高考数学二轮复习 圆锥曲线的方程与性质提能专训

提能专训(十九) 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1．已知点P 在抛物线x 2
＝4y 上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P 到x 轴的距离是( )
A.14
B.12 C ．1 D ．2
[答案] B
[解析] 抛物线的准线为y ＝－1，设点P 到x 的距离为d ，则d ＋1＝3d ，d ＝1
2
.故选B.
2．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直
线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )
A. 6
B. 3
C. 4
D.3
3
[答案] B
[解析] 由条件令|MF 2|＝m ，|MF 1|＝2m ，则|F 1F 2|＝3m ，即2c ＝3m,2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝2m －m ＝m ，
∴e ＝2c 2a ＝3m m
＝ 3.
3．(2014·湖南十三校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y
2
＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.32 C ．2 D ．3
[答案] C
[解析] 由e ＝c a ＝2，得a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±3
x ，当x ＝－p 2
时，y ＝±32
p .∴S △AOB ＝12
×3p ·p
2
＝ 3.∴p ＝2.
4．(2014·临沂三月质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2
＝2px (p >0)的交
点为A ，B ，A ，B 连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线
的离心率为( )
A. 2 B ．2 C ．3 D.2＋1 [答案] C
[解析] 抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p
2，0，由双曲线与抛物线的对称性知，AB ⊥x
轴，于是得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，－p .由|AB |＝2b 知，p ＝b . ∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b
2，b . ∵点A 在双曲线上，∴b 24a 2－b 2
b
2＝1，
∴8a 2
＝b 2
.又∵b 2
＝c 2
－a 2
，∴9a 2
＝c 2
，∴e 2
＝c 2
a
2＝9，∴e ＝3.
5．(2014·广西四市二次联考)已知O 为坐标原点，P 1，P 2是双曲线x 29－y 2
4＝1上的点．P
是线段P 1P 2的中点，直线OP ，P 1P 2的斜率分别为k 1，k 2，若2≤k 1≤4，则k 2的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，29
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，49 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤49，23 [答案] B
[解析] 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22
，y 1＋y 22.
∵点P 1，P 2在双曲线x 29－y 2
4
＝1上， ∴x 219－y 214＝1，x 229－y 22
4＝1.二式相减并整理，得y 1－y 2x 1－x 2＝49×x 1＋x 2
y 1＋y 2
. ∵k 1＝y 1＋y 2
x 1＋x 2
，且2≤k 1≤4， ∴k 2＝
y 1－y 2x 1－x 2＝49×1k 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
19，29. 6．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内
的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA →＋OB →＝0(O 为坐标原点)，AF 2→·F 1F 2→
＝0，若椭圆的离心率等于
2
2
，则直线AB 的方程是( )
A ．y ＝
2
2
x B ．y ＝－22
x C ．y ＝－
3
2
x D ．y ＝
32
x [答案] A
[解析] ∵AF 2→·F 1F 2→
＝0，∴AF 2⊥F 1F 2.
设A (c ，y )，则c 2a 2＋y 2
b 2＝1，
∴y ＝b 2
a
.
∵椭圆的离心率e ＝
22＝c a
， ∴a ＝2c ，b 2
＝a 2
－c 2
＝c 2
，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，22c . 又OA →＋OB →
＝0，
∴A ，B 关于原点对称，则直线AB 的方程是y ＝
2
2
x .故选A. 7．(2014·大连双基测试)过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →
，则|BC |＝( )
A.92 B ．6 C.132
D ．8
[答案] A
[解析] 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π
2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B
在x 轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，
|AF |
|AB |＝
p |BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程为y 2
＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13
，sin θ＝1－cos 2θ＝
223，tan θ＝sin θ
cos θ
＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧
y ＝22x －1，
y 2
＝4x ，
得8(x －1)2＝4x ，即2x 2
－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52
，|BC |＝x 1＋x 2＋p
＝52＋2＝9
2
，故选A.
