;D、0的平方根是0,故D错误;故选:C.【点睛】本题考查了平方根的定义,熟练掌握平方根的定义进行判断是解本题的关键.5.C【分析】根据负数没有平方根求解即可.【解析】解:∵负数没有平方根,∴如果m 有算术平方根,那么m 一定是0或正数,即非负数,故选:C .【点睛】本题考查平方根,掌握负数没有平方根是解题的关键.6.C【分析】一个正方形的面积为29的近似值,从而解决问题.【解析】解:∵正方形的面积为29,5<6.故选:C .【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力,解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值.现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.7.C【分析】根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可.【解析】∵方程2(1)5x -=的解分别为,a b ,∴2(1)5a -=,2(1)5b -=,∴a -1,b-1是5的平方根,∵a b >,∴11a b ->-,∴a -1是5的算术平方根,故选C.【点睛】本题考查了方程解的定义,算术平方根的定义,熟记定义,灵活运用定义是解题的关键.8.D【分析】根据偶数次幂和算术平方根的非负性,求出m ,n 的值,进而即可求解.【解析】∵2(1)0m -+=,∴2=0(1)0m -=,∴m=1,n=-2,∴m -n=1-(-2)=3,故选D .【点睛】本题主要考查代数式求值,掌握偶数次幂和算术平方根的非负性,是解题的关键.9.C【分析】直接利用平方根的定义得出a 的值,进而得出答案.∵一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2,∴2a−1−a+2=0,解得:a=−1,故2a−1=−3,则这个正数是:(−3)2=9.故选:C.【点睛】此题主要考查了平方根的定义,正确得出a的值是解题关键.10.C【分析】由于4<5<9【解析】解:∵4<5<9,3.∵2.52=6.25>5,2.5,2,1最接近的整数是1.故选:C.【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力,关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”.【分析】根据绝对值,算术平方根的非负性得到关于a、b的方程,求出a、b即可.【解析】解:由题意得a-5=0,b+3=0,∴a=5,b=-3.故选:B【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根的非负性,熟练掌握绝对值、算术平方根的性质是解题关键.12.A【分析】根据负的平方根、算术平方根和平方根的定义逐一判断即可.【解析】解:A.8=-,故本选项符合题意;B.8=,故本选项不符合题意;C.64==,故本选项不符合题意;D.8=±,故本选项不符合题意.故选A.【点睛】此题考查的是平方根的相关概念,掌握负的平方根、算术平方根和平方根的定义是解题关键.13.-1【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值,然后代入所给代数式计算即可.【解析】a-+=,解:∵()220∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴a+b=2-3=-1.故答案为:-1.【点睛】本题考查了非负数的性质,①非负数有最小值是零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有:绝对值,算术平方根和偶次方.14.4【分析】先根据算术平方根的定义解出这个数,再根据立方根的定义解答即可.【解析】解:a的算术平方根是8,2∴a=8=6464的l立方根是4,故答案为:4.【点睛】本题考查立方根、算术平方根等知识,基础考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.15【分析】根据有理数的乘方运算先求a和b的值,然后代入求解【解析】 解:∵2416()749±=且a 是正方形的边长,37343()28=, ∴47a =,72b =【点睛】本题考查有理数的乘方运算和算术平方根的应用,掌握乘方的运算法则正确计算是解题关键16.2-【分析】,再计算4的算术平方根为2,最后计算2的相反数即可解题.【解析】4的算术平方根是2,2的相反数是2-,故答案为:2-.【点睛】本题考查算术平方根,相反数等知识,是基础考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.17.-10【分析】首先依据平方根和算术平方根的定义求出x 、y ,再代入计算即可求解.【解析】解:(1)∵25的算术平方根为x ,∴x=5,∵4是1y +的一个平方根,∴116y +=,15y ∴=,∴51510x y -=-=,故答案为:-10.【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义,正确理解平方根和算术平方根是解题的关键.18.0.8【分析】根据算术平方根的定义,即可求解.【解析】0.8=,∴0.64的算数平方根是0.8,故答案是:0.8.【点睛】本题主要考查算术平方根,掌握算术平方根的定义,是解题的关键.19.(1)10;(2) 3.-【分析】(1)先计算被开方数,再利用算术平方根的含义求解即可得到答案;(2)先计算括号内的乘方,再计算括号内的减法,把除法转化为乘法,最后计算乘法运算即可得到答案.