春小学五年级 第讲 计数问题 系统复习班 教师版

第23讲计数综合二〔教师版〕内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式．典型问题兴趣篇1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？答案：18个。

详解：6、7、8、9的最小公倍数是504，9999以内504的倍数有19个，1000以内504的倍数有1个，因此满足条件的四位数有19—1=18个。

2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？答案：〔1〕12种；〔2〕21种。

解析：〔1〕分情况讨论：第一种情况，取出的两个数都是3的倍数有3种；第二种情况，取出的两个数都不是3的倍数，那么必一个除以3余1，另一个除以3余2，有9种。

因此共有3+9=12种。

〔2〕两数之积是3的倍数，那么至少有一个数是3的倍数，有3+18=21种。

3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？答案：24个。

解析：3的倍数特征是数字和是3的倍数。

这5个数中选出的3个数可能有4种情况，因此共有4*6=24个4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？答案：216个。

解析：能被5整除的数的特征是个位数字是0或5.当个位是0时，有5*4*3*2=120个，个位是5时，有4*4*3*2=96个，因此共有120+96=216个。

5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？答案：36个，84个。

解析：十位为1时，个位有8种可能，十位为2时，个位有7种可能，依此下去，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个。

和第一问方法相同，共有28+21+15+10+6+3+1=84个。

6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数〞，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数〞？答案：56个。

《小数除法的整理与复习》一、敎學内容义务敎育课程标准实验敎科书人敎版数學五年级上册第42-43页。

二、敎學目标1、进一步掌握小数除法的计算方法,能正确熟练地计算小数除法,提高计算能力。

2、培养學生解决实际问题的能力及应用意识。

3、经历整理和反思小数除法的过程,培养學生比较、归纳等思维能力,养成总结反思和自主學习的习惯。

三、學情分析小数除法是學生在计算學习中的难题,學生在计算中会出现许多算理方面的错误,借助本节整理复习课的机会帮助學生查缺补漏,避免今后重复出现这样的错误。

此外,學生对梳理知识的方法认识还比较单一。

四、敎學重点熟练掌握小数除法的计算方法,并能正确计算。

五、敎學难点能结合实际情况灵活选用“四舍五入”“进一法”“去尾法”取商的近似数。

六、课前准备1. 敎具：课件；2. 學具：课堂练习题,學习卡；3. 分好小组,选好组长、记录员；4. 學生完成预习导學案。

七、敎學过程一、复习引入,全面展开师：同學们,咱们这个单元學习了小数除法。

这节课,我们一起来整理与复习“小数除法”这个单元的知识。

师：在这个单元中,大家都學了有关小数除法的哪些知识点？學生汇报：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题。

敎师提出要求：以上这些知识点是小数除法单元的主要知识点,这些知识点都需要注意什么？昨天老师让大家在家用表格、网络图或者知识树等形式表现出来了,现在请大家小组合作交流。

合作要求：1.四人为一组,交流自己的想法,并完善自己的成果。

2.汇报时,请说清楚每个知识点的内容和要注意的问题。

展示的學生的作品。

预设表格形式除数是整数的小数除法小数除法的意义与整数除法的意义相同商的小数点一定要和被除数的小数点对齐除数是小数的小数除法根据商不变的规律,把除数转化成整数再计算。