8．(2014·唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2
，若在椭圆C 1
上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
2
，32 C.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
22，1 D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1 [答案] C
[解析] 由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA ，PB ，则两切线形成的角∠APB 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠APB ≤90°，即α＝∠APO ≤45°，∴sin α＝b
a
≤sin 45°＝
22，解得a 2≤2c 2，∴e 2≥12，即e ≥22，而0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫22，1. 9．(2014·杭州二检)在等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，把四边形
AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P ∈α，设PB ，PC 与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为零)．若θ1＝θ2，则点P 的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，设B ，C 在平面α内的投影分别为M ，N ，连接PM ，BM ，CN ，PN ，MN ，根据直线与平面所成角的意义，∠BPM ＝θ1，∠CPN ＝θ2，∵θ1＝θ2，
∴PM PN ＝BM CN ＝
PB PC
，
又∵BE ∥CF ，∴PB PC ＝BM CN ＝
BE
CF
＝k ≠1，
∴PM PN
＝k ，由于在平面内到两定点的距离之比等于不为1的常数的点的轨迹是圆，故选B.
10．(2014·江西重点中学盟校二次联考)已知点F (－c,0)(c >0)是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a >0，b >0)的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2
＋y 2
＝c 2
交于点P ，且点P 在抛物线y 2
＝4cx 上，则e 2
等于( )
A.
3＋5
2 B. 5 C.5－1
2
D.
1＋5
2
[答案] D
[解析] 设点P 的坐标为(x p ，y p )，双曲线的右焦点为F 2(c,0)，因为FF 2是圆x 2
＋y 2
＝
c 2的直径，且点P 在圆上，所以PF ⊥PF 2，所以k PF ·kPF 2＝－1，所以y P x P ＋c ·y P
x P －c
＝－1①，
因为点P 在抛物线上，所以y 2
P ＝4cx P ②，联立①②，得x P ＝(5－2)c .又PF 与双曲线的一
条渐近线平行，所以tan ∠PFF 2＝b a ，所以|PF 2||PF |＝b a ，所以|PF |＝a
b
|PF 2|，根据抛物线定义，
|PF 2|＝x P －(－c )＝x P ＋c ＝(5－1)c ，又|PF |2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
b 2＋1[(5－1)
c ]
2
＝(2c )2
，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2b 2(6－25)＝4，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 2c 2－a 2(6－25)＝4，解得c 2a 2＝5＋12，所以e 2
＝5＋12，故选D.
二、填空题
11．(2014·云南统一检测)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 2
16＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为________．
[答案]
163
[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝473，
故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 2
0＝163.若圆M 经过双曲线的不同侧的焦点与顶点
时，结合图形知不符合．
12．(2014·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
[答案] y 2
＝3x
[解析] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，
∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，
∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32
，∴抛物线的方程是y 2
＝3x .
13．(2014·上海六校二联考)已知点F 为椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的左焦点，点P 为椭圆C
上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．
[答案] (0，－1)
[解析] 椭圆的左焦点为F (－1,0)，右焦点为E (1,0)，根据椭圆的定义，|PF |＝2a －|PE |，
∴|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋2a －|PE |＝2a ＋(|PQ |－|PE |)，
由三角形的性质知，|PQ |－|PE |≤|QE |，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a ＋|QE |＝22＋32＝5 2.
14．(2014·石家庄调研)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若
双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1→|＝3|PF 2→
|，则该双曲线的离心率为________．
[答案]
3＋1
[解析] ∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →
＝0， ∴OB ⊥PF 2，且B 为PF 2的中点． 又O 是F 1F 2的中点，∴OB ∥PF 1， ∴PF 1⊥PF 2，
又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1→|＝3|PF 2→
|， ∴|PF 2|＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a ， ∴由|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
，得 (12＋63)a 2
＋(4＋23)a 2
＝4c 2
， ∴e 2
＝4＋23，∴e ＝3＋1. 三、解答题
15．(2014·咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点
P (2,1)，且离心率e ＝
32
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 的斜率为1
2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 的面积的最大值．
解：(1)∵e ＝c a ＝
32
， ∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34
，∴a 2＝4b 2
.
又椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，
∴4a 2＋1b
2＝1.∴a 2＝8，b 2
＝2.
故所求椭圆方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设l 的方程为y ＝1
2x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2x ＋m ，x 2
8＋y
2
2＝1，
整理，得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0.
Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，
解得|m |<2.
x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4.
则|AB |＝1＋14×x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝52
×－2m 2
－42m 2
－4
＝54－m
2
.