【解析】解:(110==,(2)2112524⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()12544⎛⎫=-⨯⨯- ⎪⎝⎭ ()85444⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭()3434=⨯-=- 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义,含乘方的有理数的混合运算,掌握以上知识是解题的关键.20.(1)1-;(2)0.【分析】(1)利用有理数的加法法则进行运算即可得到答案;(2)分别计算有理数的乘方,算术平方根,绝对值,再计算加减运算即可得到答案.【解析】解:(1)431-+=-,(2)2(1)|4|-+-1340=+-=【点睛】本题考查的是有理数的加减法运算,乘方运算,绝对值的运算,算术平方根的含义,掌握以上运算是解题的关键.21.(1)5x =5y =(2【分析】(1)根据非负数的性质求解即可;(2)先求出xy 的值,再根据算术平方根的定义求解.【解析】解:(1)(250x -≥,50y -≥,(2550x y -+-=,50x ∴-=,50y --=,解得:5x =5y =+(2)(5525322xy =+=-=, xy ∴【点睛】本题考查了非负数的性质,以及算术平方根的定义,根据非负数的性质求出x ,y 的值是解答本题的关键.22.(1)a=-8;(2)1或9.【分析】(1)根据平方运算,可得(1-a )的值,求解可得答案;(2)根据题意可知x y ,相等或互为相反数,列式求解可得a 的值,根据平方运算,可得答案.【解析】解:(1)∵x 的算术平方根是3,∴1-a=9,∴a=-8;(2)x ,y 都是同一个数的平方根,∴1-a=2a-5或1-a+(2a-5)=0,解得a=2,或a=4,当a=2时,(1-a )=(1-2)2=1,当a=4时,(1-a)=(1-4)2=9,答:这个数是1或9.【点睛】本题考查了平方根和算术平方根,注意第(2)问符合条件的答案有两个,小心漏解.。
七年级数学(下)第六章《实数》§6.1平方根 一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根(1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即: 如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根.(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9开平方即9的平方根是±3(4)一个正数有两个平方根,它们是一对相反数,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算(负数的平方根没有意义) (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根;正数a 的负的平方根可用-a 表示.(6)a x =2⇔ a x ±=a 是x 的平方 ( x 是a 的平方根) x 的平方是a (a 的平方根是x )2、算术平方根(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0。
(2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有理数; 当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数(无理数)。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5,=50。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小(5)a x =2(x≥0) ⇔ a x =a 是x 的平方(x 是a 的算术平方根) x 的平方是a ( a 的算术平方根是x )(6)正数和零的算术平方根都只有一个,负数没有算术平方根。
a (a ≥0)0≥a==a a 2 ;注意a 的双重非负性:-a (a <0) a ≥0熟记一些基本的平方数例题:1、判断下列说法正确的个数为( )(1)-5是-25的算术平方根;(2)6是()26-的算术平方根;(3)0的算术平方根是0;(4)0.01是0.1的算术平方根; (5)一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. A .0 个 B .1个 C .2个 D .3个 2、36的平方根是( )A 、6B 、6±C 、 6D 、 6± 3、下列各式中,有意义的是 (1)5 (2)2- (3)4- (4)2)3(- (5)310-4、求下列各式中的x :(1)0252=-x (2)4(x+1)2-169=05、(1)已知x 、y 都是实数,且4y =,求x y 的平方根。
6.1 平方根(三)【笔记】1.平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的 或 .a (a ≥0)的平方根记作 .2.平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为 ;0有一个平方根,它是 ;负数没有平方根.注:一个正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根.3.开平方运算:求一个数a 的平方根的运算,叫做 .开平方与 互为逆运算.【训练】1.“425的平方根是±25”,用数学式子可以表示为 () A.√425=±25B.±√425=±25C.√425=25D.-√425=-252.如果一个数的平方根等于这个数本身,那么这个数是( ) A.1 B.-1 C.0D.±1 3.下列各式中正确的是( ) A.√25=±5B.√(−3)2=-3C.±√36=±6D.√−100=10 4.(-6)2的平方根是 () A.-6 B.36 C.±6D.±√6 5.下列说法正确的是 () A.√4的平方根是±2B.