江苏省大港中学高三数学总复习教案：不等式 不等式证明一(比较法) Word版含解析

第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，
要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程： 一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x 2 + 3 > 3x 证：∵(x 2 + 3)
3x = 04
3
)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x
∴x 2 + 3 > 3x
2． 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：b
a
m b m a >++ 证：
)
()
()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b a > 0
∴
0)()(>+-m b b a b m 即：b
a
m b m a >++
变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？
3． 已知a , b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
证：(a 5 + b 5 )
(a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5
a 3
b 2) + (b 5 a 2b 3 ) = a 3 (a 2
b 2 )
b 3 (a 2
b 2) = (a 2
b 2 ) (a 3
b 3)
= (a + b )(a
b )2(a 2 + ab + b 2)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0 又∵a
b ，∴(a
b )2 > 0 ∴(a + b )(a
b )2(a 2 + ab + b 2) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m
行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m
n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S ，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则
：
21122,22t n
S
m S S n t
m t =+=+ 可得：
mn
n m S t n m S t 2)
(,221+=
+=
∴)
(2)()(2])(4[2)(22
221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m
n ，∴t 1 t 2 < 0 即：t 1 < t 2
从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n ，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a , b
R +，求证：a b b
a b
a
b a ab b a ≥≥+2
)
(
证：作商：
2
2
2
2
)()
(b a a b b a b a b a b
a b
a
ab b a ---+==
当a = b 时，1)
(2
=-b a b
a
当a > b > 0时，1)(,02,
12
>>->-b
a b
a
b a b
a
当b > a > 0时， 1)(,02,
102
><-<<-b a b
a
b a b a
∴2
)
(b
a b
a a
b b a +≥ （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商 五、作业： P15 练习
P18 习题6.3 1—4。