复习教案-初二-全等三角形(教师版)

2、下列说法错误的有134 。

△只有两个三角形才能完全重合；△如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；
△两个正方形一定是全等图形；△边数相同的图形一定能互相重合．
3、如上图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若△BAC=150°，则△θ的度数是60 。

4、等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC△△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（D）
A、7cm
B、2cm或7cm
C、5cm
D、2cm或5cm
5、如下图在△ABC中，△A：△B：△C=3：5：10，△MNC△△ABC，则△BCM：△BCN= 1:4 。

知识点二：三角形全等的判定
【方法1】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
【例2-1】如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC△△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．并证明结论．AC＝BC．
【方法2】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
【例2-2】如图，已知CA＝CD，CB＝CE，△ACB＝△DCE，试说明△ACE△△DCB的理由．
由已知条件可知△ACE＝△DCB，则根据SAS可证全等．
【方法3】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
【例2-3】如图，已知AB＝AC，△ABE＝△ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE△△ACD．由条件AB＝AC，△ABE＝△ACD，再加上公共角△A＝△A，直接利用ASA定理判定△ABE△△ACD即可．
【方法4】三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
【例2-4】如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．
求证：△ABE△△CDF．只要证明，BE＝DF，即可根据SSS证明两个三角形全等．
【方法5】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例2-5】如图，在四边形ABCD中，AD△BD，AC△CB，BD＝AC．求证：△ABD△△BAC；根据AD△BD，AC△CB，可得△ADB＝△BCA＝90°，而AB＝BA，BD＝AC，利用HL可证Rt△ADB△Rt△BCA．
举一反三：
1.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，且BC＝CE，
求证：△ABC△△DEC．
根据同角的余角相等可得到△3＝△5，结合条件可得到△1＝△D，再加上BC＝CE，可证得结论．
2.如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB△BE，垂足为B，DE△BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE，说明△ABC与△DEF全等的理由．根据垂直定义可得△B＝△E＝90°，根据等式的性质可得BC＝EF，然后可利用SAS判定△ABC△△DEF即可．
3.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，且BC＝CE，求证：
△ABC△△DEC．由△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，可求得△DCE＝△ACB，且△B+△CEA＝△CEA+△DEC＝180°，可求得△DEC＝△ABC，再结合条件可证明△ABC△△DEC．
4.如图，在△ABC中，△C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE△AB．由SSS可得△ADE△△BDC（SSS），得出△C＝△AED＝90°，即可得出结论．
5.如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？并证明你的结论．
由条件可知△C ＝△MAN ＝90°，且AB ＝MN ，故要使△ABC 和△AMN 全等则有AM 与CA 对应或AM 和BC 对应，从而可确定出M 的位置．当点C 和点M 重合或AM ＝2时两个三角形全等．
知识点三：全等三角形的判定与性质综合
【例3-1】在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，MN 是经过点A 的直线，BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于E ．
（1）求证：BD = AE ．
（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G (如图2)，其他条件不变，
求证：BD = AE ．
（3）在(2)的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ，