-a 2一定没有平方根C.0.9的平方根是±0.3D.a 2+1一定有平方根6.16的算术平方根和25的平方根的和是( ) A.9B.-1C.9或-1D.-9或1 7.16的算术平方根为 ,16的平方根为 ,√16的平方根为 . 8.一个正数的两个平方根的和是 ,商是 .9.a 2=16,|b |=3且ab <0,则a +b 的值为 .10.(广东中考)一个正数的平方根分别是x +1和x -5,则x = .11.若√x +2=2,则2x +5的平方根是 .12.求下列各数的平方根:(1)9; (2)16121; (3)0.01.13.求下列各式的值.(1)√625;(2)√1−59;(3)±√11336; (4)±√(−123)2. 14.求下列各式中x 的值.(1)x 2-121=0; (2)(x -2)2-64=0.15.现在定义一种运算,其规则为a*b=a2-b2,根据此规则,如果x满足(x+2)*5=0,那么x的值为.16.自由下落物体的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系是h=4.9t2.有一个物体从120m高的建筑物上自由落下,到达地面需要多长时间(结果取整数)?17.已知a-1和5-2a都是m的平方根,求3m-4a+5的平方根.18.已知x-1的算术平方根为2,3x+y-1的平方根为±4,求3x+5y的平方根.19.王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为2m-6,它的平方根为±(m-2).求这个数.小张的解法如下:依题意可知,2m-6是m-2或者是-(m-2)两数中的一个,当2m-6=m-2,解得m=4,2m-6=2×4-6=2,这个数为4;当2m-6=-(m-2)时,解得m=83,2m-6=2×83-6=-23,这个数为49.综上所述,这个数为4或49.王老师看后说,小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗?为什么?请予以改正.参考答案6.1平方根(三)【笔记】1.平方根二次方根±√a2.相反数03.开平方平方【训练】1.B2.C3.C4.C5.D6.C7.4±4±28.0-19.±110.211.±312.(1)∵(±3)2=9,∴9的平方根是±3.(2)∵(±411)2=16121,∴16121的平方根是±411.(3)∵(±0.1)2=0.01,∴0.01的平方根是±0.1.13.(1)25(2)23(3)±76(4)±12314.(1)x=±11(2)x=-6或x=1015.3或-716.将h=120代入h=4.9t2,解得t2≈24.49,∵t>0,∴t=√24.49≈5,答:到达地面需要5s.17.由题意,得①(a-1)+(5-2a)=0,解得a=4,∴m=(a-1)2=9,则3m-4a+5=16.∴3m-4a+5的平方根为±4.②a-1=5-2a,解得a=2,∴m=(a-1)2=1.则3m-4a+5=0,∴3m-4a+5的平方根是0.18.x-1=4且3x+y-1=(±4)2,解得x=5,y=2,∴3x+5y=25.∴3x+5y的平方根为±5.19.错在当m=83时,2m-6<0,不符合题意应舍去.∴这个数为4.。
a 625 1
知识点
七年级下册
6.1 平方根
1.算术平方根的概念及表示方法(重点)
一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a ,即x 2
=a ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
a 的算术平方根
记为 ,读作“根号 a ”,a 叫做被开方数。
总结:○
1 0 的算术平方根是 0 ○
2 负数没有算术平方根,也就是说,当式子 有意义时,a 一定表示一个非负数。
例:求下列各数的算术平方根
(1)
256 ;
(2) ;
(3)
【针对性训练】
1. 下列说法正确的是(
)
A 、任何数都有算术平方根;
B 、只有正数有算术平方根;
C 、0 和正数都有算术平方根;
D 、负数有算术平方根。
2. 下列数没有算术平方根是(
)A 、5 B 、6 C 、0 D 、-3
3. 下列说法正确的是(
)
A 、0 的算术平方根是 0
B 、9 是 3 的算术平方根
C 、3 是 9 的算术平方根
D 、-3 是 9 的算术平方根
4. 下列说法:①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a 2 的算术平方根是 a ;④( π-
4) 2 的算术平方根是π-4;⑤算术平方根不可能是负数。
其中,不正确的有( )
A.2 个
B.3 个
C. 4 个
D.5 个
5.选择下列语句正确的是( )
1
1 1
1 A. - 的算术平方根是-
B. -
的算术平方根是
64 8
1
1 C.
的算术平方根是
64
8
64 8
D. 的算术平方根是- 1
64
8
6.7 是
的算术平方根。
a 412 -402
225 169 121 a 81 4 3 7. 的算术平方根是 . 8. + = . 9. (-5)2 算术平方根是
2.平方根的概念及其性质
定义:一般地,如果一个数的平方等于 a ,那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根。
这就是说,如果x 2
=a ,
那么 x 叫做 a 的平方根。
例如:4 和-4 是 16 的平方根,简记为±4 是 16 的平方根。
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根。
正数 a 的平方根记为± 。
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方,其中 a 叫做被开方数。
总结:○
1 被开方数 a 是非负数(即正数和零) ○
2 平方和开方是互逆运算关系 例:求下列各数的平方根
(1)(-3)2
(2)1
15
49 ;
(3)0; (4)1.