把被除数和除数同时向右移动相同的位数,使除数变成整数,被除数的位数不够,用0补足。

求商的近似值用四舍五入的方法。

数字谜这类题目往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜来解答.解题技巧：（一） 解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位、重复数字以及位数的差异.（二） 要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算.（三） 当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性.（四） 注意结合进位及退位来考虑.（五） 有时可运用到数论中的分解质因数等方法.【例1】 右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?【分析】显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十位加法(含个位加法进位)等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：7，5；7，4；6，5．再考虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、 “奥”等于7，5，“国”、“京”、“运”等于1，3，4．“国”取l ，3，4中最大的4，得到“中国”最大是84．【例2】 下图的等式中，不同的汉字表示不同的数字，如果“巧+解+数+字+谜=30”，那么，“数字谜”所代表的三位数是_______.【分析】谜字只能取0或5．如果谜=0，字也要取0，不合题目要求，所以谜=5．3个字加上2是10的倍数，所以字=6． 2个数加上2是10的倍数.所以数=4或9，如果数=4，那么解+1=10，所以解=9．但这时巧=30-9-4—6—5=6与字相同，不合题意.因此数=9，解+2=10，所以解=8，巧=30-8-9-6-5=2，所以“数字谜”所代表的三位数是965.【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？【分析】根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例3】在图所示的乘法算式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，这个乘法算式的最后乘积是多少?【分析】问题中出现的都是末位数.而且都是奇数，故应先从末位数开始考虑．第三行的末位为1，共有三种可能的组合：1×1，3×7，9×9．由于第二行数的每一位与第一行相乘后都得到五位数，故第二行的各位数字不会为1．故1×1、9×9均不满足条件．第一行和第二行末位数为3、7或者7、3．分两种情况来讨论：若第一行末位为3，第二行末位为7，由末位的9推知第二行的数应为3337，由第三行的十位应为0知第一行的十位为4．从而得到第四、五、六行的十位皆为2，进而有第三行的百位应该是8，于是推出第一行的百位为5．这样便立刻得到第四、五、六行的百位为6，从而由第三行的4位为1得到第一行的千位为4．于是有4543×3337=15159991，满足条件．若第一行末位为7，第二行末位为3，同样的方法立刻有第二行数应为7773．依次推得第一行的十位、百位、千位分别为6、4、0，不符合题目要求．于是本题答案为15159991．评注：本题采用了枚举的方法，对可能的有限种情况分别讨论，从而求解出问题．在数字谜的求解中常常用到这种方法．【例4】 内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：【分析】由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc ×a=□5□,推出c 不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262.数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例5】 请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？【分析】关键在于确定中心数a 和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先 在各圆圈内填上字母，设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a ＋（1+2+3+4+5+6+7）=3k ，2a ＋28=3k ， 由于28与2a 的和为3的倍数,a 又为1～7中的数字,经过尝试可知:a 为1、4或7.答案如下：（1） 当a=1，时2+7=5+4=3+6，得到第一种答案。

【关键字】问题、解决志翔名教 2、3、5的倍数的特征 (一)知识点：对于非零自然数a×b=c，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。

一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

自然数按是否是2的倍数可分为两类：奇数和偶数。

2、3、5的倍数的特征我们要牢记，它们是解决整除问题的法宝。

2的倍数特征是：________________________。

（2的倍数一定能被2整除）5的倍数特征是：________________________。

（5的倍数一定能被5整除）3的倍数特征是：________________________。

（3的倍数一定能被3整除）奇数 + 奇数= （）偶数 + 偶数=（）偶数 + 奇数=（）奇数×奇数=（）偶数×奇数=（）奇数个奇数相加得（）偶数个奇数相加得（）若干个偶数相加得（）一、填空.1、在2的倍数中,最小的一位数是( ),最小的两位数是( ).2、同时是2,5的倍数的数个位一定是( )3、同时是2,5,3的倍数的最小三位数是( ) ,最大三位数是( ).4、在20,75,0.5,1,18,60,11,21,9.8,35,92,101,87,240中,自然数有（），奇数有（），偶数有（），5的倍数有( ),3的倍数有( ),同时是2,3,5的倍数有( ).5、在1,2,3,0,6五个数中,选三个数组成一个三位数,最大的偶数是( ),最小的奇数是( ).是2的倍数的最小三位数是( ),是5的倍数的最大三位数是( ),同时是2,5,3的倍数的最大三位数是( ),最小三位数是( ).6、p是一个奇数,p+1一定是( ).7、最小的奇数是( ),除0外最小的偶数是( ).8、最大的两位偶数是( ),最小的三位奇数是( ).9、在A÷B=5中（AB都是非零自然数），那么A的因数可能是( ),B的倍数可能是（）。

