2023年云南省昆明市师范大学附属中学数学高一第二学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ==
=，若三棱锥D ABC -体
积的最大值为
4
，则球O 的体积为 A ．
323π
B ．16π
C ．32π
D ．
163
π
2．215是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
3．圆2
2
(2)4x y ++=与圆2
2
(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
4．将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π
个的单位长度，再将所得到的函数图象
上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A ．2sin 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．2sin 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．sin 2y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．sin 42y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
5．若()
1,3a =，(
)
3,1b =，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．120
6．设函数()sin cos 422f x a x b x ππαβ⎛⎫⎛⎫
=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中,,,a b αβ均为非零常数，若(1977)2f =，则(2019)f 的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．不确定
7．函数1
6(0)y x x x
=++>的最小值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AC AM BD λμ=+.则λμ+=( ) A ．
53
B ．2
C ．
158
D ．
94
9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 为奇函数
B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()12
12k k k Z π
πππ
⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
C ．函数()g x 为偶函数
D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6
x k k Z π
π=+
∈
10．在ABC ∆中，若sin 2sin 6023A C B b =︒=＝，，ABC ∆的面积为( ). A ．8
B ．2
C ．23
D ．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．设1e ，2e 为单位向量，其中122a e e =+，2b e =，且a 在b 方向上的射影数量为2，则1e 与2e 的夹角是___．
12．设变量x y ，满足条件1
10x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为___________
13．已知球O 为正四面体A BCD -的外接球，5
3,6
AB BE BD ==，过点E 作球O 的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
14．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为 .
15．已知指数函数[]0,2x
y a =在上的最大值与最小值之和为10，则a =____________。

16．若tan 2α=，则sin 2α= .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．已知53sin cos cos(3)
22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
（1）化简()f
θ；
（2）若3sin 5
θ=
，且,2πθπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值．
18．某销售公司通过市场调查，得到某种商品的广告费x （万元）与销售收入y （万元）之间的数据如下： 广告费x （万元） 1 2 4 5 销售收入y （万元）
10
22
40
48
（1）求销售收入y 关于广告费x 的线性回归方程y bx a =+；
（2）若该商品的成本（除广告费之外的其他费用）为2x 万元，利用（1）中的回归方程求该商品利润W 的最大值（利润=销售收入－成本－广告费）.参考公式：
()()()
1
12
22
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx ====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
19．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，
且
所在直线方程为
.
（1）求顶点的坐标； （2）求
边所在的直线方程。

20．设{}n a 是一个公比为q 的等比数列，且14a ，23a ，32a 成等差数列. （1）求q ；
（2）若数列{}n a 前4项的和415S =，令2n n b na =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足
n 11
12
n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足*
2120()n n n b b b n N ++-+=∈，35b =，其前9项和为63.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n n
n n n
b a
c a b =
+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；
（3）将数列{}n a ,{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344,,,,,,,,a b b a a b b a …，求这个新数列的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解析】
设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．由此可计算球半径． 【详解】
如图，设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心
O 在DM 上．
∵3BA BC AC ===
，∴
3
cos 2BCA ∠==
，即30BCA BAC ∠=︒=∠，
∴112sin 22
AB BM BCA =⨯==∠．
又13333sin 3024ABC S ∆=
⨯⨯︒=，∴13333
344
DM ⨯⨯=
，3DM =． ∵DM ⊥平面ABC ，∴DM BM ⊥，设球半径为R ，
则由222BM OM OB +=得222(3)(3)R R +-=，解得2R =， ∴球体积为3344322333
V R π
ππ==⨯=． 故选A ．
【点睛】
本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径． 2、C 【解析】