（1）首先证明△1=△2，再证明△ADB△△CEA ，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE ； （2）首先证明△BAD=△ACE ，再证明△ABD△△ACE ，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE ； （3）首先证明△ACF△△ABP ，然后再证明△BFG△△BPG ，再根据全等三角形对应角相等可得△BPG=△BFG ，再根据等量代换可得结论△BFG=△AFE ．
【例3-2】如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．
若将（
1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△AC M 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（1）先求证△ACN△△MCB ，得出AN=BM ，△ANC=△MBA ，再证△NFC△△BEC ，得出CE=CF ，△BCE=△NCF ，利用等边三角形的角度60，得出△ECF=60°，证得结论成立；
（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF ，而△ECF 只等于等腰三角形的顶角≠60°，得出结论不成立．
【例3-3】如图，在ABC △中，，的平分线交于点．（3种方法） 求证：
△截长、△补短、△过点D 作AB 、AC 的垂线段
【例3-4】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD ＝CD ，BD 平分△ABC ，求证：△A ＋△C ＝180°.
2B C ∠=∠BAC ∠AD BC D AB BD AC +=
在线段BC上截取BE=BA，连接DE，由角平分线的定义可得出△ABD=△EBD，结合AB=EB、BD=BD即可证出△ABD△△EBD（SAS），根据全等三角形的性质可得出AD=ED、△A=△BED，由AD=CD可得出ED=CD，进而可得出△DEC=△C，再根据邻补角互补即可得出△BED+△DEC=180°，进而可证出
△A+△C=180°．
举一反三:
1.（1）已知，如图△，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图△，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA ＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．
（1）根据BD△直线m，CE△直线m得△BDA=△CEA=90°，而△BAC=90°，根据等角的余角相等得
△CAE=△ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB△△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用△BDA=△BAC=α，则△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°-α，得出△CAE=△ABD，进而得出
△ADB△△CEA即可得出答案．
2.如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b，
（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）a+b
（2）如图2，点D在△ABC内部时，直接写出BE的长a-b．（用含a，b的式子表示）
（1）根据同角的余角相等可得△ACD=△CBE，根据“AAS”可证△ACD△△CBE，可得CE=AD=a，即可求DE的长；
（2）根据同角的余角相等可得△ACD=△CBE，根据“AAS”可证△ACD△△CBE，可得CE=AD=a，即可求DE的长．
3.如图，四边形ABCD中，△ABC＝△BCD＝90°，点E在BC边上，△AED＝90°
（1）求证：△BAE＝△CED；
（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；
（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．
（1）由△AEB+△CED=180°-90°=90°，△BAE+△AEB=90°，即可得出结论；
（2）在ED上截取EF=AB，过点F作FG△DE交BC于G，连接DG，证出△BAE=△FEG，由ASA证得△ABE△△EFG得出AE=EG，BE=FG，由AB+CD=DE，EF+DF=DE，得出DF=CD，由HL证得
Rt△DFG△Rt△DCG得出FG=CG，则BE=CG，即可得出结论；
（3）由△ABE△△EFG，Rt△DFG△Rt△DCG，得出S△ABE=S△EFG，S△DFG=S△DCG，则
S△CDE-S△ABE=2S△CDG=18，得出S△CDG=9，即可得出结果3．
4、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAF=45°，求证：EF=DE+BF．
延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG△△ADF，即可证得AG=AF，△DAF=△BAG，再证明△AEG△△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
5、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，
求证：△△MAN=45°；△△CMN的周长=2AB；△AM、AN分别平分△BMN和△DNM。