五年级上册数学教案-第一单元复习教案 | 人教版教学内容本节复习课涵盖五年级上册数学第一单元的所有内容，包括：数的认识、数的运算、几何图形的认知以及简单的数据处理。

通过对这些知识点的回顾和巩固，旨在提升学生的数学基础能力，为后续学习更复杂的数学概念打下坚实的基础。

教学目标1. 巩固和深化对第一单元数学概念的理解和运用。

2. 培养学生独立解决问题的能力，特别是在数的运算和几何图形方面的应用。

3. 通过复习，发现并解决学生在学习过程中的难点和误区。

4. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

教学难点1. 数的运算中的进位和借位问题。

2. 几何图形面积和体积的计算方法。

3. 数据处理中的平均数、中位数和众数的理解和应用。

教具学具准备1. 教师准备PPT课件，涵盖所有复习内容。

2. 学生需准备笔记本、文具盒、计算器等学习用品。

3. 准备一些几何模型，如立方体、长方体等，以便直观展示。

教学过程1. 导入（5分钟）：通过简单的数学游戏或问题引入，激发学生的学习兴趣，回顾第一单元的主要知识点。

2. 知识回顾（15分钟）：教师通过PPT展示第一单元的知识框架，引导学生回顾数的认识、数的运算、几何图形认知和数据处理等内容。

3. 难点讲解（20分钟）：针对学生在学习过程中遇到的难点，如进位借位、面积体积计算等，进行详细讲解和例题演示。

4. 课堂练习（30分钟）：学生独立完成教师准备的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

5. 小组讨论（10分钟）：学生分组讨论练习中的问题，相互学习，共同解决难题。

6. 总结反馈（10分钟）：每组选派代表分享讨论成果，教师总结复习内容，强调重点和难点。

板书设计板书将围绕教学目标展开，清晰地展示每个知识点的重点和难点。

通过逻辑图、表格等形式，直观地展示知识结构，帮助学生理解和记忆。

作业设计作业将包括基础题、提高题和思考题三个层次，旨在巩固学生的基础知识，提高学生的应用能力和思维能力。

作业量适中，注重质量而非数量。

整理与复习第三课时（教学设计）-2022-2023学年数学五年级上册北师大版一、教学内容本次课程旨在帮助学生巩固数学的基本知识，特别是针对数型高度相似但解题思路差异较大的问题进行讲解和演示。

本次课程涉及以下知识点：•二位数加减法•三位数的加减法•数型转化•数量关系二、教学目标本次课程旨在通过对数学基本知识的全面复习及相应的练习，提高学生的数学运算水平和解题能力，同时，让学生进一步理解数学运算的本质和与日常生活的联系。