本题首先要明确平面直角坐标系中每一象限所对应的角的范围，然后即可判断出215在哪一象限中． 【详解】
第一象限所对应的角为π
2π,
2π2
k k k Z ；
第二象限所对应的角为
π
2π,π2π2
k k k Z ；
第三象限所对应的角为3π
π2π,2π2
k k k Z ；
第四象限所对应的角为
3π
2π,2π2π2
k k k Z ；
因为3π
215π2π,
2π2
k k k Z ，
所以215位于第三象限，故选C ． 【点睛】
本题考查如何判断角所在象限，能否明确每一象限所对应的角的范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题． 3、B 【解析】
=2,3，
3223∴-<<+，所以两圆相交 ．故选C ．
考点：圆与圆的位置关系． 4、A 【解析】
由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换法则，即可得出结论。

【详解】
将函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个的单位长度，可得2sin 2()sin(2)633y x x πππ⎡
⎤=--=-⎢⎥⎣
⎦的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横
坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为2sin()3
y x π
=-，故选A ． 【点睛】
本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换法则，注意ω对ϕ的影响。

5、A 【解析】
根据平面向量夹角公式可求得cos θ，结合θ的范围可求得结果. 【详解】
设a 与b 的夹角为θ
13cos 13a b a b
θ⋅⨯=
=
=+⋅，又0180θ≤≤ 30θ∴=
【点睛】
本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是熟练掌握两向量夹角公式，属于基础题. 6、C 【解析】
根据正弦、余弦的诱导公式，由(1977)2f =，可以得到等式，求出(2019)f 的表达式，结合刚得到的等式求值即可. 【详解】
(1977)2sin 1977cos 197742cos sin 2
22f a b a b ππαβαβ⎛⎫⎛⎫
=⇒⋅++⋅++=⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为
sin 2019cos 20194cos sin 4209)2(21a b a b f ππαβαβ⎛⎫⎛⎫
⋅++⋅++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，
所以(2019)(2)46f =--+=. 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题． 7、C 【解析】
直接利用均值不等式得到答案. 【详解】
16(0)68y x x x =+
+>≥=，1x =时等号成立. 故答案选C 【点睛】
本题考查了均值不等式，属于简单题. 8、A 【解析】
先求出1
)()2AC AB AD λμλμ=
-++（,再根据AC AB AD =+得到1,22,λμλμ-=⎧⎨+=⎩
解
方程组即得解.
由题意得1
2
AM AB BM AB AD =+=+， 又因为BD AD AB =-， 所以
()
11=)()22AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫
=+=++--++ ⎪⎝⎭
（,
由题意得AC AB AD =+，所以1,22,λμλμ-=⎧⎨+=⎩解得4,3
1,3λμ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以5
3
λμ+=， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9、B 【解析】
本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数()f x 的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，最后通过函数()g x 的解析式求出函数()g x 的单调递增区间，即可得出结果． 【详解】
由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫
⎪⎝⎭
、最大值为3， 所以A 3=,2T π
πω=
=，ω2=，553sin 231212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()23
k k Z π
ϕπ=-
+∈，
所以取0k =时，函数()f x 的解析式为()3sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 将函数()f x 的图像向左平移
3
π
个单位长度得
()3sin 23sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
当()2222
3
2k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈时，即()5,1212x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-
++∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 单调递增，故选B ． 【点睛】
本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数()()sin f x A x ωϕ=+向左平移n 个单位所得到的函数
()()sin g x A x n ωϕ⎡⎤=++⎣⎦，考查推理论证能力，是中档题．
10、C 【解析】
由正弦定理结合已知sin 2sin A C ＝，可以得到a c 、的关系，再根据余弦定理结合
60B b =︒=，可以求出c a 、的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可. 【详解】
由正弦定理可知：
sin sin a c
A C
=，而sin 2sin A C ＝，所以有2a c =，由余弦定理可知：2222222
12cos 1244422
b a
c ac B c c c c c =+-⋅⇒=+-⋅⇒=⇒=，所以
4a =，
因此ABC ∆的面积为11sin 42222
ac B ⋅⋅=⨯⨯⨯= C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
3
π
【解析】
利用a 在b 方向上的射影数量为2可得：2a b
b =⋅，即可整理得：1212
e e ⋅=， 问题得解. 【详解】
因为a 在b 方向上的射影数量为2， 所以
2a b b
=⋅，整理得：()
21222
22e e e e +⋅=
又1e ，2e 为单位向量， 所以121
2
e e ⋅=
. 设1e 与2e 的夹角θ，则1212
1cos 2
e e e e θ⋅==
⋅ 所以1e 与2e 的夹角是3
π 【点睛】
本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题. 12、-1 【解析】
根据线性规划的基本方法求解即可. 【详解】 画出可行域有：
因为22z x y y x z =-⇒=-.根据当直线2y x z =-纵截距最大时, 2z x y =-取得最小值.由图易得在()0,1A 处取得最小值1-. 故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.