【针对性训练】
1. 下列说法正确的是(
)
A 、0 没有平方根;
B 、4 的平方根是 2;
C 、-2 是 4 的平方根;
D 、-1 的平方根是-1。
2. 的平方根是(
)
A 、9
B 、 ±9
C 、3
D 、±3
3. 下列说法正确的是(
)
A 、0.9 的算术平方根是 0.3
B 、- a 2 一定没有算术平方根
C 、 的平方根是±2
D 、 - 表示 3 的算术平方根的相反数
4. 平方根等于它本身的数有(
)
A 、0;
B 、0、1;
C 、1;
D 、-1、0、1、 5.8 1 的平方根是
6.
的算术平方根和平方根等于它本身。
7.若 4x 2 = 9 ,则 x=
.
;
a a a 2
25 82
(-7)2
( ) 典型例题
中考对接
8.2.56 的平方根是 ;算术平方根是 .
9.10-4
平方根是
10. 的平方根是±2,则 a=
题型一 关于 和 的化简
例:(1) 的算术平方根是
(2) 若
(3) 若
x 2 =3 则 x=
的平方根是±3 ,则 a=
(4) =
,则
=
题型二 算术平方根与不等式的综合 例:已知y= x-2 + 2-x +5 ,求 x'+y 的值
题型三 平方根与绝对值的综合 2a+6 + b- 例:已知 a 、b 是实数,且
a+2 x+b 2
=a-1 ,解关于 x 的方程 。
题型四 算术平方根与面积问题的综合
例:国际比赛的足球场长在 100m 到 110m 之间,宽在 64m 到 75m 之间,为了迎接 2011 年亚洲杯,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5 倍,面积是7560 平方米。
请你判断这个足球场能用作国际比赛吗? 并说明理由
例:(2010 ft 西)估算 31-2 的值( )
A.在 1 和 2 之间
B.在 2 和 3 之间
C.在 3 和 4 之间
D.在 4 和 5 之间
a 2
36 - 92 (-6)2 49 a (-6)2 (-7)2 52
a 2
25 ⎪ ⎭
【跟踪习题】
1. 9 的算术平方根是( )
A .-3
B .3
C .±3
D .81
2. 下列计算正确的是( )
A . 4 =±2
B . = 81 =9 C. ± = 6 D. = -9
3. 下列说法中正确的是( )
A .9 的平方根是 3
B . 16 的算术平方根是±2 C. 16 的算术平方根是
4 D. 16 的平方根是±2
4.
64 的平方根是( )
A .±8
B .±4
C .±2
D .±
5. 4 的平方的倒数的算术平方根是( )
A .4
B .
1 8 C .- 1 4 D . 1 4 6. 下列结论正确的是( )
A - = -6
B (- 3)2 = 9
C = ±16
D ⎛
- -
⎝ 16 ⎫2
25 ⎪ = 16
25 7. 以下语句及写成式子正确的是(
)
A 、7 是 49 的算术平方根,即
C 、± 7 是 49 的平方根,即± 8.下列语句中正确的是( )
= ±7
= 7
B 、7 是(-7)2 的平方根,即
D 、± 7 是 49 的平方根,即 = 7
= ±7
A 、 - 9 的平方根是- 3
3
B 、9 的平方根是3
C 、 9 的算术平方根是± 3
D 、9 的算术平方根是
9.下列说法:(1) ± 3 是 9 的平方根;(2)9 的平方根是± 3 ;(3)3 是 9 的平方根;(4)9 的平方根是 3,其
中正确的有(
) A .3 个 B .2 个 C .1 个
D .4 个
6、36 的算术平方根是
,36 的算术平方根是 .
7、如果 a 3=3,那么 a=
. 如果 =3,那么 a=
.
8、一个正方体的表面积是 78,则这个正方体的棱长是
.
9、算术平方根等于它本身的数是 .
10、 = , - =
.± = , =
.
11、 的算术平方根是
.
三、解答题:
12、求满足下列各式的非负数 x 的值: (1)169x 2=100 (2)x 2-3=0
(-9)2 2
(-16)2 49 (-7)2 49
(-0.1)2
25 36 0.09 x + 2 170 a + b
13、求下列各式的值: 1 (1)- ;
(2) + ; (3) +
0.36
5
14 =2,求 2x+5 的算术平方根.
15、已知 a ,b-1 是 400 的算术平方根, .
16、有一块正方形玻璃重 6.75 千克,已知此种玻璃板每平方厘米重 1.2 克,求这块玻璃板的边长.
17、某农场有一块长 30 米,宽 20 米的场地,要在这块场地上建一个鱼池为正方形,使它的面积为场地面积的一半,问能否建成?若能建成,鱼池的边长为多少?(精确到 0.1 米)。