具体目标如下：1.能够熟练掌握二位数加减法及三位数的加减法。

2.能够灵活运用数型转化的方法，快速解决相应难点。

3.能够通过实例展示和归纳总结，掌握不同的数量关系表达方式。

三、教学流程本次课程由以下几个部分组成：1. 复习-二位数加减法1.阐述二位数加减法的概念及规律。

2.分配练习，让学生以组为单位进行课堂练习，以加深对二位数加减法的理解和掌握。

2. 复习-三位数的加减法1.阐述三位数加减法的概念及规律。

2.演示三位数加减法的简便技巧。

3. 讲解-数型转化的方法1.巩固数型转化的概念及基本方法。

2.根据学生实际情况，举例介绍不同场景下的数型转化。

4. 讲解-数量关系1.讲解数量关系的概念及分类。

2.讲解不同数量关系的表达方式及对应的问题类型。

5. 练习1.分配相应练习，让学生巩固所学知识。

2.突出数型转化和数量关系方面的练习。

6. 总结1.回顾本次课程的重点内容，突出数型转化和数量关系方面的知识点。

2.向学生提出相应问题，引导他们进一步思考和总结。

四、教学课件本次课程的教学课件涵盖了以下内容：1.二位数加减法及三位数加减法的相关演示和练习。

2.数型转化的演示和练习。

3.数量关系的概念及相关练习。

4.具体习题和解析。

五、教学评估本次课程教学评估由以下几个部分组成：1.学生课堂表现，包括听课，做题，以及对问题的回答和提问等方面。

2.预习和复习作业的完成情况。

3.教学反思及教师对学生表现的评价。

+计数问题综合选讲9对计数问题的复习.排列组合进阶——五年级秋季（第9级下）图形计数综合——五年级秋季（第9级下）1. 学校某天上午要排数学、语文、英语、体育四节课．数学只能排第一、二节，语文只能排二、三节，英语必须排在体育的前面．满足以上要求的课表有＿＿＿＿种排法．2. 如果我们需要将8块相同的巧克力分给四个小朋友，并确保每个小朋友至少得到一块巧克力，请问共有多少种不同的分法?3. 下图是一个33 的正方形钉子阵，其中拔掉一个钉子（如图所示），用皮筋去套剩下的8个钉子，最多能产生_________个三角形．____________________________________________________________________课前加油站 后续知识前铺知识本讲内容____________________________________________________________________知识GPS 预习用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱(不要求每种硬币都有)，共有多少种不同的方法?A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种?书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法? （2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法? （3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?知识剖析排列与组合模块2-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例2-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例1基本计数原理与方法枚举法：枚举的分类标准要清晰，确保做到有序枚举，不重不漏； 加法原理：分类，各类相互独立，均可完成目标； 乘法原理：分步，共同完成目标，缺一不可．知识剖析基本计数问题模块1甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：（1）如果要求站成两排，前排两人，后排四人，一种有多少种站法? （2）如果丙不能站在队伍两端，一共有多少种站法? （3）如果甲、乙相邻，一共有多少种站法? （4）如果丁、戊不相邻，一共有多少种站法?（5）如果甲、乙相邻且丁、戊不相邻，一共有多少种站法? （6）如果甲必须站在乙的前面，一共有多少种站法?在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法?（1） 有3名内科医生和2名外科医生； （2） 既有内科医生，又有外科医生； （3）至少有一名主任参加.数一数，下图中一共有多少个三角形?-------------------------------------------------------------------------------------------例5计数原理综合应用问题模块3-------------------------------------------------------------------------------------------例4-------------------------------------------------------------------------------------------例3排列组合公式：1. 排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+2. 全排列公式：!(1)(2)21nnA n n n n ==⨯-⨯-⨯⨯⨯3. 组合数公式：(1)(2)(1)!m nn n n n m C m ---+=4. 关于组合数的几个重要结论：01n n n C C == m n m n n C C -= 0122nn nn n n C C C C ++++=例6-------------------------------------------------------------------------------------------薇儿和艾迪比赛下军旗，两人水平相当，约定赛7局，先赢4局者胜．现在已经比了3局，薇儿胜了2局，艾迪胜了1局．请问：薇儿获得最后胜利的概率有多少?笔记整理1.基本计数原理与方法：枚举法：有序枚举，不重不漏；加法原理：分类，各类相互独立，均可完成目标；乘法原理：分步，共同完成目标，缺一不可．2.排列组合常见题型及解决方法：题型方法说明分排排列全排列与一排无差异特殊元素/位置优限法特殊元素/位置优先考虑元素相邻捆绑法捆绑元素；内部排列元素不相邻插空法不相邻元素插空定序问题大除法相同元素不同分配插板法正难则反排除（减法）正面考虑复杂，可从反面排除多重条件问题分类讨论本讲巩固1．甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况?2．五面不同颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号?3．甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，如果：（1）甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法?（2）甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法?4.有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出多少种不同的质量? 5．图中有______个三角形，______个梯形，梯形与三角形个数差为________．6．约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．。