点P 到直线l 的距离d ＝
|m |1＋14
＝2|m |
5
， ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |
5
×5
4－m
2
＝m
2
4－m
2
≤
m 2＋4－m 2
2
＝2，
当且仅当m 2
＝2即m ＝±2时取得最大值． ∴△PAB 面积的最大值为2.
16．(2014·内蒙古评估测试)设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴交于点R ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．
(1)若∠BFD ＝120°，△ABD 的面积为83，求p 的值及圆F 的方程；
(2)在(1)的条件下，若A ，B ，F 三点在同一直线上，FD 与抛物线C 交于点E ，求△EDA 的面积．
解：(1)因为∠BFD ＝120°，|BF |＝|FD |， 所以∠FBD ＝∠FDB ＝30°， 在Rt △BRF 中，因为|FR |＝p ， 所以|BF |＝2p ，|BR |＝3p .
在Rt △DRF 中，同理有|DF |＝2p ，|DR |＝3p ， 所以|BD |＝|BR |＋|RD |＝23p ， 圆F 的半径|FA |＝|FB |＝2p .
由抛物线定义可知，A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p ， 因为△ABD 的面积为83， 所以1
2
|BD |·d ＝83，
即1
2×23p ×2p ＝83，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以F (1,0)，圆F 的方程为(x －1)2
＋y 2
＝16.
(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°， 由抛物线定义知，|AD |＝|FA |＝1
2|AB |，所以∠ABD ＝30°，
直线DF 的斜率k ＝tan 60°＝3，其方程为y ＝3(x －1)， 解方程组⎩⎨
⎧
y ＝3x －1，y 2＝4x ，
得
⎩⎨
⎧
x ＝3，y ＝23
(舍去)或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝13
，y ＝－233
.
所以点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3
，－233到DA 的距离为
d ′＝|DR |－|y E |＝23－
233＝43
3
， 所以S △EDA ＝12|DA |·d ′＝12×4×433＝83
3
.
17．(2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为
B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．
(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →
的最小值为7
2
，求椭圆的方程． 解：(1)设半焦距为c .
由题意知，AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝
a －c
2，y －b 2＝a b ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －a 2，
于是圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －c 2，b 2
－ac 2b .
所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b
≤0，
整理，得ab －bc ＋b 2
－ac ≤0， 即(a ＋b )(b －c )≤0，
所以b ≤c ，于是b 2
≤c 2
，即a 2
＝b 2
＋c 2
≤2c 2
.
所以e 2
＝c 2a 2≥12，即2
2
≤e <1.
故椭圆的离心率的取值范围为⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1. (2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ，此时椭圆的方程为x 2
2c 2＋y
2
c 2＝1，
设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，
所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2
－12.
当c ≥
22时，上式的最小值为c 2
－12
， 即c 2
－12＝72，解得c ＝2；
当0<c <
22时，上式的最小值为12
(2c )2－2c ＋c 2
， 即12(2c )2－2c ＋c 2
＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
18．(2014·威海一模)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613
BC →. (1)求椭圆的离心率；
(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．
解：(1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)．
令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )，
∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →
＝(－x 1,2a －y 1)．
∵AB →＝613BC →
，
∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝6
13(2a －y 1)，
整理，得x 1＝－1319a ，y 1＝12
19a .
∵B 点在椭圆上，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13
192
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12
192
·a
2
b 2＝1，
∴b 2a 2＝3
4，
∴a 2－c 2a 2＝3
4，即1－e 2＝3
4，
∴e ＝1
2.
(2)∵b 2
a 2＝34，可设
b 2＝3t ，a 2
＝4t ，
∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋4y 2
－12t ＝0，y ＝kx ＋m ，得
(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0.
∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，
∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0，整理得m 2＝3t ＋4k 2t .
设P (x 1，y 1)，
则有x 1＝－8km 23＋4k 2＝－4km
3＋4k 2，y 1＝kx 1＋m ＝3m
3＋4k 2，
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m
3＋4k 2.
又Q (4,4k ＋m )，x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4km 3＋4k 2，－3m
3＋4k 2·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立． 整理，得3＋4k 2＝m 2，
∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立．
故t ＝1，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。