上海市长宁区嘉定区2021届高三数学上学期质量调研（一模）试题
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解得 或 ………………………………………………………（5分）
所以 或 ．……………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知， 时， ， ，…………………………（1分）
所以， ， ， ，………………………………………（2分）
．…………………………………………………………（4分）
当 时， ， ，……………………………………（5分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数 ．
（1）求证：函数 是偶函数；
（2）设 ，求关于 的函数 在 时的值域 的表达式；
（3）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
所以， ， ， ，……………………………………（6分）
．……………………………………………………………（8分）
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1） ， ．………………………………（２分）
， ．…………（6分）
（2）设 ， ，则 ，……（2分）
所以， ，此时 ．………………………………（4分）
上海市长宁区、嘉定区2021届高三数学上学期质量调研（一模）试题
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合 ， ，则 ______________.
2．不等式 的解集为___________________.
12．若不等式 对知足 的任意实数 ， 恒成立，则实数 的
最大值为_____________.
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设角 的始边为 轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（ ）．
任取 、 ，且 ， ，
因为 、 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 在 时是减函数，所以 ．……（7分）
最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过 ，不然，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 ．…………………………（8分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
由①、②知，当 时， 能被 整除．……………………………………（7分）
因此，以 为首项， ， ，…， ，…为公比的无穷等比数列均知足题意，命题得证．
…………………………（8分）
（注：还可由 ，用二项展开式证明能被 整除）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，
则下列命题必然正确的是……………………………………………………………（ ）．
（A） 与 、 都不相交 （B） 与 、 都相交
（C） 最多与 、 中的一条相交 （D） 至少与 、 中的一条相交
则 ___________.
9．若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 ，则该展开式中常数项的
值为____________.
10．已知函数 是概念在 上且周期为 的偶函数．当 时，
，则 的值为__________.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 , （ ），若 ,
则数列 的前 项和 _______________.
当 时， ， ， 为等差数列．
所以，当 时，数列 为等差数列．…………………………………………（6分）
（3） ， ，先证数列 知足题意，即证此数列中的任何一项都是数列 中的项．………………………………………………………（2分）
令 ，则只需证 即可．……………………………………（3分）
此时， ，故 ．…………（6分）
（1）函数 的概念域为 ，
对任意 ， ，
所以，函数 是偶函数．………………………………………………（4分）
（2） ，………………（1分）
令 ，因为 ，所以 ，故 ，
原函数可化为 ， ，
图像的对称轴为直线 ，
当 时，函数 在 时是增函数，
值域为 ；…………………………………………………………（3分）
当 时，函数 在 时是减函数，在 时是增函数，值域为 ．……………………………………………………………（5分）
（1）因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．………………………………（2分）
所以， ，又由题意， ，
所以 （ ）．…………………………………………（4分）
（2）由 ，得 ，
故 ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，……（2分）
所以， ，令 ， ，得 ， ．
若 为等差数列，则 ，解得 ．………………………………（4分）
15．对任意两个非零的平面向量 和 ，概念 ，其中 为 和 的夹
角．若两个非零的平面向量 和 知足：① ；② 和 的夹角 ；
③ 和 的值都在集合 中．则 的值为…………（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知函数 且 ， ，
…．则知足方程 的根的个数为……………………………（ ）．
（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个
1． 2． 3．
4． 5． 6．
7． 8． 9．
10． 11． 或 12．
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．A 14．D 15．B 16．C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必需的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）因为 平面 ，所以 就是四棱锥 的高．
，……………………………………………………………（3分）
，所以 ．…………………………（6分）
故四棱锥 的体积为 ．
（2）连结 、 ，因为 ∥ ，且 ，所以四边
形 是平行四边形，所以 ∥ ．故 或其补角就是
3．已知 ，则 __________.
4． _____________.
5．已知球的表面积为 ，则该球的体积为____________.
6. 已知函数 ， 是ຫໍສະໝຸດ 数 的反函数，若 的图像过点 ，则 的值为_____________.
7．若数列 为等比数列，且 ，则 __________.
8．在△ 中，角 、 、 所对的边别离为 、 、 ，若 ，
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，设长方体 中， ， ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数 知足 ， 的虚部为2．
（1）求复数 ；
（2）设 在复平面上的对应点别离为 ， ， ，求△ 的面积．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
一根长为 的铁棒 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 ．
（1）设 ，试将 表示为 的函数；
（2）求 的最小值，并说明此最小值的实际意义．
异面直线 与 所成的角．…………………………………（2分）
在△ 中， ， ，
．……………………………………………（4分）
所以， ．…………………………………（7分）
所以，异面直线 与 所成角的大小为 ．……………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）设 （ ），则 …………………………（3分）
所以，此数列 中的第 项是数列 中的第 项．…（7分）
（也可以用数学归纳法证明 能被 整除，证明如下）
①当 时， ，能被 整除；……………………………………（4分）
②假设当 （ ）时结论成立，即 能被 整除，
那么当 时， ，
因为 与 都能被 整除，所以 也能被 整除，
即 时，结论也成立．……………………………………（6分）
已知数列 知足： ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且知足 ，试肯定 的值，使得数列 为等差数列；
（3）将数列 中的部份项按原来顺序组成新数列 ，且 ，求证：存在无数个知足条件的无穷等比数列 ．
参考答案
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
综上，
（3）由 ，得 ，…………………………（1分）
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以， 恒成立．……………………………（3分）
令 ，则 ， ，
由 ，得 ，所以 ， ．………………（6分）
所以， ，即 的取值范围为 ．…………………………………（7分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
所以 或 ．……………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知， 时， ， ，…………………………（1分）
所以， ， ， ，………………………………………（2分）
．…………………………………………………………（4分）
当 时， ， ，……………………………………（5分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数 ．
（1）求证：函数 是偶函数；
（2）设 ，求关于 的函数 在 时的值域 的表达式；
（3）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
所以， ， ， ，……………………………………（6分）
．……………………………………………………………（8分）
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1） ， ．………………………………（２分）
， ．…………（6分）
（2）设 ， ，则 ，……（2分）
所以， ，此时 ．………………………………（4分）
上海市长宁区、嘉定区2021届高三数学上学期质量调研（一模）试题
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合 ， ，则 ______________.
