特殊的四边形地性质和判定定理

例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，假如AM=AB，求证：EF=BE+CF
例2 ：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF 交CD于Q，交CE于P。

求证PD=PQ
在正方形中ABCD ∠ADB=∠DBC=∠BDC=45º DF=BD ∴∠DBF=∠DFB
∠ADB=∠DBF+∠F ===>∠DBF=∠º
===>∠QBC=45-∠º
===>∠DQP=∠BQC=90-∠º
DE=AD=DC DCE=45º∠EPF=∠BPC=180-∠PBC-∠BCD-∠º=∠F ∴EP=EF
∵DF=BD=EC EP=EF ∴PC(EC-EP)=DE(DF-EF)=DC 又∵∠DCP=45º∴∠QDP=(180-∠º=∠DQP ∴PD=PQ
例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，假如DE=2AB，求∠AED
例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB
证明如下列图，连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形．
∴O是AE的中点．
∵在梯形ABCD中，
DC∥AB，在△EAB中，
OF∥AB，
又∵O是AE的中点，
∴F是EB的中点，
∴EF＝BF.
例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。

求证EG=2AM
延长BA至点H ,使得BA=AH
对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH
又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM
所以得AM=二分之一EG
多边形
一、选择题
1.〔某某〕如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，如此四边形EFGH 的周长是〔 〕
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
2. 〔某某威海〕在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，如此AF ：CF ＝〔 〕
A ．1：2
B ．1：3
C ．2：3
D ．2：5
3. 〔某某某某〕四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出如下四组条件：①AB ∥
CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC ．其中一定能判定这
个四边形是平行四边形的条件有
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组 4. 〔某某市潼南〕如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC)，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点
E 、
F ，如下结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△O ，其中正确的答案是
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D.③④ 5. 〔某某某某,〕正八边形的每个内角为〔 〕
A ．120°
B ．135°
C ．140°
D ．144°
6. 〔某某省，8，3分〕如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，在BC ，DE 上分别找一点M,N ，使得△AMN 的周长最小时，如此∠AMN+∠ANM 的度数为〔 〕
A. 100° B ．110° C. 120° D. 130°
7. 〔某某省某某〕如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH 〔不重叠无缝隙〕．假如①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2
，四边形ABCD 面积是11cm 2
，
9题图
A
B
C
E
M N O
如此①②③④四个平行四边形周长的总和为〔 〕 〔A 〕48cm 〔B 〕36cm 〔C 〕24cm
〔D 〕18cm
8. 〔某某某某〕图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为根本单位，可以拼成一个形状一样但尺寸更大的图形〔如图2〕，依此规律继续拼下去〔如图3〕，……，如此第n 个图形的周长是
（A ）2n
〔B 〕4n
〔C 〕1
2
n + 〔D 〕2
2
n +
9. 〔某某某某〕如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假如两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，如此S 1+S 2的值为
10. 〔某某某某〕在矩形ABCD 中，有一个菱形B F D E (点E ，F 分别在线段AB ，CD 上)，记它
们的面积分别 为ABCD BFDE S S 和．现给出如下命题：〔 〕 ①假如
232ABCD BFDE S S +=，如此3
tan EDF ∠=．②假如2,DE BD EF =•如此2DF AD =．
如此:
A ．①是真命题，②是真命题
B ．①是真命题，②是假命题
C ．①是假命题，②是真命题
D ，①是假命题，②是假命题
11. 〔某某某某〕如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．∠AOB = 60°，AC ＝16，
〔第10题〕
F
A
B
C
D
H E
G
①
②
③
④
⑤
图1
图2
图3
……
… A 1
A A 2 A 3 B
B 1 B 2
B 3 C
C 2 C 1 C 3
D
D 2
D 1
D 3
第10题图
如此图中长度为8的线段有( ) A ．2条
B ．4条
C ．5条
D ．6条
12. 〔某某聊城，7，3分〕一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，如此这个菱
形的面积是〔 〕 A ．12cm
2
B ． 24cm 2
C ． 48cm 2
D ． 96cm 2
13. 〔某某江津， 10，4分〕如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进展下去,得到四边形A n B n D n .如下结论正确的有( ) ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
4b a +; ④四边形A n B n D n 的面积是12
+n ab
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
14. 〔某某某某9，3分〕如图〔5〕，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 交BF 于点H ，CG ∥AE 交BF 于点G 。