（1） 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2） 整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3） 对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4） 递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分例题精讲知识结构计数方法与技巧为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=()12k k++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ka个部分．从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-．那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【巩固】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】 设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；1413121110987654321876521344312212n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． ……一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦；特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 3】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-； 三角形：()231n n +⨯⨯- ； 长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【巩固】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例4】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()⨯+÷=个小三角形．360100180180201【答案】201个小三角形【例 5】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一⨯长方形68296个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 6】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 7】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，第一届，学而思杯，5年级，第7题【解析】方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：----，34521----，53421----，----，3542154321----，45321----，24531----，52431----，----，2543154231----，45231----，54312----，----，23451----，23541----，2534152341----，54132----，34512----，----，3541245312----，53412----，51342----，14532----，----，5143245132----，15432----，45123----，----，54123----，13452----，1354215342----，12543----，----，51243----，14523----，5142315423----，15234----，12534----，----，1235415243----，12453----，12345----。

第10讲 计数综合之归纳递推映射计数二模块一、图形计数中的对应法图例1．在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包括两个白色小格与一个黑色小格的长方形共有 个。

解：由条件知，在四条边上不是角的黑色方格都可以画出一个符合条件的长方形，这样的长方形有3×4=12个。

对于中间的黑色方格，每个方格都可以画出两个符合要求的长方形，这样的长方形有3×6×2=36个，于是这样的长方形有12+36=48个。

例2．图中可数出的三角形的个数为 。

解：这个图不像我们以前数三角形那样的规则，我们发现图形由8条线段组成，从这8条线段中任意选出3条，都可以组成一个三角形，于是三角形的个数是3856C =（个）。

模块二、数字问题中的对应法例3．有 个多位数（至少两位），这个数所有数位上的数字从左到右依次递增。

解：先看两位数：12、13、......、19；23、24、......，29；34、35、......39； (89)这样的数有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）；也可以看做是9个数字中选2个的组合数，即2936C =（个）；所以三位数：有3984C =（个）；依次类推共有23499999C C C C ++++L =290199C C --=512−10=502（个）。

例4．请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有 个。

解：五位数共有99999−9999=90000（个）；其中3的倍数有30000个；除了数字3以外，其余的9个数码分为3组：(1、4、7)；(2、5、8)；(0、6、9)，在五位数的前四位中任意取不含3的数字有8×9×9×9种方式，对于前面的每一个数，这四个数字的和确定以后，一定可从以上三组数中选择一组（且只有一组），使得该数是3的倍数，所以五位数中是3的倍数且不含有3的个数是8×9×9×9×3=17496（个）．于是五位数中是3的倍数且至少含有1个3的个数是30000−17496=12504（个）；模块3、阶梯型标数法的对应问题例5．一个正在行走的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高排列，且同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同的排法。

一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法； 步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法； ……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、 排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分知识结构排列组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38AD、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

知识结构排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个n元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了，因此分法的数目为．个例题精讲一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法433344（：（1）3（2））【解析】7把6名实习生分配到个车间实习共有多少种不同方法【例2】6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，【解析】：完成此事共分第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.33CA8338 DA、 B、、 C、【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）88【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠38种，每个“客”有8种可能，因此共有军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”A 不同的结果。

整理与复习第1课时整理与复习(1)教学目标1.使同学们对自身在这几个单元所学的知识技能、数学思想方法等多方面进行整理、归纳、总结和反思。

2.把这阶段所学的异分母分数加减法、分数乘法、长方体的知识进行梳理、分类并建立各知识点之间的内在联系,形成初步的体系。

3.运用所学知识解决实际问题。

教学重难点1.整理异分母分数加减法、分数乘法,巩固对分数乘法意义的理解,深入探索长方体、正方体的相关知识。

2.反思数学学习情况,小结学习方法。

教学时间1课时。

教学过程一、活动一1.谈话引入:(1)我们一起来回忆一下,开学到现在我们都学习了哪些知识?(2)你能系统地整理一下吗?都有什么好方法?(3)下面请你整理“分数乘法”的知识。