13、527,48ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】
在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案. 【详解】
因为正四面体棱长为AB =3，所以正四面体外接球半径R =
36
4
.由球的性质，当过E 及球心O 时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为23627(
)48
π
π=
；当过E 的截面与EO 垂直时面积最小，取△BCD 的中心1O ，因为A BCD -为正四面体，所以
1AO ⊥平面BCD ,O 在1AO 上，166124
OO AB ==，所以
11OO O E ⊥,
在三角形1BO E 中，由56BE BD =
,3BD =，52BE =,123
333AO ==，
由余弦定理2
2
2
1557
()(3)232
24
O E =+-⋅
= 在直角三角形1OO E 中222
113717848
OE OO O E =+=+=
所以过E 且与EO 垂直的截面圆的半径r 为225
4
r R OE =-=
，截面面积为54π.
所以所求截面面积的范围是5
27[,]48
ππ. 【点睛】
本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题. 14、3
【解析】
分别取AC 、BC 的中点D 、E,
230OA OB OC ++=, 2()OA OC OB OC ∴+=-+,
即24OD OE =-,
O ∴是DE 的一个三等分点, 3ABC
AOC
S S ∆∴
=, 故答案为:3. 15、3 【解析】
根据1a >和01a <<时x
y a =的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果. 【详解】
当1a >时，x
y a =在[]0,2上单调递增 2max y a ∴=，0min 1y a ==
2110a ∴+=，解得：3a =或3-（舍）
当01a <<时，x
y a =在[]0,2上单调递减 0max 1y a ∴==，2min y a =
2110a ∴+=，解得：3a =（舍）或3-（舍）
综上所述：3a = 故答案为：3 【点睛】
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点. 16、
4
5
【解析】
sin 2α
.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()cos f θθ=-；（2）4
()5
f θ=. 【解析】
（1）利用诱导公式化简即得()f θ；
（2）利用同角的平方关系求出4
cos 5
θ=-的值，即得解. 【详解】
解：（1）53sin cos cos(3)
22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos (sin )(cos )(sin )cos θθθθθ--=-
cos θ=-．
（2）因为3sin 5
θ=，且,2πθπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5θ=-，
所以4()5
f θ=． 【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
18、（1）9.4 1.8y x =+；（2）19.44（万无） 【解析】
（1）先求出,x y ，然后求出回归系数，得回归方程；
（2）由回归方程得估计销售收入，减去成本得利润，由二次函数知识得最大值． 【详解】 （1）由题意124534x +++=
=，10224048304
y +++==，
所以2222
2(20)(1)(8)110218
9.4(2)(1)12b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯=
=-+-++，
309.43 1.8a =-⨯=，
所以回归方程为9.4 1.8y x =+；
（2）由（1）229.4 1.88.4 1.8W x x x x x =+--=-++2
( 4.2)19.44x =--+， 所以 4.2x =（万元）时，利润最大且最大值为19.44（万元）． 【点睛】
本题考查求线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查了学生的运算求解能力． 19、 (1) (2)
【解析】 （1）联立直线
的方程，求出点坐标；（2）求出点
，利用
坐标求
直线的斜率，再用点斜式求直线方程.