如下结论：①tan ∠HBE=cot ∠HEB ②
CG BF BC CF ⋅=⋅③BH=FG ④
22BC BG
CF GF
=.其中正确的序号是 A ．①②③ B ．②③④ C ． ①③④ D ．①②④
15. 〔某某襄阳，10，3分〕顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，如此四
边形ABCD 一定是
16. 〔某某滨州，12，3分〕如图,在一X △ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) 二、填空题
E D
C
B
A
〔第12题图〕
17. 〔某某某某，15，4分〕如图，在□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，如此△DEF 的面积是.
18. 〔某某聊城，14，3分〕如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，
OE ＝3cm ，如此AD 的长是__________cm ．
19. 〔某某某某，18，3分〕如图，□ ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB ＝AE ，连结CE
交AD 于点F ，假如CF 平分∠BCD ，AB ＝3，如此BC 的长为．
20. 〔某某某某，16，3分〕假如凸n 边形的内角和为1260°，如此从一个顶点出发引的对角线条数是____
21. 〔某某某某16,4分〕长为1，宽为a 的矩形纸片〔
12
1
<<a 〕，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形〔称为第一次操作〕；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形〔称为第二次操作〕；如此反复操作下去．假如在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，如此操作终止．当n =3时，a 的值为________．
O 2
O 1
22. 〔某某某某，5，3分〕如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，如此图中五个小矩形
的周长之和为_______．
23. 〔某某某某，17,4分〕如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，如此阴影局部的面积是.
24. 〔某某某某，18，3分〕如图，平面内4条直线L 1、L 2、L 3、L 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L 1和L 4上，该正方形的面积是 平方单位．
H F E
C
A
第一次操作 第二次操作
A B
C
D
第5题图
14
131211
25. 〔某某潍坊，16，3分〕线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .取AB
边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过E 作EF ⊥CD ，垂足为FAENM 与四边形EFDB 的面积相等，如此AE 的长为_________.
26．〔某某日照，16，4分〕正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM =时，四边形AB 的面积最大．
27. 〔某某某某，16，3分〕正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，如此∠AED 的度数是. 28. 〔某某某某，16，3分〕一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，如此这个等腰梯形的对角线长为_______.
29. 〔某某宿迁,15,3分〕如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BDC 的平分
线的交点E 恰在AB 上．假如AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，如此AB 的长度是▲cm ．
⑴⑵⑶
30. 〔某某某某，19，3分〕如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，如
此在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．
31. 〔某某襄阳，17，3分〕如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝16，E 是BCP
以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点BP 停止运动时，点Qt ＝秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形.
32. 〔某某义乌〕如图，E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点， 且BE ⊥AC ，DF ⊥AC .
P
Q
E D
B
A
图4
〔1〕求证：△ABE ≌△CDF ；
〔2〕请写出图中除△ABE ≌△CDF 外其余两对全等 三角形〔不再添加辅助线〕．
33. 〔某某芜〕如图，在梯形ABCD 中，DC ‖AB ，AD=BC , BD 平分,60.ABC A ∠∠=过点D 作
DE AB ⊥，过点C 作CF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接EF ，求证：DEF △为等边三
角形.
34. 〔某某某某市〕如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600
,M 是BC 的中点。

F
E
A
B
C
D
〔1〕求证：⊿MDC 是等边三角形；
〔2〕将⊿MDC 绕点M 旋转，当MD(即MD ′)与AB 交于一点E,MC 即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E,F 和点A 构成⊿⊿AEF 的周长是否存在最小值。

如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF 周长的最小值.
D '
C 'M F E D
C B A
35. 〔某某某某)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，对角线AC
与BD 相交于点O ，线段OA ，OB 的中点分别为点E ，F ．
(1)求证：△FOE ≌△DOC ；
(2)求sin ∠OEF 的值；
(3)假如直线EF 与线段AD ，BC 分别相交于点G ，H ，求AB CD GH
的值．
36. 〔某某某某，21，12分〕图10是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三
角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1．
〔1〕证明：△ABE ≌△CBD ；
〔2〕图中存在多对相似三角形，请你找出一对进展证明，并求出其相似比〔不添加辅助线，不找全等的相似三角形〕；
〔3〕小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论；
〔4〕求线段BD 的长．
37. 〔某某枣庄〕如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ．
〔1〕证明：EF CF =；
〔2〕当tan ADE ∠=
31时，求EF 的长．
38. 〔某某某某〕 如图，线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点.
(1)假如BK =52KC ，求AB
CD 的值； E C
D
A M N 图10 B
F D
B
A
E C
(2)连接BE，假如BE平分∠ABC，如此当AE=1
2
AD时，猜测线段AB、BC、CD三者之间
有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1
n
AD (2
n)，而其余条
件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．。