并在小组中交流。

教师巡视,进行辅导。

2.认为自身的方法好的同学请上来向大家展示。

分数乘法举例意义计算方法分数乘整数×7求几个相同加数的和。

分子和整数相乘,分母不变。

整数乘分数9×求一个数的几分之几。

整数和分子相乘,分母不变。

分数乘分数求一个数的几分之几。

分子乘分子,分母乘分母。

注意:能约分的可以先约分。

二、活动二1.对于“分数加减法”和“长方体”这两部分的复习整理,你有什么好方法?2.谁愿意来向同学们展示一下?3.展示同学整理的方法。

三、回顾与交流1.在这些内容中,你最感兴趣的是哪部分的知识?为什么?2.你觉得最困扰自身的又是哪一部分?你是用什么方法解决问题的?3.反思自身这段时间的学习,在学习方法的积累方面你有什么进步?4.针对你的整理,你发现了什么问题,请你提出来,我们大家一起来研究。

同学们相互提出问题,并相互解答。

四、巩固应用1.完成教材P52巩固应用第1题。

先让学生结合算式看懂图意,再让学生独立计算,教师巡视重点辅导,让学生回答。

2.完成教材P52巩固应用第2题。

先说一说怎样在尺子上找出两个数,再比较大小。

3.完成教材P52巩固应用第3题。

让学生说出题目的条件和问题,独立计算。

整理与复习第1课时教学目标：1、回顾前四个单元的知识内容，从不同角度交流学习中的体会。

2、以不同的方式整理所学的知识内容，并进行交流，通过巩固应用，掌握相关的知识和技能，提高解决问题的能力。

3、通过回顾、整理、巩固应用等学习活动，养成整理知识，自我反思的良好习惯。

教学重点：以不同的方式整理所学的知识内容，并进行交流，通过巩固应用，掌握相关的知识和技能，提高解决问题的能力。

X k B 1 . c o m教学难点：通过回顾、整理、巩固应用等学习活动，养成整理知识，自我反思的良好习惯。

课前准备：课件教学过程：一、引导整理知识1、同学们，经过了四个单元的学习，我们又学到了不少新的知识，你们想不想把这些新学的知识进行整理？你们想怎么样进行整理？X|k |B| 1 . c| O |m2、学生提出整理方案。

大致认为先把知识进行分类，再把有联系的知识由先学到后学或由易到难进行排列。

3、学生尝试进行整理。

二、通过对学生整理结果的反馈，得出系统知识。

（一）分数加减法相关知识（二）长方体相关知识长度单位：毫米（mm ）10 厘米（cm ）10 分米（dm ） 10 米（m ）1000 千米（km ）面积单位： 毫米2100 厘米2100分米2100 米210000公顷100千米2（mm 2）（cm 2）（dm 2） ( m 2）（km 2）31000 厘米31000 分米31000米3（mm 3）（cm 3）（dm 3）（m 3）容积单位： 毫升（mL ）1000升（L ）（三）分数乘法相关知识新| 课 | 标| 第 |一| 网三、完善知识体系自学书本“我学到了什么”，补充遗漏的知识，自己进行整理回顾。

重点交流分数乘法是怎样用画图表示计算过程的。

四、我的成长足迹新课标第一网小组内说一说通过这段时间的学习，你有哪些收获？掌握了哪些学习方法？五、我提出的问题回顾本阶段的学习，你有哪些疑惑？书本中提出的问题你能尝试解决吗？六、课外拓展结合前面的数学学习，写一篇数学日记。

在日常的生活和数学竞赛中，经常会遇到一些计数问题，而一些常用的计数还是有规律可寻的，我们不妨总结一下.知识点：1. 图形的计数.2. 排列组合3. 容斥原理图形计数中常见的几类：1、数线段、三角形，（锐）角的个数.① 我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).② 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条.数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线段的条数为3+2+1=6(条).由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1即：第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个）数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角.2、数长方形的个数.以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个).注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽：(5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)．3、数正方形的个数.图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）由此我们可以得出：如果一个大正方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形的总数为：n2+(n一1)2+(n一2)2+…+32+22+12．在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.【例1】数一数图中有多少条线段?仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．【分析】图中共有线段：49+48+47+46+…+3+2+1=50×(50—1)÷2=1225(条)说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求出线段的总条数．【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．【分析】AG，AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)EF，CD，BC，AC中共有线段(2+1)×4=12(条)所以，总共有线段： 12+12=24(条)．【例2】分别数出图中每个图形中三角形的总个数？【分析】仔细观察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或HI上的线段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问题可以转化为数线段条数的问题．先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形．再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有15条线段，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个三角形．解：(1)5+4+3+2+1=15(个)(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)【例3】（北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法.每个4×4正方形中有：边长为1的正方形42个；边长为2的正方形32个；边长为3的正方形22个；边长为4的正方形12个；总共有42+32+22+12=30(个)正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×3—5×2=80（个）【例4】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）数一数，右图中三角形共有______个．【分析】利用对称性，分情况计算．类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．【例5】（第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法来统计，可以化繁为简，一目了然．1、关于排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做（m≤n），.其中2、关于组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作这就是组合数公式.【例6】（1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【分析】这是个排列问题.由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【分析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成 8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?【分析】第l阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛=15场，共8个小组，有15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛=6场，共4个小组，有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛．【例8】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有=20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例9】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？【分析】从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．。