【详解】 由及
边上的高所在直线为
，
得所在直线方程为 又所在直线方程为
由
，得
.
（2）设，又，为中点，则，
由已知得，得，
又得直线的方程为.
【点睛】
考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力. 20、（1）2q ，1q = （2）()1122n n T n +=-⋅+或()15
14
n T n n =
+ 【解析】
（1）根据14a ，23a ，32a 成等差数列，得到2
320
q q -+=，解得答案.
（2）讨论2q 和1q =两种情况，利用错位相减法计算得到答案.
【详解】
（1）因为{}n a 是一个公比为q 的等比数列，所以1
1n n a a q -=.
因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+即2
320
q
q -+=.
解得2q ，1q =.
（2）①若2q
，又它的前4和4
15s =，得
()411151a q q
-=-，解得11a =
所以12n n a ，因为22n n n b na n ==⋅，（n *∈N ），
∴23
1222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯，
()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
∴23
122222n n n T n +-=+++
+-⋅，
∴()11122212212n n n n T n n +++⎛⎫
-=--⋅=-⋅+
⎪-⎝⎭
②若1q =，又它的前4和4
15s =，即1415a =，1154a ∴=
因为2n n b na =，（n *∈N ），所以()()15
15
12312
4
n T n n n =++++=
+. 【点睛】
本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
21、（1）,2n n a n b n ==+；（2）43a ≤；（3）22*213
,242
63
{
,43,4
65
,414
n n n n k n n S n k k N n n n k +=+-==-∈++=- 【解析】
试题分析：（1）由已知得数列n A n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，从而易得n A n ，也即得n A ，利用
1(2)n n n a A A n -=-≥求得(2)n a n ≥，再求得11a A =可得数列{}n a 通项，利用已知2120n n n b b b ++-+=可得{}n b 是等差数列，由等差数列的基本量法可求得n b ；（2）代
入,n n a b 得n c ，变形后得1
1222n c n n ⎛⎫=+-
⎪+⎝⎭
，从而易求得和n T ，于是有1
123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪
++⎝⎭
，只要求得1112n n +++的最大值即可得2n T n -的最小值，从而得a 的范围，研究
11
12
n n +++的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前n 项和n S 时，对n 分类：2n k =，41n k =-和41n k =+三类，可求
解．
试题解析：（1）∵
1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为12的等差数列， ∴
，即()()*
12
n n n A n N +=
∈，
∴()()()()*
111211
2
2
n n n n n n n a A A n n N +++++=-=
-=+∈，
又11a =，∴()
*
n a n n N =∈．
∵2120n n n b b b ++-+=，∴数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，∵()3799632
b b B +==且35b =，
∴79b =，∴{}n b 的公差为()
*7395
1,27373
n b b b n n N --===+∈-- （2）由（1）知2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=
+=+=+- ⎪++⎝⎭
， ∴12111
11221324
2n n T c c c n n n ⎛⎫
=++
+=+-+-+
+
- ⎪+⎝⎭
1111
122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
，
∴1
123212n T n n n ⎛⎫-=-+
⎪++⎝⎭
设1
13212n R n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
，则()()1
114201313n n R R n n n n +⎛⎫-=-=> ⎪++++⎝⎭， ∴数列{}n R 为递增数列， ∴()1min 4
3
n R R ==
， ∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43
a ≤． （3）数列{}n a 的前n 项和()12
n n n A +=
，数列{}n b 的前n 项和()52
n n n B +=
，
①当(
)*
2n k k N
=∈时，()()21532
2
n
k k k k k k S
A B k k ++=+=
+
=+；
②当()*
41n k k N
=+∈时，
()()()221221222254812
2
n k k k k k k S A B k k ++++=+=
+=++，
特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当(
)*
41n k k N
=-∈时，()()2212212225442
2
n
k k k k k k S
A B k k --+=+=
+=+．
综上：22*213
,24263
{
,43,4
65
,414
n n n n k n n S n k k N n n n k +=+-==-∈++=- 考点：等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和．。