广东省佛山市三水区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题及答案

广东省佛山市三水区2021-2022学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．若25x y =，则x
y 的值是（ ）
A ．52
B ．25
C ．32
D ．23
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分
D ．矩形的对角线相等且互相平分
4．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 ( ) A ．16
B ．14
C ．12
D ．13
5．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm 2，则较大多边形的面积为（ ） A ．16cm 2
B ．54cm 2
C ．32cm 2
D ．48cm 2
6．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则
AC
CE
的值是（ ）
A ．2
B ．1
2
C ．13
D ．3
6
-
y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y1<y3 8．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是
32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）
A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32
10．函数y=x+m与
m
y
x
=(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是()
A．B．
C．D．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位
似中心，相似比为1
3
，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）
A ．（﹣3，﹣1）
B ．（﹣1，2）
C ．（﹣9，1）或（9，﹣1）
D ．（﹣3，﹣1）或（3，1）
12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，2,BC AE BD =⊥，垂足为
E ，30BAE ∠=︒，那么ECO ∆的面积是（ ）
A B C D 二、填空题
13．在某一时刻，测得一根长为1.5m 的标杆的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为16m ，那么这根旗杆的高度为_______m ．
14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是2
7
，则袋中红球约为________个．
15．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0有一根为x =﹣1，则a +b =______．
16．如图，小明为了测量树的高度CD ，他在与树根同一水平面上的B 处放置一块平面镜，然后他站在A 处刚好能从镜中看到树顶D ，已知A 、B 、C 三点在同一直线上，且AB ＝2m ，BC ＝8m ．他的眼睛离地面的高度1.6m ，则树的高度CD 为__m ．
17．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．
18．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数y ＝k
x
（k ≠0，x ＞0）
上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为___．
三、解答题
19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)若a的值为3时，请解这个方程．
20．某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车或地铁，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中一共调查了名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．21．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
22．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，过点C的直线MN△AB，D为AB边上一点，过点D作DE△BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
23．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝m x
（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积；
(3)在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．24．如图（1），在四边形ABCD中，AB△DC，CB△AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．
参考答案：1．A
【解析】
【分析】
利用比例的基本性质计算即可．
【详解】
△2x=5y，
△x
y
=
5
2
，
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键．2．D
【解析】
【分析】
从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线，即可得．
【详解】
解：A、是几何体的主视图，选项说法错误，不符合题意；
B、是几何体的俯视图，选项说法错误，不符合题意；
C、不是该几何体的左视图，选项说法错误，不符合题意；
D、是几何体的左视图，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了几何的三视图，解题的关键是掌握几何体的左视图．
3．D
【解析】
【详解】
分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
4．B
【解析】
【分析】
利用树状图法列出连续两次掷一枚质地均匀的硬币会出现的所有情况，看两次都正面朝上的情况占总情况的多少即为所求．
【详解】
解：画树状图如图所示：
共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是1
4
．
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得189
16
S
，计算求解即可．
解：设较大多边形的面积为S
由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16
∴189
16 S
=
解得32
S=
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似比的关系．
6．A
【解析】
【分析】
由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.
【详解】
△BF=3DF，
△BD=2DF，
△////
AB CD EF，
△AC
CE
=
BD
DF
，
△AC
CE
=
2DF
DF
=2，
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝
6
x
-
求出y1、y2、y3的值，再比较大小即
可．
解：△点A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6
x
-的图象上， △y 1＝
63--＝2，y 2＝6
1--＝6，y 3＝62
-＝﹣3，
△﹣3＜2＜6， △y 3＜y 1＜y 2， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键 8．A 【解析】 【分析】
利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】
解：△1a =，1b =，3c =-，
△24b ac =-()2
1413130=-⨯⨯-=> ，
△该方程有两个不相等的实数根． 故选：A 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()2
0y ax bx c a =++≠，当
240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的
实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键． 9．B 【解析】 【详解】
分析：设剪去的小正方形边长是xcm ，则纸盒底面的长为（10−2x ）cm ，宽为（6−2x ）cm ，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm ，则纸盒底面的长为（10−2x ）cm ，宽为（6−2x ）cm ，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选B．
点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】
A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数y
m
x
=的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；
B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y
m
x
=的图象可知m＞0，正确；
C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y
m
x
=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；
D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数y
m
x
=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．
故选：B．
【点睛】
此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．
11．D
【解析】
【分析】
利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横
纵坐标分别乘以1
3
或-
1
3
即可得到点B′的坐标．
【详解】
解：△以原点O为位似中心，相似比为1
3
，把△ABO缩小，
△点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
12．B
【解析】
【分析】
过点C 作CF△BD 于F ．根据矩形的性质得到△ABE ＝△CDF ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．根据全等三角形的性质得到AE ＝CF ．解直角三角形得到OE ＝
【详解】
解：如图：过点C 作CF△BD 于F ．
△矩形ABCD 中，BC ＝2，AE△BD ，
△△ABE ＝△CDF ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．
△△ABE△△CDF ，（AAS ），
△AE ＝CF ．
△△ABE ＝△CDF ＝60°，
△△ADE ＝△CBF ＝30°，
△CF ＝AE ＝1
2
AD ＝1，
△BE ＝tan AE ABE ∠ △△ABE ＝60°，AO=BO ，
△△ABO 是等边三角形，
△OE ＝
△S△ECO ＝12OE•CF ＝112= 故选B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．8
【解析】
【分析】
根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．
【详解】
设旗杆高度为x 米，
由题意得：
1.5316
x = 解得8x =.
