高中人教A版数学必修1单元测试：创优单元测评 (第一章)A卷 Word版含解析

高中同步创优单元测评
A 卷 数 学
班级：________ 姓名：________ 得分：________
创优单元测评 (第一章) 名师原创·基础卷]
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9
x －3与y ＝x ＋3
B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1
C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)
D ．y ＝2x ＋1(x ∈Z )与y ＝2x －1(x ∈Z )
3．设M ＝{1,2,3}，N ＝{e ，g ，h }，从M 至N 的四种对应方式如下图所示，其中是从M 到N 的映射的是( )
4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )
A ．{2}
B ．{x |x ≤1} C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－12 D ．{x |x ≤1或x ＝2}
5．函数f (x )＝x
|x |的图象是( )
6．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1
x
D ．y ＝x 2，x ∈0,1]
7．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－72＜f (－3)＜f (4)
B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－72＜f (4)
C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－72
D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－72＜f (－3)
8．已知反比例函数y ＝k
x 的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )
9．函数f (x )是定义在0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13的
x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 10．若函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时，有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )·f (－x )≤0
D ．f (x )－f (－x )>0
11．已知函数f (x )是定义在－5,5]上的偶函数，f (x )在0,5]上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．f (－1)＜f (－3)
B ．f (2)＜f (3)
C ．f (－3)＜f (5)
D ．f (0)＞f (1)
12．函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )
A ．0,4]
B ．2，＋∞) C.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，14 D.⎝
⎛
⎦
⎥⎤0，14
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (f (3))的值等于________．
14．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．
15．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a
x 为奇函数，则实数a ＝________. 16．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：
①此函数为偶函数； ②定义域为{x ∈R |x ≠0}； ③在(0，＋∞)上为增函数．
老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋5(x ≤0)，x ＋5(0<x ≤1)，
－2x ＋8(x >1).
(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1π，f (－1)的值；
(2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值．
19．(本小题满分12分)
已知函数f (x )是偶函数，且x ≤0时，f (x )＝1＋x
1－x ，求：
(1)f (5)的值； (2)f (x )＝0时x 的值； (3)当x >0时f (x )的解析式．
20．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝x ＋a
x ，且f (1)＝10. (1)求a 的值；
(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；
(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．
21．(本小题满分12分)
已知函数y ＝f (x )是二次函数，且f (0)＝8，f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1. (1)求f (x )的解析式；
(2)求证：f (x )在区间1，＋∞)上是减函数．
22．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f
⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2
5. (1)确定函数f (x )的解析式；
(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.
详解答案 创优单元测评 (第一章) 名师原创·基础卷]
1．B 解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B. 2．C 解析：A 中两个函数定义域不同；B 中y ＝x 2－1＝|x |－1，所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选C.
解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
3．C 解析：A 选项中，元素3在N 中有两个元素与之对应，故不正确；同样B ，D 选项中集合M 中也有一个元素与集合N 中两个元素对应，故不正确；只有C 选项符合映射的定义．
4．C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－12，故选C.
5．C 解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x >0，－1，x <0，
所以其图象为C.
6．B 解析：A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C ，D 选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
7．D 解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－7
2<－3，
∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－72<f (－3)，故选D.
8．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1
k <0，排除C.
9．D
解析：根据题意，得⎩⎨⎧
2x －1≥0，
2x －1<1
3，
解得12≤x <2
3，故选D.
10．C 解析：f (x )为奇函数，当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1， ∴f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.
11．D 解析：易知f (x )在－5,0]上单调递增，在0,5]上单调递减，结合f (x )是偶函数可知，故选D.
12．C
解析：由已知得，⎩⎨⎧
a >0，
1
2a ≥2，
∴0<a ≤1
4，当a ＝0时，f (x )
＝－x ＋1为减函数，符合题意，故选C.
13．2 解析：由图可知f (3)＝1，∴f (f (3))＝f (1)＝2. 14．2，＋∞) 解析：∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴实数m 的取值范围为2，＋∞)． 15．－1 解析：由题意知，f (－x )＝－f (x )， 即x 2－(a ＋1)x ＋a －x ＝－x 2＋(a ＋1)x ＋a x ， ∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1.
16．y ＝x 2
或y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2
x (答案不唯一) 解析：可结合条件来列举，如：y ＝x 2
或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－x ，x >01＋x ，x <0
或y ＝－2
x . 解题技巧：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，如从基本初等函数中或分段函数中来找．
17．解：∵B ⊆A ，
①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；
②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≤2m －1，m ＋1≤4，
2m －1<m ＋1，
解得－1≤m ＜2.
综上得，m 的取值范围为{m |m ≥－1}．
18．解：(1)∵32>1，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－2×32＋8＝5， ∵0<1
π<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π. ∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)如图：
在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．
(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )的最大值为6. 19．解：(1)f (5)＝f (－5)＝1－51－(－5)＝－46＝－23.
(2)当x ≤0时，f (x )＝0即为1＋x
1－x ＝0，∴x ＝－1，
又f (1)＝f (－1)，∴f (x )＝0时x ＝±1.
(3)当x >0时，f (x )＝f (－x )＝1－x 1＋x ，∴x >0时，f (x )＝1－x 1＋x .
20．解：(1)f (1)＝1＋a ＝10，∴a ＝9.
(2)∵f (x )＝x ＋9x ，∴f (－x )＝－x ＋9
－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝－f (x )，∴f (x )是
奇函数．
(3)设x 2>x 1>3，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋9x 2
－x 1－9
x 1
＝(x 2－x 1)＋⎝
⎛⎭
⎪⎫9x 2
－9x 1＝(x 2
－x 1)＋9(x 1－x 2)x 1x 2
＝(x 2－x 1)(x 1x 2－9)x 1x 2，∵x 2>x 1>3，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>9，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )＝x ＋9x 在(3，＋∞)上为增函数．
21．(1)解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c ，又f (0)＝8，∴c ＝8. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，
∴f (x ＋1)－f (x )
＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )
＝2ax ＋(a ＋b )．
结合已知得2ax ＋(a ＋b )＝－2x ＋1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝－2，a ＋b ＝1. ∴a ＝－1，b ＝2.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋8.
(2)证明：设任意的x 1，x 2∈1，＋∞)且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)
＝(－x 21＋2x 1＋8)－(－x 22＋2x 2＋8)
＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2)
＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)．
又由假设知x 2－x 1>0，
而x 2>x 1≥1，
∴x 2＋x 1－2>0，
∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，
f (x 1)>f (x 2)．
∴f (x )在区间1，＋∞)上是减函数．
22．解：(1)由题意可知f (－x )＝－f (x )，
∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2
，∴b ＝0.
∴f (x )＝ax 1＋x 2
. ∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝25，∴a ＝1. ∴f (x )＝x
1＋x 2. (2)f (x )在(－1,1)上为增函数．
证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则
f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22
＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)
， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0，
1＋x 21>0,1＋x 22>0，
∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)
<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
∴f (x )在(－1,1)上为增函数．
(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )，
又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f (2x －1)<f (－x )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －1<1，－1<－x <1，
2x －1<－x ，∴0<x <13.
∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13. 解题技巧：在求解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的奇偶性与单调性将“f ”符号脱掉，转化为解关于参数不等式(组)．。