教案一、教学目标1. 知识与技能：让学生理解小数的数位名称，掌握小数的数位顺序，并能够正确地读写小数。

2. 过程与方法：通过观察、发现、交流，培养学生的观察能力、发现能力和合作能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度。

二、教学重点、难点教学重点：小数的数位名称及顺序、计数单位及进率。

教学难点：小数的数位顺序和计数单位及进率的理解。

三、教学过程1. 导入：通过提问，引导学生回顾整数的数位顺序和计数单位，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课：（1）让学生观察小数，发现小数和整数的不同之处，引导学生说出小数的数位名称及顺序。

（2）让学生用自己的语言描述小数的数位顺序，加深对数位顺序的理解。

（3）通过举例，让学生理解小数的计数单位及进率，并能够正确地读写小数。

3. 练习：让学生独立完成教材上的练习题，巩固所学知识。

4. 小结：对本节课所学内容进行总结，强化学生对小数的数位名称及顺序、计数单位及进率的理解。

5. 作业：布置课后作业，让学生回家后进一步巩固所学知识。

四、教学反思本节课通过引导学生观察、发现、交流，让学生掌握了小数的数位名称及顺序、计数单位及进率。

在教学过程中，我注重激发学生的学习兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度。

同时，我通过让学生用自己的语言描述小数的数位顺序，加深了学生对数位顺序的理解。

然而，在教学过程中，我也发现了一些问题。

例如，部分学生在读写小数时，容易混淆数位顺序和计数单位。

针对这一问题，我将在今后的教学中，加强对学生的个别辅导，帮助学生克服困难。

总之，本节课的教学效果较好，学生基本掌握了小数的数位名称及顺序、计数单位及进率。

在今后的教学中，我将继续努力，改进教学方法，提高教学效果。

重点关注的细节：小数的数位顺序和计数单位及进率的理解。

详细补充和说明：一、小数的数位顺序小数的数位顺序是指小数点后面的数字按照一定的顺序排列，每个数位代表不同的计数单位。

总复习第1课时数与代数(1)教学目标1.整理和复习“数与代数”的知识,巩固和加深对这部分知识的理解。

体会各部分知识的内在联系。

2.能用自己喜欢的方式对所学知识进行整理。

3.提高学生应用知识解决实际问题的能力。

教学重难点弄清分数乘除法间的区别和联系。

教学策略小组整理学习内容,交流所学习的知识及学习方法。

教学时间1课时。

教学过程一、整理学习内容1.小组合作,整理“数与代数”。

回顾所学的内容,对所学的知识用自己喜欢的方式整理,对有特色的整理方式可以在全班交流,可结合教材P92第1题中的问题进行。

2.在班内对整理的内容交流。

二、课堂练习1.完成教材P94练习第1题。

学生画一画,再算一算,体会异分母分数加减法、分数乘除法的算理。

2.完成教材P94练习第2题。

学生列方程解答,注意让学生说说等量关系。

3.完成教材P94练习第3题。

学生独立计算,完成后让学生说说各题计算需注意什么。

三、课堂小结学生说说自己的收获,包括所学知识和新的学习方法。

附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。