故答案为8．
【点睛】
本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形．
14．25
【解析】
【详解】
试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.
考点：简单事件的频率.
15．2021
【解析】
【分析】
将1x =-代入原方程即可得出答案．
【详解】
解：将1x =-代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0中，
得：20210a b +-=，
△2021a b +=，
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
16．6.4
【解析】
【分析】
利用△EAB△△DCB，可得EA AB
DC BC
=，可求DC＝6.4即可
【详解】
解：由题意可得：△EBA＝△DBC，△EAB＝△DCB，故△EAB△△DCB，
则EA AB DC BC
=，
△AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
△1.62
8 DC
=，
解得：DC＝6.4m，
故答案为：6.4．
【点睛】
本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键．
17．10
【解析】
【分析】
由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【详解】
解：△DE//AC，CE//BD，
△四边形OCED为平行四边形，
△四边形ABCD是菱形，
△AC△BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝1
2
BD ＝8，
△△DOC ＝90
︒，CD ＝10，
△平行四边形OCED 为矩形，
△OE ＝CD ＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
18．4.
【解析】
【分析】
设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，根据中心在反比例函数y ＝k x 上，求出中心的横坐标为2k n ，进而可得出BC 的长度，根据矩形ABCD 的面积即可求得．
【详解】
如图，延长DA 交y 轴于点E ，
△四边形ABCD 是矩形，
设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2
n ， △矩形ABCD 的中心都在反比例函数y ＝
k x 上， △x ＝2k n
， △矩形ABCD 中心的坐标为（
2k n ，2n ）
△BC ＝2（2k n ﹣m ）＝4k n
﹣2m ， △S 矩形ABCD ＝8，
△（4k n
﹣2m ）•n ＝8, 4k ﹣2mn ＝8，
△点A （m ，n ）在y ＝
k x
上， △mn ＝k ，
△4k ﹣2k ＝8
解得：k ＝4
故答案为:4
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k ＝xy 为定值是解答此题的关键．
19．(1)12
(2)12x x == 【解析】
【分析】
（1）将x =1代入原方程可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值； （2）把a =3代入原方程得到x 2+3x +1=0，再利用公式法求解即可．
(1)
将x =1代入原方程，得：1+a +a -2=0，
解得：a =1
2．
(2)
把a =3代入原方程得，x 2+3x +1=0，
△Δ=32-4×1×1=5，
△x =
=
△12x x ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握．
20．（1）200，72；（2）见解析；（3）1
3
．
【解析】
【分析】
（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
【详解】
解：（1）本次调查的学生人数为6030%200
÷=（名)，
扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是
40
36072
200
︒⨯=︒，
故答案为：200；72；
（2）C选项的人数为200(20603040)50
-+++=（名)，
补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为3193
=． 【点睛】
此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
21．（1）10%；（2）60元
【解析】
【分析】
（1）设每次下降的百分率为a ，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a ）2＝81，即可求解；
（2）设每件应降价x 元，则降价后的利润为()81x -，因降价后销量为()202x +，根据总利润=利润⨯销量，列方程进而求解．
【详解】
（1）设每次下降的百分率为a ，
根据题意，得：100（1﹣a ）2＝81，
解得：a ＝1.9（舍）或a ＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）设每件应降价x 元，
根据题意，得（81﹣x ）（20+2x ）＝2940，
解得：x 1＝60，x 2＝11，
△尽快减少库存，
△x ＝60，
答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 22．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）△A ＝45°．
【解析】
【分析】
（1）根据△ACB =90°，DE △BC 可得DE //AC ，即可证明四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；
（3）根据正方形的性质可得△CBD=45°，根据△ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．
【详解】
（1）△DE△BC，
△△DFB＝90°，
