特殊的四边形地性质和判定定理

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1 / 13 特殊四边形的性质和判定定理

名称 性质 判定

平行四边形 1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b〔a、b分别表示底和这一底上的高〕

推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。〔定义〕

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质：

1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。

4、S= a b〔a、b分别表示长和宽〕

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形 菱形除了具有平行四边形的所有质外，还有以下性质：

1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。

4、S= a b〔a、b分别表示两条对角线长。〕 1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。〔定义〕

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形

除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外，还有以下性质：

1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a²〔a表示两边长。〕 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形 1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形 1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线

A

B C D

A

B C D

A

B C D

A

B C D

A

B C D word

2 / 13 例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，假如AM=AB，求证：EF=BE+CF

例2 ：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。求证PD=PQ

在正方形中ABCD ∠ADB=∠DBC=∠BDC=45º DF=BD ∴∠DBF=∠DFB

∠ADB=∠DBF+∠F ===>∠DBF=∠º

===>∠QBC=45-∠º

===>∠DQP=∠BQC=90-∠º

DE=AD=DC DCE=45º∠EPF=∠BPC=180-∠PBC-∠BCD-∠º=∠F ∴EP=EF

∵DF=BD=EC EP=EF ∴PC(EC-EP)=DE(DF-EF)=DC 又∵∠DCP=45º∴∠QDP=(180-∠º=∠DQP

∴PD=PQ

例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，假如DE=2AB，求∠AED QPEDCA

BFFCEDA

BMword

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例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB

证明 如下列图，连接AE交DC于O.

∵四边形ACED是平行四边形．

∴O是AE的中点．

∵在梯形ABCD中，

DC∥AB，在△EAB中，

OF∥AB，

又∵O是AE的中点，

∴F是EB的中点，

∴EF＝BF.

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。求证EG=2AM BCDA

EFDCEFCDBA A word

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延长BA至点H ,使得BA=AH

对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH

又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM

所以得AM=二分之一EG

多边形

一、选择题 EG

A

B C MDFword 5 / 13 1.〔某某〕如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，如此四边形EFGH的周长是〔 〕

A．7 B．9 C．10 D．11

2. 〔某某威海〕在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，如此AF：CF＝〔 〕

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5

3. 〔某某某某〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出如下四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

4. 〔某某市潼南〕如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF

经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、

N，交BA、DC的延长线于点E、F，如下结论：

①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN；

④△EAO≌△O，其中正确的答案是

A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④

5. 〔某某某某,〕正八边形的每个内角为〔 〕

A．120° B．135° C．140° D．144°

6. 〔某某省，8，3分〕如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，如此∠AMN+∠ANM的度数为〔 〕

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

7. 〔某某省某某〕如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH〔不重叠无缝隙〕．假如①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2， 9题图ABCDEFMNOword 6 / 13 如此①②③④四个平行四边形周长的总和为〔 〕

〔A〕48cm 〔B〕36cm

〔C〕24cm 〔D〕18cm

8. 〔某某某某〕图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为根本单位，可以拼成一个形状一样但尺寸更大的图形〔如图2〕，依此规律继续拼下去〔如图3〕，……，如此第n个图形的周长是

（A）2n 〔B〕4n 〔C〕12n 〔D〕22n

9. 〔某某某某〕如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假如两个小正方形的面积分别为S1，S2，如此S1+S2的值为

10. 〔某某某某〕在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别 为ABCDBFDESS和．现给出如下命题：〔 〕

①假如232ABCDBFDESS，如此3tan3EDF．②假如2,DEBDEF•如此2DFAD．

如此:

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题

11. 〔某某某某〕如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．∠AOB= 60°，AC＝16，〔第10题〕 FABCDHEG①

② ③ ④

⑤

图1 图2 图3 …… word

7 / 13 … A1 A

A2

A3 B

B1 B2 B3

C C2

C1 C3

D D2 D1 D3

第10题图 如此图中长度为8的线段有( )

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条

12. 〔某某聊城，7，3分〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，如此这个菱形的面积是〔 〕

A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2

13. 〔某某江津， 10，4分〕如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进展下去,得到四边形AnBnDn.如下结论正确的有( )

①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;

③四边形A5B5C5D5的周长4ba; ④四边形AnBnDn的面积是12nab

A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④

14. 〔某某某某9，3分〕如图〔5〕，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。如下结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ②CGBFBCCF③BH=FG ④22BCBGCFGF.其中正确的序号是

A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④

15. 〔某某襄阳，10，3分〕顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，如此四边形ABCD一定是

16. 〔某某滨州，12，3分〕如图,在一X△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )

二、填空题 EDCBA〔第12题图〕