与上题相反
三、课堂练习
A. ＞h2
B. ＜
C. ＝
D.无法确定
7. 如图，AE△AB 且AE ＝AB ，BC△CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成
的图形的面积S 是（ A ）
A.50
B.62
C.65
D.68
8. 如图，在△ABC 中，AD 是△A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，
AB ＝c ，AC ＝b ，则（m ＋n ）与（b ＋c ）的大小关系是（A ）
A.m ＋n ＞b ＋c
B.m ＋n ＜b ＋c
C.m ＋n ＝b ＋c
D.无法确定
9. 如图，△ABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，
那么点D 的坐标是 （4，－1）或（－1，3）或（－1，－1） ．
10. 如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，
这个货物中转站可选择的位置共有 4 个．
11. 如图，在△ABC 中AD△BC ，CE△AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，
AE ＝4，则CH 的长是 1 .
12. 如图，OC 是△AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD△OA 交于点D ，PE△OB 交于点E ，F 是OC 上
除点P.O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．
1h 1h 2h 1h 2h
DF ＝EF ． 理由如下：
△OC 是△AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，
PD△OA 交于点D ，PE△OB 交于点E ， △PD ＝PE ，△DPF ＝△EPF ． 在△DPF 与△EPF 中，
， △△DPF△△EPF(SAS)， △DF ＝EF ．
1. 解：△ADF 与△AEF 中， △△2＝△3，△AFE ＝△CFD ， △△E ＝△C ． △△1＝△2， △△BAC ＝△DAE ． △AC ＝AE ，
△△ABC△△ADE （ASA ）
13. 如图，在△AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，OD ＝OE ，DN 和EM 相交于点C ．求证：点C
在△AOB 的平分线上．
证明：作CG△OA 于G ，CF△OB 于F ，如图， 在△MOE 和△NOD 中，
OM ＝ON ，△MOE ＝△NOD ，OE ＝OD ， △△MOE△△NOD （SAS ）． △ ＝ .
同时去掉，得 ＝，
PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
MOE S V NOD S V ODCE S 四边形MDC S V NEC S V
△OM＝ON，OD＝OE，
△MD＝NE，
△CG＝CF，又CG△OA，CF△OB，
△点C在△AOB的平分线上．
14．如图1，在△ABC中，△ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，△BAC=90°，
△当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；
△当点D在线段BC的延长线上时，如图3，△中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，△BAC是锐角，点D在线段BC上，当△ACB满足什么条件时，CF△BC（点C、F 不重合），并说明理由．
证明：（1）△正方形ADEF中，AD=AF，
△△BAC=△DAF=90°，
△△BAD=△CAF，
又△AB=AC，
△△DAB△△FAC，
△CF=BD，△B=△ACF，
△△ACB+△ACF=90°，即CF△BD．
故答案为：CF△BD，CF=BD.
△当点D在BC的延长线上时△的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，△DAF=90°．
△△BAC=90°，
△△DAF=△BAC，
△△DAB=△FAC，
又△AB=AC，
△△DAB△△FAC，
△CF=BD，△ACF=△ABD．
△△BAC=90°，AB=AC，
△△ABC=45°，
△△ACF=45°，
△△BCF=△ACB+△ACF=90°．
即CF△BD．
（2）当△ACB=45°时，CF△BD（如图）．
理由：过点A作AG△AC交CB的延长线于点G，
则△GAC=90°，
△△ACB=45°，△AGC=90°﹣△ACB，
△△AGC=90°﹣45°=45°，
△△ACB=△AGC=45°，
△AC=AG，
△△DAG=△FAC（同角的余角相等），AD=AF，
△△GAD△△CAF，
△△ACF=△AGC=45°，
△BCF=△ACB+△ACF=45°+45°=90°，即CF△BC．
四、课堂小结
证明全等三角形基本思路：
（1）有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定.
（2）有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS 判定.
（3）有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用AAS判定.
（4）有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等.前者利用SAS判定，后者利用AAS判定.
五、巩固提高
1.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：△△ABD△△CBD；△AC△BD；△四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（D）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如图，AB△BC于B，BE△AC于E，△1＝△2，D为AC上一点，AD＝AB，则（B ）．
A．△1＝△EFD B．FD△BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC
3. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（ C ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8
B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°
C.△A＝60°，△B＝45°，AB＝4
D.△C＝90°，AB＝AC＝6
4. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：△EB＝EC；△AD△BC；△EA平分△BEC；△△PBC＝△PCB.其中正确的有（ D ）
A.1个
B. 2个
C.3个
D. 4个
10. 如图，BA△AC ，CD△AB ，BC ＝DE ，且BC△DE.若AB ＝2，CD ＝6，则AE ＝___4____.
11.如图所示，已知P 是正方形ABCD 外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是 3+4
．
12．如图所示，已知在△ABC 中，△B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ， 求证：AE ＋CD ＝AC ．
证明：如图所示，在AC 上取点F ，使AF ＝AE ，连接OF ，
在△AEO 和△AFO 中，
△ △AEO△△AFO （SAS ）． △ △EOA ＝△FOA ． △ △B ＝60°，
△ △AOC ＝180°－(△OAC ＋△OCA)＝180°－
(△BAC ＋△BCA) ＝180°－(180°－60°) ＝120°．△ △AOE ＝△AOF ＝△COF ＝△DOC ＝60°． 在△COD 和△COF 中，
△ △COD△△COF （ASA ）． △ CD ＝CF ．
△ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．
13. 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且△1＝△2，△3＝△4,求证：BE ＋CF ＞EF.
,
12,AE AF AO AO =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
121
2
,
,
,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，在△DBE和△DNE中：
△△DBE△△DNE （SAS）
△BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）△BE＋CF＞EF.。