△△ACB＝90°，
△△ACB＝△DFB，
△AC△DE，
△MN△AB，即CE△AD，
△四边形ADEC是平行四边形，
△CE＝AD．
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
△D为AB中点，△ACB＝90°，
△AD＝BD=CD，
△CE＝AD，
△BD＝CE，
△BD△CE，
△四边形BECD是平行四边形，
△BD=CD，
△四边形BECD是菱形．
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
△△BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
△△CBD＝45°，
△△ACB=90°，
△△ABC是等腰直角三角形，
△当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组两边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；熟练掌握判定定理是解题关键．
23．(1)132y x =-，y =8x
； (2)C （2，-2），18
(3)O '（4，2），D '（6，6）．
【解析】
【分析】
（1）把A 坐标代入一次函数解析式求出k 的值，确定出一次函数解析式，再将A 坐标代入反比例函数解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式；
（2）设C 的坐标为（a ，132
a -），表示出D 的坐标，两点纵坐标之差即为DC 的长，由已知DC 的长求出a 的值，确定出C 的坐标，过A 作AE △CD 于点E ，由A 与C 的横坐标之差求出AE 的长，三角形ACD 面积以DC 为底，AE 为高，求出即可；
（3）连接OO '，由平移可得：OO '△AC ，根据两直线平行时k 的值相同确定出直线OO '的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O '的坐标，根据平移的性质，由O 平移到O '的路径确定出D 平移到D '的路径，进而确定出D '的坐标即可．
(1)
解：△点A （8，1）在直线y =kx -3上，
△1=8k -3，
解得：k =12，
△一次函数解析式为132y x =-，
△A （8，1）在y =
m x
（x ＞0）的图象上， △1=8m ， 解得：m =8，
则反比例函数解析式为y =8x
； (2)
解：设C （a ，132
a -）（0＜a ＜8），则有D （a ，8a ），
△CD=8
a
-（
1
3
2
a-）=
81
3
2
a
a
-+，
△CD=6，
△81
36
2
a
a
-+=，
解得：a=-8（舍去）或a=2，
△1
3132
2
a-=-=-，
△C（2，-2），
过A作AE△CD于点E，则AE=8-2=6，
△S△ACD=1
2CD•AE=1
2
×6×6=18；
(3)
连接OO'，由平移可得：OO'△AC，
△直线OO'的解析式为y=1
2
x，
联立得：
8
1
2
y
x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
解得：
4
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
（不合题意，舍去），
△O'（4，2），
即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），
又由（2）中知D坐标为（2，4），
△点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．
【点睛】
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
24．（1）10-2t；（2）40
13
或
25
13
；（3）
35
27
或
20
9
【解析】
【分析】
（1）作DH△AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分△QMB=90゜和△MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t 的值．
【详解】
（1）如图，作DH△AB于H
则四边形DHBC是矩形
△CD=BH=8cm，DH=BC=6cm
△AH=AB-BH=16-8=8(cm)
在Rt△ADH中，由勾股定理得10(cm)
AD=
△DP=2tcm
△AP=AD-DP=(10-2t)cm
（2）△当△APQ△△ADB时
则有AP AD AQ AB
=
△10210 216
t
t
-
=
解得：
40
13 t=
△当△APQ△△ABD时
则有AP AB AQ AD
=
△10216 210
t
t
-
=
解得：
25
13 t=
综上所述，当
40
13
t=或
25
13
t=时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；
（3）△当△QMB=90゜时，△QMB为直角三角形如图，过点P作PN△AB于N，DH△AB于H
△△PNQ=△BHD
△△QMB=90゜
△△PQN+△DBH=90゜
△△PQN+△QPN=90゜
△△QPN=△DBH
△△PNQ△△BHD
△
63
84 QN DH
PN BH
===
即4QN=3PN
△PN △DH
△△APN △△ADH △63105PN DH AP AD ===，84105
AN AH AP AD === △33(102)55PN AP t ==-，44(102)55
AN AP t ==- △4
18(102)2855QN AN AQ t t t =-=--=-
由4QN =3PN 得：1834(8)3(102)55
t t -
=⨯- 解得：3527t = △当△MQB =90゜时，△QMB 为直角三角形，如图
则PQ △DH
△△APQ △△ADH △45
AQ AH AP AD == △4
5AQ AP = 即42(102)5
t t =- 解得：209t = 综上所述，当3527
t =或209时，△QMB 是直角三角形． 【点睛】 本题是相似三角形的综合应用，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论的应用．。