2．不等式 的解集为___________________.
12．若不等式 对知足 的任意实数 ， 恒成立，则实数 的
最大值为_____________.
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设角 的始边为 轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（ ）．
任取 、 ，且 ， ，
因为 、 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 在 时是减函数，所以 ．……（7分）
最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过 ，不然，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 ．…………………………（8分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
由①、②知，当 时， 能被 整除．……………………………………（7分）
因此，以 为首项， ， ，…， ，…为公比的无穷等比数列均知足题意，命题得证．
…………………………（8分）
（注：还可由 ，用二项展开式证明能被 整除）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，
则下列命题必然正确的是……………………………………………………………（ ）．
（A） 与 、 都不相交 （B） 与 、 都相交
（C） 最多与 、 中的一条相交 （D） 至少与 、 中的一条相交
则 ___________.
9．若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 ，则该展开式中常数项的
值为____________.
10．已知函数 是概念在 上且周期为 的偶函数．当 时，
，则 的值为__________.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 , （ ），若 ,
则数列 的前 项和 _______________.
当 时， ， ， 为等差数列．
所以，当 时，数列 为等差数列．…………………………………………（6分）
（3） ， ，先证数列 知足题意，即证此数列中的任何一项都是数列 中的项．………………………………………………………（2分）
令 ，则只需证 即可．……………………………………（3分）
此时， ，故 ．…………（6分）
（1）函数 的概念域为 ，
对任意 ， ，
所以，函数 是偶函数．………………………………………………（4分）
（2） ，………………（1分）
令 ，因为 ，所以 ，故 ，
原函数可化为 ， ，
图像的对称轴为直线 ，
当 时，函数 在 时是增函数，
值域为 ；…………………………………………………………（3分）
当 时，函数 在 时是减函数，在 时是增函数，值域为 ．……………………………………………………………（5分）
（1）因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．………………………………（2分）
所以， ，又由题意， ，
所以 （ ）．…………………………………………（4分）
（2）由 ，得 ，
故 ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，……（2分）
所以， ，令 ， ，得 ， ．
若 为等差数列，则 ，解得 ．………………………………（4分）
15．对任意两个非零的平面向量 和 ，概念 ，其中 为 和 的夹
角．若两个非零的平面向量 和 知足：① ；② 和 的夹角 ；
③ 和 的值都在集合 中．则 的值为…………（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知函数 且 ， ，
…．则知足方程 的根的个数为……………………………（ ）．
（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个
1． 2． 3．
4． 5． 6．
7． 8． 9．
10． 11． 或 12．
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．A 14．D 15．B 16．C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必需的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）因为 平面 ，所以 就是四棱锥 的高．
，……………………………………………………………（3分）
，所以 ．…………………………（6分）
故四棱锥 的体积为 ．
（2）连结 、 ，因为 ∥ ，且 ，所以四边
形 是平行四边形，所以 ∥ ．故 或其补角就是
3．已知 ，则 __________.
4． _____________.
5．已知球的表面积为 ，则该球的体积为____________.
6. 已知函数 ， 是ຫໍສະໝຸດ 数 的反函数，若 的图像过点 ，则 的值为_____________.
7．若数列 为等比数列，且 ，则 __________.
8．在△ 中，角 、 、 所对的边别离为 、 、 ，若 ，
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，设长方体 中， ， ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数 知足 ， 的虚部为2．
（1）求复数 ；
（2）设 在复平面上的对应点别离为 ， ， ，求△ 的面积．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
一根长为 的铁棒 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 ．
（1）设 ，试将 表示为 的函数；
（2）求 的最小值，并说明此最小值的实际意义．
异面直线 与 所成的角．…………………………………（2分）
在△ 中， ， ，
．……………………………………………（4分）
所以， ．…………………………………（7分）
所以，异面直线 与 所成角的大小为 ．……………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）设 （ ），则 …………………………（3分）
所以，此数列 中的第 项是数列 中的第 项．…（7分）
（也可以用数学归纳法证明 能被 整除，证明如下）
①当 时， ，能被 整除；……………………………………（4分）
②假设当 （ ）时结论成立，即 能被 整除，
那么当 时， ，
因为 与 都能被 整除，所以 也能被 整除，
即 时，结论也成立．……………………………………（6分）
已知数列 知足： ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且知足 ，试肯定 的值，使得数列 为等差数列；
（3）将数列 中的部份项按原来顺序组成新数列 ，且 ，求证：存在无数个知足条件的无穷等比数列 ．
参考答案
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
综上，
（3）由 ，得 ，…………………………（1分）
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以， 恒成立．……………………………（3分）
令 ，则 ， ，
由 ，得 ，所以 ， ．………………（6分）
所以， ，即 的取值范围为 ．…………………………………（7分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）